三角形的等积变形(一)

1、1 / 4 年级四年级学科奥数版本通用版课程标题三角形的等积变形（一）编稿老师允一校林卉二校琦锋审核舒这节课， 我们一起来学习三角形的等积变形，它是几何问题中在求直线型面积时，很重要的一个部分，下面我们就来研究一下三角形的面积与它的底和高三者之间的关系。三角形面积的计算公式：s底高2三角形面积、底和高之间的关系：从公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）；如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化。当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积

2、不一定变化。一个三角形的面积变化与否取决于它的底和高的乘积，而不仅仅取决于底或高的变化。一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状。重要结论：等底等高的两个三角形面积相等。若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。例 1如图，在abc中，d是bc边上一点，bd 12 厘米，dc4 厘米。（1）求abc的面积是abd面积的多少倍；（2）求abd的面积是adc面积的多少倍。分析与解： 因为abd、abc和ad

3、c分别以bd、bc和dc为底时，它们的高都是过a点向bc边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。因为，12416，161234，所以abc的底是abd的底的34倍，所以，abc的面积是abd面积的34倍；同理，因为 124 3，所以abd的面积是adc面积的 3 倍。巩固理解结论：两个三角形等高时，面积的倍数底边长的倍数。2 / 4 例 2如图，e在ad上，ad垂直于bc，ad12 厘米，de3 厘米。求abc的面积是ebc面积的几倍。分析与解： 因为ad垂直于bc，所以当bc为abc和ebc的底时，ad是abc的高，ed是ebc的高。于是：abc的面积bc122 bc6；ebc的面积bc

4、32 bc1.5 。所以abc的面积是ebc的面积的4 倍。巩固理解结论：两个三角形等底时，面积的倍数高的倍数。例 3 如图，在梯形abcd中，ac与bd是对角线，其交点为o，求证：aob与cod面积相等。分析与解： abc与dbc等底等高，abcsdbcs。又 aobsabcsbocs，docsdbcsbocs，aobscods。例 4如图，abc的面积是24，d、e和f分别是bc、ac和ad的中点。求def的面积。分析与解： d是bc的中点，adc的面积是abc面积的一半，即242 12。e是ac的中点，ade的面积是adc面积的一半，即122 6。f是ad的中点，3 / 4 def的面积

5、是ade面积的一半，即def的面积 62 3。例 5如下图，在平行四边形abcd中，e为ab的中点，af2cf，afe（图中阴影部分）的面积为8 平方厘米。则平行四边形abcd的面积是多少平方厘米？分析与解： 连结fb。因为af2cf，所以afb的面积是cfb的面积的 2 倍。又因为e为ab的中点，所以afb的面积是aef的面积的2 倍。所以abc的面积是aef的面积的3 倍。又因为平行四边形abcd的面积是abc的面积的2 倍，所以平行四边形abcd的面积是afe的面积的32 6 倍。因此，平行四边形abcd的面积为 86 48（平方厘米） 。（答题时间： 30 分钟）1. 用两种不同的方法

6、，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形。2. 如图，在长方形abcd中，ad为 8 厘米，ab为 3 厘米。请问：阴影部分的面积是多少平方厘米？3. 如图，在abc中，d、e、f分别是bc、ad、be的三等分点，已知abcs27 平方厘米，求defs。4. 如下图，梯形abcd的上底ad长为 5 厘米，下底bc长为 12 厘米，腰cd的长为 8 厘米，过b点作cd的垂线be，be的长为 9 厘米。那么梯形abcd的面积是多少？5. 如下图， 正方形abcd的边长为10，三角形bef的面积为30。那么bf的长度为多少？4 / 4 1. 解：解法一： 如图（1） ，将bc边四等分， 连接a与各

7、等分点， 则abd、ade、aef、afc的面积相等。解法二：如图（ 2） ，d是bc的二等分点，e、f分别是ac、ab的中点，从而得到四个等积三角形adf、bdf、dce、ade。解法三： 如图（3） ，d是bc的四等分点，e、f是ad的三等分点， 从而得到abd、aec、ecf、fcd的面积相等。2. 解：可以通过等积变形把三个阴影三角形变成长方形的一半，所以阴影部分的面积为832 12（平方厘米） 。3. 解：因为d为bc边的三等分点， 所以adcs31abcs9 平方厘米。 同理abes31abds6 平方厘米，bdfs31bdes4 平方厘米，所以defs279648平方厘米。4. 解：连接bd，作出梯形的一条高df。三角形bcd以cd为底、be为高， 面积为 89236（平方厘米） ；也可以看做以bc为底、df为高，由bc12 厘米可知df为 362126（厘米）。在梯形abcd中，上底为5 厘米，下底为12 厘米，高为6 厘米，面积为（512）62 5