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文档简介
1、湖南省衡阳市县演陂桥中学2019年高三数学理期末试卷含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 已知m,n是两条不同直线,是两个不同平面,给出四个命题:若,则 若,则若,则 若,则其中正确的命题是( )a b c
2、160; d参考答案:b2. 设函数则( )a在区间内均有零点. b在区间内均有零点.c在区间内均无零点. d在区间内内均有零点.参考答案:d3. 若“x=1”是“(xa)x(a+2)0”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是()a1,+)b(1,1)c1,1d(,1参考答案:c【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】先求出不等式的 等价条件,根据充分不必要条件的定义进行判断即可【解答】解:由(xa)x(a+2)0得a
3、xa+2,要使“x=1”是“(xa)x(a+2)0”的充分不必要条件,则,解得:1a1,故选:c4. 已知集合,则(a)(b)(c)(d)参考答案:d【命题意图】本小题主要考查解不等式、交集等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,考查数学运算 【试题简析】因为,所以,故选d.【错选原因】错选a:误求成;错选b:集合解错,解成;错选c:集合解错,解成.5. 函数的图象大致是( )a.b.c.d.参考答案:d因为满足偶函数f(x)=f(x)的定义,所以函数为偶函数,其图象关于y轴对称,故排除b,又x=0时,y=0,排除a、c,故选d. 6. 设,则“”是
4、“ ( ) a充分而不必要条件 b充分必要条件 c必要而不充分条件 &
5、#160; d既不充分也不必要条件参考答案:c7. 函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于( )a2 b4 c6
6、 d8参考答案:d试题分析:函数,的图象有公共的对称中心(1,0),作出两个函数的图象如图当1x4时, 而函数在(1,4)上出现15个周期的图象,在和上是减函数;在和上是增函数函数在(1,4)上函数值为负数,且与的图象有四个交点e、f、g、h相应地,在(-2,1)上函数值为正数,且与的图象有四个交点a、b、c、d且:,故所求的横坐标之和为8故选d考点:1奇偶函数图象的对称性;2三角函数的周期性及其求法;3正弦函数的图象8. 记集合和集合表示的平面区域分别为,若在区域内任取一点,则点m落在
7、区域内的概率为( )a b c d参考答案:a9. 定义域为的函数图像的两个端点为、,是图象上任意一点,其中,已知向量(为坐标原点).若不等式恒成立,则称函数在上“k阶线性近似” .已知函数在上“k阶线性近似”,则实数k的取值范围为(
8、60; )a. b. c. d.参考答案:d略10. 已知f(x)=asinx+b+4(a,b为实数),且f(lglog310)=5,则f(lglg3)的值是( )(a)-5
9、 (b)-3 (c)3 (d)随a,b取不同值而取不同值参考答案:c解:设lglog310=m,则lglg3=lglog310=m,则f(m)=asinm+b+4=5,即asinm+b=1 f(m)=(asinm+b)+4=1+4=3选c二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数y=的定义域是 参考答案:(1,2)【考点】对数函数的定义域【分析】无理式被开方数大
10、于等于0,对数的真数大于0,分母不等于0,解答即可【解答】解:要使函数有意义,须解得1x2,即函数的定义域为(1,2)故答案为:(1,2)12. 已知函数上的奇函数,且的图象关于直线x=1对称,当时, 参考答案:略13. 执行如图所示的程序框图,则输出s的结果为 参考答案:30第一次,i=1,满足条件,i6,i=1+2=3,s=6,第二次,i=3,满足条件,i6,i=3+2=5,s=6+10=16,第三次,i=5,满足条件,i6,i=5+2=7,s=16+14=30,第四次,i=7,不满足条件i6,程序终止,输
11、出s=30,故答案为:3014. 为了解宿迁市高三学生的身体发育情况,抽查了宿迁市100名高三男生的体重. 根据抽样测量后的男生体重(单位:kg)数据绘制的频率分布直方图如图所示,则这100名学生中体重值在区间56.5,64.5)的人数是 参考答案:4015. 已知函数为上的偶函数,当时,则 , .参考答案:, 16. 若等比数列的各项均为正数, 且成等差数列,则 参考答案:17. 设二项式的展开式的各项系数之和为,所有二项式系数的和为,
12、若,则等于 .参考答案:答案:4三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 已知函数f(x)=lnxa(x1)(ar)()若a=2,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;()若不等式f(x)0对任意x(1,+)恒成立,求实数a的取值范围参考答案:【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】(1)一求切点,二求切点处的导数,即切线的斜率;(2)只需求出函数f(x)在区间1,+)上的最大值即可,利用导数研究单调性,进一
13、步求其最值构造不等式求解;比较大小可将两个值看成函数值,然后利用函数的性质求解【解答】解:() 因为a=2时,f(x)=inx+x1,f(x)=+1所以切点为(1,0),k=f(1)=2所以a=2时,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y=2x2( ii)( i)由f(x)=lnxa(x1),所以f(x)=,当a0时,x(1,+),f(x)0,f(x)在(1,+)上单调递增,f(x)f(1)=0,a0不合题意当a2即01时,f(x)=0,在(1,+)上恒成立,f(x)在(1,+)上单调递减,有f(x)f(1)=0,a2满足题意若0a2即时,由f(x)0,可得1x,由f(x)0,可得
14、x,f(x)在上单调递增,在上单调递减,f()f(1)=0,0a2不合题意综上所述,实数a的取值范围是2,+)( ii)a2时,“比较ea2与ae2的大小”等价于“比较a2与(e2lna)的大小”设g(x)=x2(e2)lnx,(x2)则g(x)=1=0g(x)在2,+)上单调递增,因为g(e)=0当x2,e)时,g(x)0,即x2(e2)lnx,所以ex2xe2当x(e,+)时g(x)0,即x2(e2)lnx,ex2xe2综上所述,当a2,e)时,ea2ae2;当a=e时,ea2=ae2;当a(e,+)时,ea2ae219. 已知函数f(x)=x3+ax2x+b,其中a,b为常数(1)当a=
15、1时,若函数f(x)在0,1上的最小值为,求b的值;(2)讨论函数f(x)在区间(a,+)上的单调性;(3)若曲线y=f(x)上存在一点p,使得曲线在点p处的切线与经过点p的另一条切线互相垂直,求a的取值范围参考答案:【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】导数的综合应用【分析】(1)当a=1时,求出函数的导数,利用函数f(x)在0,1上单调递减,推出b的关系式,求解b即可(2)利用导函数的图象是开口向上的抛物线,对称轴为x=a,求出极值点两个不等实根x1,2=,当方程f(x)=0在区间(a,+)上无实根时,当方程f(x)=0在区间(,a与(a,+)上各有一个实
16、根时,当方程f(x)=0在区间(a,+)上有两个实根时,分别求解a的范围即可(3)设p(x1,f(x1),则p点处的切线斜率m1=x12+2ax11,推出q点处的切线方程,化简,得x1+2x2=3a,通过两条切线相互垂直,得到(4x22+8ax2+3a21)(x22+2ax21)=1求解x22+2ax21(a2+1),然后推出a的范围即可【解答】解:(1)当a=1时,f(x)=x22x1,所以函数f(x)在0,1上单调递减,由f (1)=,即11+b=,解得b=2(2)f(x)=x2+2ax1的图象是开口向上的抛物线,其对称轴为x=a,因为=4a2+40,f(x)=0有两个不等实根x1,2=,
17、当方程f(x)=0在区间(a,+)上无实根时,有解得 当方程f(x)=0在区间(,a与(a,+)上各有一个实根时,有:f(a)0,或,解得 当方程f(x)=0在区间(a,+)上有两个实根时,有,解得综上:当时,f(x)在区间(a,+)上是单调增函数;当时,f(x)在区间(a,)上是单调减函数,在区间(,+)上是单调增函数当时,f(x)在区间(a,),(,+)上是单调增函数,在区间(,)上是单调减函数(10)(3)设p(x1,f(x1),则p点处的切线斜率m1=x12+2ax11,又设过p点的切线与曲线y=f(x)相切于点q(x2,f(x2),x1x2,则q点处的切线方程为yf(x2)=( x2
18、2+2ax21)(xx2),所以f(x1)f(x2)=( x22+2ax21)(x1x2),化简,得x1+2x2=3a 因为两条切线相互垂直,所以(x12+2ax11)(x22+2ax21)=1,即(4x22+8ax2+3a21)(x22+2ax21)=1令t=x22+2ax21(a2+1),则关于t的方程t(4t+3a2+3)=1在t(a2+1),0)上有解,所以3a2+3=4t4(当且仅当t=时取等号),解得a2,故a的取值范围是 【点评】本题考查函数的导数的综合应用,函数的单调性以及函数的极值,函数的零点的应用,考查转化思想以及计算能力20. (本小题满分12分)已知,函数,(1)若曲线与曲线在它们的交点处的切线重合,求,的值;(2)设,若对任意的,且,都有,求的取值范围参考答案:(1),.,由题意,.又因为,.,得 4分(2)由 可得,令,只需证在单调递增即可8分只需说明在恒成立即可10分即,故, 12分(如果考生将视为斜率,利用数形结合得到正确结果的,则总得分不超过8分)21. 已知函数f(x)=(1)判断函数f(x)的奇偶性,并证明;(2)若不等式f(x)log9(2c1)有解,求c的取值范围参考答案:【考点】3k:函数奇偶性的判断【分析】(1)利用奇函数的定义,即可得出结论;(2)f(x)=+(,),不等式f(x)log9(2c1)有解,可得lo
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