高中数学第1章计数原理1.3.1二项式定理学案新人教A版选修2-3-新人教A版高二选修2-

1、13.1 二项式定理预习课本 p2931，思考并完成以下问题1二项式定理是什么？2通项公式又是什么？3 二项式定理有何结构特征，二项展开式中某项的二项式系数与某项的系数有区别吗？ 新知初探 二项式定理二项式定理(ab)n c0nanc1nan1b cknankbk cnnbn二项展开式公式右边的式子二项式系数ckn(k0,1,2 ，n) 二项展开式的通项tk1cknankbk 点睛 应用通项公式要注意四点(1)tk1是展开式中的第k1 项，而不是第k项；(2) 公式中a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置；(3) 要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题；(4) 对二项式 (ab)n

2、展开式的通项公式要特别注意符号问题 小试身手 1判断下列命题是否正确( 正确的打“”，错误的打“”)(1)(ab)n展开式中共有n项 ( ) (2) 二项式 (ab)n与(ba)n展开式中第r1 项相同 ( ) (3)cknankbk是(ab)n展开式中的第k项 ( ) 答案： (1) (2) (3) 2.x1x5的展开式中含x3项的二项式系数为( ) a 10 b10 c 5 d 5 答案： d 3.x22x35展开式中的常数项为( ) a80 b 80 c40 d 40 答案： c 4(1 2x)5的展开式的第3 项的系数为 _，第三项的二项式系数为_答案： 40 10 二项式定理的应用

3、典例 (1) 求3x1x4的展开式；(2) 化简： (x1)5 5(x1)410(x1)310(x1)25(x1) 解 (1) 法一：3x1x4c04(3x)4c14(3x)31xc24(3x)21x2c343x1x3c441x481x2108x5412x1x2. 法二：3x1x4(3x1)4x21x2(81x4108x354x212x1) 81x2108x5412x1x2. (2) 原式 c05(x1)5 c15(x1)4c25(x1)3c35(x1)2c45(x1) c55(x1)01 (x 1) 151x51. 运用二项式定理的解题策略(1) 正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式

4、定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂形如(ab)n的展开式中会出现正负间隔的情况对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开(2) 逆用： 逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数活学活用 1化简 (x1)44(x1)36(x1)24(x1) 1 的结果为 ( ) ax4b(x1)4c(x 1)4 d x41 解析：选a (x1)44(x1)36(x1)24(x1)1c04(x1)4c14(x1)3( 1)1c24(x 1)2( 1)2c34(x 1)( 1)3c44(x1)0( 1)4(x1)14

5、x4，故选 a2设n为自然数，化简c0n2nc1n2n 1 ( 1)kckn2nk ( 1)ncnn_. 解：原式 c0n2n( 1)0c1n2n1( 1)1 ( 1)kckn2nk ( 1)ncnn20(2 1)n1. 答案： 1 二项式系数与项的系数问题 典例 (1) 求二项式2x1x6的展开式中第6 项的二项式系数和第6 项的系数；(2) 求x1x9的展开式中x3的系数 解 (1) 由已知得二项展开式的通项为tr1cr6(2x)6 r 1xr26rcr6( 1)rx33r2，t612x92. 第 6 项的二项式系数为c56 6，第 6 项的系数为c56( 1)52 12. (2) 设展开

6、式中的第r1 项为含x3的项，则tr1cr9x9 r 1xr ( 1)rcr9x92r，令 92r3，得r3，即展开式中第四项含x3，其系数为 ( 1)3c39 84. 一题多变 1 变设问 本例问题 (1) 条件不变，问题改为“求第四项的二项式系数和第四项的系数”解：由通项tr1 ( 1)rcr626rx332r，知第四项的二项式系数为c36 20，第四项的系数为c36( 1)323 160. 2 变设问 本例问题 (2) 条件不变，问题改为“求展开式中x5的系数”，该如何求解解：设展开式中第r1 项为含x5的项，则tr1( 1)rcr9x92r，令 92r5，得r2. 即展开式中的第3 项

7、含x5，且系数为c2936. 求某项的二项式系数或展开式中含xr的项的系数，主要是利用通项公式求出相应的项，特别要注意某项二项式系数与系数两者的区别与展开式中的特定项有关的问题题点一：求展开式中的特定项1( 四川高考 )设 i 为虚数单位，则(xi)6的展开式中含x4的项为 ( ) a 15x4 b 15x4c 20ix4 d 20ix4解析：选 a 二项式的通项为tr1cr6x6rir，由 6r4 得r2. 故t3c26x4i2 15x4. 故选 a2(1 2x)3(13x)5的展开式中x的系数是 _解析：(1 2x)3(1 3x)5的展开式的通项为2rcr3( 1)scs5x3r2s6(

8、其中r0,1,2,3；s0,1,2,3,4,5)，令3r 2s61，得 3r2s 6，所以r0，s3或r 2，s 0.所以x的系数是 c354c232. 答案： 2 题点二：由二项展开式某项的系数求参数问题3( 山东高考 )若ax21x5的展开式中x5的系数是 80，则实数a_. 解析：tr1cr5(ax2)5r1xr cr5a5rx1052r. 令 1052r5，解得r2. 又展开式中x5的系数为 80，则有 c25a3 80，解得a 2. 答案： 2 求展开式中特定项的方法求展开式特定项的关键是抓住其通项公式，求解时先准确写出通项，再把系数和字母分离， 根据题目中所指定的字母的指数所具有的

9、特征，列出方程或不等式即可求解有理项问题的解法，要保证字母的指数一定为整数层级一学业水平达标1(x 2)n的展开式共有12 项，则n等于 ( ) a9 b10 c11 d 8 解析：选 c (ab)n的展开式共有n1 项，而(x2)n的展开式共有12 项，n11.故选 c2设n为正整数，x1xx2n展开式中存在常数项，则n的一个可能取值为( ) a16 b 10 c4 d 2 解析：选 b x1xx2n展开式的通项公式为tr1cr2nx2nr1xxrcr2n( 1)rx4n5r2，令4n5r20，得r4n5，n可取 10. 3已知x1x7的展开式的第4 项等于 5，则x等于 ( ) a17 b

10、 17c7 d 7 解析：选 b t4c37x41x35，x17. 4若二项式x2xn的展开式中第5 项是常数项，则自然数n的值可能为 ( ) a6 b 10 c12 d 15 解析：选 c t5c4n(x)n 4 2x424c4nxn122是常数项，n1220，n12. 5在ax6bx4的二项展开式中，如果x3的系数为20，那么ab3( ) a20 b 15 c10 d 5 解析：选 d tr1cr4a4rbrx247r，令 247r3，得r3，则 4ab320，ab35. 6( 全国卷 )(2xx)5的展开式中，x3的系数是 _ ( 用数字填写答案) 解析： (2xx)5展开式的通项为tr

11、1cr5(2x)5r(x)r25rcr5x5r2. 令 5r23，得r4. 故x3的系数为254c452c4510. 答案： 10 7若 (1 2x)6的展开式中的第2 项大于它的相邻两项，则x的取值范围是_解析：由t2t1，t2t3，得c162x1，c162xc26(2x)2.解得112x15. 答案：112，158若 (xa)10的展开式中，x7的系数为 15，则a_.( 用数字填写答案) 解析：二项展开式的通项公式为tr1cr10 x10rar，当 10r7 时，r3，t4 c310a3x7，则 c310a315，故a12. 答案：129若二项式xax6(a0) 的展开式中x3的系数为a

12、，常数项为b，且b4a，求a的值解：tr 1cr6x6raxr( a)rcr6x63r2，令 63r23，则r2，得ac26a215a2；令 63r20，则r4，得bc46a415a4. 由b4a可得a24，又a 0，所以a2. 10已知m，nn*，f(x) (1 x)m(1 x)n展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数解：由题设mn19，m，nn*. m1 ，n18，m2，n17，m 18，n 1.x2的系数 c2mc2n12(m2m) 12(n2n) m219m 171m19223234. 当m9 或 10 时，x2的系数取最小值81，此时x7的系数为c79c

13、710156. 层级二应试能力达标1在 (1 x3)(1 x)10的展开式中x5的系数是 ( ) a 297 b 252 c297 d 207 解析：选 d x5应是 (1 x)10中含x5项与含x2项其系数为c510c210( 1)207. 2使3x1xxn(nn*) 的展开式中含有常数项的最小的n为( ) a4 b 5 c6 d 7 解析：选 b 由二项式定理得，tr 1crn(3x)nr1xxrcrn3nrxn52r，令n52r0，当r2 时，n5，此时n最小3在二项式x31xn(nn*) 的展开式中，常数项为28，则n的值为 ( ) a12 b 8 c6 d 4 解析：选b 展开式中第

14、r1 项是 crn(x3)nr 1xr crn( 1)rx3n4r，令 ( 1)rcrnx3n 4r28，则3n4r0( 1)r1crn 28，n8. 4在x21xn的展开式中，常数项为15，则n的一个值可以是( ) a3 b 4 c5 d 6 解析：选d 通项tr1crn(x2)nr1xr( 1)rcrnx2n3r，常数项是15，则 2n3r，且crn15，验证n6 时，r4 合题意，故选d5xx2x7的展开式中，x4的系数是 _( 用数字作答 ) 解析：x4的系数，即x2x7展开式中x3的系数，tr1cr7x7r 2xr( 2)rcr7x72r，令 72r3 得，r2，所求系数为( 2)2

15、c2784. 答案： 84 6在 (1 x)5(1x)6(1x)7(1 x)8的展开式中，含x3的项的系数是 _解析：展开式中含x3项的系数为c35( 1)3c36( 1)3c37( 1)3c38( 1)3 121. 答案： 121 7记 2x1xn的展开式中第m项的系数为bm. (1) 求bm的表达式；(2) 若n6，求展开式中的常数项；(3) 若b32b4，求n. 解： (1)2x1xn的展开式中第m项为cm 1n(2x)nm 11xm 12n1 mcm 1nxn22m，所以bm2n 1mcm 1n. (2) 当n6 时， 2x1xn的展开式的通项为tr1cr6(2x)6r1xr26 rcr6x6 2r. 依