黑龙江省哈尔滨市杨林中学2020年高三数学文联考试卷含解析

1、黑龙江省哈尔滨市杨林中学2020年高三数学文联考试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 把5位人员派往3个不同的城市监督环保工作，要求每个城市至少派一位人员的不同分配方案有（a）36种（b）150种（c）240种（d）300种（参考答案：b略2. 在abc中，ac=1，b=30°，abc的面积为，则c=(     )a30°b45°c60°d75°参考答案：c【考点】三角形的面积公式 【专题】解三角形【分析】利用正弦定理，求出

2、c，从而可求a，利用abc的面积确定c的大小，即可得出结论【解答】解：abc中，b=30°，ac=1，ab=，由正弦定理可得：=，sinc=，c=60°或120°，c=60°时，a=90°；c=120°时a=30°，当a=90°时，abc的面积为?ab?ac?sina=，当a=30°时，abc的面积为?ab?ac?sina=，不满足题意，则c=60°故选：c【点评】本题考查正弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题3. 已知x，y满足且目标函数z=2x+y的最大值为7，

3、最小值为1，则=（）a2b1c1d2参考答案：d【考点】简单线性规划【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大最小值时所在的顶点即可【解答】解：由题意得：目标函数z=2x+y在点b取得最大值为7，在点a处取得最小值为1，a（1，1），b（3，1），直线ab的方程是：xy2=0，则=2故选d【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值的方法，属于基础题4. 下列四个图象，只有一个符合y=|k1x+b1|+|k2x+b2|k3x+b3|（k1，k2k3r+，b1b2b30）的图象，则根据你所判断的

4、图象，k1、k2、k3之间一定满足的关系是（）ak1+k2=k3bk1=k2=k3ck1+k2k3dk1+k2k3参考答案：a【考点】函数的图象【分析】由于k1，k2，k3为正实数，考虑当x足够小时和当x足够大时的情形去掉绝对值符号，转化为关于x的一次函数，通过观察直线的斜率特征即可进行判断【解答】解：y=|k1x+b1|k2x+b2|+|k3x+b3|（其中k10，k20，k30，b1，b2，b3为非零实数），当x足够小时，y=（k1+k2k3）x（b1+b2b3），当x足够大时，y=（k1+k2k3）x+（b1+b2b3），可见，折线的两端的斜率必定为相反数，此时只有第2个图象符合条件此时

5、k1+k2k3=0，即k1+k2=k3，故选：a5. 某程序框图如右图所示,若该程序运行后输出的值是,则（    ）（）    (a)         (b)   (c)         (d) 参考答案：a6. 过正方体的顶点的平面与直线垂直，且平面与平面的交线为直线，平面与平面的交线为直线，则直线与直线所成角的大小为（   ） 

6、60;  a         b      c.         d参考答案：c7. 下列函数图象是一个函数与其导函数的在同一个坐标系中的图象，其中一定错误的是（  ）参考答案：c8. 已知，为的导函数，则的图象是（  ）    参考答案：a ：因为，所以，这是一个奇函数，图象关于原点对称，故排除b、d，因为当时，所以当从右边趋

7、近于0时， ，所以，故选a。9. 已知全集ur，集合 则()b的子集个数为a.2       b.4      c.8     d.16参考答案：b10. 假设有两个分类变量x和y的2×2列联表：yxy1y2总计x1a10a+10x2c30c+30总计6040100对同一样本，以下数据能说明x与y有关系的可能性最大的一组为（）aa=45，c=15ba=40，c=20ca=35，c=25da=30，c=30参考答案：a【考点】独立性检验的

8、应用【分析】根据题意，a、c相差越大，与相差就越大，由此得出x与y有关系的可能性越大【解答】解：根据2×2列联表与独立性检验的应用问题，当与相差越大，x与y有关系的可能性越大；即a、c相差越大，与相差越大；故选：a【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题目二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设直线l过双曲线c的一个焦点，且与c的一条对称轴垂直，l与c交于a，b两点，|ab|为c的实轴长的2倍，则c的离心率为参考答案：【考点】双曲线的简单性质【分析】设双曲线方程，由题意可得丨ab丨=2×2a，求得b2=2a2，根据双曲线的离心率公式e=，即可求得

9、c的离心率【解答】解：设双曲线方程：（a0，b0），由题意可知，将x=c代入，解得：y=±，则丨ab丨=，由丨ab丨=2×2a，则b2=2a2，双曲线离心率e=，故答案为：【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线通径的求法，考查计算能力，属于基础题12. 复数z（i是虚数单位）则复数z的虚部等于_.参考答案：1虚部为11013. 等比数列an的前n项和为sn，若，则公比q=_.参考答案：显然公比，设首项为，则由，得，即，即，即，所以，解得14. 给出下列四个命题：“向量的夹角为锐角”的充要条件是“”；如果，则对任意的、，且，都有；将4个不同的小球全部放入3个不同的盒

10、子，使得每个盒子至少放入1个球，共有72种不同的放法；记函数的反函数为，要得到的图象，可以先将的图象关于直线做对称变换，再将所得的图象关于y轴做对称变换，再将所得的图象沿x轴向左平移1个单位，即得到的图象其中真命题的序号是              （请写出所有真命题的序号）参考答案：“向量的夹角为锐角”的充要条件是“，且”，为假命题；函数为上凸函数，对任意的、，且，都有，为真命题；将4个不同的小球全部放入3个不同的盒子，使得每个盒子至少放入1个球，共有种不同的放法

11、，为假命题；记函数的反函数为，要得到的图象，可以先将的图象关于直线做对称变换，再将所得的图象关于y轴做对称变换，再将所得的图象沿x轴向右平移1个单位，即得到的图象，为假命题综上，只有是真命题15. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图是全等图形，则该几何体的表面积为         参考答案：       14. 16. 已知某次数学考试的成绩服从正态分布，则114分以上的成绩所占的百分比为     

12、60;       （附：,)参考答案：由已知得，故17. 对于各数互不相等的正整数数组（n是不小于3的正整数），若对任意的p，q，当p<q时有，则称是该数组的一个“逆序”一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，如数组(2，3，1)的逆序数等于2则数组(4，2，3，1)的逆序数等于_；若数组的逆序数为n，则数组的逆序数为_参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （12分）已知函数f（x）=ln（x+a）x2x在x=0处取得极值（1）求函数f（x）的单调区间；（2

13、）若关于x的方程f（x）=x+b在区间（0，2）有两个不等实根，求实数b的取值范围；（3）对于nn+，证明：参考答案：【分析】（1）求导，f（0）=0，求得a的值，写出函数及导函数表达式，f（x）0，求得f（x）的单调递增区间，；由f（x）0，求得函数单调递减区间；（2）构造辅助函数g（x）=f（x）（x+b），求导，令g（x）=0，求得x的值，即可求得g（x）的单调区间，求得g（x）的两个零点，实数b的取值范围；（3）由（1）可知当x0时ln（x+1）x2+x（当且仅当x=0时等号成立），可得到ln，求得前n项不等式，采用累加法及对数函数的性质，即可证明不等式成立【解答】解：（1）由已知得f

14、（x）=2x1=，（1分）f（0）=0， =0，a=1f（x）=ln（x+1）x2x（x1），（2分）于是f（x）=（x1），由f（x）0得1x0；由f（x）0，得x0，f（x）的单调递增区间是（1，0），单调递减区间是（0，+）（4分）（2）令g（x）=f（x）（x+b）=ln（x+1）x2+xb，x（0，2），则g（x）=2x+=，令g（x）=0，得x=1或x=（舍），当0x1时，g（x）0；当1x2时g（x）0，即g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减（7分）方程f（x）=x+b在区间（0，2）有两个不等实根等价于函数g（x）在（0，2）上有两个不同的零点，即亦即，ln3

15、1bln2+，故所求实数b的取值范围为b丨ln31bln2+（9分）证明：（3）由（1）可得，当x0时ln（x+1）x2+x（当且仅当x=0时等号成立），设x=，则ln（1+）+，即ln  （10分）ln，ln，ln，ln，将上面n个式子相加得：+ln+ln+ln+ln=ln（n+1），故：（12分）【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程的实数根转化为函数图象与x轴的交点的问题，同时考查了利用构造函数法证明不等式，考查了推理能力与计算能力，是一道综合题，属于难题19. 已知函数f（x）exax2，g（x）xblnx若曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线与曲线y

16、g（x）在点（1，g（1）处的切线相交于点（0，1）（1）求a，b的值；（2）求函数g（x）的最小值；（3）证明：当x0时，f（x）xg（x）（e1）x1参考答案：（1）解：因为f（x）ex2ax，所以f（1）e2a，切点为（1，ea），所以切线方程为y（e2a）（x1）（ea），因为该切线过点（0，1），所以a1又，g（1）1b，切点为（1，1），所以切线方程为y（1b）（x1）1，同理可得b1（2）解：由（1）知，g（x）xlnx，所以当0x1时，g（x）0；当x1时，g（x）0，所以当x1时，g（x）取极小值，同时也是最小值，即g（x）ming（1）1（3）证明：由（1）知，曲线yf（x

17、）在点（1，f（1）处的切线方程为y（e2）x1下面证明：当x0时，f（x）（e2）x1设h（x）f（x）（e2）x1，则h（x）ex2x（e2），再设k（x）h（x），则k（x）ex2，所以h（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，）上单调递增又因为h（0）3e，h（1）0，0ln21，所以h（ln2）0，所以存在x0（0，1），使得h（x0）0，所以，当x（0，x0）（1，）时，h（x）0；当x（x0，1）时，h（x）0故h（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，1）上单调递减，在（1，）上单调递增又因为h（0）h（1）0，所以h（x）f（x）（e2）x10，当且仅当x1时取等号，

18、所以ex（e2）x1x2由于x0，所以又由（2）知，xlnx1，当且仅当x1时取等号，所以，所以ex（e2）x1x（1lnx），即exx2x（xlnx）（e1）x1，即f（x）xg（x）（e1）x120. 定义首项为1且公比为正数的等比数列为“m数列”.（1）已知等比数列an满足：，求证:数列an为“m数列”；（2）已知数列bn满足:，其中sn为数列bn的前n项和求数列bn的通项公式；设m为正整数，若存在“m数列”cn(nn*)，对任意正整数k，当km时，都有成立，求m的最大值参考答案：（1）见解析；（2）bn=n；5.【分析】（1）由题意分别求得数列的首项和公比即可证得题中的结论；（2）由题

19、意利用递推关系式讨论可得数列bn是等差数列，据此即可确定其通项公式；由确定的值，将原问题进行等价转化，构造函数，结合导函数研究函数的性质即可求得m的最大值【详解】（1）设等比数列an的公比为q，所以a10，q0.由，得，解得因此数列为“m数列”.（2）因为，所以由得，则.由，得，当时，由，得，整理得所以数列bn是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列bn的通项公式为bn=n.由知，bk=k，.因为数列cn为“m数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0.因为ckbkck+1，所以，其中k=1，2，3，m.当k=1时，有q1；当k=2，3，m时，有设f（x）=，则令，得x=e.列表如下：x（1，e）e(e，+)+0f（x）极大值 因为，所以取，当k=1，2，3，4，5时，即，经检验知也成立因此所求m的最大值不小于5若m6，分别取k=3，6，得3q3，且q56，从而q15243，且q15216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.综上，所求m的最大值为5【点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力21. （本小题满分13分）已知函数（）若，求函数的极小值；（）试问：对某个实数，方程在上是否存在三个不相等的实根？若存在，请求出实数的范围；若不