专题05 函数 5.4对数函数 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（解析版）

1、专题四 函数讲义5.4对数函数知识梳理.对数函数1对数概念如果axn(a>0，且a1)，那么数x叫做以a为底数n的对数，记作xlogan，其中a叫做对数的底数，n叫做真数，logan叫做对数式性质对数式与指数式的互化：axnxlogan(a>0，且a1)loga10，logaa1，alogann(a>0，且a1)运算法则loga(m·n)logamlogana>0，且a1，m>0，n>0logalogamloganlogamnnlogam(nr)换底公式logab(a>0，且a1，c>0，且c1，b>0)2对数函数ylogax(a

2、>0，且a1)的图象与性质底数a>10<a<1图象性质定义域：(0，)值域：r图象过定点(1，0)，即恒有loga10当x>1时，恒有y>0；当0<x<1时，恒有y<0当x>1时，恒有y<0；当0<x<1时，恒有y>0在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数题型一. 指、对运算1已知函数f（x）=log2x，0x1f(x1)，x1，则f（20192）1【解答】解：函数f（x）=log2x，0x1f(x1)，x1，则f（20192）f（20172）f（20152）f（12）log212=1故答案为：12已知函数f

3、（x）满足：x4，则f（x）2x；当x4时f（x）f（x+1），则f（2+log123）643【解答】解：函数f（x）满足：x4，则f（x）2x；当x4时f（x）f（x+1），又2+log123（0，1），f（2+log123）f4+（2+log123）f（2+log123）f（log2643）=2log2643=643，故答案为：6433已知ab1，若logab+logba=52，ab=ba，则a，b的值分别为（）aa5，b2ba4，b2ca8，b4da=2，b=2【解答】解：由logab+logba=52，得logba=2b2=a，从而b2bbaa2b，则b2，a4故选：b4设alog0.

4、20.3，blog20.3，则（）aa+bab0baba+b0ca+b0abdab0a+b【解答】解：alog0.20.3=lg0.3lg5，blog20.3=lg0.3lg2，a+b=lg0.3lg2lg0.3lg5=lg0.3(lg5lg2)lg2lg5=lg0.3lg52lg2lg5，ab=lg0.3lg2lg0.3lg5=lg0.3lg103lg2lg5，lg103lg52，lg0.3lg2lg50，aba+b0故选：b题型二. 比较大小1（2017秋信丰县校级月考）设alog32，bln2，c=512，则a、b、c三个数的大小关系是（）aabcbbacccabdcba【解答】解：0l

5、n2lne1，ln31，log32=ln2ln3ln2，ab1，c=512501，cba，故选：d2已知alog36，blog510，clog714，则a，b，c的大小关系是（）abcabcbacabcdbac【解答】解：alog361+log32，blog5101+log52，clog7141+log72，而log32log52log72，cba故选：b3（2016新课标）若ab1，0c1，则（）aacbcbabcbaccalogbcblogacdlogaclogbc【解答】解：ab1，0c1，函数f（x）xc在（0，+）上为增函数，故acbc，故a错误；函数f（x）xc1在（0，+）上为减

6、函数，故ac1bc1，故bacabc，即abcbac；故b错误；logac0，且logbc0，logab1，即logcblogca=logaclogbc1，即logaclogbc故d错误；0logaclogbc，故blogacalogbc，即blogacalogbc，即alogbcblogac，故c正确；故选：c4（2020新课标）已知5584，13485设alog53，blog85，clog138，则（）aabcbbaccbcadcab【解答】解：由34log55=34log88，log5534log53，而log8834log85log53log85，即ab；5584，54log58，lo

7、g581.25，blog850.8；13485，45log138，clog1380.8，cb，综上，cba故选：a5若a=ln22，b=ln33，c=ln55，则a，b，c的大小关系为（）aacbbabcccabdbac【解答】解：令f(x)=lnxx，f'(x)=1lnxx2，xe时，f（x）0，f（x）在（e，+）上单调递减，又a=ln22=ln44=f（4），b=ln33=f(3)，c=ln55=f(5)，f（3）f（4）f（5），bac故选：d6（2017新课标）设x、y、z为正数，且2x3y5z，则（）a2x3y5zb5z2x3yc3y5z2xd3y2x5z【解答】解：x、y

8、、z为正数，令2x3y5zk1lgk0则x=lgklg2，y=lgklg3，z=lgklg53y=lgklg33，2x=lgklg2，5z=lgklg5533=6968=2，2=10321025=55lg33lg2lg5503y2x5z另解：x、y、z为正数，令2x3y5zk1lgk0则x=lgklg2，y=lgklg3，z=lgklg52x3y=23×lg3lg2=lg9lg81，可得2x3y，5z2x=52×lg2lg5=lg25lg521可得5z2x综上可得：5z2x3y解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系故选：d题型三. 对数函数的图像与性质1已知函数f（x）

9、lg（ax2+3x+2）的定义域为r，则实数a的取值范围是（98，+）【解答】解：根据条件可知ax2+3x+20恒成立，则a0，且98a0，解得a98，故a的取值范围是（98，+）故答案为：（98，+）2（2014西城区模拟）已知函数f（x）logm（2x）+1（m0，且m1）的图象恒过点p，且点p在直线ax+by1（a0，b0）上，那么ab的（）a最大值为14b最小值为14c最大值为12d最小值为12【解答】解：当2x1，即x1时，yf（1）logm（21）+11，函数f（x）的图象恒过点p（1，1）；又点p在直线ax+by1（a0，b0）上，a+b1，ab(a+b2)2=14，当且仅当ab

10、=12时，“”成立故选：a3（2020春吉林期末）函数y|lg（x+1）|的图象是（）abcd【解答】解：由于函数ylg（x+1）的图象可由函数ylgx的图象左移一个单位而得到，函数ylgx的图象与x轴的交点是（1，0），故函数ylg（x+1）的图象与x轴的交点是（0，0），即函数y|lg（x+1）|的图象与x轴的公共点是（0，0），考察四个选项中的图象只有a选项符合题意故选：a4（2008山东）已知函数f（x）loga（2x+b1）（a0，a1）的图象如图所示，则a，b满足的关系是（）a0a1b1b0ba11c0b1a1d0a1b11【解答】解：函数f（x）loga（2x+b1）是增函数，令

11、t2x+b1，必有t2x+b10，t2x+b1为增函数a1，01a1，当x0时，f（0）logab0，0b1又f（0）logab1loga1a，b1a，0a1b1故选：a5（2020秋西安月考）已知函数f（x）lgexex2，则f（x）是（）a非奇非偶函数，且在（0，+）上单调递增b奇函数，且在r上单调递增c非奇非偶函数，且在（0，+）上单调递减d偶函数，且在r上单调递减【解答】解：根据题意，函数f（x）lgexex2，有exex20，即exex0，解可得x0，即函数的定义域为（0，+），不关于原点对称，是非奇非偶函数，设t=exex2，其导数t=ex+ex20，则t=exex2在区间（0，+

12、）上为增函数，则ylgt，在（0，+）上为增函数，故f（x）在（0，+）上单调递增，故选：a题型四. 复合函数的单调性与值域1（2019秋泸州月考）已知函数yloga（1ax）在（1，2）上是增函数，则a的取值范围是（）a（1，2）b1，2c(0，12)d(0，12【解答】解：a0且a1，内层函数t1ax为减函数，要使函数yloga（1ax）在（1，2）上是增函数，则0a112a0，解得0a12a的取值范围是（0，12故选：d2（2018秋和平区校级期中）若函数yloga（x2ax+2）在区间（，1上为减函数，则a的取值范围是2，3）【解答】解：令g（x）x2ax+2（a0，且a1），当a1时

13、，g（x）在（，1上为减函数，a2112a+202a3；当0a1时，g（x）在（，1上为减函数，此时不成立综上所述：2a3故答案为：2，3）3（2017秋寻乌县校级期中）已知函数f（x）log4（ax24x+a）（ar），若f（x）的值域为r，则实数a的取值范围是（）a0，2b（2，+）c（0，2d（2，2）【解答】解：函数f（x）log4（ax24x+a）（ar），f（x）的值域为r，只需保证函数yax24x+a的值域能取到大于等于0的数当a0时，函数y值域能取到大于等于0的数，当a0时，要使函数y值域能取到大于等于0的数，则需满足a04acb24a0，解得：0a2综上所得：实数a的取值范围

14、是0，2故选：a4（2016春大庆校级月考）设a0，a1，函数f（x）loga（x22x+3）有最小值，则不等式loga（x1）0的解集（）a（，2）b（1，2）c（2，+）d（1，2）（2，+）【解答】解：当a0，a1时，函数f（x）loga（x22x+3）有最小值，a1，不等式loga（x1）0，0x11，解得1x2不等式loga（x1）0的解集为（1，2）故选：b5（2019陆良县一模）已知函数f（x）ln（|x|+1）+x2+1，则使得f（x）f（2x1）的x的取值范围是（）a(13，1)b(，13)(1，+)c（1，+）d(，13)【解答】解：函数f（x）ln（|x|+1）+x2+1

15、为定义域r上的偶函数，且在x0时，函数单调递增，f（x）f（2x1）等价为f（|x|）f（|2x1|），即|x|2x1|，两边平方得x2（2x1）2，即3x24x+10，解得13x1；使得f（x）f（2x1）的x的取值范围是（13，1）故选：a题型五.等高线1已知函数f（x）=|lgx|(0x10)12x+6(x10)，若a，b，c互不相等，且f（a）f（b）f（c），则abc的取值范围是（）a（1，10）b（5，6）c（10，12）d（20，24）【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设abc，则lgalgb=12c+6（0，1），ab1，012c+61，则abcc（10，12），故选

16、：c2已知函数f(x)=x22x，x0|lgx|，x0，若关于x的方程f（x）a有四个根x1，x2，x3，x4，则这四个根之和x1+x2+x3+x4的取值范围是(0，8110)【解答】解：作函数f(x)=x22x，x0|lgx|，x0的图象如下，结合图象可知，当0a1时，方程有四个不同的解，如图中的四个交点，故x1+x22，x3x41且1x410；故2x3+x410+110，故0x1+x2+x3+x48+110，即x1+x2+x3+x4的取值范围是(0，8110)，故答案为：(0，8110)题型六.反函数1设常数a0且a1，函数f（x）logax，若f（x）的反函数图象经过点（1，2），则a2

17、【解答】解：常数a0且a1，函数f（x）logax，f（x）的反函数的图象经过点（1，2），函数f（x）logax的图象经过点（2，1），loga21，解得a2故答案为：22设f(x)=log2(1x+a+1)是奇函数，若函数g（x）图象与函数f（x）图象关于直线yx对称，则g（x）的值域为（）a(，12)(12，+)b(12，12)c（，2）（2，+）d（2，2）【解答】解：因为f(x)=log2(1x+a+1)，所以f（x）的定义域为x|xa1或xa，因为f（x）是奇函数，所以a1a，解得a=12，因为函数g（x）图象与函数f（x）图象关于直线yx对称，所以g（x）与f（x）互为反函数，故

18、g（x）的值域为(，12)(12，+)故选：a3若x1满足2x5x，x2满足x+log2x5，则x1+x2等于（）a2b3c4d5【解答】解：由题意 x1+2x15，x2+log2x25 ，所以 5x12x1，故有 5x2log2x2故 x1和 x2是直线y5x和曲线y2x、曲线ylog2x交点的横坐标再根据函数y2x 和函数ylog2x互为反函数，它们的图象关于直线yx对称，故曲线y2x 和曲线ylog2x的图象交点关于直线yx对称即点（ x1，5x1）和点（ x2，5x2）构成的线段的中点在直线yx上，即x1+x22=5x1+5x22，求得x1+x25，故选：d课后作业.基本初等函数1已知

19、xln，y=log12，ze2，则（）axyzbyxzcyzxdzyx【解答】解：xln1，y=log120，0ze2e01，yzx故选：c2若函数f（x）ax（a0且a1）在r上为减函数，则函数yloga（|x|1）的图象可以是（）abcd【解答】解：由函数f（x）axax（a0且a1）在r上为减函数，故0a1函数yloga（|x|1）是偶函数，定义域为x|x1或x1，函数yloga（|x|1）的图象，x1时是把函数ylogax的图象向右平移1个单位得到的，故选：d3若函数f（x）ax（a0，a1）在1，2上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)=(14m)x在0，+）上是增函数，则a（）

20、a14b13c12d32【解答】解：若a1，则函数f（x）ax（a0，a1）在1，2上单调递增，则由f（2）4，得a24，解得a2此时最小值mf（1）=21=12若0a1，则函数f（x）ax（a0，a1）在1，2上单调递减，则由f（1）4，得a14，解得a=14此时最小值mf（2）（14）2=116m=12或116函数g(x)=(14m)x在0，+）上是增函数，14m0，解得m14综上：m=116，此时a=14故选：a4已知定义在r上的函数f（x）2|xm|1（m为实数）为偶函数，记af（log0.53），bf（log25），cf（2+m），则a，b，c的大小关系为（）aabcbacbccabdcba【解答】解：函数f（x）是偶函数，f（x）f（x）在r上恒成立，m0，当x0时，易得f（x）2|x|1为增函数，af（log0.53）f（log23）log232log25，acb，故选：b5已知函数f（x）|lgx|，若0ab且f（a）f（b），则a+2b的取值范围为（3，+）【解答】解：画出y|lgx|的图象如图：0ab，且f（a）f（b），|lga|lgb|且0a1，b1lgalgb即ab1ya+2ba+2a，a（0，1）ya+2a在（0，1）上为减函数，y1+23a+2b的取值范围是（3，+）故答案为：（3，+）6已知函数f（x）loga（x