人教A版2020届高考数学一轮复习讲义：积分_20210103224739

1、积分知识讲解一、函数定积分1.定义：设函数定义在区间上用分点，把区间分为个小区间，其长度依次为记为这些小区间长度的最大值，当趋近于时，所有的小区间长度都趋近于在每个小区间内任取一点，作和式当时，如果和式的极限存在，我们把和式的极限叫做函数在区间上的定积分，记作，即其中叫做被积函数，叫积分下限，叫积分上限叫做被积式此时称函数在区间上可积2.曲边梯形：曲线与平行于轴的直线和轴所围成的图形，通常称为曲边梯形根据定积分的定义，曲边梯形的面积等于其曲边所对应的函数在区间上的定积分，即求曲边梯形面积的四个步骤：第一步：分割在区间中插入各分点，将它们等分成个小区间，区间的长度，第二步：近似代替，“以直代曲”

2、，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值第三步：求和第四步：取极限4.求积分与求导数互为逆运算，即从到的积分等于在两端点的取值之差5.微积分基本定理内容：如果，且在上可积，则，其中叫做的一个原函数由于，也是的原函数，其中为常数一般地，原函数在上的改变量简记作，因此，微积分基本定理可以写成形式：6.定积分的性质1）2）3）4）5）若为奇函数，则6）若为偶函数，则经典例题一选择题（共12小题）1若a=ln2，b=5-12，c=140sinxdx，则a，b，c的大小关系为（）abcabacbcbacdabc【解答】解：由题意可得：c=140sinxdx=14×

3、-cosx|0=12，而 a=ln212=lne，b=5-12=1512，据此可得：acb故选：b2计算12（x+1x）dx的值为（）a34b32+ln2c52+ln2d3+ln2【解答】解：12（x+1x）dx=(12x2+lnx)|12=2+ln212=ln2+32；故选：b301|x-1|dx=（）a1b2c3d12【解答】解：01|x-1|dx=01（1x）dx=（x12x2）|01=112=12，故选：d4由曲线xy=1与直线y=x，y=3所围成的封闭图形面积为（）a2ln3bln3c2d4ln3【解答】解：方法一：由xy=1，y=3可得交点坐标为（13，3），由xy=1，y=x可得

4、交点坐标为（1，1），由y=x，y=3可得交点坐标为（3，3），由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积为131（31x）dx+13（3x）dx=（3xlnx）|131+（3x12x2）|13，=（31ln3）+（9923+12）=4ln3故选：d方法二：由xy=1，y=3可得交点坐标为（13，3），由xy=1，y=x可得交点坐标为（1，1），由y=x，y=3可得交点坐标为（3，3），对y积分，则s=13（y1y）dy=（12y2lny）|13=92ln3（120）=4ln3，故选：d5直线y=4x与曲线y=x2在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）a64b32c16d323【

5、解答】解：令4x=x2，解得x=0或x=4，s=04（4xx2）dx=（2x213x3）|04=32643=323故选：d6设函数f（x）=&x2，0x1&1，1x2则定积分02f（x）dx等于（）a83b2c43d13【解答】解：02f（x）dx=01x2dx+12dx=13x3|01+x|12=13+21=43，故选：c7图中，阴影部分是由直线y=x4和抛物线y2=2x所围成，则其面积是（）a16b18c20d22【解答】解：由&y=x-4&y2=2x，解得y=2或y=4，故其面积s=-24（y+412y2）dy=（12y2+4y16y3）|-24=18，故

6、选：b802（x2+1）dx=（）a143b6c8d10【解答】解：02（x2+1）dx=（13x3+x）|02=83+2=143，故选：a902（4-x2+x）dx的值为（）a2+2b2+c4+2d4+4【解答】解：024-x2dx表示以原点为圆心，以2为半径的圆的面积的四分之一，故024-x2dx=14××22=，02xdx=12x2|02=2，故02（4-x2+x）dx=2+，故选：b10定积分01(sinx+2x)dx=（）a1+cos1bcos1c1cos1d2cos1【解答】解：01(sinx+2x)dx=（cosx+x2）|01=（cos1+1）（cos0+0

7、）=2cos1，故选：d11已知某物体作变速直线运动，其速度v单位：m/s）关于时间t（单位：s）的关系是v=4t+1，则在第2s至第3s间经过的位移是（）a10mb11mc12md13m【解答】解：某物体作变速直线运动，其速度v单位：m/s）关于时间t（单位：s）的关系是v=4t+1，则在第2s至第3s间经过的位移是23（4t+1）dt=（2t2+t）|23=（18+3）（8+2）=11，故选：b12024-x2dx等于（）a2bc2d4【解答】解：由定积分的几何意义知：024-x2dx是如图所示的阴影部分的面积，即表示以原点为圆心以2为半径的圆的面积的四分之一，故024-x2dx=14&#

8、215;22=，故选：b二填空题（共4小题）13-11（1-x2+sin2x）dx=2【解答】解：-11（1-x2+sin2x）dx=-111-x2dx+-11sin2xdx由定积分的几何意义可知，-111-x2dx是以原点为圆心，以1为半径的上半圆的面积，等于2；-11sin2xdx=-12cos2x|-11=-12cos2+12cos(-2)=0-11（1-x2+sin2x）dx=2故答案为：214由曲线y=x2和直线y=1所围成的封闭图形面积为43【解答】解：联立方程组&y=x2&y=1，解得&x=1&y=1或&x=-1&y=1，曲线y=x

9、2与直线y=x围成的封闭图形的面积为s=-11(1-x2)dx=43故答案为：4315若12（2x+1x）dx=3+ln2【解答】解：12（2x+1x）dx=(x2+lnx)|12=22+ln212ln1=3+ln2故答案为：3+ln216已知曲线y=x3与直线y=kx（k0）在第一象限内围成的封闭图形的面积为4，则k=4【解答】解：联立方程可得&y=x3&y=kx，解得x=0，或x=k，先根据题意画出图形，得到积分上限为k，积分下限为0直线y=kx与曲线y=x3所围图形的面积s=0k（kxx3）dx而0k（kxx3）dx=（12kx214x4）|0k=12k214k2=14k2=4解得k=4，故答案为：4三解答题（共2小题）17求由曲线y=x，y=2x，y=-13x所围成的封闭图形的面积【解答】解：由题意，将三个解析式两两联立：可得交点坐标（1，1），（0，0），（3，1）则s=01(x+13x)dx+13(2-x+13x)dx=(23x32+1312x2)|10+(2x-2312x2)|31=23+