案例分析与教师发展-解题-初中

1、案例分析与教师发展 （解题案例）陕西师范大学数学系罗增儒邮编710062电话 029-8530887213609297766e-mail: zrluosnnu. edu. cn引言数学解题是数学学习中一个不可或缺的核心内容，一个 不可替代的实质活动，数学解题的思维实质是发生数学，解 题活动的核心价值是掌握数学.同时，数学解题能力是数学 教师的专业制高点.基于个人的成功经验，建议通过解题分析来促进教师的 发展.关键要点：科学把握怎样解题的基本过程；（怎样解题的的四步骤）懂得通过解题分析去学会解题.（怎样学会解题的四步骤）（上午重在教学案例，下午重在解题案例）（发车间隔问题）1解题分析的初步认识本

2、来，可以先给出界定，然后举例说明，但我不这样做, 我将通过经历解题的方式来感悟解题分析.1-1通过分析解题来说明解题分析1-1-1案例的呈现引例某人从甲地走往乙地，甲、乙两地有定时公共汽车往返，而两地发车的间隔都相等，他发现每隔6分钟 开过来一辆到甲地的公共汽车，每隔12分钟开过去一辆到 乙地的公共汽车，问公共汽车的发车间隔为几分钟.（一个思路是分解为相遇问题与追及问题）解法1设人的速度为5,公共汽车的速度为岭，又设 在一个发车间隔的时间里公共汽车走s千米.由“每隔6分 钟开过来一辆到甲地的公共汽车”知，汽车与人相遇（相向 而行，相当于相遇问题）的相对速度为v岭+v人=石，rti “每隔12分

3、钟开过去一辆到乙地的公共汽车”知， 汽车超过人（同向而行，相当于追及问题）的相对速度为于是，汽车本身的速度为(s s) + 16 12 丿 得发车间隔时间为2s=s16 12二丁 = 8（分钟）16 121 15o66 + 3ooo=3750 ( km ) 2kk k15000 3000（工程问立即可以发现，它们有完全一样的数学结构趕1a b题），只有具体数字的微小差别，当然也可以取6与12的最 小公倍数来处理，请看解法2解法2假设人从甲地出发往乙地走了 12分钟，依题意,其间必有-部公共汽车从他的后面开过来（沪），然后他立即掉头（掉头时间忽略不计），再走12分钟返回到甲地，依 题意，又必有2

4、部电车与他迎面相遇p = 2于是，在2416 ）分钟的时间内（12 + 12 = 24）从甲地发出了 3部车（1 + 2 = 3），得发 车间隔为学=8 （分钟）.3说明2为什么引例1-1与自行车问题有相同的结构呢？我们也拿一个工程问题来与例1-1作比较：引例12 件工程，甲单独干一半6天完成，乙单独干一半12天完成，甲乙合起来一齐干，整个工程几天完成？解 设工程量为s,则甲单独干的工作效率为丄夕，乙单 2 6独干的工作效率为丄色，甲乙合起来的工作效率为丄化+色2 12 2（6 12丿所以，一齐干完全工程所需要的时间为心£皿（天）（取了 s"2）s丄s2+1十6 12引例1

5、1与引例12列表对照如下（左右两边有“相当于”的对应关系):引例1j:发车间隔问题引例1-2：工程问题一个发车间隔里的路程为s 丁米设工程量为s每隔6分钟开过來一辆到甲地的公共汽车， 汽车与人对向的相对速度为丄千米/分6甲单独干一半6天完成，甲单1 v独干的工作效率丄22 6每隔12分钟开过去-辆到乙地的公共汽车， 汽车与人同向的相对速度为丄千米/分12乙单独干一半12天完成，乙1 q单独干的工作效率为丄22 12汽车自c的速度1 ( v «、-千米/分2(6 12丿甲乙合起来的工作效率为1 ( s s )+ 2(6 12丿2v2发车间隔时间二s s =+6 12 6 12甲乙合起来

6、完成工程的天=2s25 s 11+6 12 6 121-1-2案例的分析回顾自行车问题.例11 一个自行车新轮胎，若安装在前轮则行驶 5000km后报废，若安装在后轮则行驶3000km后报废.如果 行驶一定路程后交换前、后轮胎，使一辆自行车的一对新轮 胎同时报废，那么这辆车将能行驶多少如？(请用方程或算术等多种方法求解.然后想想如何让学生也会解)如果你不能求解，没关系，请先做第2题.例1-2 件工程，平均分为前、后两段，甲工程队干 前半段5000小时完成，乙工程队干后半段3000小时完成， 如果两工程队同时动工，甲工程队干前段、乙工程队干后段 一定时间后，甲、乙两工程队交换（交换时间不计），使

7、前、 后两段同时完工，问整个工程一共几小时完成？（属于什么题型？屮途交换如何处理？）如果你能求解第2题请返回做第1题；如果你也不能求 解第2题，没关系，请先做第3题：例13 件工程，甲工程队干一半需5000小时，乙工 程队干一半需3000小时，如果甲、乙两工程队一齐干，整 个工程几小时完成？（中途交换去掉了，属于什么题型？）如果你能求解第3题，请返冋做第2、1题；如果你不 能求解第3题，请看第4题.例1-4 一件工程，甲工程队干需10000小时，乙工程 队干需6000小时，如果甲、乙两工程队一齐干，整个工程 几小时完成？这是标准的工程问题了.最终至少要用两个以上的解法完成第1题.希望完成之 后

8、能谈谈感想，想说什么就说什么.解题分析1：关于解法.解法1 （方程解法）旦+竺斗5000 3000，出+旦".5000 3000'两式相加，得p(o + b) k (a + b)打5000 + 3000'贝【ja + b= t 2k z=3750 ( km ).kk11 1v*代 i 代1 | 1 怎么算？5000 30005000 3000解法2：（方程解法）亘+亘=2k5000 3000'贝ll兀= 二 =3750 （ km ）k k+ h5000 30005000 3000解法3：（算术解法）121= 3750 （ km ）15000 3000解法4：（

9、技巧解法）假设自行车行驶了 15000如，则前轮用了 3个，后轮用了 5个，共报废8个，所以，一对新轮 胎同时报废能行驶型= 3750 （畑）4解法5（技巧解法）解题分析2：关于教学设计的意图.（1）解题化归的教学设计.（2）揭示问题的深层结构.自行车问题有工程问题的深层结构.（列表说明）(3) 沟通一题多解的内在联系.q 1ca + h =: = :=3750 ( km )k k i i115000 30005000 3000这是方程解法的结果，约去k （或说令"1）便是工程解 法，而取"15000,就是技巧解法.所以，三类解法是可以沟 通的.解题分析3：工程问题的深层提

10、炼.题目 完成一件工程，甲单独干需要2天，乙单独干 需要3天，甲乙一齐干几天完成？这是小学时的“工程问题”，其基本关系是： 工作效率x工作时间=工程总量（定值）.对这个基本关系作抽象，有单位量x单位数=总量（定值）.再作形式化抽象，得xy = k （定值）.可见，“工程问题”的本质是一个反比例函数模式:（1）一件工程，对应着存在一个反比例函数关系 尸心匚 这是反映题型特征的基本关系g对应工作效率,xy对应工作时间，k对应定值工程总量）.（2）甲单独干需要2天，乙单独干需要3天，对应着 在反比例函数y = /（x）中因变量取必=2,儿=3 .（3）甲乙一齐干几天完成，对应着求函数值/（x,+x2

11、）：计算结果与比例系数r无关，这就是说，即使不知道比例系数r （工程总量）和自变量兀“2 （每个工程队的工作效率）, 也能求出函数值/（x1+x2）（两个工程队一齐干工作时间）（4）更一般地，“工程问题”的反比例函数模式是： 对反比例函数y = f（x）,给出函数值心2,，儿，求 /（xj +x7+- + xj其求解步骤是：首先将兀表不为土，然后代 入所求式2<（ k k k i）'】儿 yn）_比_i二 k二 i*11）1 儿儿 ）1 力儿计算结果与比例系数r无关，这就是说，即使不知道比 例系数£和自变量xx2,-,x,也能求出函数值/（x,+x2+- + x）.（5

12、）如果把工程平分为段，个工程队干每一段分别需）“2,，儿天，贝心个工程队一起干需一卢天完成. + +x >2儿有了工程问题的这些认识，就能对“形异而质同”的问 题迅速识别，并提取相应的方法加以解决.1-5某人从甲地走往乙地，甲、乙两地有定时公共汽车往返，而两地发车的间隔都相等，他发现每隔6分钟开 过来一辆到甲地的公共汽车，每隔12分钟开过去一辆到乙 地的公共汽车，问公共汽车的发车间隔为几分钟.例16向一个水池里注水，甲龙头6小时注满，乙龙头12小时注满，甲乙龙头一齐注水儿小时注满?1-7有甲、乙两个码头，轮船从甲到乙顺流而下需要 6小时，从乙到甲逆流而上需要12小时，问轮船在静水中走 甲

13、乙同样的距离需要几小时？例1-8从甲地到乙地，客车需°小时，货车需小时， 现两车分别从甲乙两地同时出发，相向而行，几小时两车相 遇？例19某公路由上坡、下坡两个等长的路段组成，已 知一汽车上坡时速度为a千米/小时，下坡时时速度为b千米 /小时，求这部汽车在整段路面上的平均速度.1-10 小王从甲地到乙地往返的时速分别为“和b（a<b其全程的平均时速为-则 （a ）(a) a <v < ab(b ) v = ab(d) v（c） g佇（2012高考数学陕西文科第10题）解 设甲乙的路程为s,则往返为2s, 乂小王从甲到乙用时为2,从乙到a甲用时为色，往返共用时，其全程

14、的平均时速为u二下来取的ba b1 i 1十 a b特殊值便可比较出算术平均、几何平均与调和平均的大小，但是，十几万考生的 得分率只有0. 14,比随机回答的得分率0. 25还低，这再次说明，人们认识“调和平均”的结构是有难度的.例111某生物生长过程中，在三个连续时段内的增长量都相等，在各时段内平均增长速度分别为5巾心该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为(a)丄丄丄(b)巴*石*石3(c) vv1v2v3(d)3iir+ + v1v2v3(2007高考数学陕西文科第12题)例1-12妈妈去商店买布，所带的钱刚好可买甲布2米,或乙布3米.若两种布都买同样多的米数，问所带的钱最多可各买儿米

15、?例 1-13妈妈去商店买布，所带的钱刚好可买甲布2米,或乙布3米，或丙布6米.若三种布都买同样多的米数，问所带的钱最多可各买几米?例 1-14如图1,在直线。上平放有3个面积相等的矩图1形，其高分别为2米，3米，6米现 作一平行于底的直线b,使截得三部分 阴影面积之和恰好等于一个矩形的面 积，求mz间的距离.解题分析4：对“学解题.教解题、编习题”的启示.总结上血的讲解，每个人都有机会领悟一些有益的启示(千万别进宝山而空还)，由于这是一个个性化的经验生成 过程，认识的差异是难免的，作为抛砖引玉，我们谈三点启 示就教于同行.(1)关于解题学习的启示.解题获得答案是必要的，但 学解题不要满足于获

16、得答案，继续分析解题过程是认识问题 深层结构、学会怎样解题的有效途径.如同大家所看到的， 对本例的反思分析就如同给我们的眼睛配备了显微镜和望 远镜，既看得更细了（微观更透彻），又看得更远了（宏观 更开阔）.（2）关于解题教学的启示.解题教学不仅要教解题活 动的结果（答案），而且要呈现解题活动的必要过程一一暴 露数学解题的思维活动.没有过程的结果是事实的外在灌 输，没有结果的过程是时间的低效消费，解题教学不仅要获 得答案，而且要从获得答案的过程中学会怎样解题，把过程 与结果结合起来.对于本例，我们建议：不妨依次转化为例 1-2、例1-3、例1-4 进行化归思想的教学；或者反过来 回忆小学时的例1

17、-4,然后逐步深入到例1-3、例1-2、例1-1, 从小学的“公式”讲到中学的“方程”进行模式提炼的 教学（数学是关于模式的科学）.把获得答案转变为获得答 案的过程、转变为渗透数学思想方法的活动过程.（3）关于习题编拟的启示.沿着例1-4、例1-3.例1-2、 例1-1的路线，我们可以从教材出发编拟出很多习题，既实 用又易行，于是，我们每一个教师都可以方便地在自己的每 一节课上进行“变式练习”，并把中国数学教育的“变式教 学”传统发扬光大.（罗增儒：一个自行车问题的教学分析.中学数学教学参考（中旬），2013, 12）1-2解题分析的理论提炼这是一个“亲身参与”的解题案例.我们通过这个活动 来

18、启引大家认识解题分析，实际上是在进行"案例教学”， 是在分析提炼内蕴于其背后的思想、意义与道理（案例研 究）.写成文章就是教育叙事.1-2-1解题分析由相关案例可以看到，学解题的关键是学会解题分析， 主要包括解题思路的探求和解题过程的反思.（1）解题思路的探求.是把“题”作为认识的对象， 把“解”作为认识的目标，重点展示由已知条件到未知结论 的沟通过程，说清怎样获得题目的答案（这是一个认知过 程）.（2）解题过程的反思.是继续把解题活动（包括题目与 初步解法）作为认识的对象，不仅关注如何获得解，而且寄希 望于对“解”的进一步分析而增强数学能力、优化认知结构、 提高思维素质，学会“数学

19、地思维”，重点在怎样学会解题（这是一个再认知过程）.1-2-1解题教学分析由相关案例可以看到：什么是解题教学分析以及怎样进 行数学解题的教学分析.（1）数学解题的教学分析就是从教学的角度分析数学 解题，既帮助学半学会解题，又增强教师的解题教学能力.它 的表层目标是通过解题学会“数学地思维”，深层目标是通 过数学学会思维.（2）怎样进行数学解题的教学分析？主要是分析解题、 编题、答题.首先是怎样解题的分析，同时，对于教师和考 试，还可以有怎样编题和怎样答题的分析. 怎样解题的分析.这是数学解题教学分析的基本工 作，每道题都可以做，重点在暴露数学解题的思维过程.这 当中，难免会有弯路与曲折，因此，

20、还应有解题困难的分析 （知识因素、逻辑因素、策略因素、心理因素等方面），解 题错误的分析（错误的内容、错误的性质和纠止错误的办法 等. 怎样编题的分析.对于教师而言，不应只会等着做别 人出的题，述应懂得编题的科学性要求、逻辑性要求，熟悉 编拟各类题型的基本方法、能够根据教材和学生编拟出各个 层次的题目. 怎样答题的分析.对于考试题，教师应该洞察考查目 标（考查什么知识、什么能力、什么思想、什么方法等）， 熟悉考试技术，对学生作出有力而高效的指导（不是一味的 题海战术）.2怎样解题的基本过程2-1什么叫数学解题2-1-1数学题（1）界定：数学上要求回答或解释的事情，需要研究 或解决的矛盾，称为数

21、学题.对数学家而言，重在第二句话：“需要研究或解决的矛 盾在数学教学中，重在第一句话：“要求回答或解释的事 情”.内容包括一个待进行的运算、一个待推理的证明、一 个待完成的作图、一个待建立的概念、一个待论证的泄理、 一个待解决的实际问题等.（特别提醒：构建概念、论证定 理也是解题！）比如，如何构造有理数（无穷数集）与直线（无穷点集） 的对应，从而建立数轴的概念，就是一道题.通过改造直线 （主要是加上三要素：原点、单位和方向），然后，把整数 “放”在格点上，把两整数之间的分数“放”在相应两格点 之间，建立起数轴，就是解了一道数学题；学生在这个数学 活动中，学到了数轴的概念，感悟了 “集合与对应的

22、思想”、 体验了 “数形结合的思想”，经历了数学化的提炼过程等， 就是在学习解题.（2）认识：数学题的标准形式包括两个最基本的要素: 条件，结论“未知的结论” 一方面像空着的位置，需要加 以填充，另一方面又由“已知的条件”客观决定着，构成“已 隐蔽地确定”与“未明显地给出”的统一.这就是教学中的 数学题.研究型程被证实)数学题教学型旦被证实)常规练习题 问题解决的问题2-1-2数学解题(1) 界定：解题就是求出数学题的答案.(2) 认识：这个答案在数学上也叫做“解”，这个“解” 的重要特征是“沟通条件与结论之间的联系”，自动包括“沟 通联系”中每一步的数学依据，所以解题有四个要素：条件、 结论

23、、解和解题依据.“寻找条件与结论之间的联系”永远是数学解题的思考 中心，这是一个“将已有知识用于新情境”的探索过程、发 现过程.通常是从模仿开始、经过练习、学会发现.一个人拿到题目之后，通过翻看习题集得到了答案(当 然这个答案是正确的)，从形式上看他的问题解决了，但这 是一个缺少过程、缺少探索、缺少发现的“结果”，应是一 个不成功的“解题”.我们认为，解题更应像攀登珠穆朗玛 峰、徒步从一个营地跋涉到另一个营地，而不是旅游、坐着 轿车从一个景点玩到另一个景点.2-2数学解题的基本过程我们把寻找习题解答的活动叫做解题过程.解题过程不仅 仅是“书写解答”，它应该包括从拿到题目到完全解出的所 有环节或

24、每一步骤，通常有四个基本的阶段（波利亚）：理 解题意、思路探求、书写解答、回顾反思.科学把握好这四 个阶段是一种良好的解题习惯.2-2-1理解题意理解题意也叫做审题，（审题审什么？怎么审？）主要 是弄清题目已经告诉了你什么，又需要你去做什么，从题冃 本身获取“怎样解这道题”的逻辑起点、推理目标、及沟通 起点与目标之间联系的更多信息.特别要抓好审题的“三个 要点、四个步骤”.（1） “三要点”是：要点1：弄清题目的条件是什么，一共有几个，其数学 含义如何.首先，条件包括明显写出的和隐蔽地给予的，弄清条件 就是要把它们都找出来；其次，也是更重要的，是弄清条件 的数学含义，即看清楚条件所表达的到底是

25、哪些数学概念、 哪些数学关系.题目的条件告诉我们从何处下手、预示“可知”并启发 解题手段，弄清了条件就等于弄清了行动的起点、也准备好 了行进中的加油站.要点2：弄清题目的结论是什么，一共有几个，其数学 含义如何.题目的结论有的是明显给出的，如“求证”题（还有选 择题等），关键是要弄清结论到底与哪些数学关系、哪些数 学概念有关；而有的题目结论是要我们去寻找的，如“求解” 题、探索题（还有填空题等），这时的弄清结论，就是要弄 清“求解”（探索）的性质或范围，它们与哪些数学关系、 哪些数学概念有关，以明确推理或演算的方向.题目的结论告诉我们向何方前进、预告“需知”并引导 解题方向.弄清了结论就等于弄

26、清了行动的目标、也随身带 上了纠止偏差的指南针.数学解题的心理活动总是由意识控制的、被目标支配 的、受实践的目的制导的.要点3：弄清题u的条件和结论有哪些数学联系，是一 种什么样的结构.即在弄清条件的数学含义、结论的数学含义的基础上， 继续弄清条件知识与结论知识之间存在哪些数学联系，这些 联系就表现为题目的结构.为了更接近问题的深层结构，审 题不仅开始于解题工作的第一步，而且贯穿于探求的过程与 结果的反思.应该是循环往复、不断深化的过程.题目的条件和结论是“怎样解这道题”的两个信息源， 审题的实质是从题u本身去获取从何处下手、向何方前进的 信息与启示.（2） “4步骤”是：步骤1：读题一一弄清

27、字面含义.审题首先要逐字逐句读懂题目说了什么，按每分钟阅读 300400个印刷符号的速度计算，通常读完一道题用不了一 分钟，但未必读懂了，因而，还应该从语法结构、逻辑关系 上作出分析，真正弄清哪些是条件，哪些是结论，各有几个, 这是读题最实质性的工作.其次要从答题形式、数据要求上 明确题目的技术性细节，比如在考试中，有的题目要求保留 小数点儿位等等，如果不按这些要求来，解答就会被认为不完整（存在扣分的危险），虽然有的同学并非不会做.步骤2：理解弄清数学含义.看懂题目的字面含义还不能算真正审清题意，它只是为实质性的数学理解扫清了语言障碍，关键是要能进行文字语 言、符号语言、形象语言之间的转化，从

28、题日的叙述屮获取 数学“符号信息”，从题冃的图形中获取数学“形象信息”， 弄清题目的数学含义.这当中，我们常常要“回到定义”、 激活相关的数学知识，常常要辅以图形或记号，使条件和结 论都数学化，并被我们所理解.步骤3：表征一一识别题目类型.信息在大脑的呈现叫做表征.弄清条件、弄清结论的同 吋，条件与结论之间的关系会在头脑呈现，这种呈现不仅会 激活相关的数学知识，而冃也会调动相关的解题经验.对于 大量的常规题来说，条件与结论之间的关系结构是记忆储存 所现成的 每人的头脑里都或多或少、或优或劣储存有基本模式与经典题型，题意弄清楚了，题型就得以识别，提取 该题型的相应方法即可解决（叫做模式识别）.即

29、使是新的 “陌生情景”，我们也有了解决它的逻辑起点与推理目标， 继而可以用“差异分析”、“数形结合”等措施，进入下一阶 段思路探求.解题所做的脑力工作就在于回忆他的经验用得上的东西，并且和他的解题思维联系起来.步骤4：深化接近深层结构.简单题一旦弄清题意，题型就得以识别，思路随之打通,但有时认识是浅层的.对于变通过的、“形似而质异”的、或综合性较强的题目，则还要不停顿地“弄清问题”.因而, “弄清题意”的工作在“识别题口类型”之后还结束不了，主要表现在两个方面：其一是在思路探求中，还有一个继续 弄清题意的过程，否则会思路受挫、思维走偏；其二是在思 路业已打通、解法初步得出时，仍有一个回顾反思、

30、再认识 的过程，即更本质的“弄清问题”、努力接近问题的深层结 构.经验表明，凡是题目未明显写出的，一肚是隐蔽地给予 的，只有细致地审题才能从题h本身获得尽可能多的信息， 这一步不要怕“慢”.题冃的条件和结论是“怎样解这道题”的两个信息源，审题的实质是从题目本身去获取从何处下手、向何方前进的信息与启示.注意：这些要点，叙述时是分解动作，真正解题时是连 续进行、一气呵成的.思考练习1:请思考下面各题中条件是什么、结论是什么.思考题1为加强环保，矿泉水厂实行空瓶兑换回收政 策：3个空瓶可以换1瓶矿泉水.现有10瓶矿泉水，问根据 “回收政策”最多还可喝几瓶矿泉水？（参见案例1）思考题2 已知a,b,c

31、为互不相等的实数，且 匚二亠二丄，求"y + z （1951年高考数学第4题）（题 a-b b-c c-ah有几个已知条件？思路受阻怎么办？见案例2）2-2-2思路探求寻找解题思路是探索解题结论的发现过程，基本的想法 是，把待解决或未解决的问题，化归为一类已经解决或者比 较容易解决的问题.可以分两步走：（如图1）图2（1） 努力在已矢ii与未知之间找出直接的联系 化归 为已经解决过的基本问题.对于大量的常规题來说，题意弄 清楚了，题型就得以识别，记忆中关于这类题的解法就召z 即来.（叫做模式识别）（2）如果找不出直接的联系，就对原来的问题作出某 些必要的变更或修改.（运用解题策略：以

32、退求进、区分种 种情况、止难则反、以及自始至终的数形结合等） 以退求进：可以先考虑问题的特殊情况，或先考虑问 题的一部分，看清楚、想明白了再进.退是手段、进是目的, “难的不会想简单的”是个好主意.在具体实践中，常常是 进退互化. 区分种种情况：或是分解为一个个小步骤（分步）、 或是分解为一个个小类型（分类），各个击破、分别解决.在 具体实践中，常常是分合并用. 正难则反：正面思考有困难时，可以调整思考的方向, 转而从结论入手（分析法、逆推法），或反面思考问题（反 证法）.在具体实践中，常常是正反相辅. 数形结合：在探索的过程中，要始终不忘把数与形结 合起來思考，既会把数式转变为图形，又会把图

33、形转变为数 式，注意发挥数与形的双重优势.（3）中考中的化归：化归为课堂上已经解过的题、化归为往年的屮考题.思考练习2：请思考下题中的解题思路.思考题3将n（«>2）个同学任意分两组，给两组之间的 每两个同学都拉上一绳子（同一组内的同学不拉绳子），继续 这过程，只要某组的同学数大于1,就把这组同学再随意分 成两组，并给两组之间的每两同学再拉一条绳子，直至每组 只有1个同学为止.求过程结束时绳子的总数.（你认为这是什么题型？或可以化为什么题型？参见案例3）dc思考题4 （2005年江苏南通卷第25题） 在直角梯形 abcd 中,ab/dc , zabc = 90° ,

34、ab = 2dc ,对角线4c丄bd,垂足为点f,过点 f作ef /ab ,交仙于点e,求证：四边形abfe是等腰梯形.（参见图3）图3（体现分析法，参见案例4）思考题5请猜一猜：1+£+当+专+,和会是多少？3 323"（体现数形结合，参见案例5）2-2-3书写解答就是把打通了的解题思路（即自己看清楚、想明白的事 情），用文字具体表达出來，说服口己、说服别人（包括同 意或不同意你看法的人）.这当中可能会有某一步骤因忽视 了关键细节而反复，也可能会因认真整理思想而深化理解或 触发新的灵感.在实现计划中“怎样表达”，这对学生来说仍然是一个需要 系统指导和严格训练的问题.我们建

35、议（1）抓住15字口诀：定方法、找起点、分层次、选定理、 用文字.（2）把握24字要领：方法简单、起点明确、层次清楚、 定理准确、论证严密、书写规范.思考练习3：请思考下面各题中的解题思路.思考题7有一组数排列成方阵，如图4所示，试计算这组数的和.1234523456345674567856789图4（这个数表有一种对称性结构，可以有多种不同的书 写，反映出来的思维层次是有区别的，写出你的解法.参见 案例6）思考题8多种方法求出图中有多少个小正方形.（两组 线均为等距平行线）第一麼第二层第n层2-2-4回顾反思有两个层面的回顾反思，一个是解题层面的回顾反思， 另一个学会解题层面的回顾反思.（1

36、）解题层面的回顾反思：主要是复查检验，看计算是否准确、推理是否合理、思维是否周密、解法是否还有更多、 史简单的. 有的检验是解题的必要步骤，检验之后，解题才算完 成; 有的检验是避免过失的技术性措施，像足球守门员把 住最后一关.（2）学会解题层面的冋顾反思：表现为解题后对数学 题目本身及解题方法的重新认识.女口，解题中用到了哪些知 识？哪些方法？这些知识和方法是怎样联系起来的？自己 是怎么想到它们的？困难在哪里？关键是什么？遇到过什 么障碍？后來是怎么解决的？是否还有别的解决方法？更一 般的方法？更特殊的方法？沟通其他学科的方法？更简单 的方法？同样的方法能用来处理更一般性的命题吗？命题 能够

37、推广吗？条件能减弱吗？结论能加强吗？这些方法体 现了什么样的数学思想？调动这些知识和方法体现了什么 样的解题策略？如此等等的思考不仅能改进和完善眼 前的解题，而且能提炼岀对未来解题有指导作用的信息，它的长期积累会升华为数学才华.这是更深层次的回顾反思， 已经涉及学会解题了.思考练习4：做完下面各题后，你作过回顾吗?思考题9 （蚂蚁爬行）如图5, 圆柱体的底面周长为24cm，高43为4cm, 只蚂蚁从点a出发沿着圆柱体的表面爬行到c点的最短路程为（你怎么做的？参见案例7）思考题10张家和李家共同拥有一块如图5所示的平行 四边形田地，田地的屮间有一用于灌溉的圆形池塘，现两家 想把这块田地平均分配，

38、并且中间的池塘也要平均分配.聪 明的同学你能为他们想个法子吗？（写出你的推广，参见案例8)思考题11（1）若一个底面是止三角形的三棱柱的止视图如图6所示,则其侧面积等于（(a) v3(b) 2(c) 2 羽(d) 6（2010年高考数学福建卷文科第3题）图7（2）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图7所示，则其表面积等于（2010年福建卷理科第12题）（参见案例9）这4个步骤需要不断的反馈调节，即使4步完成了也存 在反思改进的空间：有时候思路还比较麻烦，通过反馈调节 而精简；有吋候思路还存在漏洞，通过反馈调节而完善.3怎样学会解题我们认为学解题的关键是学会解题分析，主要包括解题思路的探求和

39、解题过程的反思.解题思路的探求，把“题” 作为认识的对象，把“解”作为认识的目标，重点展示由已 知条件到未知结论的沟通过程，说清怎样获得题目的答案（这是一个认知过程）.而解题过程的反思，则继续把解题 活动（包括题冃与初步解法）作为认识的对象，不仅关注如何 获得解，而且寄希望丁对“解”的进一步分析而增强数学能 力、优化认知结构、提高思维素质，学会“数学地思维”，重点在怎样学会解题（这是一个再认知过程）.学会解题的四步骤程式回顾笔者从当学生到当教师的儿十年解题实践（特别是当教师以来的30年），我们看到了一条清晰的学解题线路： rh “简单模仿、变式练习”开始，经过长期的“口发领悟”, 已经进入到“

40、自觉分析”的阶段.我们将其作为“一个中国 解题者的学习案例”，或“一个中国学习者的解题案例”总 结为学会学解题的四步骤程式：简单模仿、变式练习、自发 领悟、自觉分析.3-1-1简单模仿（1）模仿：通过观察被模仿对象的行为，获得相应的 表象，从而产生类似行为的过程.（2）解题模仿：即模仿着教师或教科书的示范去解决 一些识记性的问题.这是对解题基本模式加以认识并开始积 累的过程.其本身会有体验性的初步理解.学写字从模仿开始，学写作从模仿开始，学绘画从模仿 开始，学音乐舞蹈等艺术也都从模仿开始，每节数学课后的 作业基本上都是模仿性练习（3）记忆：在这一阶段中，记忆是一项重要的内容， 由记到忆，是指信

41、息的巩固与输出的流畅，要解决好： 记忆的敏捷性（记得快）； 记忆的持久性（记得牢或忘得慢）； 记忆的准确性（记得准）； 记忆的准备性（便于提取）.而要真正做到、做好这4点，述需要进入第2阶段.3-1-2变式练习（1）变式练习的含义：即在简单模仿的基础上迈出主 动实践的一步，主要表现为做数量足够、形式变化的干扰性 习题，本质上是进行操作性活动与初步应用.（2）变式练习的作用：首先是通过变换方式或添加次 数而增强效果、巩固记忆、熟练技能；其次是通过必要的实 践来积累理解所需要的操作数量、活动强度和经验体会.“变式”是防止非本质属性泛化的一个有效措施，中国 的数学教育有“变式教学”的优良传统，“变式

42、练习”是这 一传统在解题教学上的重要体现；数学概念具有“过程”与“对象”的二重性，牢固掌握相应的运作是实现由“过程” 向“对象”转变的必要条件.学习数学不能缺少这两个阶段又不能单靠这两个阶 段.没有亲身的体验、没有足够的过程、没有过硬的“双基”, 数学理解就被架空了，模仿和练习应是学&获得本质领悟的 基础或必要前提（“熟能生巧”可以找到心理学解释，张奠 宙教授说：记忆通向理解，速度赢得效率，严谨形成理性， 重复依靠变式）.但是，对学解题而言，更重要的是要跨越 模仿和练习而产生领悟.没有理解的练习是傻练，没有练习的理解是空想.3-1-3自发领悟（1）口发领悟的含义：即在模仿性练习与干扰性

43、练习 的基础上产生理解解题知识的内化（包括结构化、网络化 和丰富联系），主要表现为从事实到规律的领悟、从实践到理 论的提升.但在这一阶段，领悟常常从直觉开始，表现为豁 然开朗、恍然大悟，而又“只可意会，不可言传”（默会学 习.（2）领悟的内容：这实际上是一个各人自己去体会 解题思路的探求， 解题能力的提高， 解题策略的形成， 解题模式的提炼，从而获得能力的自身性增长与实质性提高的过程（生成个体 经验）.由于单纯的实践不能保证由感性到理性的飞跃、由'双 基”到能力的升华，而这种飞跃或升华又需要一个长期的积 累，因而，这是一个漫长而又不可逾越的必由阶段（会存在 高原现象）.冃前的很多学半就

44、被挡在了这一阶段（停留在 模仿与练习上），很多优秀学生也就停留在这一阶段，我们 自己也总在这一阶段上挣扎，但已经认识到：为了缩短被动、 自发的过程，为了增加主动、自觉的元素，解题学习还应有 第4阶段.3-1-4自觉分析（1）反思：就是从自身的认识活动中“脱身”出来， 作为一个“旁观者”来看待自己刚才做了些什么事情，使自 己的活动成为了思考的对象.（2）自觉分析的含义：即对解题过程进行自觉的反思, 使理解进入到深层结构.这是一个通过已知学未知、通过分 析“怎样解题”而领悟“怎样学会解题”的过程，也是一个 理解从口发到口觉、从被动到主动、从感性到理性、从基础 到创新、从内隐到外显的飞跃阶段.就是说

45、解题不仅关注“答 案，而且还要 把解答问题看作是设计和发明的目标； 把解答问题发展为获得新知识和新技能的学习过程； 提炼怎样解题和怎样学会解题的理论启示（有构建 “数学解题学”的前景）.（3）自觉反思的基本内容： 解题中用到了哪些知识？ 用到了哪些方法？ 这些知识和方法是怎样联系起来的？ 口己是怎么想到它们的？困难在哪里？关键是什 么？遇到过什么障碍？后来是怎么解决的？是否还有别的 解决方法？更一般的方法？更特殊的方法？沟通其他学科的 方法？更简单的方法？同样的方法能用来处理更一般性的 命题吗？ 命题能够推广吗？条件能减弱吗？结论能加强吗？ 这些方法体现了什么样的数学思想？调动这些知识 和方法

46、体现了什么样的解题策略？ 洞察问题的深层结构了吗？（4）自觉分析的操作：通常要经历整体分解与信息交 合两个步骤.整体分解：就是把原解法的全过程分拆为一些信息单 元，看用到了哪些知识、哪些方法，它们是怎样组合在一起 的，从中概括出知识基础、逻辑结构、信息流程、心理过程 等.有两个基本的思考方向.方向1:正面思考.看解题过程是否浪费了更重要的信息，以开辟新的解 题通道.这需要我们重新审视每一个知识点的发散度，特别 是要从知识链上对知识内容作多角度的理解.看解题过程多走了哪些思维回路，通过删除、合并来 体现简洁美.看是否可以用更一般的原理去代替现存的许多步骤， 提高整个解题的观点和思维的层次.看是否

47、可以用一个更特殊的技巧去代替现存的常规 步骤，以体现解题的奇异美.看解题过程屮哪一个是最实质性的步骤，抓住这一步 既可简化过程又可迅速推广.综合、全面看条件与条件、条件与结论之间的联系， 洞察问题的深层结构，体现数学的整体性与统一美.还要看到，分析解题过程时，“结论也是已知信息”， 这会使我们对题目的认识更加深刻和全面.具体进行时，可以画逻辑结构图、信息过程图来帮助思 考.方向2：反面思考.可以使用否定假设法来提出问题.使用否定假设法的步骤是:确定出发点.（已知命题、问题或概念）对所确定的对象进行分析，列举出它的各个属性.就所列举的属性进行思考；如果这一属性不是这样的 话，那它可能是什么？依据

48、上述对丁各种可能性的分析提出新问题.信息交合：就是抓住整体分解中提炼出来的新认识或 本质步骤，将信息单元转换或重组成新的信息块，这些新信 息块的有序化，使认识更接近问题的深层结构.于是，一个 新的解法就诞生了，所储存的数学知识之间的非人为的、实 质性的联系就加强了，怎样学会解题的体验就生成了，提炼 解题理论的基础也奠定了.整体分解与信息交合既是收集证据、解释证据，又是随 时报告结果的过程.在人类认识总是不断深化的背景下，解 法本身应是数学上和教学中都可以进一步暴露和提炼的中 间过程.事实上，题目的初步解法，只不过是实现了信息向 大脑的线性输入，只不过是为进一步的结构化、网络化和丰 富联系准备了

49、基本素材，更加有价值的、体现学习者的主动 创造性工作的是：将历时性的线性材料组织为一个共时性的 立体结构.这时，打破输入顺序的材料会呈现出更本质、更 广泛的联系，新输入材料与已储存材料之间也会构成更本 质、更广泛的组合，从而揭示出数学内容的更内在的逻辑结 构和更直截了当的关系，进而推动解题过程的改进，解题成 果的扩大，解题模式的积累，解题经验的生成.这就像登上 山顶后居高临下的俯瞰（当然山外还有山），也像是经过黑夜 摸索之后拉开黑房间的电灯，整个境界已焕然一新.如果说, 探索活动的思维过程常常带有自发的、实验尝试性特征的 话，那么继续进行解题分析的思维活动就带有较多自觉的、 理论提炼性的特征了

50、.3-2学会解题的案例分析解题案例分析的基本框架：选取一个感兴趣的案例；确定一个分析的视角；选择一个分析的方法；进行整体分解与信息交合.3-2-1案例1：空瓶兑换1-1为加强环保，矿泉水厂实行空瓶兑换回收政策:3个空瓶可以换1瓶矿泉水.现有10瓶矿泉水，问根据“回 收政策”最多还可喝几瓶矿泉水？分析笫一、题意的初步理解（1）条件是什么？ 3个空瓶可以换1瓶矿泉水，数学上提供了 “除数”； 现有10瓶矿泉水，数学上提供了 “被除数”；（2）结论是什么？最多还可喝几瓶矿泉水，可分解为三个小问题: 可喝几瓶矿泉水.数学上要求做“除法”； 为了求出“最多”，数学上要求继续做“除法”； 多次“除法”的结

51、果加起来，数学上是“加法”.(3)沟通条件与结论联系，基木结构是做除法.解法1 分4步完成：第1步，用原有的10个空瓶去换3整瓶矿泉水，剩1 个空瓶.第2步，用4个空瓶去换1整瓶矿泉水，剩1个空瓶.第3步，用2个空瓶换不来1整瓶，但可先借1个空瓶, 换一整瓶，喝完后，还空瓶.第4步，最多共可喝3+1+u5瓶.反思1这个解法分3步完成对换，每步都重复着“3 空换1整”的要求.其中最富于智慧的应是第3步，对其作 正面思考：既然“2个空瓶可以设法换来1整瓶水”，那么， 重复第3步不就立即可知，能换来5瓶矿泉水.反思2第3步的聪明就在于“借一还一”吗？它的实 质是什么？请看下图aaaa »l

52、 图8可见，"借一还一"技术表象的实质是：2个空瓶可以换 来一瓶里的“矿泉水”(不包括瓶子).第二、题意的深入理解(1) 条件是什么？ “3个空矿泉水瓶可以换1整瓶矿泉水”等价于“2 个空瓶子”可以换1个瓶里的“矿泉水”，数学上提供了“除 数” 2. “现有10瓶矿泉水”提供10个空瓶，数学上提供了 “被除数” 10.(2) 结论是什么？最多还可喝几瓶“矿泉水”，是不包 括“空瓶”的“水”.(3) 沟通条件与结论联系，基木结构是做除法.解法2依题意，2个“空瓶”可以换1个瓶里的“矿 泉水”，现有10个空瓶，最多可换巴=5瓶里的“矿泉水”.2感悟 也许，我们一开始并不能抓住已

53、知条件的“本 质”，但解法1是可以做到的，通过对"初步解法”的分析, 就有机会找回被浪费了的重要信息，获得更接近问题深层结 构的解法一一即使我很笨，我也能学会聪明.并且，一旦抓 住了题目的木质，推广立即就成为可能：例1-2已知。个空矿泉水瓶可以换1整瓶矿泉水，现有方整瓶矿泉水，若不再添钱，最多还可以多喝角瓶矿泉水？例1-3已知5个空矿泉水瓶可以换2整瓶矿泉水.现 有10整瓶矿泉水.若不再添钱，则最多还可喝型丄=6几瓶 _5-2_矿泉水.例14已知。个空汽水瓶可以换c整瓶矿泉水现有b整矿泉水.若不添钱，则最多还可喝总瓶矿泉水.（为正整数，a>c）解s个空矿泉水瓶可以换c整瓶矿泉水

54、”就是-c个空瓶换c瓶里的水，平均口个空瓶换1瓶里的水，共可换c丄=旦,取整数部分得旦瓶.d c a-c（学生在解题上的愚笨十有八九不是天生的）3-2-2案例2题目有几个已知条件？思路受阻怎么办？例2（1951年高考数学第4题）已知°,吐为互不相等的实数，且宀=宀=丄，求兀+）十（自觉分析是有益的） a-b b-c c-a讲解 由于直接对三个比例式用等比定理会出现分母为0的问题亠=丄=丄a-b b-c c-a二兀+ y + z?（2）（a_b） + （b_c） + （c_a）所以，有一个流行的说法，此题不能用等比定理.设比例系数r是一个经典的处理，并被认为是最关键的步骤.解法1设z十

55、 a-b b-c c-a则有x = k (a _b), y = k(b-c), z = r(c-a),得x + y + z= k(a-b) + k(z? c) + k(c-d)= k(a-b) + (b-c) + (c_a)=0哪一步最关键?反思分析1做完这道题你的收获是什么？如果你的收获是“结论为零”，那我的结论是“你的收获为零”.整体分解这个解题过程我们看到三个步骤（解题过程的结构分析）：第1步，引进参数k,把三个外形不同而比值相等的代 数式 亠，宀，丄用同一个符号r来表示，可以有效防止“形 a-b b-c c-a异”对“值同”的干扰.（体现了 “用字母表示数的思想”和“换元法”的应用）第2步，把与a,b,c分禺，以便于计算x+y + z的值.（方法就是变形）第3步，计算