分形理论在多孔介质流动分析中的应用

1、2 0 o 4 年 8 月 journal of university of science and technology of china aug. 2004文章编号 >0253-2778(2004)增 425746分形理论在多孔介质流动分析中的应用同登科1，王永红2（1.石油大学（华东），山东东营257061 ；2.胜利油田总机械厂，山东东营257068）摘要：对多孔介质分数维流动的研究进展加以综述和讨论，并提出了进一步深入研究 的方向，主要讨论了分形油藏渗流理论及其在油气田开发和地热开发中的应用，分数 维广义流动理论及其在地下水力学中的应用和广义分形介质流动理论研究，多孔介 质中分

2、数维多相流动理论及其应用和分形油藏试井分析进一步研究，将是值得重视 的一个方向.关键词：多孔介质;分数维；分形油藏;试井分析中图分类号:te§1文献标识码:a卜0引言多孔介质流动理论的研究对土木工程，地下水资源开发，地热资源的利用，水利工程（如河坝设计），环境工程（污物对饮用水的污染）石油及天然气的开发和核废料处理工程 都有重要的理论价值和实用价值,而传统的研究方法都采用均质手段或拟均质处理方法.但 随着生产的发展，各行各业都出现了大量的非均质流动,现场监测发现在多变的裂缝介质中 存在多标度,原有的模型不能捕获这个重要的自相似特性,无法匹配现场的测试数据,这就 需要寻找另外的模型代替

3、它,80年代,mandelbrot提出的分形理论为模拟这种系统提供了 很好的工具为了发展新模型解释任何传统模型无法匹配的压力测试数据，在1988年前后, 从不同的国度27（美国、英国、俄罗斯），基于不同的物理背景相继提出了三种不同的分数 维流动模型经过十几年来学者们的努力，已形成了初步系统的框架多孔介质分数维流动 的研究不仅为分形理论研究提供了物理和工程背景，也给渗流力学提供了一个新的视角.1分形油藏流动分析1988年,在美国chang和yortsos建立了分形油气藏流动的理论模型，在这个模型中, 裂缝-岩块系统中的裂缝网络用分形来描述其特征，使得能够分析裂缝系统中的水动力响 应.分形几何用来

4、分析压力瞬时动态是对物理学家研究无序介质和分形体上的扩散结果的 推广2®因为流体在多孔介质中的流动压力满足扩散方程，在分形体上扩散的标度原理可基金项目：山东省自然科学基金资助（y2003f01）项目 作者简介：同登科，男，1963年生，博士,教授.类似地用于流体通过多孔介质中的流动，在井的供油区,分形模型的接受就意味着孔隙度和 渗透率分布依赖于井眼距离r的幕律关系，在chang和yortsos2模型中地层是由分形维数 为df的分形裂缝网络嵌入到d维欧几里得岩块中，渗流只发生在分形裂缝网络中,标度为r 的区域内的裂缝网络的平均孔隙度和渗透率按照r的無律方式变化根据分形油藏特征， cha

5、ng和yortsos导出了单重分形介质无因次形式广义流动方程，利用相似变换给岀了无 限大地层线源井解.在压力曲线双对数图中是斜率为1 - 5的直线，这个特征成为识别油藏 的最初的诊断工具，分形结构能从导数图中更清楚地识别，即dln? /dint与血图中，曲线将 逐渐趋于1- 5«chang和yortsos的理论模型对于无限油藏线源井生产情况被acuna应用到geysers自 然裂缝地热矿的试井数据，解释了自然裂缝地热矿的分形特征.在后来的研究中，acu na讨论了 chang和yortsos的分形压力不稳定分析模型的各种诊断技巧的应用，而且提出 了分形系统压力和压力导数响应的长时动态

6、的讨论周德华从理论上将稳定试井和不稳定 试井方法相结合给出了求取分形油藏各类分形参数方法及相关参数的试井解释方法和模式 识别方法.同登科叫对chang和yortsos模型进行了解析研究，分别给岀了圆柱面源 井定产量生产时无限大地层的精确解，并推广了 hankel变换用来求解有界地层分形油藏的 解，同时还考虑了续流和表皮效应的影响,各种情况的解析解均被求岀，分形参数对压力变 化的影响还是被讨论分形油气藏考虑井筒相重新分布的压力解及动态特征也已获得.chang和yortsos还给出了双孔隙度分形油藏的拟稳态流动模型,利用数值方法求解了 无限大地层定产量生产双孔隙度分形油藏模型同登科讨论了双孔隙度分

7、形油藏模型 在几种特殊情况的解析解，并用拉氏数值反演方法构造了典型压力曲线图版.01arewaju15研究双重介质瞬变介质间流动的分形油藏模型，利用laplace变换求出了 模型的拉氏空间解，使用压力不稳定数据建立流动模拟的非均质油藏渗透率场，借助于试井 分析、条件模拟和分形插值获得有效渗透律和分形维数这个模型比业已存在的其他模型更 合适,因为考虑了裂缝系统的不规则性和随机性因而这个模型更适合计算机试井分析.beierl6给出了 chang和yortsos模型的推广,beier的模型特别应用到包含分形渗透 网的圆柱对称油藏中的牛顿流体,他还选择了分形油藏压力不稳定方程在形式上需要井眼 附近的渗

8、透率和孔隙度的估计，适当的选择无因次变量恥匾导岀的方程与chang和yort- sos所解的方程之一十分相似，这些方程之间的主要差别在于他们在各自的研究中定义的无 因次变量不同，beiei还给岀了 new mexico东南gray burg和san andres地层的一些油田现 场测试数据明显地不能与传统模型的解匹配，而用beiei的分形模型却能对现场数据提 供一个很好的定量分析.beier模型在无穷大地层、有界封闭地层和有界定压地层定产量生 产时的精确解借助于拉普拉斯变换被求出，beier分析了分形油藏垂直裂缝井的压力 响应模型，而且证明了在这样的系统中早期线性流动时,压力和压力导数与时间的

9、双对数图 中斜率大于1/2,在这个试井模型中，忽略了井眼存储效应，他认为均质油藏模型不能解释 这种异常压力不稳定动态.对于非牛顿幕律液在分形油藏中的径向流动，chakrabarty31给出流动方程，利用 laplace变换得出方程在无限大地层线源井定产量生产时的实空间解和圆柱面源井的拉氏 空间解及长时和短时解对于有限分形油藏非牛顿幕律液径向流，各种情况的拉氏空间解均被求岀，并利用拉氏数值反演stehfest方法讨论各种参数对系统的敏感性匈.在随后的研究 中，这些模型的实空间解析解还是被获得,利用井眼定流量生产长时压降数据和定压生产长 时流量数据可计算幕律液的流动动态指数n和分形介质的谱维数ds

10、也.对于分形油藏非牛顿松弛粘弹性液也得到广泛研究】，引进了一类新的正交变换, 并利用laplace - weber变换和拉氏-正交变换给出了方程在无限大地层和有界地层的精 确解和渐进解，分析了分形油藏非牛顿松弛粘弹性液的流动特征续流和表皮效应的影响还 是被考虑.对于分形油藏非达西低速渗流还是被研究7,无限大地层的牛顿流体的精确解被求 出，且考虑了续流和表皮效应的影响，对于非牛顿幕律液也得到了讨论.1=刘慈群给出了分形油藏孔隙度和渗透率的另一种表达式，利用影响半径的概念和积分 法得到了方程的近似解，诊断曲线呈幕律指数型.李凡华和刘慈群给出了方程在等压 或不渗透外边界条件下包含井筒储集和表皮效应的

11、拉氏空间解，讨论了孔隙度和渗透率谱 指数及井筒储集系数、表皮因子对井底压力的影响，并求得了不渗透边界到达井底后双对数 曲线上出现的直线斜率为1.对于此类模型在双重介质中的情况也得到了讨论，但在这里假 设了裂缝和基质的分维相同，对双渗模型还假设了裂缝和基质有相同的谱指数ook，研究 了双渗、双孔分形介质中瞬时压力特征对于双层分形油藏仍然假设了两层具有相同的孔隙 度和渗透率谱指数，得到了考虑和不考虑井筒存储和表皮效应时的不同内边界条件下的 拉氏空间的解，讨论了在不考虑井储和表皮效应时的解的特征.李凡华和刘慈群提出了分形油藏中有限垂直裂缝井的非牛顿流的数学模型，用影响 椭圆和平均值方法求其近似解，分

12、析了流动特征，得出流态可分为4个阶段：开始时的裂缝 内线性流，早期的双线性流,中期的质量交换压力平缓过渡阶段，晚期的平均双重介质径向 流阶段随后他们还研究了分形油藏中无限垂直裂缝井的非牛顿流渗流规律.f ii对于多井情况和干扰试井,chang和yortsos提出的green函数法可能适用，但green 函数的表达式未能求出.aprilian等人】基于chang和yortsos的分形模型导出了干扰试井 分形模型，用井间距代替模型解中的5，并对印度尼西亚kamojang地热矿使用分形模型生 成典型曲线图版，通过拟合的办法求得了地层的传导率、储存系数等，而且反求得矿藏的分 维得到了比任何传统模型都好

13、得多的匹配.poon1341提出油带具有分形结构的岩石和流动特性分布的复合油藏模型，使用拉氏数值 反演方法得到了压力曲线,这个试井模型可应用于注蒸气井和注空气井的传导中模拟压力 动态，由于续流和表皮效应的影响,压降试井中早期不稳定压力数据是含糊的，在续流阶段 结束时，第一个半对数直线在波及带中的拟径向流时观察到，而在油带中岩石和流体特性的 分形特征可利用压降测试数据，并从压力和时间的双对数直线斜率中得到.acuna352结合断层理论和分形几何中的迭代函数系统概念借助于数值方法重构了裂缝 油藏的裂缝网展现标度范围内的自相似形态，可根据不同的需要构造出不同分维的分形油 藏模型对这种网中的单相不稳定

14、流动的数值模拟进行了描述，作者发现有限分形压力不稳 定响应呈现chang和yortsos假设在试井位置附近存在质量-半径無律关系的解析预测的 形态提供了利用分形压力不稳定理论分析裂缝系统的实际试井资料的例子.2分数维广义径向谎动模型1988年，在英国，barker提出了广义径向流动模型，自从这个模型提岀以来,科学家们在水文地质和环境工程中找到了十分重要的实际用途他对均质和各向同性裂缝介质在 水力测试期间的不稳定流动拓展了他的模型，在barker的模型中，假定了垂直流动表面区 域随着到源的中心距离的幕律方式变化的情况下发展了广义流动方程，理论上，这就等价于 假定了传导率和存储系数依赖于半径具有同

15、一指数的無律关系，所以扩散系数没有空间依 赖性利用laplace变换得到了标准条件测试、常率测试、常压测试和段塞测试的数学解.在 后来的研究中,doe36在考虑了能够引起流动区域与半径的幕律变化的供油体积的特殊形 状下推广了 barker的模型，并给出了 barker分数维理论在常压试井中的应用,barker分数维模型实际上已经成功地应用于不同的现场水压测试数据的匹配，而这些数据根本不能用 传统的压力不稳定模型来匹配.barker的模型还被bangoy成功地用来分析裂缝花岗岩和 裂缝碳酸岩含水层的压力不稳定动态.chakrabarty38j介绍了 barker模型在定产量生产干扰试井中分数维分

16、析的一个新的途径，生产井和观测井的数据可以通过直线图的手段来分析, 而不需要典型曲线匹配，随着生产井的现场数据的试井分析,流维数zi能够被计算,利用流 维数值，裂缝介质的广义存储系数和传导系数可利用直线的斜率和截距得到.hamm和bidaux将barker模型推广到warren - root拟稳态双重介质模型，求得了拉氏 空间的解，给出典型压力曲线图版l随后hamm和bidaux1401给出了双重孔隙度瞬变介质间流动的分数维流动模型，考虑了裂缝和介质间的表皮，应用laplace变换求出了 laplace111空间中的解析解，通过laplace数值反演stehfest方法进行数值计算，给出不同流

17、维数n的典 型曲线图版，使用这个模型解释了现场实例，理论压降曲线和现场数据达到了很好的一致.3 dinariev广义流动模型dinariev假设裂缝形成了一个h ausdorff维数为右的分形嵌入维数为d （dmdf,d = 2 或3）的连续多孔介质，给出了裂缝介质的流动方程为也- 治f饕）+补曲2 -叽）厂drdr fjm 】云=eh其中，e = d= 1,2）分别是流体在裂缝和基质中的密度,®是裂缝开度的几何特too时的流体的密度），将流动方程线性化，进而征因子,®是基质的孔隙度，“（i = 1,2）分别是裂缝和基质的压力是形状因子,曲 = 弓,/）是i - 1维单位球

18、的面积通过引入辅助函数给出了稳态问题的精确解,对于非稳态过 程假设玄=3 -pj/pg < < 为厂 利用fourier变换给岀几种特殊情况的精确解.dinariev对他的模型作了推广,假设在分形介质中成立广义darcy定律jn =pdpa其中 < 可以是分数或整数，导出了分形介质广义流动模型，研究了一些特殊情况的渐进解. 周德华基于dinariev分形模型,建立了非均质油藏的基本产能方程，导出了不同形态的油相相对渗透率曲线下水驱分形非均质油藏产能变化规律的方程式，并结合分形地质 统计学进行了应用研究，结果表明，由于利用分形描述油藏的非均质效应，所以预测结果更 为合理可靠.4

19、结论与展望利用分形几何进行渗流力学研究就提高了人们对多孔介质、几何尺寸（如裂缝稠度、裂 缝尺寸）进行识别和认识能力，这是只用物理参数（k, <|）传统表示方法所不及的而均质油 藏是分形油藏的特例这说明分形油藏的渗流研究具有重要的理论意义和实际意义，并已得 到了广泛的应用然而，分形油藏流动分析也存在着一些亟待解决的问题，主要表现在以下 几个方面：（i ）不借助其它手段仅靠压力不稳定测试数据不能同时识别心#，而只能得到 它们之间的一个关系式，如何用动态方法识别§,&；（ u ）如何将单井方法推广到多井情况 和干扰试井；（ii）研究（barker （ 1988）分数维介质理论

20、和分形油藏（chang and yortsos （1988）渗流理论之间的关系的理解；（w）研究分形油藏达西渗流、非达西渗流和非牛顿幕 律流的自由边值问题（或称为固结问题）;（v）多孔介质中分数维多相流动理论及其应用研 究；（vi）分形油藏试井理论及其应用的进一步研究.石油大学,1997.参考文献1 mandelbrot b b. the fractal geometry of naturem san francisco、freeman ： 1983 11同登科，葛家理，孙若冰.天然气工业,2 chang j c, yortsos y c. spe formation eval1997,17(

21、1) ：55 -57.uation, 1990,5(l)：31 -38.12同登科，葛家理分形油藏不稳定渗流问题3 barker j a< water resource research, 19881的精确解j力学学报j9930(5) ：62124(10)：1286 - 1303.-626.4 dinariev 0 yu. flow in a fractured medium with fractal fracture geometry j fluid dy同登科，陈钦雷葛家理第十三届全国水动力学研讨会文集c .北京:海洋出版社,namics, 1990,25(5) ：704 -708.

22、50shaughnessy b, procaccia l phys. rev. a,1985,32(5)：3 073 -3 083.r 6 orbach r. science, 1986,231 (21)： 814 一1999.7 acuna j a, et al fractal analysis of pressure transients in the geysers geothermal field, paper presented at the 17lh annual workshop geothermal reservoir engineering j january 29 

23、1; 31 stanford , c a, 1992.8 acuna j a, ef a/ . spe formation evaluation, 1995,10(3)：173 - 179.14同登科，陈钦雷石油学报,2001,22（3）：58_6215 olarewaju j. , spe36207,1996.16 beier r a, cim/spe papei90 -4, in the1990 international fechnical meeting of thespe. calgary,june ,1990.17同登科，陈钦雷水动力研究与进展,a辑,1999,14(2) ：201

24、 -209.18 beier r a, spe 20582, 1990.19 chakrabarty c s. no. cim 93 -06 1993 annu-al technical meeting of the petroleum society9周德华分形油藏试井分析理论探索d.u!of cim.10川：西南石油学院，1995.同登科分形油藏渗流力学研究d.北京:20 chakrabarty c s. pressure transient analysisof non 一 newtonian power 一 law fluid flow infractal reservoir. ph.

25、 d. thesis university ofalberta, canda ,1993.21同登科，王瑞和水动力研究与进展,a辑,2000,15(3) ：201 -209.22 chakrabarty c s. farouqoli m . tortike ws. spe 26910, 1993.23 同登科，陈钦雷应用数学和力学，1999,20(12):1267-1274.24 tong dengke, chen qinlei, ge jiali. spe 50914, 1998.25 同登科，葛家理水动力研究与进展ja 辑,1997,12(3) ：257 -264.26 同登科，葛家理，姚

26、约东石油大学学报,32 chang j c, yortsos y c. spe advance tech-nology series, 1993,1(2) ：170 - 171.33 aprilian s, abdassah d, mucharan l, et al.spe26465, 1993.34 poon d cim/spe paper. no. cim 95 -34 1995annual technicxal meeting of the petroleum society of cim*35 acuna j a, yortsos y c. water resources res. 1

27、995,31(3):527-540.36 doe, t w, spe 22702.37bangoy l m, et al.(1):77 -88.hydrol. , 1992, 131998,22(3):56-59.38 chakrabarty c, water resour. res. 1994,3027刘慈群分维油藏压力动态特征j 油气井测试,1996,5(1):1 -3.28李凡华.分形油藏中不定常渗流理论研究d.廊坊冲科院渗流所,1997.(7):2339 -2341.39 hamm s y, bidaux p. j eng j . geol korean soc. eng. ged.

28、1994,4(2) ： 127 - 138.40 j hamm s y, bidaux p. water resour. res.29李凡华，刘慈群.双层分形油藏的压力动态分析j应用数学和力学，1998,19(1) ：211996,32(9) ：2 733 -2 745.41 dinariev 0 yll. fluid dynamics, 1992,27-26.(5) ：682 -688.30李凡华，刘慈群.天然气工业1997,1742周德华，葛家理，何顺利分形油藏非均质(5) ：27 一30.tion to oil and gas field development and to geotherm1 field developmentare di