线段垂直平分线的性质

1、猜测猜测1 1：线段线段垂直平分线垂直平分线上的上的点点到这条线段到这条线段两个两个端点端点的的距离相等距离相等。已知：如图，直线已知：如图，直线MN线段线段AB,垂足为垂足为C, 且且AC=CB.求证：求证：PA=PBABPMNC证明：证明：MNAB 于点于点C （已知）（已知）, PCA= PCB=90（垂直的定义）（垂直的定义） 在在 PAC和和PBC中，中， AC=BC（已知）（已知）, PCA= PCB（已证）（已证）, PC=PC（公共边）（公共边） PAC PBC（SAS）. PA=PB（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）.定理：线段定理：线段垂直平分线垂直平分线

2、上的上的点点到这条线段两个到这条线段两个端点端点的的距离相等距离相等。ABPMNPA=PB点点P在线在线段段AB的垂的垂直平分线直平分线上上线段垂直平分线线段垂直平分线上的点和这条线上的点和这条线段两个端点的距段两个端点的距离相等离相等ABPMN点点P在线段在线段AB的垂直平分线上（已知）的垂直平分线上（已知）PA=PB（线段（线段垂直平分线垂直平分线上的上的点点和这条线段和这条线段两个两个端点端点的的距离相等距离相等。 ）猜测：到一条线段两个端点猜测：到一条线段两个端点距离相等距离相等的点，的点，在这条线段的在这条线段的垂直平分线垂直平分线上。上。已知：如图，已知：如图，PA=PB求证：求证

3、：P在在AB的垂直平分线上的垂直平分线上证明：过证明：过P点作点作MNAB，垂足为，垂足为ABPMN定理：线段定理：线段垂直平分线上的点垂直平分线上的点到这条线段两个端点的到这条线段两个端点的距离距离相等相等。PA=PB点点P在线在线段段AB的垂的垂直平分线直平分线上上逆定理：到一条线段两个端点逆定理：到一条线段两个端点距离相等距离相等的点，在这条线段的点，在这条线段的的垂直平分线上垂直平分线上。点点P在线在线段段AB的垂的垂直平分线直平分线上上PA=PB PA=PB（已知）（已知）点点P在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上（和一条线段两个端点和一条线段两个端点距离相等距离相等的点，在

4、这条线段的点，在这条线段的的垂直平分线上垂直平分线上）ABPMN例例已知：如图，已知：如图，AB=AC=8cm ,DE是是AB边的中垂线边的中垂线交交AC于点于点E，BC=6cm，求，求BEC的周长的周长EDBCA证明：证明： DE是是AB边的中垂线边的中垂线 （已知），（已知），AE=BE（线段（线段垂直平分线垂直平分线上的点上的点和这条线段两个端点的和这条线段两个端点的距离相等距离相等）AE+EC=BE+EC=8cm （等式性质）（等式性质）.AC=8cm（已知）（已知）, CBEC=BE+EC+BC =8+6=14cm又又 BC=6cm（已知）（已知）有垂直平分有垂直平分线，就有等线，就有等腰三角形的腰三角形的产生产生例例 已知已知:如图如图,ABC中中,边边AB，BC的垂直平分线交于的垂直平分线交于P.求证：求证：（）（）PA=PB=PC; （）点（）点P在边在边AC的垂直平分线上的垂直平分线上BACDEFGPPA=PB=PCPB=PC点点P P在线段在线段BCBC的的垂直平分线上垂直平分线上PA=PB点点P P在线段在线段ABAB的垂的垂直平分线直平分线上分析：分析：定理：线段定理：线段垂直平分线上的点垂直平分线上的点到这条线段两个端点到这条线段两个端点的的距离相等距离相等。逆定理：到一条线段两个端点逆定理：到一条线段