2022年初等数论教案第六节Mersenne数、Fermat数_第1页
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文档简介

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载第六节mersenne 数. fermat 数第七节完全数教学目的:明白mersenne.fermat .完全数的定义及简洁性质;教学重点: mersenne.fermat.完全数的简洁性质教学课时: 4 课时教学过程精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载一.mersenne 数.fermat 数1.定义 1梅森数 mersenne number:形如 2 p1 的正整数,其精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载中 p 为素数,常记为m p .如 mp 为素数,就称为梅森素数.精品学习资料精选学习资

2、料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载p 2,3,5,7 时, mp 都为素数,但m 11 204723×89 不为素精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载数.已发觉的最大梅森素数为p24036583 的情形, 此时 m p 为一个7235733 位 数 .为否有无穷多个梅森素数为数论中未解决的难题之精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载一.2.引理设 a0、 b0、 s1,就 sa1、 sb1sa 、b 1.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载证明:不妨设ab ,由辗转相除法得a = bq1r1,0 < r1 <

3、 |b|,b = r1q2r2,0 < r2 < r1 ,rn2 = rn1qnrn,0 < rn < rn-1 ,rn1 = rnqn + 1 ,其中 rn a、 b .因此精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sa1sr1sbq1sb1 sb1,1sr1 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sb1sr2sr1q2,sr11 sr111sr2 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载srn 2 1srnsrn1qn1 srn 11srn 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载srn 11,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎

4、下载rs n 11srnqn 1srn1 s nr1r1 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3.引理2设r 为素数,就r |,其中 1iir1 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载证明:略 .r4.引理3设r 为素数,就r | 22 .证明:略 .5.定理1设 p 为一个奇素数,q 为 m p 的一个素因子,就q 形如q2kp1 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载证明:由引理3 知 q | 2q 11,又由q | 2 p1,从而有引理1 知 q | 2 p、q 11 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢

5、迎下载从而 p、 q11 ,故p | q1 .又q1 为偶数,进而得证定理1.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n6.定义2 fermat 数fermat number我们把精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n称为 fermat 数.f221、 n0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n0、1、2、3、4 时,fn 都为素数 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载7.定理2mn ,就 fm 、 fn 1 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载证明:不

6、为一般性, 设 mn0 ,mnk 、 k0 ,设 l fn 、 fnk .又精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载fn | f n k2 ,故 l| 2 ,因fn 为奇数,故l1 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载二.完全数( perfect number)1.定义设 n 为一个正整数, 假如 n 的全部因子和等于2n ,那么称 n 为p完全数( perfect number).精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载p12.定理 1设 n1k 为 n 的标准分解式, nd |nd 表 示 n精品学习资料精选学习资料 -

7、 - - 欢迎下载的诸因子和,就k1 1k1p1p1n1k.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载p11pk1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载证 明 : 略 . 3.定理2n为一个偶完全数的充要条件为n 具有外形p1p221 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载其中p 与 2 p1均为素数 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载证明: n 具有外形2 p 1 2 p1 , 其中p 与 2p1 均为素数, 就 n 的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载

8、全部因子和为122 p 12 p1122 p 1 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故 n为完全数 .= 2 p 12= 2n .2p 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载反之,设 n2e q为一个完全数, 这里 q 为一个奇数, e0 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载于为,由定理1, n 的诸因子和为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2e11q2e1 q、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载因此qqd 、精品学习资料精选学习资料 - - -

9、 欢迎下载dq这里2e11 为一个整数,因此d 、 q为 q 的因子,又精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载q 为 q 全部因子和,故q 事素数,从而q2e11,因精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载为 q 为素数,从而e1 为素数,令e1p 得证.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4.定理3设 n 为一个奇的完全数,就n 具有分解式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载21npq12tqt,1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载p其中p、q1、 qt为不同的素数,p 和都 为 4h1形的数 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载p1证明:设n1k 为 n 的标准分解式,就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载kp11 1 n1p1k1p1k1pkp12 p1k,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载不妨设11p1

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