2022届高三数学一轮复习（原卷版）第6讲　双曲线

1、 第 6 讲 双曲线 一、知识梳理 1双曲线的定义 条件 结论 1 结论 2 平面内的动点 m 与平面内的两个定点 f1，f2 m 点的 轨迹为 双曲线 f1、f2为双曲线的焦点 |f1f2|为双曲线的焦距 |mf1|mf2|2a 2a|f1f2| 注意 (1)当 2a|f1f2|时，p 点的轨迹是两条射线； (2)当 2a|f1f2|时，p 点不存在 2双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2a2y2b21(a0，b0) y2a2x2b21(a0，b0) 图形 性质 范围 xa 或 xa，yr ya 或 ya，xr 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 a1(a，0)，a2(a，0

2、) a1(0，a)，a2(0，a) 渐近线 ybax yabx 离心率 eca，e(1，) 实虚轴 线段 a1a2叫做双曲线的实轴，它的长|a1a2|2a；线段 b1b2叫做双曲线的虚轴，它的长|b1b2|2b；a 叫做双曲线的半实轴长，b 叫做双曲线的半虚轴长 a、b、c 的关系 c2a2b2(ca0，cb0) 3.等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为 y x，离心率为 e 2. 常用结论 1双曲线中的几个常用结论 (1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b. (2)若p是双曲线右支上一点， f1， f2分别为双曲线的左、 右焦点， 则|pf1|minac， |pf

3、2|minca. (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为 2a. (4)设 p，a，b 是双曲线上的三个不同的点，其中 a，b 关于原点对称，直线 pa，pb斜率存在且不为 0，则直线 pa 与 pb 的斜率之积为b2a2. 2巧设双曲线方程 (1)与双曲线x2a2y2b21(a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为x2a2y2b2t(t0) (2)过已知两个点的双曲线方程可设为 mx2ny21(mn0) 二、教材衍化 1双曲线x224y2251 的实轴长_，离心率_，渐近线方程_ 答案：10 75 y5 612x 2经过点 a

4、(3，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_ 解析：设双曲线的方程为x2a2y2a2 1(a0)， 把点 a(3，1)代入，得 a28(舍负)， 故所求方程为x28y281. 答案：x28y281 3以椭圆x24y231 的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为_ 解析：设要求的双曲线方程为x2a2y2b21(a0，b0)，由椭圆x24y231，得焦点为( 1，0)，顶点为( 2，0)所以双曲线的顶点为( 1，0)，焦点为( 2，0)所以 a1，c2，所以b2c2a23，所以双曲线标准方程为 x2y231. 答案：x2y231 一、思考辨析 判断正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)

5、平面内到点 f1(0，4)，f2(0，4)距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线( ) (2)椭圆的离心率 e(0，1)，双曲线的离心率 e(1，)( ) (3)方程x2my2n1(mn0)表示焦点在 x 轴上的双曲线( ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( ) 答案：(1) (2) (3) (4) 二、易错纠偏 常见误区| (1)忽视双曲线定义的条件致误； (2)忽视双曲线焦点的位置致误 1平面内到点 f1(0，4)，f2(0，4)的距离之差等于 6 的点的轨迹是_ 解析：由|pf1|pf2|6|f1f2|8，得 a3，又 c4，则 b2c2a27，所以所求点的轨迹是

6、双曲线y29x271 的下支 答案：双曲线y29x271 的下支 2坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的斜率为 3，则双曲线的离心率为_ 解析：若双曲线的焦点在 x 轴上， 设双曲线的方程为x2a2y2b21， 则渐近线的方程为 ybax， 由题意可得ba 3，b 3a， 可得 c2a，则 eca2； 若双曲线的焦点在 y 轴上， 设双曲线的方程为y2a2x2b21， 则渐近线的方程为 yabx， 由题意可得ab 3，a 3b， 可得 c2 33a，则 e2 33. 综上可得 e2 或 e2 33. 答案：2 或2 33 考点一 双曲线的定义(基础型) 复习指导| 了解双

7、曲线的定义及几何图形 核心素养：数学抽象 (1)(2020 河南非凡联盟 4 月联考)已知双曲线 c：x2a2y291(a0)的左、右焦点分别为 f1， f2， 一条渐近线与直线 4x3y0 垂直， 点 m 在 c 上， 且|mf2|6， 则|mf1|( ) a2 或 14 b2 c14 d2 或 10 (2)设 f1，f2是双曲线x24y21 的焦点，点 p 在双曲线上，且满足f1pf290 ，则f1pf2的面积是_ 【解析】 (1)由题意知3a34，故 a4，则 c5. 由|mf2|6ac9，知点 m 在 c 的右支上， 由双曲线的定义知|mf1|mf2|2a8， 所以|mf1|14. (

8、2)双曲线x24y21 中，a2，b1，c 5.可设点 p 在右支上，由双曲线的定义可得|pf1|pf2|4， 两边平方得，|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|16， 又|pf1|2|pf2|2(2c)220，所以pf1f2的面积为12|pf1| |pf2|1. 【答案】 (1)c (2)1 【迁移探究】 (变设问)在本例(2)条件下，则f1pf2的周长为_ 解析：又(|pf1|pf2|)2(|pf1|pf2|)24|pf1|pf2|16824，所以|pf1|pf2|2 6，pf1f2的周长为 2 62 5. 答案：2 52 6 双曲线定义的应用 (1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹

9、是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程； (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|pf1|pf2|2a，运用平方的方法，建立|pf1|与|pf2|的关系 注意 在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支 1设 f1，f2分别是双曲线 x2y291 的左、右焦点若点 p 在双曲线上，且|pf1|6，则|pf2|( ) a6 b4 c8 d4 或 8 解析：选 d由双曲线的标准方程可得 a1，则|pf1|pf2|2a2，即|6|pf2|2，解得|pf2|4 或 8. 2已知 f1，f2为双曲线 c：x2

10、y22 的左，右焦点，点 p 在 c 上，|pf1|2|pf2|，则cosf1pf2_ 解析：由双曲线的定义有 |pf1|pf2|pf2|2a2 2， 所以|pf1|2|pf2|4 2， 则 cosf1pf2|pf1|2|pf2|2|f1f2|22|pf1| |pf2|(4 2)2(2 2)24224 22 234. 答案：34 考点二 双曲线的标准方程(基础型) 复习指导| 了解双曲线的标准方程 核心素养：数学运算 (1)已知圆 c1：(x3)2y21，c2：(x3)2y29，动圆 m 同时与圆 c1和圆 c2相外切，则动圆圆心 m 的轨迹方程为( ) ax2y281 bx28y21 cx2

11、y281(x1) dx2y281(x1) (2)已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线 c 与椭圆x29y241 有相同的焦距，且一条渐近线方程为 x2y0，则双曲线 c 的方程为_ 【解析】 (1)设动圆 m 的半径为 r，由动圆 m 同时与圆 c1和圆 c2相外切，得|mc1|1r，|mc2|3r，|mc2|mc1|26，所以点 m 的轨迹是以点 c1(3，0)和 c2(3，0)为焦点的双曲线的左支，且 2a2，a1，c3，则 b2c2a28，所以点 m 的轨迹方程为x2y281(x1) (2)在椭圆x29y241 中，c94 5.因为双曲线 c 与椭圆x29y241 有相同的焦距，且一条

12、渐近线方程为 x2y0，所以可设双曲线方程为x24y2(0)，化为标准方程为x24y21.当 0 时，c 4 5，解得 1，则双曲线 c 的方程为x24y21；当 0时，c 4 5，解得 1，则双曲线 c 的方程为 y2x241.综上，双曲线 c 的方 程为x24y21 或 y2x241. 【答案】 (1)c (2)x24y21 或 y2x241 求双曲线标准方程的方法 (1)定义法 根据双曲线的定义确定 a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，常用的关系有： c2a2b2； 双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于 2a. (2)待定系数法 一般步骤 常用设法 (i)与双

13、曲线x2a2y2b21 共渐近线的方程可设为x2a2y2b2(0)； (ii)若双曲线的渐近线方程为 ybax，则双曲线的方程可设为x2a2y2b2(0)； (iii)若双曲线过两个已知点， 则双曲线的方程可设为x2my2n1(mn0)或 mx2ny21(mn0) 1双曲线 c 的两焦点分别为(6，0)，(6，0)，且经过点(5，2)，则双曲线的标准方程为( ) ax220y241 bx220y2161 cy220 x2161 dy220 x241 解析：选 b2a|(56)222 |(56)222 4 5.所以 a2 5，又 c6， 所以 b2c2a2362016. 所以双曲线的标准方程为x

14、220y2161.故选 b 2(2020 合肥市第一次质检测)设双曲线 c：x2a2y2b21(a0，b0)的虚轴长为 4，一条渐近线的方程为 y12x，则双曲线 c 的方程为( ) ax216y241 bx24y2161 cx264y2161 dx2y241 解析：选 a由题意知，双曲线的虚轴长为 4，得 2b4，即 b2，又双曲线的焦点在x 轴上， 则其一条渐近线的方程为 ybax12x， 可得 a4， 所以双曲线 c 的方程为x216y241，故选 a 考点三 双曲线的几何性质(综合型) 复习指导| 了解双曲线的简单几何性质 核心素养： 数学运算 角度一 双曲线的渐近线问题 (2020

15、吉林第三次调研测试)已知双曲线 c：x2a2y2b21(a0，b0)的实轴长是虚轴长的 2倍，则双曲线 c 的渐近线方程为( ) ay 2 2x by 2x cy22x dy24x 【解析】 双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的实轴长为 2a，虚轴长为 2b，所以 2a2 2b，即 a 2b. 所以渐近线方程为 ybax22x.故选 c 【答案】 c 求双曲线的渐近线的方法 求双曲线x2a2y2b21(a0，b0)或y2a2x2b21(a0，b0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于 0，即令x2a2y2b20，得 ybax；或令y2a2x2b20，得 yabx.反之，已知渐近线方程为 y

16、bax，可设双曲线方程为x2a2y2b2(a0，b0，0) 说明 两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于 x 轴，y 轴对 称 角度二 双曲线的离心率问题 (1)(2020 兰州市诊断考试)若双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的实轴长为 4，离心率为 3，则其虚轴长为( ) a8 2 b4 2 c2 2 d4 63 (2)(一题多解)(2019 高考全国卷)设 f 为双曲线 c：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点，o 为坐标原点，以 of 为直径的圆与圆 x2y2a2交于 p，q 两点若|pq|of|，则 c 的离心率为( ) a 2 b 3 c2 d 5 【解析】

17、 (1)由题意知 2a4， 所以 a2.因为 eca 3， 所以 c2 3， 所以 bc2a22 2，所以 2b4 2，即该双曲线的虚轴长为 4 2，故选 b (2)法一： 依题意， 记 f(c， 0)， 则以 of 为直径的圆的方程为xc22y2c24， 将圆xc22y2c24与圆 x2y2a2的方程相减得 cxa2，即 xa2c，所以点 p，q 的横坐标均为a2c.由于 pq 是圆 x2y2a2的一条弦， 因此a2c2|pq|22a2， 即a2c2c22a2， 即c24a21a2c2a2b2c2， 所以 c22ab， 即 a2b22ab(ab)20， 所以 ab， 因此 c 的离心率 e1

18、ba2 2，故选 a 法二：记 f(c，0)连接 op，pf，则 oppf，所以 sopf12|op| |pf|12|of|12|pq|，即12a c2a212c12c，即 c22ab，即 a2b22ab(ab)20，所以 ab，因此 c 的离心率 e1ba2 2，故选 a 法三：记 f(c，0)依题意，pq 是以 of 为直径的圆的一条弦，因此 of 垂直平分 pq.又|pq|of|，因此 pq 是该圆的与 of 垂直的直径，所以fop45 ，点 p 的横坐标为c2，纵坐标的绝对值为c2，于是有 2c2a，即 eca 2，即 c 的离心率为 2，故选 a 【答案】 (1)b (2)a (1)

19、求双曲线的离心率或其取值范围的方法 求 a，b，c 的值，由c2a2a2b2a21b2a2直接求 e. 列出含有 a，b，c 的齐次方程(或不等式)，借助于 b2c2a2消去 b，然后转化成关于 e 的方程(或不等式)求解 (2)双曲线的渐近线的斜率 k 与离心率 e 的关系：kbac2a2ac2a21e21. 1(2020 黑龙江齐齐哈尔二模)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的焦距为 4 2，且两条渐近线互相垂直，则该双曲线的实轴长为( ) a2 b4 c6 d8 解析：选 b因为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两条渐近线为 ybax，两条渐近线互相垂直，所以ba21，得

20、ab.因为双曲线的焦距为 4 2，所以 c2 2，由 c2a2b2可知 2a28，所以 a2，所以实轴长 2a4.故选 b 2(2020 甘肃、青海、宁夏联考)若双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 5，则斜率为正的渐近线的斜率为( ) a32 b12 c 3 d2 解析：选 d双曲线的离心率为 5，即ca 5， 所以bac2a2a2ca212，所以双曲线的渐近线方程为 y 2x，故选 d 3(2020 陕西榆林二模)已知双曲线 c：x2a2y2b21(a0，b0)，左顶点为 a，右焦点为 f，过 f 且垂直于 x 轴的直线与双曲线 c 在第一象限内的交点为 b，且直线 ab 的斜

21、率为12，则 c 的离心率为_ 解析：把 xc 代入双曲线：x2a2y2b21(a0，b0)得 yb2a，所以 bc，b2a， 又 a(a，0)，直线 ab 的斜率为12，所以b2aac12， 可得 a2ac2c22a2，即 2c23a2ac0， 即 2e23e0， 因为 e1，所以 e32. 答案：32 基础题组练 1(2019 高考北京卷)已知双曲线x2a2y21(a0)的离心率是 5，则 a( ) a 6 b4 c2 d12 解析：选 d由双曲线方程x2a2y21， 得 b21， 所以 c2a21. 所以 5e2c2a2a21a211a2. 结合 a0，解得 a12. 故选 d 2若双曲

22、线 c1：x22y281 与 c2：x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线相同，且双曲线 c2的焦距为 4 5，则 b( ) a2 b4 c6 d8 解析：选 b由题意得，ba2b2a，c2的焦距 2c4 5ca2b22 5b4，故选 b 3 设双曲线 x2y281 的两个焦点为 f1， f2， p 是双曲线上的一点， 且|pf1|pf2|34，则pf1f2的面积等于( ) a10 3 b8 3 c8 5 d16 5 解析：选 c依题意|f1f2|6，|pf2|pf1|2，因为|pf1|pf2|34，所以|pf1|6，|pf2|8，所以等腰三角形 pf1f2的面积 s128 628228 5

23、. 4(2020 长春市质量监测(一)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两个顶点分别为 a，b，点 p 为双曲线上除 a，b 外任意一点，且点 p 与点 a，b 连线的斜率分别为 k1，k2，若k1k23，则双曲线的渐近线方程为( ) ay x by 2x cy 3x dy 2x 解析：选 c设点 p(x，y)，由题意知 k1k2yxayxay2x2a2y2a2y2b2b2a23，所以其渐近线方程为 y 3x，故选 c 5(多选)(2021 预测)已知 f1，f2分别是双曲线 c：y2x21 的上、下焦点，点 p 是其中一条渐近线上的一点，且以线段 f1f2为直径的圆经过点 p，则(

24、 ) a双曲线 c 的渐近线方程为 y x b以 f1f2为直径的圆的方程为 x2y21 c点 p 的横坐标为 1 dpf1f2的面积为 2 解析：选 acd等轴双曲线 c：y2x21 的渐近线方程为 y x，故 a 正确；由双曲线的方程可知|f1f2|2 2， 所以以 f1f2为直径的圆的方程为 x2y22， 故 b 错误； 点 p(x0，y0)在圆 x2y22 上，不妨设点 p(x0，y0)在直线 yx 上，所以x20y202，y0 x0，解得|x0|1，则点 p 的横坐标为 1，故 c 正确；由上述分析可得pf1f2的面积为122 21 2，故 d正确故选 acd 6(2019 高考江苏

25、卷)在平面直角坐标系 xoy 中，若双曲线 x2y2b21(b0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_ 解析：因为双曲线 x2y2b21(b0)经过点(3，4)，所以 916b21(b0)，解得 b 2，即双曲线方程为 x2y221，其渐近线方程为 y 2x. 答案：y 2x 7(2020 云南昆明诊断测试改编)已知点 p(1， 3)在双曲线 c：x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线上，f 为双曲线 c 的右焦点，o 为原点若fpo90 ，则双曲线 c 的方程为_，其离心率为_ 解析：因为双曲线 c：x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线方程为 ybax，点 p(1， 3)在 渐

26、近线上，所以ba 3.在 rtopf 中，|op|( 3)212，fop60 ，所以|of|c4.又 c2a2b2，所以 b2 3，a2，所以双曲线 c 的方程为x24y2121，离心率 eca2. 答案：x24y2121 2 8.如图，f1，f2是双曲线 c：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右两个焦点，若直线 yx与双曲线 c 交于 p，q 两点，且四边形 pf1qf2为矩形，则双曲线的离心率为_ 解析：由题意可得，矩形的对角线长相等，将直线 yx 代入双曲线 c 方程，可得 xa2b2b2a2，所以 2a2b2b2a2c，所以 2a2b2c2(b2a2)，即 2(e21)e42e2，

27、所以 e44e220.因为 e1，所以 e22 2，所以 e2 2. 答案：2 2 9已知椭圆 d：x250y2251 与圆 m：x2(y5)29，双曲线 g 与椭圆 d 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆 m 相切，求双曲线 g 的方程 解：椭圆 d 的两个焦点坐标为(5，0)，(5，0)， 因而双曲线中心在原点，焦点在 x 轴上，且 c5. 设双曲线 g 的方程为x2a2y2b21(a0，b0)， 所以渐近线方程为 bx ay0 且 a2b225， 又圆心 m(0，5)到两条渐近线的距离为 3. 所以|5a|b2a23，得 a3，b4， 所以双曲线 g 的方程为x29y2161. 10 已

28、知双曲线的中心在原点， 焦点 f1， f2在坐标轴上， 离心率为 2， 且过点(4， 10) (1)求双曲线方程； (2)若点 m(3，m)在双曲线上，求证：点 m 在以 f1f2为直径的圆上 解：(1)因为离心率 e 2， 所以双曲线为等轴双曲线， 可设其方程为 x2y2(0)， 则由点(4， 10)在双曲线上， 可得 42( 10)26， 所以双曲线的方程为 x2y26. (2)证明：因为点 m(3，m)在双曲线上， 所以 32m26，所以 m23， 又双曲线 x2y26 的焦点为 f1(2 3，0)，f2(2 3，0)， 所以mf1 mf2(2 33， m) (2 33， m)(3)2(

29、2 3)2m291230，所以 mf1mf2，所以点 m 在以 f1f2为直径的圆上 综合题组练 1设双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点是 f，左、右顶点分别是 a1，a2，过 f 作a1a2的垂线与双曲线交于 b，c 两点若 a1ba2c，则该双曲线的渐近线方程为( ) ay12x by22x cy x dy 2x 解析：选 c如图，不妨令 b 在 x 轴上方，因为 bc 过右焦点 f(c，0)，且垂直于 x 轴，所以可求得 b，c 两点的坐标分别为c，b2a，c，b2a.又 a1，a2的坐标分别为(a，0)，(a，0) 所以a1bca，b2a，a2cca，b2a. 因为 a1b

30、a2c，所以a1ba2c0， 即(ca)(ca)b2ab2a0， 即 c2a2b4a20，所以 b2b4a20，故b2a21，即ba1. 又双曲线的渐近线的斜率为ba， 故该双曲线的渐近线的方程为 y x. 2过双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左焦点 f(c，0)作圆 o：x2y2a2的切线，切点为 e，延长 fe 交双曲线于点 p，若 e 为线段 fp 的中点，则双曲线的离心率为( ) a 5 b52 c 51 d512 解析：选 a法一：如图所示，不妨设 e 在 x 轴上方，f为双曲线的右焦点，连接 oe，pf，因为 pf 是圆 o 的切线，所以 oepe，又 e，o 分别为 pf

31、，ff的中点，所以|oe|12|pf|，又|oe|a，所以|pf|2a，根据双曲线的性质，|pf|pf|2a，所以|pf|4a，所以|ef|2a，在 rtoef 中，|oe|2|ef|2|of|2，即 a24a2c2，所以 e 5，故选 a 法二：连接 oe，因为|of|c，|oe|a，oeef，所以|ef|b，设 f为双曲线的右焦点，连接 pf，因为 o，e 分别为线段 ff，fp 的中点，所以|pf|2b，|pf|2a，所以|pf|pf|2a，所以 b2a，所以 e1ba2 5. 3已知 m(x0，y0)是双曲线 c：x22y21 上的一点，f1，f2是双曲线 c 的两个焦点若mf1mf2

32、0，则 y0的取值范围是_ 解析：由题意知 a 2，b1，c 3， 设 f1( 3，0)，f2( 3，0)， 则mf1( 3x0，y0)，mf2( 3x0，y0) 因为mf1mf20， 所以( 3x0)( 3x0)y200， 即 x203y200. 因为点 m(x0，y0)在双曲线 c 上， 所以x202y201，即 x2022y20， 所以 22y203y200，所以33y033. 答案：33，33 4(2019 高考全国卷)已知双曲线 c：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 f1， f2，过 f1的直线与 c 的两条渐近线分别交于 a，b 两点，若f1aab，f1bf2b0

33、，则 c的离心率为_ 解析：法一：因为f1bf2b0，所以 f1bf2b，如图 所以|of1|ob|，所以bf1of1bo，所以bof22bf1o.因为f1aab，所以点 a 为 f1b 的中点，又点 o 为 f1f2的中点，所以 oabf2，所以 f1boa，因为直线 oa，ob 为双曲线 c 的两条渐近线，所以 tanbf1oab，tanbof2ba.因为 tanbof2tan(2bf1o)，所以ba2ab1ab2，所以 b23a2，所以 c2a23a2，即 2ac，所以双曲线的离心率 eca2. 法二：因为f1bf2b0，所以 f1bf2b，在 rtf1bf2中，|ob|of2|，所以obf2of2b，又f1aab，所以 a 为 f1b 的中点，所以 oaf2b，所以f1