2022届高三数学一轮复习（原卷版）第2课时 直线与椭圆的综合问题 教案

1、第2课时直线与椭圆的综合问题考点1直线与椭圆的位置关系直线与椭圆位置关系判断的步骤(1)联立直线方程与椭圆方程(2)消元得出关于x(或y)的一元二次方程(3)当0时，直线与椭圆相交；当0时，直线与椭圆相切；当0时，直线与椭圆相离1.若直线ykx1与椭圆1总有公共点，则m的取值范围是()am1bm0c0m5且m1 dm1且m5d直线ykx1恒过定点(0,1)，则点(0,1)在椭圆1内部或椭圆上，从而1，又m0，则m1，因为椭圆1中，m5.所以m的取值范围是m1且m5，故选d.2过点m(4,4)作椭圆1的切线，切点n在第一象限，设椭圆的左焦点为f，则直线nf的斜率为 设n(x，y)，直线mn的斜率

2、为k.m(4,4)，则直线mn的方程为y4k(x4)，代入椭圆方程消去y，整理得(34k2)x28mkx(4m212)0，其中m4k4，由于相切，所以0，所以m24k23，所以解得k，代入求得切点n，所以直线nf的斜率为knf.3已知直线l：y2xm，椭圆c：1.试问当m取何值时，直线l与椭圆c：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点解将直线l的方程与椭圆c的方程联立，得方程组将代入，整理得9x28mx2m240.方程根的判别式(8m)24×9×(2m24)8m2144.(1)当>0，即3<m<3时，方程有两个不同的实数根，

3、可知原方程组有两组不同的实数解这时直线l与椭圆c有两个不重合的公共点(2)当0，即m±3时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解这时直线l与椭圆c有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆c有且只有一个公共点(3)当<0，即m<3或m>3时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解这时直线l与椭圆c没有公共点t2中求切点的横坐标时，可直接使用求根公式x1x2(其中a，b分别是一元二次方程的二次项系数和一次项系数)考点2直线与椭圆相交的弦长问题弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解(2)当直线的斜率存在时，设直线与椭圆的

4、交点坐标为a(x1，y1)，b(x2，y2)，则|ab|(k为直线斜率)(3)若直线的斜率不存在，可直接求交点坐标，再求弦长(2018·北京高考改编)已知椭圆m：1(ab0)的离心率为，焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆m有两个不同的交点a，b.(1)求椭圆m的方程；(2)若k1，求|ab|的最大值解(1)由题意得解得a，b1.所以椭圆m的方程为y21.(2)设直线l的方程为yxm，a(x1，y1)，b(x2，y2)由得4x26mx3m230，由题意知36m216(3m23)0，即2m2，此时x1x2，x1x2.所以|ab|.当m0，即直线l过原点时，|ab|最大，最大值为.利用公式计

5、算直线被椭圆截得的弦长是在方程有两个不同解的情况下进行的，不要忽略0.教师备选例题直线经过椭圆1的左焦点，倾斜角为60°，与椭圆交于a，b两点，则弦长|ab| .由题意知直线方程为y(x2)，代入椭圆方程消元整理得5x216x0，所以x0，或x，所以交点a(0,2)，b，所以|ab|.1.已知椭圆y21与直线yxm交于a，b两点，且|ab|，则实数m的值为()a±1b± c.d±a由消去y并整理，得3x24mx2m220.由题意知16m212(2m22)0，即m.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x2，x1x2.由题意，得|ab|，解得m

6、77;1.2椭圆e：1(ab0)的左焦点为f1，右焦点为f2，离心率e，过f1的直线交椭圆于a，b两点，且abf2的周长为8.(1)求椭圆e的方程；(2)若直线ab的斜率为，求abf2的面积解(1)由题意知，4a8，所以a2，又e，所以，c1，所以b22213，所以椭圆e的方程为1.(2)设直线ab的方程为y(x1)，由得5x28x0，解得x10，x2，所以y1，y2.所以sabf2c·|y1y2|1×.考点3弦中点问题处理中点弦问题常用的两种方法(1)点差法设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1x2，y1y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和

7、直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率(2)根与系数的关系联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解(1)在椭圆1中，以点m(1,2)为中点的弦所在直线方程为 (2)(2019·南宁模拟)已知椭圆1(ab0)的一条弦所在的直线方程是xy50，弦的中点坐标是m(4,1)，则椭圆的离心率e .(1)9x32y730(2)(1)设弦的两端点为a(x1，y1)，b(x2，y2)，代入椭圆方程得两式相减得0，所以，即，因为x1x22，y1y24，所以，故该直线方程为y2(x1)，即9x32y730.(2)设直线xy50与椭圆1相交于a(x1，y1)，b(x2，y2

8、)两点，因为ab的中点m(4,1)，所以x1x28，y1y22.易知直线ab的斜率k1.由两式相减得0，所以·，所以，于是椭圆的离心率e.用点差法求参数的值(或范围)时，要检验直线与椭圆是否相交1.已知椭圆y21，过点p的直线与椭圆相交于a，b两点，且弦ab被点p平分，则直线ab的方程为()a9xy50 b9xy40cx9y50 dx9y40c设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则有两式作差得(y2y1)(y2y1)0，因为x2x11，y2y11，kab，代入后求得kab，所以弦所在的直线方程为y，即x9y50.2焦点为f(0,5)，并截直线y2x1所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标

9、准方程为 1设所求的椭圆方程为1(ab0)，直线被椭圆所截弦的端点为a(x1，y1)，b(x2，y2)由题意，可得弦ab的中点坐标为，且，.将a，b两点坐标代入椭圆方程中，得两式相减并化简，得·2×3，所以a23b2，又c2a2b250，所以a275，b225，故所求椭圆的标准方程为1.考点4椭圆与向量的综合问题解决椭圆与向量有关问题的方法(1)将向量条件用坐标表示，再利用函数、方程知识建立数量关系(2)利用向量关系转化成相关的等量关系(3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题(2019·长春模拟)已知椭圆c的两个焦点为f1(1,0)，f2(1,0)，且

10、经过点e.(1)求椭圆c的标准方程；(2)过f1的直线l与椭圆c交于a，b两点(点a位于x轴上方)，若2，求直线l的斜率k的值解(1)设椭圆c的方程为1(ab0)，由解得所以椭圆c的标准方程为1.(2)由题意得直线l的方程为yk(x1)(k0)，联立整理得y2y90，则1440，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则y1y2，y1y2，又2，所以y12y2，所以y1y22(y1y2)2，则34k28，解得k±，又k0，所以k.解答本题应注意：(1)根据2，确定y1与y2的关系，从而确定直线与椭圆方程联立消去x；(2)根据y12y2得到y1y2y2，(y1y2)2y，从而y1y22(

11、y1y2)2；(3)也可以根据求出y1，y2，再利用y1y2求解教师备选例题已知椭圆c：1(ab0)，e，其中f是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l与椭圆c交于点a，b，线段ab的中点横坐标为，且(其中1)(1)求椭圆c的标准方程；(2)求实数的值解(1)由椭圆的焦距为2，知c1，又e，a2，故b2a2c23，椭圆c的标准方程为1.(2)由，可知a，b，f三点共线，设点a(x1，y1)，点b(x2，y2)若直线abx轴，则x1x21，不符合题意；当ab所在直线l的斜率k存在时，设l的方程为yk(x1)由消去y得(34k2)x28k2x4k2120.的判别式64k44(4k23)(4k212)144(k21)0，x1x22×，k2.将k2代入方程，得4x22x110，解得x.又(1x1，y1)，(x21，y2)，即1x1(x21)，又1，.(2019·保定模拟)设点p在以f1(2,0)，f2(2,0)为焦点的椭圆c：1(ab0)上(1)求椭圆c的方程；(2)经过f2作直线m交椭圆c于a，b两点，交y轴于点m.若1，2，且121，求1与2的值解(1)因为点p在以f1(2,0)，f2(2,0)为焦点的椭圆c：1(ab0)上，所以2a2，所以a.又因为c2，所以b