二次函数图像与性质解析版

1、二次函数的图像及性质学问点1.二次函数的定义：形如的函数叫二次函数。限制条件（1）自变量的最高次数是；（2）二次项系数。 2二次函数的解析式（表达式）三种形式，重点是前两种。（1） 一般式：；（2） 顶点式：y=a（x-h）2+k（a0），此时二次函数的顶点坐标为（ ，），对称轴是。留意：顶点形式的最大优点是直接从解析式看出顶点坐标和对称轴，比较便利。离开它用一般形式也可以。（3）交点式（两点式）：设 x 、x 是抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，则12x + xy=a（x-x ）（x-x ）此时抛物线的对称轴为直线 x=121 2 2 。留意：（1）当顶点在 x 轴上（即抛物线与x 轴只有

2、一个交点（0，x ）时，函数1表达式为。这个交点是抛物线的什么点？（2） 是不是任意一个二次函数都可以写成交点形式？在什么条件下才有交点式？（3） 利用这种形式只是解决相关问题要简便一些，直接用一般形式也可以。实际上利用一般形式和顶点坐标公式可以解决二次函数的多数问题。三种二次函数的解析式的联系：针对一般形式而言，顶点式：y=a（x-h）2+k（a0）中，h=；k=。当=b2-4ac时，才有两根式。3、二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与性质 -抛物线的特征-待定系数a,b,c 的作用二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象是一条线，它是一个 对称图形，抛物线与对称轴的交点叫抛物线

3、的点。不过这个结论成立的条件是自变量的取值范围是。（1） 外形-开口大小。由打算，越大，开口越。（2） 开口方向：由打算。当 a>0 时，函数开口方向向 ；当 a<0 时，函数开口方向向；（3） 对称轴：直线 x=；留意：一次函数的图象是直线，但直线的解析式不肯定是一次函数。例如与坐标轴平行（垂直）的直线的解析式是 x=k，或 y=k，它们为什么不是一次函数呢？（4）顶点坐标公式：（，）；利用顶点坐标公式的留意事项：当求得顶点横坐标后，可以用纵坐标公式，也可以不用纵坐标公式，而直接将横坐标代入哪里求得纵坐标。例如：y=2x2-4x+1当 x= -4 =-2 时，y=，顶点坐标为（，

4、）2可见，必需记住顶点横坐标公式。顶点纵坐标公式记不住也没有关系。（5）增减性：分对称轴左右两侧描述。当 a>0 时，在对称轴左侧，即 x 时，y 随着 x 的增大而 ；在对称轴右侧，即x 时，y 随着 x 的增大而 ；当a<0 时，在对称轴左侧，即x 时，y 随着 x 的增大而 ；在对称轴右侧，即 x 时，y 随着 x 的增大而 ；（6）最值：特别留意顶点横坐标是否在自变量的取值范围内若顶点横坐标在自变量的取值范围内当 a>0 时，函数有最 值，并且当 x= 时，y 最小值= ；当 a<0 时，函数有最 值，并且当x= ，y 最大值= ；并且考虑在端点处是否取得最值。

5、若顶点横坐标不在自变量的取值范围内，只考虑在端点处是否取得最值。（7） 与坐标轴的交点与 x 轴的交点=b2-4ac=b2-4ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点；0 时；抛物线与 x 轴只有一个交点，即顶点在轴上。求法：解方程，其求根公式是。个数：当=b2-4ac0 时，抛物线与 x 轴有两个不同的交点；与 y 轴的交点：（，）如图 2：当 x1xx2 时，y0；当 xx1 或 xx2 时，y0；（8） 函数值的正、负性：如图 1：当 xx1 或 xx2 时，y0； 当 x1xx2 时，y0；当 x=x1 或 x=x2 时，y0。当 x=x1 或 x=x2 时，y0.(9)二次函数 y=ax

6、2+bx+c（a0）与 x 轴的交点坐标为 a（x1，0），b（x2，0），则二次函数图象与 x 轴的交点之间的距离ab= x1- x=(x - x )212(x + x )2 - 4x x121 22(10)二次函数 y=ax2+bx+c（a0）中 a、b、c 及其代数式的符号判别：a 的符号判别-由抛物线的开口方向确定：当开口向上时，a0；当开口向下时，a0；c 的符号判别-由抛物线的与 y 轴的交点来确定：若交点在 x 轴的上方，则 c 0；若交点在 x 轴的下方，则 c0；bb 的符号由对称轴来确定：对称轴在y 轴的左侧，由- 2ab0 知 a、b 同号；若对称轴在 y 轴的右侧，由-

7、 2a0 知 a、b 异号。（11）缺项二次函数的特征抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的顶点在 y 轴上时抛物线关于解析式为。轴对称，=0；抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过原点，则=0；解析式为。抛物线 y=ax2+bx+c（a0）顶点在原点，则 b=c= 为。，解析式（12）抛物线的平移和轴对称无论 b，c 值为多少，抛物线 y=ax2+bx+c 与抛物线 y=ax2 的外形（开口方向和开口大小）是相同的，只是位置不同，可以通过平移得到。抛物线 y=ax2+bx+c 上（下）平移 n（n0）个单位后的解析式求法：将原解析式中的不变，把转换为；抛物线 y=ax2+bx+c 左（右）

8、平移 n（n0）个单位后的解析式求法：将原解析式中的不变，把转换为。物线 y=ax2+bx+c 关于 x 轴对称的抛物线解析式是（方法是将原解析式中的不变，把转换为，再整理）物线 y=ax2+bx+c 关于 y 轴对称的抛物线解析式是（方法是将原解析式中的不变，把转换为，再整理）小结：二次函数 y=ax2+bx+c（a0）待定系数 a,b,c 的作用（1）a-a 的符号打算；a 的确定值打算。（2）c-c 打算抛物线与轴交点的位置。（3）b-b 单独不能起什么作用。b依据 2a ，a，b 共同打算抛物线对称轴的位置；=b2-4ac 打算：4、二次函数的解析式的求法待定常数法三种基本状况（1）

9、已知抛物线上任意三点的坐标，利用式。（2） 已知抛物线的顶点和任意一点的坐标，利用顶点式简便些；（3） 已知抛物线与 x 轴的交点和任意一点的坐标，利用交点式简便些。留意；当知道对称轴或顶点坐标（可能是一个坐标）时，通常将一般式与顶点坐标公式结合起来用。实际上只用一般式，不用其他两种形式就够了。5.二次函数图象的画法画二次函数 y=ax2+bx+c（a0）图象的一般步骤（1） 利用顶点坐标公式求得顶点坐标；（2） 利用抛物线的性列表；（3） 先画对称轴，再对称描点连线。实际上，我们解题时只需画抛物线的草图。画抛物线草图一般要体现哪几个要素呢？开口方向，顶点坐标，与坐标轴的交点。6.二次函数与一

10、元二次方程的关系（1） 从形式来看，二次函数 y=ax2+bx+c（a0），当 y= 时，得一元二次方程 ax2+bx+c=0。从这个角度来看一元二次方程只是二次函数的特别状态；（2） 二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x 轴的交点状况正好由一元二次方程 ax2+bx+c=0 的 打算；（3） 一般地，一元二次方程 ax2+bx+c=k（a0）的根可以看成是直线 y= 与抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的交点 坐标。也就是说解方程组与解方程 ax2+bx+c=k（a0）是等价的。 定义题：例 1：（1）若函数 y（k3）xk23k+2+kx+1 是二次函数，那么 k 的值肯定是

11、。（2）已知二次函数yx2+bx+c 的图像过点 a（c，0），且关于直线 x2 对称，则这个二次函数的解析式可能是。（只要求写出一个可能的解析式）。（俞浚）解：（1）由 k30 且 k2-3k+22 得 k0.，c3 b4c0 b4c2+bc+c0（2）依据题意，得，b，解得 22所以 yx24x+3 或 yx24x.二 待定系数法求解析式：例 2. 已知抛物线 y = ax 2 + bx + c 经过 a，b，c 三点，当 x ³ 0 时，其图象如图 1 所示.求抛物线的解析式，写出顶点坐标.（俞浚）【答案与解析】设所求抛物线的解析式为 y = ax 2图 1+ bx + c （

12、 a ¹ 0 ）.由图象可知a，b，c 的坐标分别为（0，2），（4，0），（5，-3）.ìïa = - 2 ,1ïïíb =,3ï2ïc = 2ïî ïìc = 2,í16a + 4b + c = 0,解之，得îï25a + 5b + c = -3，13式为 y = -x 2 +x + 2线的解析221 (x 2 - 3x) + 2 = - 1 (x- 3)2+ 252228抛物y = -325该抛物线的顶点坐标为(，) .28例3. 一条抛物

13、线 y =1 x 2 + mx + n 经过点(0， 3) 与(4， 3) .求这条抛物线的解析422式.（俞浚）【答案与解析】抛物线 y =1 x 2 + mx + n 经过点（ 0,）和(4,) ，33422这条抛物线的对称轴是直线 x = 2 .设所求抛物线的解析式为 y =1 (x - 2)2 + h .43将点(0,) 代入，得2(0 - 2)2 + h =，解得 h =.131422这条抛物线的解析式为 y =(x - 2)2 +，即 y =x 2 - x +.11134242例 4. 已知抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点坐标为（1，4），与 x 轴两交点间的距离

14、为 6，求此抛物线的函数关系式.（俞浚）【答案与解析】由于顶点坐标为（1，4），所以对称轴为 x = -1 ，又由于抛物线与 x 轴两交点的距离为 6，所以两交点的横坐标分别为： x= -1 - 3 ，x= -1 + 3 ， 则两交点的坐标为（ -4 ，120）、（2，0）；求函数的函数关系式可有两种方法：解法(1) ：设抛物线的函数关系式为顶点式： y = a(x + 1)2 + 4 (a0)，把（2，0）代入得 a = - 4 ，9所以抛物线的函数关系式为 y = - 4 (x + 1)2 + 4 ；9解法(2) ：设抛物线的函数关系式为两点式： y = a(x + 4（)x-2）(a0)

15、，把（1，4）代入得 a = - 4 ，9所以抛物线的函数关系式为：y = - 4 (x + 4（)9x-2）；练习：1. 如图所示，已知二次函数y = - 12浚）(1) 求这个二次函数的解析式；x2 + bx + c 的图象经过a(2，0)，b(0，-6)两点（俞(2) 设该二次函数图象的对称轴与x 轴交于点c，连接ba，bc，求abc 的面积【答案与解析】(1)把a(2，0)，b(0，-6)代入 y = -1 x2 + bx + c2ì-2 + 2b + c = 0,ìb = 4,得í解得íîc = -6,îc = -6. 这个

16、二次函数的解析式为 y = - 12(2) 该抛物线的对称轴为直线 x = -x2 + 4x - 6 4= 4 ，2 ´æ - 1 öç÷2èø 点c 的坐标为(4，0)， acoc-oa4-22 s= 1 abc2acob =´ 2 ´ 6 = 612æ 0 3 ö2、已知二次函数图象的顶点是(-1，2) ，且过点çè， ÷ （俞浚）2 ø（1） 求二次函数的表达式；（2） 求证：对任意实数m ，点 m (m，- m2 ) 都不在这个二次函数的

17、图象上.【答案】（1） y = - 1 x 2 - x + 3 ；22（2）证明：若点m (m，- m2 ) 在此二次函数的图象上，则-m2 = -得 m2 - 2m + 3 = 0 = 4 -12 = -8 < 0 ，该方程无实根 所以原结论成立1 (m +1)2 + 2 23，与坐标轴对称问题例 5：求抛物线 y=2x2-4x-5 关于x 轴对称的抛物线。（俞浚）解析：方法一、利用顶点式：y=2x2-4x-5=2（x-1）2-7抛物线 y=2x2-4x-5 的顶点为（1，-7）。抛物线 y=2x2-4x-5 关于x 轴对称得到的抛物线外形大小与原来的一样，但开口的方向改为向下，顶点关

18、于x 轴对称。所以所求抛物线的二次项系数是-2，顶点为（1，7）。所以，抛物线 y=2x2-4x-5 关于 x 轴对称的抛物线为 y=-2(x-1)2+7.方法二、利用点对称：设点 p（x，y）在对称后的抛物线上，则 p 点关于 x 轴对称的对称点为 p（x，-y）必在抛物线 y=2x2-4x-5 上。点 p（x，-y）符合解析式。所以在 y=2x2-4x-5 中，用x 代换x， y 代换 y得-y=2x2-4x-5即 y=-2x2+4x+5 为所求的抛物线。例 6 求抛物线 y=4x2+8x-4 关于 y 轴对称的抛物线。（俞浚）解：方法一、利用顶点式：y=4x2+8x-4=4（x+1）2-

19、8抛物线y=4x2+8x-4 的顶点为（-1，-8）。抛物线y=4x2+8x-4 关于 y 轴对称得到的抛物线外形大小与原来的一样，开口的方向保持不变，顶点关于y 轴对称。所以所求抛物线的二次项系数是 4，顶点为（1，-8）。所以，抛物线y=4x2+8x-4 关于 y 轴对称的抛物线为y=4(x-1)2-8.方法二、利用点对称：设点p（x，y）在对称后的抛物线上，则p 点关于y 轴对称的对称点为p（-x，y）必在抛物线y=4x2+8x-4 上。点p（-x，y）符合解析式。所以在y=4x2+8x-4 中，用-x 代换x，y 代换 y得 y=4(-x)2+8(-x)-4即 y=4x2-8x-4 为

20、所求的抛物线。说明：关于 y 轴对称：将解析式中的(x，y)换成它的对称点(x，y)， y ax2bxc 变为 yax2bxc.例 8 已知二次函数 y=ax2+bx+（c a，b，c 是常数，且 a0）的图象如图所示，则一次函数 y=cx+与反比例函数 y=在同一坐标系内的大致图象是（）（俞琳）练习 3（俞琳）（俞琳）限)则直线 y=ax+bc不经过（ ）（赵春娣）已知二次 函数 y=ax2+bx+c经过一,三,四象限 (不经过原点和其次象3，二次函数中 a,b,c 的推断例 7a.第一象限 b.其次象限 c.第三象限 d.第四象限abcd解答： 解：抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线 x=0，a0，b0，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，一次函数 y=cx+的图象过其次、三、四象限，反比例函数y=分布在其次、c0，例 9（俞琳）四象限 故选 b4、 二次函数 y=ax2+bx+c 的图像如图所示，则下列结论正确的是()a.a0,b0,c