区间线性规划及其应用的研究

1、学号:xxxxxxx% m必mhebei united university毕业论文graduate thesis设计题目:区间线性规划模型的求解及其应用的研究学生姓名：xxx专业班级：xxx学 院：xxx指导教师：xxx2013年5月31日摘要线性规划模型广泛应用于交通运输业、工业、农业、经济计划和管理决策等 领域。由于实际问题屮存在许多不确定因素，因此模型屮的系数不再是精确数。 木文研究含有区间数的线性规划模型，根据区间数的序关系和代数运算将含有区 间数的线性规划模型分割为两个一般的线性规模型进行求解，通过数值算例说明 该算法的有效性。实际中许多问题为区间多目标线性规划问题，本文采用模糊规

2、划法求解该问 题，通过伸缩因子将区间多目标线性规划模型分解为多个区间单目标线性规划模 型进行求解，通过数值算例说明该算法的有效性。证券投资组合的优化模型是线性规划模型的成功应用典范，文章结合区间线 性规划模型和证券投资组合给出实例进行分析，说明区间线性规划模型在证券投 资中的应用。关键词 区间线性规划；区间数；序关系；模糊规划法；证券投资abstracta linear programming model is widely used in transportation, industrial, agricultural, economic planning and management de

3、cision-making and so. because there are many uncertain factors in the practical problems, so the coefficients in the model is no longer accurate number. the linear programming model in this paper contains the interval number linear programming model, segmentation based on interval number and orderin

4、g relation algebra with interval numbers of two general linear scale to solve, through numerical examples illustrate the effectiveness of the algorithm.many practical problems in interval multi-objective linear programming problem, this paper adopts fuzzy programming method to solve the problem, thr

5、ough the expansion factor will interval multi-objective linear programming model is decomposed into multiple interval single-objective linear programming model, a numerical example is used to illustrate the effectiveness of the algorithm.the optimization model of portfolio is linear programming mode

6、l of successful application of the model, combining the interval linear programming model and portfolio analysis examples, illustrated the application of interval linear programming model in the securities investment.key： interval linear programming； interval number； investment securities；fuzzy prog

7、ramming; securities investment目 录摘要iabstract i第1章绪论1第2章 预备知识及背景内容22. 1基本概念22. 1. 1序关系22.1.2区间数22. 2线性规划模型的相关概念32. 2. 1单目标线性规划模型的相关概念32. 2.2多目标线性规划模型的相关概念3第3章 单目标区间线性规划模型53.1区间数的运算53.2单目标区间线性规划模型的求解53. 2.1单目标区间线性规划模型的一般形式53. 2.2单目标区间线性规划模型的求解6第4章 多目标区间线性规划模型的建立及求解10第5章 线性规划模型在证券投资中的应用14结论15参考文献16谢辞17

8、第1章绪论众所周知，传统的数学规划问题是人们在科学研究、工程技术、生产生活以 及经济管理等众多领域中经常面对的问题，它所研究的是在众多的方案屮如何找 出最优方案。在现实生活和工程领域中，存在着许多不确定性现象，这种不确定 现象主要表现在两个方面，随机性和模糊性。而在数学规划问题中，获得信息往 往不是精确的数值，而是一些区间数，这种不确定性现象会给决策者作决策时带 来很大的困难。因此对于研究这种含有区间数的数学规划问题，具有很重要的理 论和实际意义。本文给出了线性规划模型的概念建立及单目标和多目标线性规划问题的阐 述以及决策变量目标函数的系数都为区间数的线性规划问题的建立以及求解，同 时描述了这

9、种类型的线性规划问题在实际中的应用。本文主要内容：(1) 介绍线性规划模型的建立；(2) 介绍多目标线性规划问题的建立及求解；(3) 阐述了区间数线性规划问题的概念及求解；(4) 结合证券投资和简单的运输问题说明区间线性规划在实际问题中的应 用。在真实的投资环境中，由于社会、经济和文化、心理等诸多因素的影响，使得 证券市场具有很强的不确定性，这种不确定性包含随机性和模糊性。在这个复杂 的金融系统中，由于市场本身的随机性和模糊性以及影响市场变化的各种因素的 模糊性的存在，对于证券的期望收益率风险损失率和证券的流动性，投资者很 难具体给出一个精确值。而区间方法是处理不确定性风险企业政府机构之间合作

10、 的桥梁风险投资机构与风险企业在技术研发和融资过程等方面存在着明显的信 息不对称，中介机构能有效地减弱这种不对称，并降低交易成本。第2章预备知识及背景内容2. 1基本概念2. 1. 1序关系序关系是集合元素间的一种二元关系.定义2. 1. 1非空集合s,其元素之间定义了一种二元关系t,若满足：1.不可逆性：对任意a,be s,若有8 tb,则没有bta。2传递性：对任意a,b,ce s,若有atb,btc,则有atc。3反自反性：对任意aw s,都没有a ta.则t称为5上的一个偏疗；或偏疗；关系。若t还满足：4岐性：对任意a,bw s,a t b,b t a,有且仅有一个成立。则t称为s上的

11、一个全序或全序关系。2. 1.2区间数定义2.1.2设/?为实数域，称闭区间矿,/为区间数，记作a,其中 aaa<a全体区间数的集合记为/。若>0,称区间数a =为正区间数，正区间数的集合记为厂；若6/+<0,称区间数a = f/-,6z+为负区间 数，负区间数的集合为厂。当a=a+=a,称区间数a = q为退化区间数，即退化为常数5当旷工/时，称区间数为真区间数。区间数的中点定义为，区间数的宽度定义为l(a) = a+-a，也可称之为区间数的长度，其半长度为去=号-.2. 2线性规划模型的相关概念2. 2.1单目标线性规划模型的相关概念线性规划模型的建立需耍考虑几个条件：1

12、.列出约束条件及目标函数；2.画出约束条件所要求的可行域；3.在可行域 内求目标函数的最优解及最优值。线性规划模型(linear programming,简称为lp),它的一般形式为：max (min)+c2x2 +,cnxna11xi+a12x2+- + alnxn <(>,=)b(+<(>,=)b2< amlxl+am2x2+- + amnxn §(、，=)叽x，xn no采用求和符号，可以简写为：max 5in)z二泸j=leaiixj-(-)biv j=ixfoi=l, 2,m j=l, 2,n变量称为决策变量。满足全部约束条件的变量值称可行解,

13、 可行解的集合称为可行域，为d。目标函数取得最大(最小)值的可行解x.,xn 称为最优解。2. 2.2多目标线性规划模型的相关概念多目标线性规划模型如下：max<z2 = °21 兀1 +。22 兀2 t 卜 c2nxn1兮=5西+_2兀2+陽£ 如西+即吃+气兀三勺 a2lx + a22x2 + + a2nxn < b2验西+匕”2兀2 +陽必t乞 兀,吃，兀二0有效解和弱有效解的定义：定义2. 2. 1对于向量x/x =(西,©), = (),.，儿),规定:(1) 兀=歹 0石=y.,/ = 1,2-(2) x < y « %.

14、< y., i 二 1,2，隅(3) x<y<> 兀 <= 1,2，隅(4) x<y o xi < yj = l,2，仏但至少存在一个l<j<n,使巧v y厂定义2.2.2设/ e /?,如果不存在jcwr,使得z(x”)vz(x)(或z(f) v z(x),则称f w r是多目标规划问题的有效解(或弱有效 解)。第3章单目标区间线性规划模型3.1区间数的运算3.1.1区间数的运算定义：3. 1. 1设a,b,cyde i(r),区间数的运算定义如下:a,b + c,d = a + c,bd,a,b-c.d = a-d.b-c.,re r.

15、3.2单目标区间线性规划模型的求解3. 2.1单目标区间线性规划模型的一般形式单冃标区间线性规划就是冃标函数为单一冃标的含有区间数的线性规划，这 一类问题因为涉及了区间数的线性规划，这里先给出了其一般形式：max (min) z =+c2i,c22x2 +cnl,cn2xn知心+ %兀”2 +§ (乙=)如，几£ no简写为其中 勺切,勺1，勺2 i = l,2,加;) = 1,2,71均为区间数。3.2.2单目标区间线性规划模型的求解遇到所给出的最优解和最优值是区间数的实际问题屮，常常采用需要具体的 最优方案，基于此，下面给出规划(3-1)的一种新算法。这里讨论求最大值的

16、 情况，求最小值同理。由区间数的运算法则可将(3-1)转化为(3-2)max z -工j=inm 工 c/2®"j=ln工 q内 < hj2j = 1,2,加(3-2)j=l工>bix,i = 1,2,加j=i旺 n 0显=1，2,，加 j = 1,2,j这里，s是下而(3-3)的最优解。min z = cj2xjj=is 工 ciijxj < hi2 j = 1,2,- m(33)>1af/xj xbyi = 1，2,加j=ixj >0,i = 1，2，加,丿=l,2,n.j定理3. 2. 1如果兀是问题(3-2)的最优解，则兀是问题(31)

17、的最优解。其中n兀=(,宀)，z二厶勺兀厂戶1证明：由于xy>0, £scj<£c护j ,设二者的可行集合为f,g,很明显 j=ij=i的guf ,满足(3-2)的可行解一定被包含在(3-1)中，所以上述定理是成立 的。综上，求解区间线性规划模型(3-1)的算法如下算法3. 1：步骤1求出线性规划(3-3)的解s步骤2求解线性规划(3-2),得到问题(3-1)的最优解f及最优值zl数值算例max z = 2.6,3 x, + 5.5,6x2 + 4.4,5x3s.t. xl+x2< 6.4,7+ x2 + x3 < 8,9xj <1,3根据本文

18、所给出的算法先求解下面一个线性规划的最优值max 可=2.6%j +5.5x2 + 4.4x3s.t. xj + x2 > 6.4%! + x2 +> 8x3 > 1%! +x2 <7+ x2 +< 9輕3利用lingo,求得召的最优值为z严47.3,(0,7,2)"接下来求下面的线性规划的最优值：maxz2 = 3x + 6x2 + 5x3s.t. 2.6兀+ 5.5兀2 + 4.4禺 > 47.3xj + x2 > 6.4x, + x2 + x3 > 8导1+ x2 < 7xj + x2 + x3 < 9x3 <

19、3利用lingo求出z2 =52 x； =(0,7,2)j因此0,7,2是最优解，最优值是 z* = 47.3,52.第4章多目标区间线性规划模型的建立及求解这一节我们给岀求解多目标区间数线性规划模型的算法.在算法中，通过引 入满意度函数的概念，得到最优满意度解.多目标区间线性规划模型表示为：z = q 1，1 兀1 + 。2 , %2 兀2卜 kl"，血xnmax<z2 二cd2lk+c22，22x2 + + ，暫=s，如兀+ c2，比2 兀2 + + crn，dmxn坷“+即兀2+ + %£ §血如-2122%" + s2 + + % 

20、7; 打1，饥2 兀，兀2，心no记:a =(知扁c = (c.,6?.), b =(仏胡2,，爲,bm2)t,，/，z = (z,z2,-,zr)r.则上述多目标线性规划可用矩阵形式表示为:max z = cxax<bx>0模糊规划法由于多目标线性规划的目标函数不止一个，要想求得某一个点使得所有 的目标函数都达到各自的最大值,这样的绝对最优解通常是不存在的。因此，在具 体求解时，需要采取折衷的方案,使各冃标函数都尽可能的大。模糊数学规划方法 可对其各目标函数进行模糊化处理，将多目标问题转化为单目标，从而求该问题 的模糊最优解。具体方法如下：先求在约束条件:axb下各个单目标zj

21、= 1,2,厂的最大值z；和最小值 x>0z,伸缩因子为d严z：z；,i = l,2,rmax z = a工 cijxj _ "i 入-z； _ 4 , i = 12 厂>1工伽® 5bk，k = ,2,mj=>0,xpx2,% >0上式为单目标线性规划问题。最后求得模糊最优值为：利用模糊规划法求解区间多目标线性规划模型max将原区间多fi标线性规划问题先拆解为几个单目标问题maxz = q 1，d】1 兀1 + 。12' "12 兀2卜q”'血xnz2=c21,6/21xi+c22,6/22x2+- + c2z?,j2jx

22、?jmax zr =cri, dr x + cr2,岛比 + + f，£e內 + a22x2 + + a2nxn <b2l,b22匕肿+ a.nlx2 + %叫5 纭，饥2 x,x2,-,xn >0再利用文章中给出的求解单目标线性规划的方法分别求出各目标的最大值 z；和最小值z；再确定伸缩因子为a=z：-z,i = l,2,v。本文求解区间多目标线性规划问题的基本步骤为：（1）多目标区间线性规划 问题；（2）求解多个单目标区间线性规划问题；（3）利用区间数的运算规则转换为 一般区间线性规划问题；（4）利用模糊数算法解决该问题。算例：max z =2.6,3西+5.5,6兀

23、2+4.4,5兀3z2 =6,7xj +3,4比+2,3兀3s.t. %! +x2 < 20,30+ x2 + x3 < 45,50 x3 <10,50先分别求两个线性规划的最优解：max z =2.6,3兀+5.5,6 %+4.4,5 £s.t . %)+x2 < 20,30%! + x2 +< 45,50<10,50求得 最优解为(0,30,20),最优值为253,280。当目标函数取最小值时最优解为(30,0,15),最优值为144,165max z2 =6,7x + 3,4 x2 +2,3兀3s.t. % +x2 < 20,30兀+花

24、 +x3 5 45,50 x3 <10,50求得最优解为(30,0,20),最优值为220,270当目标函数为求最小值时最优解为(0,20,25),最优值为110,155. 所以 ,=(136,60).可列出下面线性规划：max z = 2s.t. 3尢1 + 6x2 + 5兀3 136/1 n 144+4乞 +3花 一 602 > 210xj + x2 < 30xl+x2> 20兀+尢2 +兀§ 50%! + x2 + x3 > 45<50x3 > 10qno,兀,勺，£所以原线性规划最优解为x = (20.8,9.1,20)r

25、最优值为189.5,236.第5章线性规划问题在证券投资中的应用在真实的投资环境中，由于社会、经济、文化和心理等诸多因素的影响，使得 证券市场具有很强的不确定性，这种不确定性包含随机性和模糊性。在这个复杂 的金融系统中，由于市场本身的随机性和模糊性以及影响市场变化的各种因素的 模糊性的存在，对于证券的期望收益率、风险损失率和证券的流动性，投资者很 难具体给出一个精确值，而区间方法是处理不确定性风险企业、政府机构之间合 作的桥梁。在证券组合投资问题的研究中，难于用确定的常数来准确反映某证券的期望 收益率与风险损失率。事实上，在现实的证券市场中，由于诸多因素如政治、经 济、社会等因素的影响，导致证

26、券的期望收益率与风险损失率具有较强的模糊不 确定性.因此，在综合分析各因素影响的基础上，对某证券的期望收益率与风险 损失率作出一个在一定精度范围内的估计，故采用区间值模糊数来刻划某证券的 期望收益率与风险损失率，则显得更为科学与合理。实际屮经常把风险证券的收益率，投资风险及证券的流动性用区间数來描述, 并结合绝对偏差风险函数的思想建立了一种关于区间数的证券投资组合选择模 型。最后利用区间数的两种序关系将所提出的模糊线性规划问题转化为普通的参 数线性规划问题进而求其解。下面通过简单实例说明问题下面是一个证券投资的投资项目和收益：2000年1-6月份齐鲁石化，东北高速，武钢股份和东风汽车4种证券的

27、收益和风险损失率变化范围整理成表;证券名称齐鲁石化东北高速武钢股份东风汽车收益波动-0.0138,0.1343-0.0258,0.27670.0339,0.1136-0.0347,0.0867风险损失率0. 0340. 0260.0180. 022依据银行规定去r= 0.20,0.22,利率= 0.05,建立持有期t内证券投资组合的 优化模型为：max z=0.05x(h +-0.038,0.1343 4- -0.0258,0.2767 x2/ +0.0339,0.1136% +-0.0347,0.0867比s.t. 0.034兀 + 0.026x2/ + 0.018x3/ + 0.022心

28、< 0.2,0.22 xoz+xk+x2f+x3z+x4/ = ,xnj >0 (心0,1,4) 先求解下列模型：max z = 0.05x0z - o.o38xh - 0.0258x2/ + 0.0339x3z - 0.0347兀钊s.t. 0.034兀 + 0.026x2z + 0.01 sx3r + 0.022x4f < 0.220.034况 +0.026x2/ +0.018x3/+0.022x4/ >0.2心+旺+占+兀引+乜i，几(/ = 0,l,-4)使用lingo求出max的值s再求max z = 0.05x0z + 0343兀 + 0.2767x2z +

29、0.1136x3/ + 0.0867x4/s.t. 0.05x0z -0.038兀一 0.0258x2/ + 0.0339x3/ - 0.0347x4z > $0.034况 +0.026x2/ +0.018x3/+0.022x4/ <0.220.034旺 + 0.026x2t +0.018兀3$ + 0.022x4/ > 0.2xo/ + xlz + x2/ + x3/ +x4/ =1,兀” >0 (z = 0,l,-4)分别求得极大值和投资数这样就能给出理想的投资方案和最大收益。解得最优解为(0.2, 0.3, 0.4, 0. 1),最大收益值为1.6488.结论区间

30、线性规划也是决策活动中经常碰到的问题，通过某些特殊的方法可以把 这些看似复杂的区间线性规划转换成经典的线性规划并加以解决，由于证券投资 存在风险性所以使用区间线性规划模型合理的规划和分配是十分有必要和合理 的。本文通过给出新算法解决了含有区间数的单目标区间线性规划问题，为解决 线性规划问题提供了新思路和新方法，再结合算例深入阐述了解题过程，同时印 证了揭发的方便性。再利用模糊规划法将多目标问题转化为单目标问题，这就很 好地解决了目标函数之间不能得到同一组最优解可以使得目标函数的值最人的 问题，这样就可以较为方便的解决多fi标区间线性规划问题。证券投资往往是带有风险和不确定性的，区间数的存在加大了证券投资的难 度，这样建立区间西岸行规划模型模型同吋应用在证券投资上可以为证券投资做 出合理的投资方案，使投资人获益更多而且可以尽量降低风险投资。参考文献1 陈希孺，倪国熙.数理统计学教程m.合肥:中国科学技术大学出版社.2010.2 胡宝清，模糊理论基