2020学年上海市实验学校高一下学期期末数学试题及答案解析

1、2020 学年上海市试验学校高一下学期期末数学试题及答案解析一、单选题第 23 页 共 22 页1“q = p6”是“ sinq =1 ”的（）2a. 充分不必要条件c充要条件【答案】ab. 必要不充分条件 d既不充分也不必要条件【解析】依据q = p6和sinq = 1 之间能否推出的关系，得到答 2案.【详解】由q = p6可得sinq = 1 ，2由sinq =1 ，得到q = p+ 2kp 或q = 5p + 2kp ， k Î z ，不能得到266q = p ，6所以“q = p6故选：a.【点睛】”是“ sinq = 1 ”的充分不必要条件， 2本题考查充分不必要条件的推

2、断，属于简洁题.2函数y = 2sin x + cos x ，当x = j 时函数取得最大值，则cosj =（）525ab55c. 23d. 123【答案】a5【解析】依据三角恒等变换的公式化简得 y =sin( x +q ) ，其中cosq =2,sin q =5555，再依据题意，得到sin(j +q) = 1 ，求得j = p2-q + 2kp, k Î z ，结合诱导公式，即可求解.【详解】由题意，依据三角恒等变换的公式，可得5y = 2sin x + cos x =sin( x +q ) ，其中cosq =,sin q =，2555555由于当x = j 时函数取得最大值，

3、即sin(j +q) = 1 ，sin(j +q) =，即可得j +q = p2+ 2kp, k Î z ，即j= p -q2+ 2kp, k Î z ，所以cosj = cos(p2-q + 2kp ) = cos(p2-q) = sinq =.55故选：a.【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的应用，以及诱导公式的化 简求值，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，合理利用 三角函数的诱导公式求解是解答的关键，着重考查了推理 与运算力量，属于基础题.3. 九章算术是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就， 其中方田一章中记载了计算弧田（

4、弧田就是由圆弧和 其所对弦所围成弓形）的面积所用的阅历公式：弧田面积= 12（弦´ 矢+矢´ 矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，依据上述阅历公式计算 所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为2p ，弦长为40 3 米的弧田，其实际面积与依据上述阅历公3式计算出弧田的面积之间的误差为（）平方米（其中p » 3 ， 3 » 1.73 ）a14【答案】bb16c18d20【解析】依据题意画出图形，结合图形求出扇形的面积与 三角形的面积，计算弓形的面积，再利用弧长公式计算弧 田的面积，求两者的差即可.【详解】如图所

5、示，扇形的半径为r =1 ´ 40¸ sin p= 40 ，3，23所以扇形的面积为1 ´ 2p1600p´ 402 =233又三角形的面积为1 ´sin 2p323´ 402 = 400，所以弧田的面积为1600p- 400» 1600p- 400 ´1.73 = 908(m2 ) ，333又圆心到弦的距离等于40´cos p3= 20 ，所示矢长为40 - 20 = 20 ，依据上述弧田的面积阅历计算可得 1 ( 弦´ 矢+ 矢22) =1 ´ (403 ´ 20 + 2

6、02 ) = 892(m2 ) ，2所以两者的差为908 - 892 = 16(m2) . 故选：b.【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式和面积公式的应用，以及我国古典数学的应用问题，其中解答中认真审题，合理利 用扇形弧长和面积公式求解是解答的关键，着重考查了分 析问题和解答问题的力量，属于中档试题.4. 已知函数f (x) = ìx2 + x +1x ³ 0 ，若f (sina + sin b + sin36 ° -1) = -1，îí2x +1x < 0f (cosa + cos b + cos36 ° + 1) = 3 ，

7、则cos(a - b) = （）a 12【答案】cb2c - 12d -2【解析】由函数 f (x) 的解析式，求得 f (-1)= -1， f (1)= 3 ，进而得到sina + sin b = -sin36 ° ，cosa + cos b = -cos36°，结合两角差的余弦公式和三角函数的基本关系式，即可求解.【详解】ì13由题意，函数ìx2 + x +1x ³ 0ï(x +)2 +=f (x)24x ³ 0 ，îí2x +1x < 0íïî2x +1x <

8、; 0令 f (x)= -1，即2x +1 = -1，即x = -1 ，所以 f (-1)= -1， 令 f (x)= 3，即x2 + x +1 = 3 ，即x = 1 ，所以 f (1)= 3 ，又由于 f (sina + sin b + sin36 ° -1) = -1， f (cosa + cos b + cos36 ° + 1) = 3 ， 即 f (sina + sin b + sin36 ° -1) = f (-1) ， f (cosa + cos b + cos36 ° + 1) = f (1)， 所以sina + sin b + sin3

9、6 ° -1 = -1， cosa + cosb + cos36° +1 = 1 ，即sina + sin b = -sin36 ° ， cosa + cos b = -cos36°， 平方可得sin 2 a + sin 2 b + 2sin a sin b = sin 2 36° ， cos2 a + cos2 b + 2cosa cosb = cos2 36° ，两式相加可得2 + 2(cosa cos b + sina sin b) = 2 + 2cos( a - b) = 1 ，所以cos(a - b) = - 1 .2故选：

10、c.【点睛】本题主要考查了两角和与差的余弦公式，三角函数的基本 关系式的应用，以及函数的解析式的应用，其中解答中合 理应用三角函数的恒等变换的公式进行运算是解答的关键，着重考查了推理与运算力量，属于中档试题.二、填空题 5弧度制是数学上一种度量角的单位制，数学家欧拉在他的著作无穷小分析概论中提出把圆的半径作为弧长 的度量单位.已知一个扇形的弧长等于其半径长，则该扇形圆心角的弧度数是【答案】1l【解析】设扇形的弧长和半径长为l ，由弧度制的定义可得，该扇形圆心角的弧度数是a= l = 1.6. 化简：cos(p2+ x) + sin(p - x) - tan(2p + x)= 【答案】-1cot

11、(p2- x) + cos(-x) + cos(p + x)【解析】依据三角函数的诱导公式，精确运算，即可求解.【详解】由题意，可得cos(p2+ x) + sin(p - x) - tan(2p + x)= -sinx + sinx - tanx = -tan x= -1 .cot(p2- x) + cos(-x) + cos(p + x)tan x + cos x - cos xtan x故答案为： -1.【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式的化简、求值问题， 其中解答中熟记三角函数的诱导公式，精确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算力量，属于基础题.7. 设 a0，角 的终边经过点

12、 p（3a，4a），那么【答案】sin+2cos 的值等于 x=3a，y=4a，r=5a，sin+2cos= 【解析】试题分析：利用任意角三角函数定义求解 解：a0，角 的终边经过点 p（3a，4a），故答案为 32【考点】任意角的三角函数的定义8. 在锐角【答案】p3abc 中，a = 45° ，ac =，bc =，则b = 3【解析】由正弦定理，可得 ac = bc ，求得sin b =，即可求解，得到答案.【详解】由正弦定理，可得 acsin bsin a2= bc，所以sin b = ac ×sin a =bcsin bsin a3 ×sin 45 =32

13、2，又由 abc 为锐角三角形，所以b = p .3故答案为： p .3【点睛】本题主要考查了正弦定理得应用，其中解答中熟记正弦定理，精确计算是解答的关键，着重考查了计算力量，属于 基础题.9如图为函数 f (x) = a sin(wx +j)（ a > 0 ，w > 0 ，| j |<的部分图像，则 y = f (x) 函数解析式为 p ，x Î r ）2【答案】 f (x) = 2sin(2 x + p )3【解析】由函数 f (x) = asin(wx +j) 的部分图像，先求得a = 2,t = p ，得到 f (x) = 2sin(2 x +j ) ，再由

14、 f ( p12) = 2，得到sin(p+j) = 1，结合|j |<p ，求得j = p，即可得到函数的解析623式.【详解】由题意，依据函数 f (x) = a sin(wx +j) 的部分图像，可得 a = 2, 1 t = p - p= p ，所以t = p ，又由w =2p = 2 ，即43124tf (x) = 2sin(2 x +j ) ，又由 f ( p) = 2sin(2 ´p +j) = 2sin( p+j) = 2 ，即sin(p+j) = 1，121266解得p6+j = p2+ 2kp, k Î z ，即j = p3+ 2kp, k 

15、06; z ，p又由于|j |< p ，所以j = p，所以f (x) = 2sin(2 x +) .2故答案为：【点睛】33f (x) = 2sin(2 x + p ) .3本题主要考查了利用三角函数的图象求解函数的解析式， 其中解答中熟记三角函数的图象与性质，精确计算是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算力量， 属于基础题.10已知sinq2+ cosq =2，则cos2q =.233【答案】 79【解析】对已知等式的左右两边同时平方，利用同角的三 角函数关系式和二倍角的正弦公式，可以求出sinq 的值， 再利用二倍角的余弦公式可以求出cos2q .【详解】由于sin

16、q+ cosq =，所以1 + sinq = 4 ，即sinq = 1 ，2322333所以cos2q = 1 - 2sin 2q = 1 -【点睛】2 = 7 .99本题考查了同角的三角函数关系，考查了二倍角的正弦公 式和余弦公式，考查了数学运算力量.11若在abc 中， Ða = 60 , b = 1, s=dabca + b + c=。sin a + sin b + sin c239【答案】3, 则3【解析】由a 的度数求出 sina 和 cosa 的值，依据 sina 的值，三角形的面积及 b 的值，利用三角形面积公式求出 c 的值，再由 cosa，b 及 c 的值，利用余弦

17、定理求出 a 的值，最终依据正弦定理及比例性质即可得到所求式子的比 值【详解】由a=60°，得到 sina=，cosa= 1 ，3223又b=1，sabc=，33 1 bcsina= 1 ×1×c×=，222解得c=4，依据余弦定理得：a2=b2+c22bccosa=1+164=13，13解得a=，依据正弦定理a sina=b sinb=c=，133239sinc32239则a + b + c=sina + sinb + sinc3239故答案为：3【点睛】此题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，特 殊角的三角函数值以及比例的性质，正弦定理、余弦

18、定理建立了三角形的边与角之间的关系，娴熟把握定理及公式是解本题的关键12把函数 y = sin(2x + 4p ) 的图像上各点向右平移 p个单位，52再把横坐标变为原来的一半，纵坐标扩大到原来的 4 倍，则所得的函数的对称中心坐标为 【答案】(kp +p ,0) ， k Î z420【解析】依据三角函数的图象变换，求得函数的解析式， 进而求得函数的对称中心，得到答案.【详解】由题意，把函数 y = sin(2x + 4p) 的图像上各点向右平移p 个单52位，可得 y = sin2( x - p ) + 4 p = sin(2 x - p ) ，255再把 y = sin(2 x

19、- p5) 图象上点的横坐标变为原来的一半，可得y = sin(4 x - p ) ，5把函数 y = sin(4x - p ) 纵坐标扩大到原来的54 倍，可得y = 4sin(4 x - p ) ，5令4x - p5= kp, k Î z，解得x =p + kp204, k Î z ，所以函数的对称中心为(kp +p ,0), k Î z .故答案为：(kp + p420,0), k Î z .420【点睛】本题主要考查了三角函数 y = asin(wx +j ) 的图象变换，以及三角函数的对称中心的求解，其中解答中娴熟三角函数的 图象变换，以及三角

20、函数的图象与性质是解答的关键，着 重考查了推理与运算力量，属于基础题.13已知sin (a + 2b ) = 3 ，且b ¹ 1 kp， a + b ¹ np + p(n、k Î z ).则sin a22tan (a + b ) 的值是.tan b【答案】2【解析】【详解】(b )(b )b1 éësin (a + 2b )+ sinaùûsin (a + 2b )+12tan a += sin a +×cos= 2=(sina)tanbcos(a + b )×sinb1 éësin

21、(a + 2b )- sinaùûsina + 2b-1sina= 3 +1 = 2 .3 -114如图，在 abc 中，三个内角a 、b 、c 所对的边分别为a 、b 、c ，若a = b(sin c + cos c) ， a = p2， d 为 abc 外一点，db = 3 ， dc = 2 ，则平面四边形 abdc 面积的最大值为2【答案】13 + 34【解析】依据题意和正弦定理，化简得cos b sin c = sin bsin c ，进而得到b = p4，在dbcd 中，由余弦定理，求得bc 2 = 13 -12cos d ，进而得到sdabc= 13 -12co

22、s d4， sdbcd= 3sin d ，得出四边形的面积为s = 13 -12cos d + 3sin d ，再结合三角函数4的性质，即可求解.【详解】由题意，在dabc 中，由于a = b(sin c + cos c) ，所以sin a = sin b(sin c + cos c) ，可得sinp - (b + c) = sin b(sin c + cos c) ,即sin( b + c) = sin b(sin c + cos c) ，所以sin b cosc + cos b sin c = sin b sin c +sin b cosc ， 所以cos b sin c = sin bs

23、in c ，又由于c Î (0,p ) ，可得sin c > 0 ，所以cos b = sin b ，即tan b = 1,由于b Î(0,p ) ，所以b = p ，4在dbcd 中， db = 3, dc = 2 ，由余弦定理，可得bc 2 = 22 + 32 - 2 ´ 2 ´ 3cos d = 13 -12cos d ，又由于 a = p, b = p，所以dabc 为等腰直角三角形，24所以113 -12cos d ，s=bc 2 =dabc44又由于sdbcd= 1 ´ bd ´ dc sin d = 3sin d

24、，2所以四边形的面积为13 -+13 -12sin(d - p ) ，2s =12cos d + 3sin d = 1312cos d12cos d =4444当d =13 + 343p 时，四边形 abdc 的面积有最大值，最大值为42.2故答案为： 13 + 3.4【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式 的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件 和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求 解是解答的关键，着重考查了运算与求解力量，属于基础 题.三、解答题15已知cosa = - 3 ，a Î5（1） 求cos(a - p ) 的值；4（2）

25、求tan(a - p ) 的值.24(p ,p) . 2【答案】（1）10；（2） 1 .23【解析】（1）由cosa = - 3 ，a Î5(p ,p) 2，求得sina4 ，结合两5角差的余弦公式，即可求解；（2）由三角函数的基本关系式和诱导公式，求得tan(a - p ) =3 ，再集合两角差的正切公式，即可求解.24【详解】（1）由题意知，cosa = - 3 ，a Î5(p ,p) 21cos2a，所以sina4 ， 5222则cos(a - p ) = cosa cos p + sina sin p = - 3 ´+ 3 ´=.4445252

26、10（2）由三角函数的基本关系式，可得tan a =sin a= - 4 ，则tan(a - p ) = - cota = 3cosa324pap2 tan(a - p )又由tan(a -) = tan2(-) =24= 3 ，224ap41- tan2(-)24解得tan(a - p ) = 1 或tan(a - p ) = -3 ，(0,)24324又由于a Î(p,p)，可得a- p Îp，所以tan(a- p ) = 1 .2【点睛】244243本题主要考查了三角函数的基本关系式，三角函数的诱导公式，以及三角恒等变换的化简、求值问题，其中解答中 熟记三角恒等变换的

27、基本公式，精确运算时解答的关键， 着重考查了推理与运算力量，属于基础题.16. 设函数 f ( x) = 2cos 2 x +3 sin 2 x .（1）求函数 f (x) 的单调递减区间；（2）若x Î- p34,0 ，求函数 f (x) 的值域.【答案】（1） ékp + p, kp + 2p ù , k Î z ；（2） é-+1,2ù .ëê63 úûëû【解析】分析：（1）由二倍角公式将表达式化一得到，f (x )= 2sin æ 2x + p ö

28、; +1，令2kpp2xp2kp + 3p,k Î z ，得到单ç6 ÷+£+£262èø调区间；（2） x Î é- p,0 ù 时， 2xpép, p ù ，依据第一问的êë4úû表达式得到值域. 详解：+ 6 Î êë-36 úû（1）由f (x )= 2cos2x +3sin2 x =3sin2 x + cos2 x +1 = 2sin æ 2x + p ö

29、+1令2kp+ p £22x + p £6ç÷6èø2kp + 3p , k Î z2得： kp+ p £ x £ kp6+ 2p3, k Î z所以，函数f (x)的单调减区间为ékp + p, kp + 2p ù , k Î zêë6（2）当x Î é- p ,0 ù 时， 2xpép , p ù , 3 úûëê4úû+ 6 

30、06; êë-36 úû3sin æ 2x + p öé, 1 ù ,ç÷Î ê-6ûèøë22 ú3 2sin æ 2x + p ö +1Î é-+ 1,2ù ,ç6 ÷ëûèøë所以， 函数 f (x)的值域是： é-3û+1,2ù .点睛：本题求最值利用三角函数关心角公式a

31、2 + b2a2 + b2asina + bcosa =a2 + b2 sin (a +j),sinj =b,cosj =a将函数化为asin(x +j )的形式，利用三角函数的图像特点得到函数的值域.17. 在 abc 中，角 a 、b 、c 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos a = 1 .3（1） 求sin2 b + c + cos 2 a 的值；2（2） 若a =（3） 若a =3 ，求bc 的最大值；17， b = 3 ， d 为bc 的中点，求线段 ad 的长度.33【答案】（1） - 1 ； （2） 9 ； （3）.942【解析】（1）由三角恒等变换的公式，化简sin2b

32、+ c1+ cos a+ cos 2 a =+ 2cos 2 a -1 22，代入即可求解.（2） 在dabc 中，由余弦定理，结合基本不等式，求得bc £ 9 ，4即可得到答案.（3） 设 ad = m ，在dabc 中，由余弦定理，求得c = 4 ，分别在dacd 和dabd 中，利用余弦定理，列出方程，即可求解.【详解】（1） 由题意，在dabc 中， b + c = p- a ，则cos( b + c) = cos(p - a) = - cos a又由sin2b + c1- cos(b + c)1+ cos a+ cos 2 a =+ 2cos 2 a -1 =+ 2cos

33、2 a -1 22211111= 2cos 2 a +cos a -= 2 ´(1)2 +´-= - 1 .2232329（2） 在dabc 中，由余弦定理可得a2 = b2 + c2 - 2bc cos a ，即3 = b2 + c2 - 2 bc ³ 2bc - 2 bc =4 bc ，可得bc £9 ，当且仅当b = c 等3334号成立，所以bc 的最大值为9 .4（3） 设 ad = m ，如图所示，在dabc 中，由余弦定理可得a2 = b2 + c2 - 2bc cos a ， 即17 = 9 + c2 - 2 ´ 3c 

34、0; 1 ，即c2 - 2c - 8 = 0 ，解得c = 4 ，3在dacd 中，由余弦定理,可得ac 2 = m2 + cd2 - 2m ´ cd ´ cos Ðadc ，在dabd 中，由余弦定理,可得ab2 = m2 + bd2 - 2m ´ bd ´ cos Ðadb ，由于Ðadc +Ð adb = p ，所以cosÐadc = -cosÐadb ， 由+，可得 ac 2 + ab2 = 2m2 + cd2 + bd2 ，即32 + 42 = 2m2 + (17+)2(17 )2 ，

35、解得m =2233 ，即 ad =233 .2【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，同 角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应 用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及合理应用 正弦定理、余弦定理求解是解答的关键，着重考查了转化 思想与运算、求解力量，属于基础题18. 已知函数 f (x) = cos x cos(x - p ) +63sin 2 x -， x Î r .334（1）将 f (x) 化为 a sin(wx +j) + b 的形式（ a > 0 ，w > 0 ，|j |< p ）2并求 f (x) 的最小正周期t ；,（

36、2）设g(x) = af (x) + b ，若g(x) 在- pp44上的值域为0,3 ，求实数a 、b 的值；（3）若 f (x) + 1 + (-1)n × m > 0 对任意的 x Î- p4p和恒成立，, 4 n Î n*求实数m 取值范围.【答案】（1）f (x) =1 sin(2 x - p 23) ，t = p；（2） a = 4， b = 2 ，或a = -4， b = 1；（3） (- 1 , 1 ) .22【解析】(1)由三角函数的恒等变换公式和正弦函数的周期 的公式，即可求解；(2)由正弦函数的图象与性质，争辩a 的范围，得到a, b

37、的方程组，即可求得a, b 的值；（3）对n 争辩奇数和偶数，由参数分别和函数的最值，即可求得m 的范围.【详解】(1)由题意，函数 f (x) = cos x cos(x - p ) +3363sin 2 x -3343= cos x(cos x + 1 sin x) +(1- cos 2x) - 3 22243= 1 sin 2x) -cos 2x = 1 sin(2 x - p )4423所以函数 f (x)的最小正周期为t = 2p = p .2（2）由（1）知 f (x)=1 sin(2 x - p ) ，当x Î- p , p时，则2x2- p Î3-5pp,，

38、所以- 1 £1 sin(2 x - p) £ 1 ，,443662234即- 1 £ f2(x )£1 ，令t = f,4(x)，则t Î- 11 ，24函数g (x)= af(x)+ b ，即g (x)= at + b ， t Î- 11 ，24当a > 0时， g (x)在t Î- 1 , 1为单调递增函数，24íì- 1 a + b = 0可得g(- 1 ) = 0 且g ( 1 )24= 3，即ï 2ïï 4+=1ab3î，解得a = 4,b = 2

39、 ；当a > 0时， g (x)在t Î- 1 , 1为单调递减函数，24íì- 1 a + b = 3可得g (- 1 ) = 3 且g ( 1 )24= 0，即ï 2ïï 4+=1ab0î，解得a = -4,b = 1 ；综上可得a = 4 ， b = 2 或a = -4 ， b = 1；,（3）由（2）可知，当x Î- pp时， - 1£ f (x )£ 1 ，4424当n 为奇数时， f (x) + 1 + (-1)n × m > 0 ，即为 f (x) +1- m

40、 > 0 ，即m < f (x) +1恒成立，又由 f (x) +1= - 1 + 1 =1 ，即m < 1 ；min222当n 为偶数时， f (x) + 1 + (-1)n × m > 0 ，即为 f (x) +1+ m > 0 ，即m > - f (x) -1恒成立，又由- f (x) -1max= 1 -1 = - 1 22，即m > - 1 ；2综上可得，实数m 满足- 1< m <1 ，即实数m 取值范围(- 1 1 .,)2222【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解中娴熟化简函数

41、的解析式，合理应用三角函数的图象与性质，以及利用分类争辩和分别参数求解是解答的关键，着重考查了分类争辩思想，分别参数，以 及推理与运算力量，属于中档试题.19. 已知tana + tan b + tang = 17 ， cota + cot b + cotg = - 4 ，65cota cot b + cot b cotg + cotg cota = - 175，求tan(a + b + g ) .【答案】11【解析】依据题设条件，结合三角数的基本关系式，分别求得 tanb tang + tana tang + tana tanb = 2 ，和tana tan b tang = - 536，再

42、利用两角和的正切的公式，进行化简、运算，即可求解.【详解】由tan(a + b + g ) = tan(a + b) + g =tan(a + b) + tang=tana + tan b + tang1- tana tan b1- tan(a + b) tangtana + tan b + tan g - tana tan b tan g1- tana + tan b1- tana tan b× tang=a1- tana tan b= tana + tan b + tan g - tana tan b tan g1- tan，tan b - tana tan g - tan b

43、tan g1- tana tan b - tana tan g - tan b tan g1- tana tan b由cota cot b + cot b cotg + cotg cota = - 17 ，5可得1+1+1= tana + tan b + tang= -17tana tan btan b tangtang tanatana tan b tang5又由tana + tan b + tang = 17 ，所以tana tan b tang = - 5 ，66由cota + cot b + cotg = - 4 ，5得 1+1+1=tan b tang + tana tang + t

44、ana tan b= - 4 ，tanatan btangtana tan b tang5可得tanb tang + tana tang + tana tanb = 2 ，3tana +b +g -abg17 - (- 5)所以tantantantantan= 66= 11，1- tana tan b - tana tang - tan b tang即tan(a + b + g ) = 11.【点睛】1- 23本题主要考查了两角和与差的正切函数的化简、求值问题，其中解答中熟记两角和与差的正切公式，精确运算是 解答的关键，着重考查了推理与运算力量，试题有肯定的 难度，属于中档试题.20. 已知对

45、任意 x Î r ，a cos x + b cos2 x +1 ³ 0 恒成立（其中b > 0 ），求a + b 的最大值.【答案】a + b 的最大值为10 .【解析】试题分析：利用二倍角公式cos 2x = 2cos 2 x -1 ，利用换元法 t = cos x (-1 £ t £ 1)，将原不等式转化为二次不等式 2bt 2 + at +1- b ³ 0 在区间-1,1上恒成立，利用二次函数的零点分布进行争辩，从而得出a + b 的最大值，但是在对0 < b £ 1 时的状况下，主要对二次函数的对称轴 t = - a4b是否在区间-1,1进行分类争辩，再将问题转化为a2 £ 8b - 8b2 的条件下， 求a + b 的最大值，试题解析：由题意知()，a cos x + b cos 2x +1 = a cos x + b2cos 2 x -1 +1 = 2b cos2 x + a cos x +1 - b令cos x = t ， t Î-1,1，则当 f (t )= 2bt2 + a