空间几何体表面积与体积

1、第二节空间几何体的表面积和体积教 材 面 面 观基础知识常梳理自主探究强记忆1空间几何体的表面积多面体的表面积就是各个面的面积之和，也就是展开图的面积如果圆柱的底面半径为r，母线长(即高)为l，则其侧面面积为S_，表面积为S_.如果圆锥的底面半径为r，母线长为l，则其侧面面积为S_，表面积为S_.如果圆台的底面半径分别为r，R，母线长为l，则其侧面面积为S_，表面积为S_.球的表面积公式S_，其中R为球的半径答案2rl2rl2r2rlrlr2(rR)l(rR)lr2R24R22空间几何体的体积棱柱和圆柱的体积：V_，其中S是底面面积，h是高底面半径为r的圆柱的体积为Vr2h.棱锥和圆锥的体积：

2、V_，其中S是底面面积，h是高底面半径为r的圆锥的体积为V_.棱台和圆台的体积：V_，其中S和S分别是上、下底面面积，h是高上、下底面半径分别为r和R的圆台的体积为V_.球的体积：若球的半径为R，则球的体积为V_.答案ShShr2hh(SS)h(r2RrR2)R3考 点 串 串 讲考点归纳与解析思维拓展与迁移1空间几何体的表面积(1)柱体的表面积柱体的表面积是侧面积与上、下底面面积之和直棱柱的侧面展开图是矩形(如图所示)，上、下底面不变，只要计算出侧面面积，其表面积就可求圆柱的侧面展开图是矩形(如图所示)，上、下底面不变设柱体的底面周长为c，高为l，则侧面积为cl.柱体的表面积为cl2r2.(

3、2)锥体的表面积一个棱锥的侧面展开图是由若干个三角形(如图所示)拼成的，侧面积为各个三角形面积之和一个圆锥的侧面展开图为扇形(如图所示)，利用扇形面积公式可求侧面积(3)台体的表面积一个棱台的侧面展开图为若干个梯形(如图所示)拼接而成，侧面积为各个梯形的面积之和而圆台的侧面展开图为扇环(如图所示)，其侧面积可由大扇形的面积减去小扇形的面积而得到2求体积需注意的问题(1)求球的体积和表面积的关键是求出球的半径反之，若已知了球的表面积或体积，那么就可以得出球的半径的大小(2)计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平

4、面问题求解(3)注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握(4)利用三棱锥的“等体积性”可以解决一些点到平面的距离问题，即将点到平面的距离视为一个三棱锥的高，通过将其顶点和底面进行转化，借助体积的不变性解决问题3与棱柱有关的计算公式(1)直棱柱的侧面积：如果直棱柱的底面周长为C，高是h(侧棱长)，那么它的侧面积是S侧Ch.(2)斜棱柱的侧面积：斜棱柱的侧面积等于它的直截面的周长与侧棱长的积，即S侧Cl.(3)棱柱的全面积：棱柱的全面积等于侧面积与两底面面积的和(4)棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面面积与高的积斜棱柱的侧面积可通

5、过下图来理解棱柱的体积VCh也可以推广到圆柱体上即V柱Ch.棱柱的体积为底面积乘高，而与棱柱的形状无关4柱体、台体、锥体的表面积和体积之间的转化当rR时，圆台上底变大，逐渐转化为圆柱，当rR时，其表面积与体积公式就是圆柱的表面积与体积公式当r0时，圆台上底变小，逐渐转化为圆锥，当r0时，其表面积与体积公式就是圆锥的表面积与体积公式.典 例 对 对 碰反思例题有法宝变式迁移有技巧题型一多面体的侧面积例1若正三棱锥的斜高是高的倍，则棱锥的侧面积是底面积的_倍()A.B2C. D3解析设斜高为h，高为h，则，则底面边长为h，故，即侧面积是底面积的2倍答案B变式迁移1已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱

6、与底面边长都等于2，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则三棱柱的侧面积为_答案24解析如图所示，设D为BC的中点，ABC为等边三角形，ADBC，BC平面A1AD，BCA1A，又A1AB1B，BCB1B，又侧棱与底面边长都等于2，四边形BB1C1C是正方形，其面积为4.作DEAB于E，连结A1E，则ABA1E，又AD，DE，AE，A1E，S，S三棱柱侧24.题型二旋转体的面积例2圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？分析(1)对于柱、锥、台体要灵活运用侧面展开图；(2)对于球关键是寻求半径解析如图所示，设圆台的

7、上底面周长为c，因为扇环的圆心角是180°，故c·SA2×10，所以SA20，同理可得SB40，所以ABSBSA20，S表面积S侧S上S下(r1r2)·ABr12r22(1020)×20×102×2021100(cm2)故圆台的表面积为1100cm2.点评解决台体的问题通常要还台为锥，求面积时要注意侧面展开图的应用，上、下底面圆的周长是展开图的弧长.变式迁移2将圆心角为120°，面积为3的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积等于_答案4解析设扇形的半径为r，弧长为l，则有rl··r23，所以r3，

8、l2，于是圆锥的母线长为3，底面半径为1，故表面积S3·124.题型三多面体的体积例3如图所示，三棱锥的顶点为P，PA、PB、PC为三条侧棱，且PA、PB、PC两两互相垂直，又PA2，PB3，PC4，求三棱锥PABC的体积V.分析本题是考查根据题目条件利用体积公式求体积的问题三棱锥的体积VSh，其中S为底面积，h为锥体的高，而三棱锥任意一个面都可以作为底面，所以此题可把点B作为顶点，PAC作为底面求解解析PAPCP，又PA、PB、PC两两垂直，PB面PAC，故三棱锥体积VShSPAC·PB××2×4×34.点评三棱锥又称为四面体，它的

9、每一个面都可当作底面来处理，这一方法叫做体积转移法(或称等积法)随着知识的增多，它的应用越来越广泛，例如本题就可以用VPABCVAPBCVBPACVCPAB计算体积在具体计算时如何选取顶点，要根据具体情况决定选取的原则是底面积和高容易计算.变式迁移3已知一个三棱台的两底面是边长分别为20cm和30cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高和体积解析如图所示，三棱台ABCABC中，O、O分别为两底面的中心，D、D分别是BC、BC的中点，则DD是梯形BCCB的高，所以S侧(2030)·DD·375DD.又AB20，AB30，则上、下底面面积之

10、和为S上S下(202302)325.由S侧S上S下得，75DD325，所以DD.在直角梯形OODD中，OD5，OD，OO4，即棱台的高为h4cm.由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V(SS)·(·202·302·20·30)1900(cm3)题型四旋转体的体积例4母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，则该圆锥的体积为()A. B.C. D.解析圆锥的侧面展开图扇形的弧长，即底面圆的周长为·1，于是设底面圆的半径为r，则有2r，所以r，于是圆锥的高h，故圆锥的体积V.答案C变式迁移4在ABC中，AB2，BC1.5，ABC120

11、76;，若使ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是()A. B.C. D.答案A解析VV大圆锥V小圆锥r2(11.51)，故选A.题型五球的表面积与体积例5半球内有一内接正方体，则这个球面的面积与正方体表面积之比是()A. B.C. D.分析解决本题的关键是找出正方体的棱长和半球的半径之间的关系正方体内接于半球，即正方体的四个顶点在半球面上，另外四个顶点在半球的底面圆上解析如图所示的是内接正方体的对角面，设正方体的棱长为a，则O1Ba，在RtOEB中，OBR(球半径)，OEa，BEa，R2(a)2a2a2，而S正方体表面积6a2，S半球表面积×4R23a2，S半球表面积：

12、S正方体表面积3a2：6a2：2.答案D点评对于多面体与旋转体的组合体，一般解决方法是根据组合体的几何性质作出截面，把关键量转到一个平面上，利用平面几何知识找出相关量之间的数量关系其中准确作出能包含多面体和旋转体各元素的截面是解决问题的关键，也是难点.变式迁移5正四面体的内切球与外接球的体积之比为()A1：3 B1：9C1：27 D1：81答案C解析本题主要考查与球有关的两种组合问题：球内切空间几何体和空间几何体内接球问题，在正四面体中内切、外接球球心重合设正四面体的棱长为a，底面的面积为S，棱锥的高为h，如图所示，设O1为底面中心，则O1P平面ABC，ADa，O1AADa，O1Pa，ha.设

13、内切球球心为O，则O到四个面的距离都为内切球的半径r，VPABCVOABCVOPACVOPBCVOPAB，Sh4·S·r，ra.OA为外接球半径R，ROAa.V内切球：V外接球r3：R31：27.题型六由三视图求表面积和体积例6已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形，(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.解析由已知可得，该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥VABCD，如图所示(1)V×(8×6)×4

14、64(2)该四棱锥有两个侧面VAD、VBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高为h14，另两个侧面VAB，VCD也是全等的等腰三角形，AB边上的高为h25因此S2(×6×4×8×5)4024.变式迁移6已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是cm3，则正视图中的h等于_答案20cm解析V×20×20×h，h20cm.题型七边长、半径、高度、面积及体积比的关系例7如图所示，过圆锥SO的两个三等分点分别作平行于底面的截面，两个截面将圆锥的侧面分成三部分(1)求三部分侧面面积的比；(2

15、)求圆锥被分成的三部分的体积比(由上到下)解析过圆锥的高SO作截面图(此截面称为圆锥的轴截面)，设原圆锥的底面半径为r，由上至下两个截面圆的半径分别为r1，r2，相应的母线长分别为l1，l2.(1)三个圆锥的侧面积之比S：S：SSO侧r1l1：r2l2：rlr1l1：r2l2：rlSO12：SO22：SO21：4：9，所以，由上至下三部分的侧面积之比为1：3：5.(2)三个圆锥的体积之比为V：VSO2：VSOr12·SO1：r22·SO2：r2·SOSO13：SO23：SO31：8：27，所以，由上至下三部分的体积之比为1：7：19.点评(1)旋转体的轴截面(过轴

16、的截面)是反映几何体特征的主要图形，要善于从中挖掘数量关系(2)圆锥被平行于底面的平面所截，被分成的两部分体积之比等于两底面半径比的立方，也等于相应高度的比的立方；被分成的两部分的侧面积之比等于底面积之比，也等于相应底面半径比的平方，也等于相应高的比的平方；两部分底面半径的比等于相应高度的比对于棱锥具有类似的性质.变式迁移7平行于底面的两个平面把棱锥分成等体积的三部分，求这两个平面把棱锥的高所分成的三部分的比(如图所示)解析解法一：用大、小棱锥体积之比等于对应棱锥高的立方比，使用分比定理即可V：2V：3Vh3：h13：h23，两端开立方得1：h：h1：h2，由分比定理得h：(h1h) ：(h2

17、h1)1：(1) ：()解法二：可设出棱锥的高被两个平面截成的三部分分别为h1、h2、h3，再分别用体积把它们表示出来设棱锥的体积为3V，两个平行于底面的平面把棱锥的高分为三部分：h1、h2、h3，根据棱锥中平行于底面的截面性质，得，由分比定理得1，h2(1)h1，h3·(h1h2)·h1()h1.故h1：h2：h3h1：(1)h1：()h11：(1) ：().题型八实际应用题例8降雨的降水量是指水平平面上单位面积降水的深度，用上口直径为38cm，底面直径为24cm，深度为35cm的圆台形水桶(过轴的截面如图(1)所示)来测量降水量，如果在一次降雨过程中，此桶盛得的雨水正好

18、是桶深的，求本次降雨的降水量是多少？(精确到1mm)解析由所盛雨水正好是桶深的可知，水深为5cm，设水面半径为r，如图(2)所示，在ABC中，即7，所以r13.所以V水×5×(12213212×13)×469，S上底R2·192361，所以22(mm)所以本次降雨的降水量约是22mm.点评无论是台体、柱体还是锥体的体积的求解过程，关键问题不在于公式，而在于用体积求解所需数据的分析，无论哪个几何体，求解数据中都需要用到解三角形的知识，因此特征三角形的构建是一个重点，而构建特征三角形一般从“两高”(几何体的高及斜高)入手，如本题中的ABC.在求出体

19、积后，又因为本题所求为“降雨的降水量”，所以要用到水的体积的不变性，从台体转化为柱体，进而求出降水量.变式迁移8粉碎机的下料斗是正四棱台形，如图所示，它的两底面边长分别是80mm和440mm，高是200mm，计算制造这样一个下料斗所需要铁板的面积(保留两位有效数字)解析上底面周长C4×80320，下底面周长C4×4401760，斜高h269(mm)S正棱台侧(CC)·h(3201760)×2692.8×105(mm2)答：制造这样一个下料斗需要铁板约2.8×105mm2.方 法 路 路 通规律方法勤探究高考成绩优中优1注意区分所求的是

20、侧面积还是表面积；表面积包含了侧面积和底面积，再就是要认清所求的几何体是柱、锥、台中的哪一类以及是“棱”还是“圆”2对于直棱柱，其高即为侧棱棱长，所以此时侧面积等于底面周长乘以侧棱长3对于正棱柱、正棱锥、正棱台，其所有侧面均全等所以求侧面积时注意先求一个侧面积，而后看有几个侧面就乘以几4球的有关问题中充分利用球心到截面的距离截面圆的半径以及球心到截面的距离构成的直角三角形5要注意柱体、台体、锥体体积和侧面积之间的相互转化关系.正 误 题 题 辨学海暗礁常提醒逐波踏浪舟更轻例设某几何体的三视图如图(尺寸的长度单位为m)则该几何体的体积为_m3.错解该几何体为三棱锥，底面腰为4，底为3的等腰三角形

21、，高为2.V×2××3×(m3)点击把正视图看成三棱锥的一个面造成误解三视图中的每一个视图都是整个几何体在某一屏幕上的投影，不是某个面留下的投影这类问题不能孤立的分析某一视图正解由三视图可知原几何体是一个三棱锥，由“长对正，宽相等，高平齐”的原则可知三棱锥的高为2，底面三角形的底边长为4，高为3，则所求棱锥的体积为V××3×4×24(m3)答案4知 能 层 层 练针对考点勤钻研金榜题名不畏难1(2010·福建卷)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于()A. B2C2 D6答案D解析由图可知，此三棱柱的底面是一个边长为2的正三角形，且此三棱柱的高为1，则此三棱柱的侧面积为2×1×36.2长方体的全面积为11，十二条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条体对角线长为()A5 B6C2 D.