高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆的标准方程学案新人教B版选修2-1-新人教B版高

1、22.1 椭圆的标准方程学 习 目 标核 心 素 养1. 掌握椭圆的定义， 会用椭圆的定义解决实际问题 ( 重点 ) 2. 掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程 ( 重点 ) 3. 理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题( 难点 ) 1. 通过椭圆的定义、标准方程的学习， 培养学生的数学抽象素养. 2. 借助于标准方程的推导过程，提升学生的逻辑推理、数学运算素养. 1椭圆的定义(1) 定义：平面内与两个定点f1，f2的距离的和等于常数( 大于 |f1f2|) 的点的轨迹 ( 或集合 )叫做椭圆(2) 相关概念：两个定点f1，f2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离|f1f2| 叫

2、做椭圆的焦距思考 1：椭圆定义中，将“大于|f1f2| ”改为“等于|f1f2| ”或“小于 |f1f2| ”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ 提示 2a与|f1f2| 的大小关系所确定的点的轨迹如下表：条件结论2a |f1f2|动点的轨迹是椭圆2a |f1f2|动点的轨迹是线段f1f22a |f1f2|动点不存在，因此轨迹不存在2. 椭圆的标准方程焦点位置在x轴上在y轴上标准方程x2a2y2b21 (ab0) y2a2x2b2 1 (ab0) 图形焦点坐标( c,0)(0 ，c) a，b，c的关系a2b2c2思考 2：确定椭圆标准方程需要知道哪些量？ 提示 a，b的值及焦点所在的位置1

3、 已知点m到两个定点a( 1,0) 和b(1,0) 的距离之和是定值2， 则动点m的轨迹是 ( ) a一个椭圆b线段abc线段ab的垂直平分线d直线abb 定值 2 等于 |ab| ，故点m只能在线段ab上 2以下方程表示椭圆的是( ) a.x225y2251 b2x23y22 c 2x2 3y2 1 d.x2n2y2n2 20 ca 中方程为圆的方程，b，d中方程不是椭圆方程 3以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是2，且过点 (0,2) 的椭圆的标准方程是( ) a.x25y241 b.x23y241 c.x25y241 或x23y241 d.x29y241 或x23y241 c 若椭圆的焦点在

4、x轴上，则c1，b2，得a2 5，此时椭圆方程是x25y241；若焦点在y轴上，则a2，c1，则b23，此时椭圆方程是x23y241. 求椭圆的标准方程【例 1】求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1) 两个焦点的坐标分别为( 4,0) 和(4,0) ，且椭圆经过点(5,0)；(2) 焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；(3) 经过点a(3， 2) 和点b( 23， 1) 思路探究 求椭圆标准方程，先确定焦点位置，设出椭圆方程，再定量计算 解 (1) 由于椭圆的焦点在x轴上，设它的标准方程为x2a2y2b21(ab0) 2a5 4254210，a 5. 又c4，b2a2c22516

5、9. 故所求椭圆的标准方程为x225y291. (2) 由于椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为y2a2x2b21(ab0) 由于椭圆经过点(0,2) 和(1,0)，4a20b21，0a21b21，?a24，b21.故所求椭圆的标准方程为y24x21. (3) 法一：当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0) 依题意有32a222b21，232a21b21，解得a215，b25.故所求椭圆的标准方程为x215y251. 当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为y2a2x2b21(ab 0) 依题意有22a232b21，1a2232b21，解得a25，b215.因为ab0，所以

6、无解综上，所求椭圆的标准方程为x215y251. 法二：设所求椭圆的方程为mx2ny21(m0，n 0，mn) ，依题意有3m4n1，12mn1，解得m115，n15.所以所求椭圆的标准方程为x215y251. 确定椭圆方程的“定位”与“定量”提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为ax2by21(a0，b0，ab) 1求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1) 焦点分别为 (0 ， 2) ，(0,2) ，经过点 (4,32) ；(2) 经过两点 (2 ，2) ， 1，142. 解 (1) 法一：因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为y2a

7、2x2b21(ab0)由椭圆的定义知2a402 3222402 322212，所以a6. 又c2，所以ba2c242. 所以椭圆的标准方程为y236x2321. 法二：因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设其标准方程为y2a2x2b2 1(ab0) 由题意得18a216b21，a2b24，解得a236，b232.所以椭圆的标准方程为y236x2321. (2) 法一：若椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0) 由已知条件得4a22b21，1a2144b2 1，解得1a218，1b214.所以所求椭圆的标准方程为x28y241. 同理可得：焦点在y轴上的椭圆不存在综上，所求椭

8、圆的标准方程为x28y241. 法二：设椭圆的一般方程为ax2by21(a0，b 0，ab) 将两点 (2 ，2) ， 1，142代入，得4a2b1，a144b1，解得a18，b14，所以所求椭圆的标准方程为x28y241. 椭圆的定义及其应用 探究问题 1如何用集合语言描述椭圆的定义？ 提示 pm|mf1| |mf2| 2a,2a |f1f2| 2如何判断椭圆的焦点位置？ 提示 判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”3椭圆标准方程中，a，b，c三个量的关系是什么？ 提示 椭圆的标准方程中，a表示椭圆上的点m到两焦点间距离的和的一半，可借

9、助图形帮助记忆a，b，c( 都是正数 ) 恰是构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，所以ab，ac，且a2b2c2( 如图所示) 【例 2】 如图所示，已知椭圆的方程为x24y231， 若点p为椭圆上的点， 且pf1f2120，求pf1f2的面积 思路探究 由椭圆的定义和余弦定理分别建立关于|pf1| 和|pf2| 的方程，解方程组求得|pf1| ，再用面积公式求解 解 由已知a2，b3，得ca2b243 1，|f1f2| 2c 2，在pf1f2中，由余弦定理，得|pf2|2|pf1|2|f1f2|2 2|pf1|f1f2| cos 120 ，即|pf2|2|pf1|242|pf1|. 由椭圆

10、定义，得|pf1| |pf2| 4，即|pf2| 4|pf1|. 代入解得 |pf1| 65 . 所以spf1f212|pf1| |f1f2| sin 120 1265232335，即pf1f2的面积是353. ( 改变问法 ) 在例题题设条件不变的情况下，求点p的坐标 解 设p点坐标为 (x0，y0) 由本例解答可知spf1f212|f1f2| |y0| 353，解得 |y0| 353，即y0353，将y0353代入x24y231 得x85，所以点p的坐标为85，353 . 与椭圆有关的轨迹问题【例 3】如图，圆c：(x1)2y225 及点a(1,0) ，q为圆上一点，aq的垂直平分线交cq

11、于m，求点m的轨迹方程 解 由垂直平分线性质可知|mq| |ma| ，|cm| |ma| |cm| |mq| |cq|. |cm| |ma| 5. m点的轨迹为椭圆，其中2a5，焦点为c( 1,0) ，a(1,0) ，a52，c1，b2a2c2254 1214. 所求轨迹方程为：x2254y22141. 在求动点的轨迹方程时，要对动点仔细分析，当发现动点到两定点的距离之和为定值且大于两定点之间的距离时，由椭圆的定义知其轨迹是椭圆，这时可根据定值及两定点的坐标分别求出a，c，即可写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫定义法. 2已知两圆c1：(x4)2y2169，c2：(x4)2y29，动圆在圆c1

12、内部且和圆c1相内切，和圆c2相外切，求动圆圆心的轨迹方程 解 如图所示，设动圆圆心为m(x，y)，半径为r，由题意动圆m内切于圆c1，|mc1| 13r. 圆m外切于圆c2，|mc2| 3r. |mc1| |mc2| 16|c1c2| 8，动圆圆心m的轨迹是以c1、c2为焦点的椭圆，且 2a16,2c8，b2a2c2641648，故所求轨迹方程为x264y2481. 椭圆上一点p与椭圆的两焦点f1、f2构成的f1pf2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识.对于求焦点三角形的面积，若已知f1pf2，可利用s12absin c把|

13、pf1| |pf2| 看成一个整体，利用定义|pf1| |pf2| 2a及余弦定理求出|pf1| |pf2| ，这样可以减少运算量. 1思考辨析(1) 平面内与两个定点f1，f2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆( ) (2) 椭圆x216y2251 的焦点坐标是 ( 3,0) ( ) (3)y2a2x2b21(ab) 表示焦点在y轴上的椭圆( ) 提示 (1) 需 2a|f1f2|. (2) (0 ，3)(3) ab 0 时表示焦点在y轴上的椭圆2已知椭圆x225y2161 上一点p到椭圆的一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为( ) a1 b5 c2 d7 d 由|pf1| |pf2| 10 可知到另一焦点的距离为7. 3椭圆x225y291 的两个焦点为f1，f2，过f2的直线交椭圆于a，b两点，则abf1的周长为 ( ) a10 b 20 c 40 d 50 b 由椭圆的定义得|af1| |af