初三数学寒假课程5(杭州分公司)-探究规律

1、第五讲探究规律教学目标(1) 使学牛掌握规律题的解题方法(2) 使学牛掌握类比、归纳等常用数学思想方法(3) 强化学生的推理能力。教学重点规律题的解题方法；类比、归纳等数学思想方法教学难点规律题的解题方法教学方法建议讲练结合，讲授、讨论结合.选材程度及数量课堂精讲例题搭配课堂训练题课后作业a类(4 )道(5 )道(8 )道b类(4 )道(6 )道(7 )道c类(2 )道(2 )道(3 )道一、知识梳理规律探索型问题是考察学生推理能力的种题冃。推理能力主要表现在：能通过背景材料，进行观察、比较、实验、归纳、类比、抽象和 推理等获得数学猜想，探索数、形及实际问题屮蕴含的关系和规律，增强m用数学的意

2、识, 捉高运川代数知识与方法解决问题的能力.规律题的题型有很多，解题方法也有很多，大致可以分为三类：(1) 数式规律探究(2) 图形规律探究(3) 阅读理解型探究规律二、方法归纳的一般步骤得出结论验证 规 律具 体 问 题四个函数基本模型(1) 一次函数模型(也就是高中学习的等差数列)比如：1、3、5、7、9我们都知道,这组数据的规律是2n-l,而2正是这组数据 屮后一个数减去前一个的差，我们可以把其规律看为:l + 2(n-l) = 2n-l再比如5、9、13、17这组数据的规律是4n+l,4是后项减前项的差,其规律为：5 + 4(n-l) = 4n + l所以，如果一组数据具有后项减询项的

3、差恒定的特点，则属于一次函数模型，即： apa2-an 的规律为：a, +d(n-l),其中d = an -an_,(2) 幕函数模型(也就是高屮学的等比数列)比如1,丄丄丄这组数据的规律为:(丄)z,其中丄是后项与前项的比值,我们可2 4 822以把其规律看为：1x(丄)"=(丄严2 2再比如:3, 1丄丄这组数据的规律为：(-)n2,其中丄是后项与前项的比值,3 933我们可以把其规律看为：3x(l)z=(丄严23 3所以，如果一组数据具冇后项与前项的比值恒定的特点，则属于幕函数模型，即： apa9-an 的规律为：aq*1-1,其中q = 2-an-i(3) 二次函数模型比如：

4、2,6,12,20-这组数据的规律为:n2+n,我们发现，这组数据的后项与前项的 差和比值都不是确定的值，但是我们发现，他们的差是：4,6,8是属于一次函数模型的，这 个特点是判断一组数据是否是二次函数模型的唯一标准，uu：后项与丽项的差是一次函数模 型。对于规律的求解，如果学生的能力足够强，当然可以看出其规律是：n(n + l) = n2 + n, 但是，不是所有的学牛都可以看出來，下面我介绍一种方法，虽然有些麻烦，但比较实用。 当我们判断出一组数据是二次函数规律后，比如2,6,12,20-我们可以按顺序看成是若t个 点：(1, 2)、(2, 6)、(3, 12)、(4, 20)取前三个点代

5、入y = an2+bn + c 即可,a + b + c = 2即j 4a + 2b + c = 6 ,两两相减即町得至u：9a + 3b + c = 12即：n2+n(4) 周期函数比如：2、4、8、6、2、4、8、6,这组数据是以2、4、8、6为循环节的周期函数, 如呆要知道第n个数字是儿，只要用n除以循环节4,所得的余数所对应的数字即为所求， 例如，我们想知道第11个数字是几，只要用11除以4所得余数为3,所以第11个数字是 &三、课堂精讲例题(-)数式规律探究例1、有一组数：1, 2, 5, 10, 17, 26,，请观察这组数的构成规律，用你发现的规 律确定第8个数为【难度分

6、级】a类k试题来源2007辽宁沈阳中考真题k选题意图u函数基本模烈(二次函数)的应用k解题思路很明显町以发现后项与前项的差为：1、3、5、7、9,是二次函数模型的标志 特征，利用二次函数模型即可算出其规律为：几2一2 + 2,把斤=8带入，就可以求出笫8 个数为50,当然，由于此题只是计算第8个数字，也可以利用后项与前项的差按2递增的 特点算出第8个数字k答案1 50例2、按一定规律排列的一列数依次为？，,，按此规律排列下去, 38152435这列数的第个数是 （/?是正整数）.【难度分级】a类k试题来源d 2007广西钦州课改中考真题k选题意图u函数垄本模型（二次函数）的应川k解题思路对于分

7、数类的数字型规律题，我们一般把分母、分子分开寻找其规律。对于 本题，分子和分母都是二次函数模型。在此思路的基础上，我们很容易发现分子的规律是: 川+1，而分母的规律是：5+1）2-1222 f答案：；（写成或均可）（/? + 1）-1zt + 2n n（n + 2）【搭配课堂训练题】1、观察下列一组数：丄，色，丄，2,，它们是按一定规律排列的.那么这一组数2468的第&个数是.【难度分级】a类k试题来源2009年龙岩中考试题a. 22007 b. 22007 -1c.22008d. 22006k答案兰二！【难度分级】a类k试题来源2007湖南张家界课改屮考试题k答案h c例3、将杨粋三

8、角中的每一个数都换成分数，得到一个如图4所示的分数三角形，称莱布尼茨三角形.若用有序实数对()表示和行，从左到右笫n个数，如(4, 3)表示分数0那么(9, 2)表示的分数是1 d1第1行q11d2p2第2行a111卩 a 4第3行“3631"1 12112p124第4行卩 图1【难度分级】b类k试题来源2008恩施白治州小考真题k选题意图u让学化明口：解规律题也要注意出题的背景k解题思路11此题的巧景是杨辉三角，而杨辉三角的特点是下而的数字是上面两个数字的和,上面的数字却是下面两而在此题中，我们发现下面的数字并不是上面两个数字的和，但是, 个数字的和，根据此规律，我们即可得到答案：

9、72 k答案h丄1图272【搭配课堂训练题】1、观察数表根据表中数的排列规律，则字母4所表示的数是第一列 第二列 第三列 第四列第石刿第一行1*>t1? y第二行4 3vvv611181l1第三行9-<8 <v- 7|2学第四行第齐行1615 <14 i?y2524 23 22 21图3【难度分级】b类k试题来源2009年广西南宁中考真题k选题意图11考查学生观察、分析、归纳、总结材料的能力k解题思路解决此题的关键点有两个，1：笫一列上的数字都是卅，2：在1的基础上， 发现对角线上的数字是:n2-n + l,在此基础上，要解决第20行，第21列的数字是儿的 问题,只需要

10、计算出21行,21列的数字,然后再减去1,即可。【答案】420【搭配课堂训练题】1、将正偶数按下表排成五列：第1列第2列第3列第4列第5列第1行2468笫2行16141210第3行182022242826根据上而排列规律，则2000应在（）a. 第125行第1列 b.第125行第2列 c.第250行第1列 d.第250行第2列【难度分级】b类k试题来源u 2001年荆州中考试题k答案h c例5、观察下列算式，用你所发现的规律得出22°|°的末位数字是（）21 = 2, 2?=4 , 23 = 8 , 24 =16 , 232, 26 =64, 27 =128, 2256a.

11、 2b. 4c. 6d. 8【难度分级】a类k试题來源h 2010广东深圳中考真题k选题意图有寻环节的规律题的解题方法k解题思路很明显，此题以：2、4、8、6为一个循环，将2010除以4,余2,则答案为4【答案】b【搭配课堂训练题】1、下面两个多位数1248624、6248624,都是按照如下方法得到的:将第一位数字 乘以2,若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位。对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字，后面的每一位数字都是由前一位数字进 行如上操作得到的。当第1位数字是3吋，仍按如上操作得到-个多位数，则这个多位数前 100位的所有数字z和是()a) 495

12、 b) 497 c) 501 d) 503【难度分级】b类k试题來源2010安徽省屮考试题k答案a(-)图形规律探究例6、王嬪同学用火柴棒摆成如下的三个“中”字形图案，依此规律，笫n个“中”字形图 案需根火柴棒.i中匚q匚斗二z1i(i)i(2)冲(3)【难度分级】a类k试题来源2009年娄底中考真题k选题意图函数模型的应用(一次函数)k解题思路三个图形中的火柴根数分别为：9、15、21,很明显是一次函数模型。【答案】6n+3例7、古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状來研究数，例如：13610图514916图6他们研究过图1中的1, 3, 6, 10,，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三

13、角形数; 类似地，称图2中的1, 4, 9, 16,，这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是 正方形数的是(a) 15(b) 25(0) 55(d) 1225【难度分级】b类k试题来源2010山东日照中考真题k选题意图*1数模型的应用（二次函数）1 °k解题思路首先得出图1及图2的规律分别为：s + 1）,加2,所以排除选项a、c,2乂因为方程（77 4-1） = 25没有正整数解，所以也排除，所以选d【答案】d例8、在平而直角处标系中，正方形abcd的位置如图所示，点a的他标为（1, 0）,点d的坐标为（0, 2）.延长cb交x轴于点ai，作正方形&1bgc；延长cb

14、i交x轴于点金，作正方形a2b2c2c1.这样的规律进行下去第2010个正方形的面积为（0图73、2009（9層了9、2008(3a. 5b. 5c. 5d. 5 -<2;jja匕丿4018【难度分级】b类k试题来源2010山东威海屮考真题k选题意图函数模型的应用（幕函数）k解题思路根据相似三角形的判定原理，得出dao aa,b a.b,得到第二个 正方形的边长为：丄厉，同理可得第三个正方形的边长为：-v5 ,考虑到第一个正方形2 4的边长为亦，可以发现，这是一个幕函数模型。【答案】d【搭配课堂训练题】1. 观察下列图形，则第川个图形中三角形的个数是（）第1个第2个第3个b. 4n +

15、4c. 4/2 - 4d. 4/1【难度分级】a类k试题来源2009年重庆中考试题2、古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10.这样的数称为“三角形数”,而把1、4、9.16 .这样的数称为“正方形数”从图8中可以发现，任何一个人于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和.卜列等式中，符合这一规律的是（）4=1+3a.c.9=3+616=6+10图813 = 3+1036 = 15+21b. 25 = 9+16d. 49 = 18+31【难度分级】b类k试题来源2009年河北山考试题3、正方形aibicio, a2b2c2c19 a3b3c3c29按如图所示的方式放置点几a2,务

16、 和点cp c2, c3,分别在直线y = kx + b a>0）和x轴上,己知点81（1, 1）, 82（3，2）,则bn的坐标是.【难度分级】c类k试题来源2009年fi照中考试题k 答案 h （21,2心）.4、如图，已知rtaabc,卩是斜边ab的中点，过卩作d百丄ac于厶，连结3厶交el e2 e3图10c®于d2 ；过0作p坊丄ac于坨，连结交c®于2；过2作d3e3丄ac于坊，,如此 继续，可以依次得到点£>4，2,，d”,分别记 /bde9/bd2e2bd3e3, /bdnen 的而积 为s, s29 s3, stl.mysn =smb

17、c （用含 "的代数式表示）.【难度分级】c类k试题来源2009年湖州小考试题5、（2010江苏扬州）电了跳蚤游戏盘是如图所示的abc, ab=6fac=7f bc=8.如果跳蚤开始时在bc边的p°处,bp0=2.跳蚤第一步从po跳到ac边的pi （第一次落点）处，且cp讦cp。；第二步从pi跳到ab边的p2 （第一次落点）处,且ap2=ap1；第三步从p2跳到bc边的內（第三次落点）处,且bp3=bp2； .；跳蚤按上述规则一致跳下去，笫门次落点为pn （n为正整数），则点p2007与p2oioz间的距离为（）a. 1b. 2c. 3d. 4【难度分级】b类k试题来源h

18、2010江苏扬州中考试题k答案c（三）阅读理解型探究规律例9、定义一种对正幣数n的“f运算”：当n为奇数时，结果为3n +5 ；当门为偶数时, 结果为斗（其中k是使斗为奇数的正整数），并且运算重复进行.例如，hxn = 26,贝ij：若n = 449,则第449次“f运算”的结果是.【难度分级】c类k试题来源2006浙江嘉兴中考真题k选题意图使学牛:明口与阅读理解题相关的规律题应如何解决。k解题思路d首现应读懂“f运算”是如何定义的，接下来，利用题h所给出的例子，检验自己所理解的“f运算”是否真确，最后在把n = 449代入计算。k答案1木题提供的“f运算”，需要对正幣数n分情况（奇数、偶数）

19、循环计算，由于n二449为奇数应先进行f运算，即 3x449+5=1352 （偶数）,需再进行f运算，即 13524-23=169 （奇数），再进行f运算，得到3x169+5=512 （偶数），再进行f运算,bp 5124-29=1 （奇数）,再进行f运算，得到3x 1+5=8 （偶数），再进行f运算,即84-23=1,再进行f运算,得到3xl+5=8 （偶数）,，即第1次运算结果为1352,，第4次运算结果为1,第5次运算结果为8,，可以发现第6次运算结來为1,第7次运算结果为8,从笫6次运算结果开始循环，h奇数次运算的结果为8,偶数次为1,而笫499次是奇数， 这样循坏计算一直到第449次

20、“f运算”，得到的结果为8.故木题答案为：8例10、阅读下列材料：1x2 = 1 (1x2x30x1x2),32x3 = - (2x3x4-1x2x3),33x4 = - (3x4x5-2x3x4),3由以上三个等式相加，可得1x2 + 2x34-3x4= - x3x4x5 = 20. 3读完以上材料，请你计算下列各题：(1) 1x2 + 2x3 + 3x4+- + 10x11 (写出过程)；(2) 1x2 + 2x3 + 3x4+- + nx(n + l)=(3) 1x2x3 + 2x3x4+3x4x5 + - + 7x8x9 = .【难度分级】c类k试题来源2010广东汕头中考真题k选题意

21、图11强化学生对解题方法的理解k解题思路本题第一、二相对比较简单，只要能读懂材料，再利用材料所给出的规律，一般可以顺利得出答案；第三问比较难，需要学生在所给规律的基础上，得出新的规律:n(n + l)(n + 2) =-n(n + l)(n + 2)(n + 3) 一 (n 一 l)n(n + l)(n + 2)【答案】解：(1) 1x2 + 2x3 + 3x4-40x11= -(lx2x3-ox lx2)+-(2x3x4-lx2x3)+-+-(10x11x12-9x10x11)333= -xl0xllxl23=440.(2) n(n + l)(zz + 2)(3) ix2x3 + 2x3x4

22、 + 3x4x5 + + 7x8x9二丄(ix2x3x4-oxlx2x3) + 丄(2x3x4x5 ix2x3x4)4 4+-+-(7x8x9xl0-6x7x8x9)=-x7x8x9xlo4=1260【搭配课堂训练题】1、符号“厂表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1） f（1）=0» f（2） = 1» f g丿=2, f（4> = 3» f! =2,=3,几=4,/ =5 ww （?利用以上规律计算：f |一人2010）=【难度分级】b类k试题来源h 2010四川巴中中考试题k答案12、观察下列等式11 1 _ 1 1 1 _ 1 1 丽"

23、;一丁条t厂3'衣t3v'将以上三个等式两边分别相加得： 丄+丄+丄=i一丄+丄一丄+丄一丄=i一丄=31x2 2x3 3x42 2 3 3 444（1）猜想并写出：一!=.n（n +1）（2）直接写出下列各式的计算结果：宀 111 11x2 2x3 3x42006x2007丄+丄+丄+1x22x33x4n(n +1)（3）探究并计算：i11111.2x4 4x6 6x82006x2008【难度分级】b类k试题来源2007湖南邵阳课改屮考试题解：(1)-一一n 72 + 1200620071-一 或丄n+1n+（3）原式冷(11 + 2<1i1 + 2<1if h2

24、l4 j<46 j<68 j11l1114- 4-114i46i6i8200620081、2006 2008)£22<2 2008丿 10034016四. 巩固练习基础训练题（a类）1、（2009年广州市）如图，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是，笫个“广”字中的棋子个数是 图12【答案】15, 2n»52、（2009年益阳市）图13是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第5是正整数）个图案屮由个基础图形组成.(1)(2)(3)图13【答案】3n+l3、（2008

25、年贵阳市）符号表示种运算，它对一些数的运算结杲如下:/(1) = 0, /=1, /(3) = 2, /=3,=4, f=5, 利用以上规律计算：f2008-/(2008)【答案】14、（2009年广西钦州）一组按一定规律排列的式子：一亍a5 _ o't,，（<3工0）则第刃个式子是（刀为正整数）.31【答案】（-1）2521n5、（2。7四川自贡）-个叫巴尔末的中学教师成功地从光谱数磅,1|得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律，写出第/?（/7>1）个数 据是【答案】心亡或e?2n(n + 4)(/? + 2)_ -46、（2007江苏扬州课改）有一

26、列数q,勺，鸟，5,从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若=2,贝陀2007为（）a. 2007b. 2 c. - d. -12【答案】d7、（2007广西河池课改）古希腊数学家把1, 3, 6, 10, 15, 21,，叫做三角形数，根据它的规律，则第100个三角形数为笫98个三角形数的差为.【答案】1998、（2009武汉）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，依次规律，笫6个图形有个小圆.ooooooo oooooooooooocooooo ooooo ooooo oo

27、ooo o<oo oooooo oooooo第1个图形第2个图形笫3个图形第4个图形【答案】46提高训练（b类）1、（2009年江苏省）下面是按一定规律排列的一列数:第1个数:第2个数：-3第3个数：-41 +1 +6丿i (-1)八1 +那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数小，最人的数是（）a.第10个数b. 第11个数c. 第12个数d. 第13个数【答案】a2、（2008年广东湛江市）先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题.1x221_ 112x3231_ 113x4一34计算丄+丄+丄+丄+丄=1x2 2x3 3x4 4x5 5x6 (2)探究丄+丄+丄

28、+ 1 =.(用含有斤的式子表示)1x2 2x3 3x4n(n + l)(3)若 + + +1x3 3x5 5x71 2 1)(2斤 + 1)的值为艮,求的值【答案】（1）-63 t3 + 35 + 57+* (21)(2 +1)=1(1_1) + 1(1_1) + 1(1_1)+ + 丄亠亠232 352 572 2/? -12« + 1二丄(1)=22/1 + 1 in +1n 17由=解得n=172n + 35/r(4,3)?(巳3)t !(4,2)(5,2)：(2,l)f(3,l)： (4,l)f (5,1)° (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (5,

29、0)图14经检验 =17是方程的根，n = 173、(2007四川德阳课改)如图，在平面直角坐 标系中，有若干个整数点，其顺序按图屮“t” 方向排列,如(1, 0), (2, 0), (2, 1), (3, 2), (3, 1), (3, 0)根据这个规律探索可 得，第100个点的坐标为.【答案】(14,8)4、(2009仙桃)如图所示，直线y=x+l与y轴相交于点血，以0a】为边作正方形0abg, 记作第一个正方形；然后延长cb与直线y=x + l相交于点a2,再以cjv为边作正方形 ca2b2c2,记作第二个正方形；同样延长c2b2与直线y=x+l相交于点仏，再以c2a3为边作正 方形ca

30、b3c3,记作第三个正方形；依此类推，则第n个正方形的边长为.【答案】n图165、(2010黑龙江绥化)如图，在平面直角坐标系中，边长为1 的正方形oaibic的对角线aic和ob】交于点mi；以ma为对 角线作第二个正方形a2a1b2m1，对角线am和a2b2交于点“2；以m2a1为对角线作第三个正方形a3a1b3m2,对角线am?和a3b3交于点ms；.依此类推,这样作的第n个正方形对角线交点mn的坐标为【答案】t图17c企，贝 lj ca1=【答案】6、（2009年泸州）如图,已知rtaabc中,ac=3,bc=4,过直角顶点c作cai丄ab,垂足为a】，再过 %作ac丄bc,垂足为c,

31、过ci作ca丄ab,垂 足为a?,再过a?作a2c2丄bc,垂足为c2，这 样一直做下去，得到了一组线段ca】，a©,125【答案】,5 47、（2009 hji'j水市）如图，图是一块边长为1,周长记为pi的正三角形纸板，沿图的底边剪去一块边长为丄的正三角形纸板后得到图,然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三2角形纸板（即其边长为而一块被剪掉正三角形纸板边长的丄）后，得图，记第2综合迁移（c类）1、（2010湖北十垠）如图，门+1个上底、两腰长皆为1,下底长为2的等腰梯形的下底均在 同一直线上，设四边形pimimm面积为s,四边形p2m2n2n3的面积为s2，,四边形pna4

32、na/n/vn+1的面积记为sn，通过逐一计算s, s2,，可得sn二图19【答案】迥一丄.更4 2n + l 42、(2010浙江嘉兴)如图，已知o0的半径为1, pq是o0的直径，门个相同的正三角形沿 pq排成一列，所有正三角形都关于pq对称，其屮第一个的顶点a】与点p重合，第二个 a2b2c2的顶点每是qc】与pq的交点，最后一个厶anbncn的顶点c“在图20图21图22(1)如图21,当,7=1时，求止三角形的边长山;(2)如图22,当= 2 求正三角形的边长也；(3)如图20,求正三角形的边长(用含门的代数式表示).【答案】(2)设pq与bc交于点d,连结ob】，图23则 od = ald-oa在ob =bd2 +od2 ,即 2 ="2 +- 1）2 '解得=v3 -（2）设pq与b2c2交于点f，连结ob?,贝lj oe = 2aja2 - 0/41 =观a2 - 1，在 rta0b2e 中 ob? = b2e2 + oe2 ,即 1? = ()2 +,2