参数不确定超混沌Lü系统的自适应同步

1、参数不确定超混沌lii系统的自适应同步，栗苹|田钢|张若洵杨世平e1河北师范大学物理科学与信息工程学院河北石家庄,0500162邢台学院初等教育学院河北邢台,054001摘 « 研究了具有四个未知参数的超混沌l0系统的自适应控制同步问题。基于lyapunov 稳定理论，提岀了采用两个控制器使参数全部未知的超混沌lti系统达到自适应同 步的新方法。它改进和完善了高秉建等人采用4个控制器和贾贞等人采用3个控制 器自适应同步超混沌u1系统的工作。该方法通过增大控制参数的数值，可以得到 更快的参数自适应律和同步响应速度。数值仿真结果验证了该方法的有效性和可行 性。关權词 同步；自适应控制；超

2、混沌l0系统；未知参数1. 引言近年来，混沌研究是非线性科学领域的热点问题之一，而混沌的同步与控制由于其 在物理、通信、信息科学、医学、生物工程等领域的巨大应用潜力和发展前途，已经引 起广泛关注.自从1990年pecora和carroll111提出了混沌同步的原理并在电路中得以实 现以来，人们提出了各种混沌同步方法，如驱动响应同步、变结构同步、耦合同步、反 馈同步、脉冲同步、驱动参量同步等方法卩7。这些方法讨论的大都是参数已知或确定的 混沌系统，在实际应用中，一般混沌系统的参数常常是未知的或不确定的。又由于具有 两个或两个以上正性lyapunov指数的超混沌系统具有更复杂的动力学行为，更高的保

3、 密性，因此研究参数不确定或未知的超混沌的同步具有更重要的实际应用价值。目前超混沌lil系统已成为混沌控制和同步研究中经常采用的超混沌模型,得到了 较为广泛的关注。高秉建等采用4个控制器实现了参数不确定超混沌lu系统的自适应 同步ml,贾贞等采用3个控制器实现了部分参数未知超混沌lii系统的自适应同步刃。目 前，采用两个控制器自适应同步参数不确定超混沌lu系统的工作尚无报道。在实际应用中，混沌同步的控制器是简单、有效和易于实现的。一般来说，控制器 的数目越少，其控制方法越好。基于上述考虑，我们提出了采用两个控制器自适应同步 参数全部不确定超混沌lti系统的新方法。它改进和完善了文献89的工作。

4、并且该方 法还可用于超混沌chen系统、超混沌lorenz系统叫 超混沌liu系统问等。数值仿 真结果证实了所提出方法的有效性。*河北省自然科学基金资助项目(a2006000128).通信地址：河北石家庄河北师范大学物理科学与信息工程学院，e-mail7angship,电话果苹(i957-),女，河北师范大学实验师，研究方向：无线电物理.2. 超混沌lii系统自适应控制器设计超混沌l0系统用如下方程来描述：x = ay - x) + w y = -xz + cy 力=xy - bz w = xz dw系统(1)中x,yfz和w为系统的状态变量gb,c和d为系统的控

5、制参数，参数g36, *=3, c=20和 4352v1.3时，系统(1)表现为混沌运动，系统(1)流的微分为dx dy dz dw可见系统是受迫耗散系统。故力0,玉(),曲),刃)和叩)全局有界并且连续可 微.因此,wao,存在常数加x),使max(| x(f) y(f) z(t) i, | 讽/) i) w 加 v 8成立。以系统(1)为驱动系统，具有两个控制器的响应系统为a =(y -习)+ 叫ji=-x1z1+c1ji+m2系统的参数a, b, c, d对响应系统来说事先是未知的，参数a】，b. ci, d是a, b, c, d的估值。血，”4是控制器.由方程(3)减去方程(1)得到误

6、差系统，记状态误差信号 叼-xj(i=l,2, 3,4),爲-a,® =4-b , ec =q -c,ed -d -d得到a =i(e2 -闫)+ %(丿7)+ 勺°2 = -3 _x03 -z® +c*2 +£* + “2“、,(4)5 = exe2 + xe2 + ye-命匂-ebze4 =4匂 +edw + xej +可叼 +u4我们的目标是寻找合适的控制器“2, “4和参数自适应律，使得系统和达到全局 渐进同步，即lim |e(r)|=o,r->®其中 e = (g|,e2,e3，e4)t 定理选择控制器为“2 =1心勺，“4 =

7、 -*2e4(5)其中，r二=p4,p>o1(o)=*2(o)=o及参数自适应率为乙=a(y - xk, $ = 0z,立=-yye2, ed = -we4(6)贝ij系统(1)和(3)达到全局渐进同步。证明选取lyapunov函数为：$ = £(0扌 +£ +£ +£ + + 舟诸 +丄< +4ej) + yki 一灯)2 +(他-监)22a p y o lp这里，0>o,a>o,0>o>o,s>(u；>o,£>0,均为常数。了沿着系统的轨线对时 间的导数是v =+e2e2 +瞬3 +匂匕

8、+'勺乙+丄乞彳七匸叭a p y o(7)+严拥)£+他-駆2把(5)和(6)代入(7)#v = -0a忒 + (%1 -z)exe2 -(好 一c)ej -b£ + 0ele4 + yexe + xe3e4 + zxee4 -伙；-d】)就由(2)式和数学知识弓勺<(£ +e；)/2可得v< _%后 +(砌 +x扌 +£)/2_(鬧 一q喝+(0 + 附)2 |匂 i+加21 ii 勺 |+刃 |勺 ii 4 14*2 - d)e48ax 一0a + m 2= -(211,61,23 lisi)0飞0 + /w20m0 +叭22八0

9、ax +/wk q200馆1、闰10*m13 12j e4 l0mtk2/当&>m m2a、2d $m + 0ax，人 >c+加2(0 + 间 + (&+加)2耳 + 品(0込-ni)/2 為(&坷一加)一品时，p是正定矩阵，从而k<-|e|tp|e|<0,则引勺，勺,，匂/-心丘厶,由式可得 言心,由k<-|e|rp|e|可得jxin(p)|罔|2dr<卩e|tp|e|dr < 卜畑= k(0)-v(t)<0 其中得(卩)为正定矩阵p的最小特征值，所以有勺5 根据barbalat引理可得 lim |e(r)|=o.即系统

10、和全局渐近同步。/co通过matlab6.5,采用runge-kutta4, 5进行仿真，选取"未知”参数e36, &=3, c=20, 力1,这时系统表现为超混沌运动；不确定参数初始值©(0)=10,也(0=0.5, d(0)=ll, d=10,由(0)=01,自适应律p = l ,状态初始值班0)=1,以0)=-2, z(0>2, m<0)=2r(0)=-1, (0)=2, zi(0>-2, w!(0)=-2.图1和图2为控制参数a = 0* = 5 = l时，同步误差和响应系统估计参数随时间的变化曲线；图3和图4为控制参数a = 0 = 了

11、= 5 = 2.5时，同 步误差和响应系统估计参数随时间的变化曲线。可见同步误差收敛到零，响应系统的可 变参数收敛到驱动系统的相应参数；并且瞬态过程随着控制参数a,队丫和5的增大而缩 短。图1 a =卩=丫 = 6 = 时的同步误差曲线图2 a = ® = y = & = 时的参数估计值随时间的变化图3 a = p = y = § = 25时的同步误差曲线图4« = /? = z = = 2.5时的参数估计值随时间的变化3. 结论基于lyapunov稳定性理论，采用两个控制器，实现了参数全部未知的超混沌lti系 统的自适应同步，设计的控制器不含系统参数，结

12、构非常简单且易于选取。它改进和完 善了文献89的工作，并且通过改变控制参数的大小，可以调整同步响应速度的大小。 理论上证明了所设计控制器的正确性，同时通过数值模拟，进一步说明了所提出方法的 可行性和有效性。参考文献i pecora l m, carroll t l. synchronization in chaotic systems. phys rev lett, 1990,64: 821-824 陈保颖.线性反馈实现liu系统的混沌同步几动力学与控制学jg, 2006,4:1-43 陈志盛，孙克辉，张泰山.liu混沌系统的非线性反馈同步控制几物理学报,2005, 54(6): 2580-2

13、5834 santoboni g, poromsky a y, nijmeijer h. an observer for phase synchronization of chaosjj.physics letters a.2001,29:265-273. 杨世平，牛海燕田钢，袁国勇.张闪.用驱动参量法实现混沌系统的同步j物理学报, 2001,50(04):0619-06236 jiang g p. tang w, chen g r. a simple global synchronization criterion for coupled chaotic systems. chaos. so

14、litons and fractals, 2003. 15: 925-9357 chen a lu j a, lil j h et al. generating hyperchaotic lq attractor via state feedback controlj physica a 2006364 103-110.8 gao b j, lu j a adaptive synchronization of hyperchaotic lq system with uncertainty j, chinese physics,2007j 6: 6666709 贾贞,陆君安，邓光明.超混沌l11

15、系统的非线性反馈自适应同步jj系统工程与电子技术,2007,4:59&617.10 li y xt tang k s, chen g it generating hyperchaos via state feedback control j int j. bifiir chaos. 2005, 15:3367-3376ii 王兴元.王明军.超混沌lorenz系统几 物理学报，2007, 56(09):5136-5141.12wang f qjliu chyperchaos evolved from the liu chaotic systemj.chinese physics. 200

16、6,15: 0963-0968adaptive synchronization of hyperchaotic lii system withuncertain parameterstian gang1, li ping1, zhang ruoxun1,2, yang shiping11 college of physics science and infdrmation engineering, hebei normal university, shijiazhuang, 0500162 the elementary education college, xingtai university

17、, xingtai, 054001abstract adaptive synchronization of hyperchaotic lu system with four uncertain parameters is studied. based on adaptive theory and lyapunov stability theory, the paper presents a new adaptive control method for the synchronization of hyperchaotic lu system with fully unknown parameters by employing two controllers. the obtained results here improve and extend the work of gao bing-jian et al，with four controllers and jia zhen et al., with three controllers the method can obtain a faster update law of unk