安徽大学2006—2007学年第2学期《量子力学》考试试题(B)

1、 量子力学考试试题参考答案及评分标准第1 页 共4 页2 z 安徽大学 20 06 20 07 学年第2 学期 量子力学考试试题（ b）参考答案及评分标准一、填空题（每小题 5 分，共 25 分）1.用球坐标表示，粒子波函数表为r, ,，写出粒子在球壳r , r dr 中被测到2的几率是p r 2 dr sindr,2 d。0 0 0i 2 .在z 表象中的泡利矩阵y i 0 。3 .一维谐振子的能级表达式是e n 1 , n 0 ,1, 2 ,n 0, 0 x 2 a4.一质量为的粒子在一维无限深方势阱v (x) ,x 0, x 2a 中运动，写出其能级表达式是en 22n2 8 a2 ,n

2、 1, 2 , 3,5 （l2 , l ） 的共同本征函数是ylm (, ) 。二、简答题（每小题 5 分，共 25 分）6电子自旋假设的两个要点是什么？解： （1）电子具有自旋角动量s ，它在空间任意方向的投影只有两个取值：2；(3 分)（2）电子具有自旋磁矩m ，它的回转磁比值为轨道回转磁比值的2 倍，即(2 分) 自旋回转磁比值gs e 2 取mc e 2mc 为单位，轨道回转磁比值gl e 2mc 1。内禀磁矩自旋轨道磁矩轨道角动量 量子力学考试试题参考答案及评分标准第2 页 共4 页r , 7.量子力学中，一个力学量q 守恒的条件是什么？用式子表示。q 解：有两个条件：t 0 , （

3、 2 分）q ,h 0 。（3 分）(r , / 2) 8.完全描述电子运动的旋量波函数为(r , s z ) ，准确叙述(r , / 2) 2及d 3 r (r , / 2) (r , / 2) 2分别表示什么样的物理意义。解：r , / 22表示电子自旋向上（sz 2 ） 、位置在r 处的几率密度； （ 2 分）d 3 r / 22 表示电子自旋向下（s 2 ）的几率。 （3 分）9波尔原子理论的两大要点是什么？1 原子具有分立的能级：电子在原子中不可能沿着经典理论所允许的每一个执道运动，而只能沿着其中一组特殊的轨道运动。玻尔假设沿这一组特殊轨道运动的电子处于稳定状态(简称定态 )。当电子

4、保持在这种状态时，它们不吸收也不发出辐射。换句话说就是：原子能够，而且只能够稳定地存在于与分立的能量(e1e2，)相应的一系列的状态中这些状态称为定态因此，原子能量的任何变化，包括吸收或发射电磁辐射，都只能在两个定态之间以跃迁的方式进行。（3 分）2 量子跃迁的频率条件：只有当电子由一个定态跃迁到另一个定态时，才产生辐射的吸收或发射现象，电子由能量为 em 定态跃迁到能量为 en 的定态时所吸收或发射的辐射频率，满足下面的关系：（2 分）10散射问题中，高能粒子散射和低能粒子散射分别宜采用什么方法处理？解： 高能粒子散射宜采用玻恩近似方法处理；低能粒子散射宜采用分波法处理。三、证明题（每小题

5、10 分，共 10 分）1 1 .证明 pauli 矩阵满足xyzi 。得分z 量子力学考试试题参考答案及评分标准第3 页 共4 页32m 32m 32m 0 z 0 0 0 0 证：由于xy yx 2izxy yx 0 （1）（2 分）（2）（2 分）（1）+（2） ，得xyiz（ 3）（2 分）式（ 3）两边同时右乘，注意到2 1 ，得（2 分）z z xyzi ，证毕。（2 分）四、计算题（每小题 20 分，共 40 分）1 2 .一电子处于r （r）y （ , ） 态，测力学量 l ，测值如何？ 测力学量 l ，32 m 32 2 m z 可能得哪些测值？写出l z 在其自身表象中的矩

6、阵表示。解：l2( , ) 2(2 1)2( , ) 62( , ) ，测力学量l，测值为62 。（5 分）lz32m ( , ) m32m ( , ), m 2 ,1, 0 , 1, 2 ，测力学量lz ，测值可能为2 , , 0, , 2。（ 5 分）在l z 表象中，l z 自身的矩阵形式是对角矩阵，对角元为l z 的本征值：2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 l 0 0 0 0 0 0 0 10 （10 分） 2 量子力学考试试题参考答案及评分标准第4 页 共4 页(x a) , 1 11 1 (x) h (x) dx 2 2 1 3 .一维无限深势阱 ( 0 x a ) 中的粒子

7、，受到微扰h x / a ,x a / a / x a 的作用，求基态能量的一级修正。解：一维无限深势阱的能量本征值及本征函数为( ) n( ) nx en(0) a 2 2 , n sin a (0) , n , , , x 基态e12 a 2 , 。 （4 分）1 sin a （4 分）基态能量的一级修正为e (1) h (0) 2 2 a 2 2 x 2x 2 a 2 x x a 0sin a a dx a asin 2 ?2 1 dx 。 （4 分）a a 作变换：u xa , x au , x dx a du ；av a 代入上式完成积分：v , a x a , dx dv o （ 4 分）(1) 1 42 2 s