中学数学方法论内容要点

1、第一章 数学的起源与发展一、 <世界数学史简编>根据数学发展的对象、特征以及对这些问题的看法分为5个时期，数学萌芽时期；初等数学时期(或称常量数学时期)；变量数学时期；近代数学时期；现代数学时期二、 数学萌芽时期年代: 公元前600年以前数学的对象：是社会生活和农业生产上的实际计算和测量的问题主要发明创造：中国、埃及、巴比伦、印度是世界文明发达最早的国家在数学上这些国家有许多伟大的成就中国：汉朝的一本书<周髀>记载有西周开国时期(公元前1000年)用矩(两条互相垂直的尺，)来测量的方法，书中还记载有直角三角形的“勾三、股四、弦五”的边长关系公元前4世纪成书的<墨经

2、>记载有大量的几何定义，如<经上>：“平，同高也”(用两条(个)每处距离相等的直线(平面)定义平行线(面)；<庄子>一书中“一尺之捶，日取其半，万世不竭”的极限思想也是很著名的埃及，几何学起源于尼罗河的泛滥后的土地重新测量古埃及的数学反映金字塔 古埃及的数学还反映在两本纸草书中一是莱茵特纸草书，内有算术、几何、杂题共85个题目一是莫斯科纸草书 (莫斯科博物馆所有)，载有25个问题这是埃及数学一个最光辉的成就巴比伦，公元前600多年，就测定了五大行星的周期，并发现了驰名古今的预测日、月食的“沙罗周期”据此推算，一个星期有7日，全圆周分为360度，每度60分，每分60

3、秒；一小时60分，每分60秒这是天文学方面的伟大贡献。巴比伦人建立了60进位制记数法数学发展的特点 (1)数学研究的对象是客观世界实际事物中的数量和图形，就是初步的算术和几何的计算知识；算术和几何结合在一起研究 (2)数学概念的形成比较缓慢，数学知识是片断的、零碎的，缺乏逻辑因素，没有形成严谨的科学体系 (3)已逐步出现了一些数学概念和抽象的数学符号，产生了具有一定关系和规律的数学系统算术 (4)为建立抽象的数学理论学科，从思想和方法上积累了丰富的素材三、常量数学时期（初等数学时期）年代: 公元前5世纪到公元17世纪初数学的对象：客观事物在相对静止的状态下保持不变的数量和图形(常量)主要发明创

4、造:这个时期数学发展的基本内容可分为几何的和代数的两部分 希腊在几何发展方面有突出的贡献早在公元前5世纪就出现了对几何系统阐述欧几里得(Eudid，公元前330前275)、阿基米德(Archimedes，公元前287一前212)、阿波洛尼斯(apollonins，公元前260前170)等都是当时的著名数学家欧几里得的原本(中国初译为几何原本是这个时期的重大贡献，它是从经验数学到理论数学的标志 原本共13篇，包括467个命题第一至第四篇是讲直边形和圆的基本性质；第五篇讲比例论；第六篇讲相似形；第七、八、九篇讲数论；第十篇讲不可公度量的分类；第十一、十二、十三篇讲立体几何及穷竭法该书系统地论述了初

5、等几何的科学内容和代数的一些重要成果突出的是，原本以一些概念的描述及一些公设、公理为基础，定义了其他概念并采用演绎的方法推导出其他的命题这样就把几何的零碎知识整理成为演绎的数学体系，首创了数学公理化方法对数学的发展起了促进的作用中国数学带有东方特色具有经验性质九章算术是这个时期一本杰出数学著作，公元450年成书的孙子算经中提出“物不知数”问题及解法，这是世界最早提出来的联立一次同余式问题，其解法被称为“中国剩余定理”贾宪(公元11世纪)提出二项式定理系数表(即贾宪三角)和开立方的方法 阿拉伯数学在代数学方面表现突出，阿尔·花拉子米(Al-Khowarizmi，约780850)在820

6、年左右著了一本代数学，把代数视为“还原与对消的科学”刘徽在<九章算术注>中建立了分数运算理论，阐明了正负数运算法则，开方运算性质和创造十进分数用来无限逼近无理数的做法，事实上完成了实数系统和建立数的运算理论在公元268年左右，印度人也提出负数四则运算早在公元前5世纪，希腊的毕达哥拉斯学派在研究数的性质方面有许多成就，在几何方面知道了平行线理论、相似理论和一些重要定理其成员希帕索斯(Hippasus，约公元前500年)发现单位正方形的对角线不能用任何数(当时只知道有理数)来表示由此，发现了不可约的几何量这是无理数产生的客观来源复数也是由于解方程出现矛盾而提出来的意大利的卡当著的<

7、;重要的艺术>一书中解方程x(10x)=40得他认为不管 的意义怎样，所得结果都是对的他把这种数称为“虚伪的数”后来意大利的邦别利(Bombelli 15261572)解三次方程都用了复数，而且规定了复数的四则运算法则 “三角学”一词来自希腊文 (三角形)与 (测量)，原意是三角形的测量，也就是解三角形在公元前2世纪，希腊的天文学家依巴谷首创“弦表”，就是在固定的圆内，不同圆心角所对弦长的表，这就是正弦函数表的雏形托勒密继承依巴谷的成就，从“托勒密定理”可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，梅内劳斯)写的<球面论>着重讨论球面三角问题 到了15世纪，德国的里基奥蒙

8、田纳斯著的论一般三角形出版后，才使三角学脱离天文学而成为一个独立的科目此外，阿基米德被称为“数学的神”，他在天文、力学、数学获得高度成就例如，他求得的值，解决了相当于的三次方程和的二次不定方程(由他的“群牛问题”引出)，并提出了著名的“阿基米德螺线”等丢番图(Diophamus，约246330)，被誉为代数学的鼻祖，他的<算术>讲数的理论，完全脱离了几何形式，可与<几何原本>比高下。对数是资本主义发展初期的产物纳皮尔(JohnNapier，1550-1617)造对数表，是一项伟大的发明，他的方法实质上给出了一个微分方程的近似积分 概括起来，这个时期主要是完善了算术，建立

9、了代数、几何、三角等学科，为变量数学发展积累了丰富的素材 数学发展的特点 (1)数学的研究对象从实际事物的性质中抽象出来，把它理想化成为纯粹的研究对象相对稳定状态下的数量和图形 (2)数学已由具体的实验阶段过渡到抽象的理论阶段；在前期积累的算术、几何知识的基础上，建立了更多的抽象的数字概念、符号和图形，逐步脱离其实际问题而成为独立的学科 (3)数学研究不仅运用抽象方法，而且运用逻辑方法(主要为演绎法)，把过去经验积累的数学知识整理成为演绎体系 (4)数学内容依据其研究对象的不同建立起了算术、代数、几何、三角等数学分支，并有自己专门的符号体系、陈述方法和推理证明方法四、变量数学时期 1年代: 1

10、7世纪中叶到19世纪20年代 2数学的对象：是客观事物在运动变化的状态下变化的数量和变化的图形，也就是变量 3主要发明创造法国的笛卡儿(Descartes，15961650)首创解析几何英国牛顿(Newton，16421727)和德国的莱布尼兹(Leibniz，1646-1716)创立了微积分解析几何与微积分是常量数学到变量数学的标志法国的蒙日在实用性问题研究上创设了画法几何学他把微积分应用于曲线和曲面的研究，写了第一本微分几何的书这样，使得数学研究的基本方法从传统的几何演绎方法转变为算术、代数和分析方法，数学灌注了全新的内容 (1)解析几何的发明 笛卡儿十分重视方法论的研究，1637年发表了

11、方法论著作，附录的第三篇是几何学，这就是解析几何的起点该书共分三卷，第一卷讨讨尺规作图；第二卷是曲线的性质；第三卷是立体与“超立体”的作图(实际是代数问题)笛卡儿的中心思想是要建立起一种普遍的数学，使算术、代数和几何统一起来，主要是把代数方法用到几何上，用方程来研究曲线的性质他创立解析几何的主要贡献在于引进了“变数”，建立了坐标法，把“形”和“数”统一起来在数学中引入变数是数学史上一项划时代的变革，有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学笛卡儿从自古已知的天文和地理的经纬制度出发，指出平面上的点和实数对(x，y)的对应关系从而得出方程F(x，y)=0表示平面上构成一条曲线这样就用代

12、数方法研究曲线性质、把数和形统一起来在笛卡儿之前就有不少学者在解析几何方面作过努力和笛卡儿同时代的法国数学家费尔马分享着解析几何创立的荣誉，他和笛卡儿对解析几何有同样的贡献 (2)微积分的发明：由牛顿、莱布尼兹共同创立的早在希腊时代，积分思想已经萌芽例如公元前5世纪，德谟克利特首创原子法，把物体看作由大量微小部分叠合而成，从而求得锥体体积是等底等高柱体的13阿基米德在解决抛物线弓形和回转锥线体问题中使用分成许多非常小的长条或薄片的方法求得相关面积和体积。这些都隐含着积分的思想中国庄子的“一尺之捶”，刘徽的割圆术、祖恒的开立圆术都无意中使用了极限方法 作为微分学中心问题切线问题的探讨却是较晚的事

13、在17世纪，有名的数学家如费尔马、笛卡儿、罗伯瓦等，讨论了“切线问题”。费尔马和笛卡儿从几何角度出发，认为切线是当两个交点重合时的割线，罗伯瓦从运动的角度出发，将切线看作所描画曲线上的运动点的方向这两种不同的观点，对微积分的产生有了直接的影响此外，英国的巴罗利用微分三角形构造切线，把握了微分概念和方法的精华开普勒于1615年发表了测定酒桶体积的新方法，求得圆锥曲线所产生旋转体的体积，使用的方法正是“积分法”的萌芽几乎与开普勒同时，意大利数学家卡瓦列利于1635年发表连续不可分几何他主张：一条线由无穷多个点构成，一个面由无穷多条线构成，一个立体由无穷多个面构成；点的运动产生线，线的运动产生面，面

14、的运动产生体这种理论就是微积分原始的雏形 牛顿和莱布尼兹在微积分的工作中最大功绩是将两个貌似不相关的问题即切线问题(微分学的中心问题)和求积问题(积分学的中心问题)联系起来 1665年，牛顿在手写的一页文件开始有“流数术”的记载这可作为微积分出现的标志牛顿称连续变量的“流动量”，称流动量的系数为“流动率”，把时间作为所有流动量的自变量，并使用了“刹那”一词(相当于dy，dx)流数术所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度(即微分法)；已知运动的速度，求给定时间内经过的路程(即积分法) 牛顿建立微积分主要从运动学的观点出发，而莱布尼兹则从几何学的角度出发他采用巴罗的“微分三角形”

15、。称它为“特征三角形”他于1684年发表了第一篇微分学的论文，提出了一种求极大极小和切线的新方法，文中使用了现代微分符号和基本微分法则：如d(ax)=adx，dxv=xdv+vdx等1686年，他发表了第一篇积分学论文，当时他把积分，看作求和的过程他采用符号的方法建立了微积分的符号系统，被沿用至今 到18世纪微积分已发展为庞大领域分析学后来达朗贝尔首次把极限理论作为分析的基础，改进了导数概念；拉格朗日改进了求导方法，把分析学基础脱离几何与力学直到19世纪初，柯西在分析教程中给出无穷小量严格定义，并把取极限的概念作为基础，完善了微积分的理论，微积分才有今天的形式 4数学发展的特点： (1)数学的

16、研究对象从研究常量到变量，离散量到连续量，有限量到无限量，必然量到或然量，从研究简单的几何图形(如直线形)的性质到较复杂的几何图形(如圆锥曲线等)的性质 (2)数学的思想、方法出现新特点： 由几何方法向解析方法转变，不仅应用了逻辑方法，而且具有辩证法的特点；数学思想、观点出现了许多混乱并导致剧烈争论；数学中理论上的矛盾促进了数学基础论的研究 (3)建立起解析几何和微积分两个新学科 此外，还出现了概率论和射影几何等新的数学部门微积分发展成为数学分析 (4)数学分析在数学发展中占主导地位。数学分析的思想、方法渗入数学中较古老的范围，数与形结合研究取得许多成果数学分析研究成果应用到其他数学部门出现了

17、许多数学内部的边缘学科，如微分几何、微分方程、变分法等 (5)数学与自然科学相互促进。数学的发明来自天体运动、机械运动、大地测量等技术学科和物理、化学等自然学科中实际问题的研究，反过来，数学的发展又大大促进了自然科学和技术的发展数学与其他自然科学以及应用技术联系在一起五、近代数学时期 1年代:从19世纪20年代开始到20世纪40年代 2数学的对象： 前期发展起来的几何、代数、分析三大分支(或说支柱)向更一般化(形式化)、抽象化，多样化发展数学与其他学科结合发展成为边缘学科又成为数学研究的独特对象公理化方法的探讨，数学方法成为数学研究的对象概括地看，数学研究对象的发展已是定义在任意性质的元素集上

18、的运算和关系，它们由于遵循的公理系统不同而形成不同的数学结构 3主要发明创造： 数学基础论的深入研究，公理方法和公理化集合论得到了很大发展 数学主体(几何、代数、分析)发展成熟，出现三大转折：微积分的发展成为数学分析；解析几何的发展成为高等几何；方程的发展成为高等代数有三大突破：分析学产生了傅立叶(Fourier，Joseph，17681836)级数，函数概念上有重大突破；几何学产生了非欧几何，空间概念上有重大突破；代数学产生伽罗华(Galois，18111832)理论，代数运算概念上有重大突破这个时期，数学中建立了三大理论：实数理论、集合论和数理逻辑 由此可见这个时期数学发生了一系列本质的变

19、化首先是罗巴切夫斯基的非欧几何的出现；其次是阿贝尔和伽罗华开创了近世代数的研究；再次是波尔察诺和柯西重新奠定分析的逻辑基础随之产生了许多新的分支，形成了近代数学大厦 4数学发展的特点 (1)革命的数学思想、数学创造的自由化促使数学很大发展 非欧几何的产生就是一场几何革命；伽罗华群论的提出实现了代数学观念的变革；分析学的严密化是数学家们新思想的反映这些都促使数学迅猛发展 (2)数学研究对象更一般化、抽象化、多样化 数学发展区别于社会科学和自然科学而成为一个独立的学科 (3)数学的发展趋向于统分结合 数学的发展，一方面趋于统一的理论，另一方面分支越来越多。已成为分支众多、体系庞大的科学 (4)数学

20、的应用越来越广泛 数学深入到生活、家庭、社会、生产、自然科学和技术学科各个领域，成为科学研究和技术革命的重要工具 (5)数学新问题层出不穷 数学理论越来越抽象，数学符号越来越丰富，数学的现代研究成果不是一般大众都能理解从而使得数学的科学研究和数学教学带来了许多新的问题 六、现代数学时期 1年代: 20世纪40年代至今 2数学对象：这里包含着计算机科学、应用数学和纯粹数学三方面的大突破数学研究对象更为广泛，几何学研究几何空间，如罗巴切夫斯基空间、射影空间、高维欧几里得空间、黎曼(Riemann，1826-1866)空间、拓扑空间等代数研究代数结构集合论对数学研究产生深刻影响数学研究对象可说是现实

21、世界的空间形式和数量关系以及在这个基础上发展起来的结构和模型 3主要发明创造 (1)应用数学大发展 应用数学涌现了大量的新科目，内容丰富，应用广泛，名目繁多如对策论、规划论、排队论、最优化方法、运筹学、信息论、控制论等此外还出现了如数理经济学、生物数学、数理心理学等边缘学科 (2)电子计算机的创造成功并得到广泛应用 由此建立起一门庞大科目，如计算数学、程序设计、程序语言，数理逻辑，数理语言学，组合论、图论等都有很大发展 (3)基础数学理论有飞速发展 基础数学理论现出了许多突破性工作，有许多新成果，如非标准分析、模糊数学、突变理论等 4数学发展的特点 (1)以集合论为基础，数理逻辑成为数学推理的

22、依据 (2)数学抽象化的程度进一步加强 抽象代数、拓扑学、泛函分析成为现代数学的主要支柱，其中又以代数学拓扑、微分拓扑、代数几何为当前的主流 (3)应用数学蓬勃发展 涌现出种类繁多的新分支；数量化的进程涉及到几乎每一个数学分支，出现了许多边缘学科 (4)电子计算机的产生和应用 (5)基础数学(纯粹数学)理论也有飞速发展 希尔伯特在1900年在巴黎数学家大会上提出23个尚待解决的问题，有些已有突破新概念、新方法的产生开辟了若干崭新的数学领域，如广义函数，模糊集合等现代数学成为由经典数学、统计数学、模糊数学3个组成部分的研究领域 第二节 中国数学的起源与发展 一、中国数学的起源 中国数学的起源可以

23、追溯到遥远的上古时代即原始社会时期在这个时期从无意识的经验积累到形成某些数学概念，其间要经过若干万年，后来发展到出现数学专著，又要经过数千年这里只介绍有记载的一些资料 1中国数学的萌芽出土文物中的图形和数学 这说明当时已有数的观念、记数方法和简单运算 2早期数学的积累 周易是流传至今最古老的典籍之一，现传本分经传两部分易经成书于周初，数学内容主要讲六十四卦及其符号体系等这与近代的排列思想、二进制相一致易传·系辞上有“河出图、洛出书，圣人则之”(如图11) 以墨翟为代表的墨家学派著了墨子一书为代表作该书本来共71篇，现存53篇，其中经上、经下、经说上、经说下4篇统称为墨经它例如，经上“

24、平，同高也”，也是对“平”下的定义， “圆，一中，同长也”(经说上)“圆，规写交也”这些说明我国早就有圆的定义及会用圆规画圆了随着数学在中国的发展，计算方法应运而生在筹算过程中，逐步形成了十进位位值制 在秦汉时期(公元前后)天文历法有了进一步的发展，数学水平也相应有提高，在周髀、淮南子、三统历等书中得到反映<周髀(后人称周髀算经)它的主要部分内容写作于公元前157年前，到公元前100年已基本上完成内容有数学、天文和历法数学主要成就有三方面：一是勾股定理；二是测量术；三是分数运算分数运算最大且较复杂等差数列也是当时一个伟大成就 二、算经十书 从汉朝到唐朝(公元前206907)数学书已有数十

25、部，但遗留下来的却不多，总共有10部，通常称为算经十书(简称十书这十书并不能概括汉、唐时代数学知识的全部，但从中可以看到我们祖国数学家的许多辉煌的成就 经我国数学史家钱宝琮校点算经十书是：周髀算经、九章算术、海岛算经、孙子算经、<张丘建算经、五曹算经、 五经算术、 缉古算经、 数术记遗、 夏侯阳算经 研究汉、唐数学，主要以十书为根据 三、中国传统数学理论体系的形成九章算术剖析 九章算术产生于何时?由何人所作?、无从定论的问题以公元前1世纪前半期为九章算术的成书年代较为合理 1九章算术的内容 九章分为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股等九章，采用问题集的形式，有问(题目

26、)、答(答案)、术(解题方法)，共246问202术这些问题广泛地涉及到社会生活和经济生活的许多领域，包括土地测算、谷物交换，测量、水利、土方工程、徭役赋税等应用问题， 第一章：方田共38问21术主要论述平面图形(地亩)的面积算法及系统完整的分数算法 第二章：粟米共46问33术，主要论述四项比例算法 第三章：衰分，共20问22术，主要讲配分比例 第四章：少广共24问16术，主要论述开平方和开立方的方法 第五章：商功共28问24术，主要讲柱、锥及台体体积的计算 第六章：均输共28问28术主要论述较复杂的配分比例的计算 第七章：盈不足共20问17术，主要论述盈亏问题的解法，即相当于用“双设法”解各种

27、应用题 第八章：方程共18问19术，主要是讲线性方程组解法以及与此法有关的正负数运算法则 第九章：勾股共24问22术，主要讲勾股定理，勾股术(有关勾股问题的解法)以及简单的勾股测量问题 2九章算术的数学方法 (1)分数算法 在方田章，讲平面图形面积计算其中有许多分数计算问题，因而连带讲了分数算法有约分法、分数四则运算法(包括带分数乘法)，分数大小比较法，求分数的平均值法等 (2)一般比率算法 一般比率算法包括粟米之法、今有术、经率术、其率术、反其率术、衰分术、返衰术和均输术等8种 (3)组合比率算法 组合比率算法包括盈不足、方程、勾股三术 (4)开方算法 开方算法包括开平方法、开立方法、开带从

28、平方法3种这是一个独立的算法系统，具有构造性和算法机械化的特色 (5)面积和体积公式 这是中国几何理论的主要组成部分主要有图形的象形命名、求积术的公式化两大特色 3九章算术在中国数学史上的地位 (1)九章是中国传统数学的代表作 研究中国数学史，首先要研究九章算术它总结了2000千年前中国数学的伟大成就，是一部珍贵的历史文献 (2)九章标志着中国初等数学理论体系的形成 <九章已基本上形成了实数系统的雏形，表现如下：自然数系、分数、无理数、正负数 4九章算术的特色 九章体现了东方数学的特色所谓“东方数学”是指中国式的数学，它是与“西方数学”即希腊式数学相对而言的东方数学的特色主要有3个方面：

29、 (1)有明显的社会性和实用性的特征 九章是在政府主持下为适应社会需要而编写的，是作为培养地方政府业务行政部门专业人员使用的教材全书的选材内容与编排体例，突出地说明其为解决社会生活中的实际应用问题服务的目的可见九章有着明显的社会性与实用性 (2)以算法为中心的形数结合的算法体系 <九章>在解决有关实际应用题时运算的主要工具是算筹，筹算从形式上形象地反映了计算过程中的思维活动，从而获得了许多数学的概念和方法这正是中国数学以算法为中心的特色不限于单纯数值计算，还发展为一套十分丰富的“筹式”，使演算对象由“数”发展到“式”这体现出<九章>使用算器，以算为中心的特色<九章

30、包含着丰富的几何内容，在面积、体积、勾股术方面把图形的研究表现为数量的计算几何对象的度量化，使<九章>以算为中心又具有形数结合的特点区别于希腊数学的演绎体系，<九章>是以算法为中心的形数结合的算法体系 (3)<九章>中的成果表现出构造性的特点 <九章>把演算对象由“数”发展到“式”各章精心设计的筹式都利用筹码的位置关系构造出来通过筹式按程序进行机械计算，最终获得问题解决，这也反映出其构造性的特点 四、中国传统数学理论体系的发展 中国传统数学基本理论体系在西汉时期已经形成，在东汉初期至五代末得到了稳定发展，到宋元时期发展到达了顶峰以后，到清朝中期数

31、学理论研究开始下面将就中国传统数学理论体系的发展作简单介绍 1赵爽、刘徽和祖冲之的数学成就 赵爽，字君卿，生死年月不详，约是三国时代人，是中国古代杰出的一位平民数学家他的主要成就是注释<周髀>，其中最主要的是“勾股圆方图注”和“日高图注”此外还证明了一系列的勾股恒等式和给出一元二次方程的求根公式(正根) 刘徽是一位中国古代杰出的布衣数学家，生平及籍贯不可详考他的主要成就在于<九章注>，为我国的传统数学奠定了坚实的理论基础他完成了实数系统和建立了数的运算理论；开展了逻辑推理和数学证明，从而开辟了我国古代数学理论化的道路;他发展了中国古代几何学的理论，提出了一些原理和使用极

32、限方法例如，创造“出入相补原理”、“割圆术”、“刘徽原理”、“截面原理”等；他发展了勾股术和测量理论他的“重差术”在<海岛算经>中得到充分运用 祖冲之(429年500)，字文远，河北人他在公元462年制订的<大明历>提出了391年144闰的新闰法，使原来19年7闰每220年阴历与阳历就误差1天的旧闰法改进为每1739年阴历和阳历才误差l天他的主要数学成果载于他的著作<缀术>五卷之中他创设；密率为；约率为其中、创造了数学史上关于圆周率计算的世界纪录祖冲之之子祖创造了“祖恒原理”，也是当代杰出的数学家之一 2不定分析、三次方程与二次内插法的建树 (孙子算经>

33、;(简称<孙子>)的作者与编篡年代没有确实的记载 <孙子>分三卷，卷上叙述度量衡制度、进位制及筹算记数、四则运算等；卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法及简单面积、体积计算问题；卷下是各种应用题其中“物不知数”题的解法与19世纪高斯关于一次同余式组的解法是一致的，被称为“中国剩余定理” <张邱建算经>作者张邱建，成书大约于公元466485之间该书共3卷，其内容大部分是社会上有关测量、纺织、交换、纳税、冶炼、土木工程、利息等方面的实际问题，有关最大公约数与最小公倍数、等差数列、不定方程等数学知识超过了<九章>的水平其中著名的“百鸡问题”，开创了中

34、国古代研究不定方程的先河 <缉古算经>(简称<缉古>)的作者是唐代王孝通，该书一卷包括天文问题、土方体积问题、容积问题、勾股问题四类其中不少问题要用到高次方程(主要是三次方程)来解决书中创立用开带从立方法求三次方程数值解，在中国数学史、世界数学史上都是最早的 3.刘益、贾宪和沈括的数学成就 宋元时期是我国传统数学的高峰期这个时期涌现出一大批著名的数学家北宋以刘益、贾宪和沈括为代表，他们在代数方面有突出的成就 刘益著<议古根源>，创立了正负开方术，使方程的系数可以是正数或者负数他解方程的方法，适用于解一般方程这是一项杰出的成就 贾宪他创立“增乘开方法”，这是开

35、高次方的新方法，是他对数学的首要贡献他的“开方作法本源”图(“贾宪三角形”，后人又说是“杨辉三角形”)在11世纪，也是一项优秀的数学成果，比西方的这一成就要早五六百年 沈括(1031-1095)，字存中，浙江钱塘(今杭州)人他在数学方面有独特的见解他的创作主要是“隙积术”和“会圆术”(载于他的著作<梦溪笔谈>第十八卷)，此外在组合数学和运筹学思想方面还有一些成果 4.秦九韶和杨辉的数学成就。 南宋杰出的数学家有秦九韶和杨辉等 秦九韶，字道古，鲁郡人。他著的<数书九章>是一部划时代的巨著其中“大衍求一术”和高次方程解法，在世界数学史上占有崇高的地位 秦九韶将一次同余问题推

36、广到一般的情形，在“大衍总数术”中给出了解决这类问题的全部解法的步骤这比欧洲同类成果早550年秦九韶的“正负开方术”是求高次方程的数值解法(后人称秦九韶法)，可用于解任意次数的方程，比欧洲同类成果也早五六百年 杨辉，字谦光，浙江钱塘(今杭州)人他编著的数学书有5种21卷，即<详解九章算法>12卷，(日用算法>2卷，<乘除通变本末>3卷，<田亩比类乘除捷法>2卷，<续古摘奇算法>2卷后3种著作又统称<杨辉算法>，流传很广 杨辉对数学的贡献主要在于引用和保存了大量古代珍贵的数学史料，如除算经十书外，有刘益的“正负开方术”、贾宪的“增

37、乘开方法”与“开方作法本源”等对垛积术的研究有许多成果；改进计算技术，提出许多速算法；研究“纵横图”并有衍化发展 5天元术、四元术和招差术 元代的数学成就以李冶、朱世杰的成就为代表 李冶，字仁卿(11921297)，金真定栾城县(今河北省栾城元北)人1248年著成<测圆海镜>12卷1259年著<益古演段>3卷他的数学成就主要是深入研究与改进了天元术，并给出了我国关于几何问题代数解法的最早典范他列方程求解的步骤与现代的完全一样，在用天元术解几何问题时还有不少创新，利用等积变形(演段)解面积问题 朱世杰，字汉卿，寓居燕山(今北京)，生卒不详他著算学启蒙>(1299年)

38、和<四元玉鉴>(1303年)，集前贤之大成，发展了垛积术，创立了“四元术”和“招差术”(四次内插法)他的“四元术”就是四元高次方程的布列与解法，是在天元术和正负开方术的基础上发展起来的半符号代数学其中消元法是中国数学上一项杰出成就，也是世界数学史上一个重要成果。比西方类似成果早400多年他发展垛积术，给出了高阶等差级数求和公式他的“招差术”的计算公式实际上是内插法公式，他给出了四次内插公式，比牛顿的类似成果早400年第三节 数学发展的动力 从数学发展的史料看来，数学的发展受到社会生活、生产和政治、经济等各种因素的影响在这节里，主要学习数学与现实世界的关系、人们怎样认识数学与数学发展

39、的动力 一、数学与现实世界的关系 1辨证唯物主义对数学的看法数学与现实世界的关系是辩证唯物主义和唯心主义争论的焦点唯心主义认为数学产生于纯思维，数学研究的是同经验无关的“纯粹理性”的创造物这就完全否定了数学与现实世界的关系辩证唯物主义认为：纯数学起源于经验，有着非常现实的材料；纯数学以现实世界的空间形式和数量关系作为自己的对象；纯数学来源于外部世界又脱离外部世界而发展；数学的发展遵循辩证的规律 2数学来源于外部世界又脱离外部世界而发展数学源于经验，从实际需要中产生，在实际应用中可以说明这点但是数学“和其他的思维领域一样，从现实中抽象出来的规律，在一定的发展阶段上就和现实世界相脱离，并且作为某种

40、好似独立的东西，好似从外面来的规律世界应当与此规律相适应而与之对立”(恩格斯语)数学就在已有的概念和理论的基础上，建立新的概念和理论，而不是现实世界直接来提取例如，虚数不是像整数那样从现实世界中提取出来的，而是从数学的内部矛盾发展起来的3数学研究的对象 数学研究的对象是发展的首先是社会生活和农业生产中的实际计算和测量问题；接着是在静态下保持不变的数量和图形；进而是在动态下的变化的数量和图形；随着社会的发展，在原来的基础上，数学研究对象又发展为定义在任意性质的元素集上的运算和关系，数学结构和模型数学研究的对象是现实世界空间形式和数量关系及由这个对象发展得来的数学结构和模型简单地说：“数学是研究现

41、实世界的量的关系与空间形式的科学”随着数学的发展，“量”将不断取得新的内容 二、人们对数学的认识 人们对数学的认识，并不是客观世界的自然的反映，而是对客观事物的一定的性质和关系的能动的反映，下面我们就数、形、函数等的概念的形成和发展作些简要说明 1人们对数的概念的认识 数的概念是人们对客观事物的量的关系的能动的反映 数的概念形成很慢开始，还没有“抽象的数”，如有的氏族当“手”就是五，“整个人”就是二十等等后来，用对应(一一对应)的办法直接比较同类事物的多少，才逐步产生自然数，物体的数目是物体某个集合的性质数本身是抽象的人们从实践中，建立了十进位制，扩大了对数的认识至于运算则是来源于合并，分解、

42、增加、减少，倍大缩小、包含、等分等实际的数量关系可以说自然数的概念及其运算都来自各类具体事物集合的共同的特征及其相互关系 有理数的产生，首先是从反映单个物体的部分与整体的关系认识简单的分数，或者从两个自然数的相除所得的商来认识把一个分数看作两个自然数的商，这反映了事物间的包含或者等分的数量关系其次，正、负数概念的产生，开始是从盈利和负债等问题提出来的，它们反映的是具有相反意义的量的记法上后来，从两数相减的可行性也产生了负数把一个正负数看作是两数相减所得的差，反映了事物的增加与减少等数量变化实际情况数零的产生，也经历一时间，它不仅表示没有东西而且表示正负量的分界点有理数的运算意义反映了具有相反意

43、义的量的方向变化(表现为符号规则)和自然数、正分数运算的实际内容(表现为绝对值的运算)等等因此，有理数概念和运算也是客观事物量的关系的反映 实数的产生在于无理数的发现毕达哥拉斯学派认为：“万物皆数”(指有理数)，但是无公度量(或称不可约量)的发现，给这信条以极大冲击人们根据勾股定理发现了无理量这一数学史上的重大发现，导致新的数实数产生因此，无理数概念也是现实世界的量的关系的反映 复数的产生在于虚数的发现虚数最初是在解二次方程过程中出现的法国人舒开于1484年在<算术三篇>中解二次方程 得根 ，他声明这根是不可能的1545年，卡当在<大术>中解方程 ， 得他称负数平方根为

44、“虚扬的根”笛卡儿于1637年第一次给出虚数的名称；除了虚数的符号不同外，和现代复数平面表示法一致罗伯特(Robert，17681822)于1806年有类似结果，并用“模”表示向量a+ib的长度 上述事例说明，数的概念和形式不管如何抽象，但是它们都有着丰富的实际的内容，都是现实世界中量的关系的反映这种反映不是自然的机械的反映，而是经过人们长期积累、整理加工、传授延续、迁移创新等发现和发明的过程中得到的，是一种能动的反映例如，数概念的扩充，由此得到的各种运算法则、运算律、运算性质等都是人们对现实的量的关系经过思维的加工而得到的，体现了人们对客观事物认识的主观能动性 2人们对图形的认识 几何图形是

45、人们对客观事物的形象、位置关系和大小的能动的反映 几何起源于农业生产的需要埃及的几何学起源于尼罗河泛滥后土地的重新测量中国有类似情况例如在<九章>中建立了许多图形的概念，说明了几何学是由田亩面积的度量和实物体积的计算所引起的几何观念来自自然界人们在自己的生活和生产中，逐步认识了各种物体的形象、大小和位置关系，积累了有关图形的知识几何量的概念，如长度、面积、体积等等就从人们实践活动中产生，并逐步获得它们间的一些关系现在中学几何里的一些概念都可以在现实世界中找到它的原型这说明几何概念来自客观世界 几何图形的概念与它的原型是有区别的例如，铁球、木球、皮球等都是几何中球体的现实原型但球体已

46、舍弃了原型中的其他性质如密度、颜色、重量、构成物等而为“纯粹”的空间形式因此几何图形概念是人们思维的想象物 几何概念的性质如同概念本身一样，是人们从周围自然界中抽象出来的人们通过多次实践才能领会过任意两点能且只能有一条直线的公理人们在研究图形间的关系中，建立起逻辑的关系，用这种逻辑方法建立起公理、定理和证明的概念体系这就是几何学理论 因此，几何图形的概念是抽去具体物体的其他性质只考察物体的形状，大小和位置关系，经过人们的思维加工，对几何对象纯粹化、理想化抽象而得来的几何方法也是人们对几何图形各种关系经过加工而得到的几何的发展，从一维、二维、三维的现实空间到多维空间以至无穷维空间，从欧几里得几何

47、到非欧几何，这都是经过人们思维加工抽象化、理想化而得到的，是人们对客观世界空间形式的能动的反映 3.人们对函数关系的认识 函数概念是人们对客观事物运动变化中量的关系的能动的反映 函数观念(概念)起源于笛卡儿的变数笛卡儿引入变量(他没有用这个词)以后，随之而来的便是函数概念笛卡儿在指出y和x是变量(“未知和未定的量”)的时候，注意到y随x而变这正是函数思想的萌芽 “函数”(拉丁文functio)一词用作数学术语最早是莱布尼兹(1692年)他给出了函数第一个定义：像曲线上点的横坐标、纵坐标、切线、法线的长度等等，所有与曲线上的点有关的量称为函数这是从几何量的变化来定义的 贝努利解析扩张了函数的定义

48、：用任意方法由变量和常量组成的量叫做这个变量的函数这个定义表明函数可以用解析式表示，变量不限于几何量也可以是其他性质的量(如时间、速度、重量等)，他首先使用“变量”这个词 欧拉给出了函数的3个定义：变量的函数是一个解析式，它是由这个变量和一些常量以任何方式组成的在xy平面上徒手画出来的曲线所表示的y与x之间的关系如果某些变量，以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随之而变化，则将前面的变量称为后面变量的函数定义有局限性，定义不太明确我国在1859年也给出了相当欧拉的第个函数的定义 柯西给出的函数定义：在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定某一变数的值，其他变数

49、的值也随之确定，将最初的变数称自变数，其他各变数称函数这个定义建立了两个变量间的对应关系 黎曼给出函数的定义为：对于x的每一个值，如果y有完全确定的值与之对应，就把y，叫做x的函数 狄里克雷在1837年指出：对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个或多个确定的值，那么y叫做x的函数这接近许多教科书中的定义 康托尔(的集合论出现以后，函数概念又有发展这就是用集合间的对应关系来定义函数：如果对于集合M中的每一个元素x，都有集合N的一个元素y与之对应，那么称y为x的函数 1914年，豪斯多夫采用了“序偶”来定义函数采用序偶的函数定义是：设f是一个序偶的集合，若当(x，y)f，且(x，z)f，时，

50、y=z，则f称为一个函数这个定义避免了引入不明确的“对应”的概念 以上函数的定义说明，无论函数概念如何扩张，如何抽象，它都是客观世界现实的量或者集合元素之间的关系的反映，而且是一种能动的反映 三、数学发展的动力 数学与现实世界有着紧密的关系人们对数学的认识是对客观世界中量的关系和空间形式的能动的反映，使我们对数学的发展有了进一步的认识数学发展的动力是什么呢? 美国学者怀尔德(Rwilder，18961982)关于数学发展的力量，提出了有11种就是：环境的力量；遗传的力量；符号化；文化传播；抽象；一般化；一体化；多样化；文化阻滞；文化抵制j选择等怀尔德对此作了具体说明例如，他说：在数学的历史发展

51、中可以明显地看到两种力量的作用，即数学的外部力量和内在力量由于数学发展与生物的进化十分类似，故把这两种力量分别称为“环境力量”和“遗传力量”郑毓信教授在<数学方法论>一书中介绍了怀尔德的研究成果并作了分析，认为：从整体上说，对于导致数学发展的各种力量可归结如下： 在这里，我们对数学发展的外部力量和内在力量作一些说明 实践的需要是数学发展的外部动力社会实践在数学的发展中从3个方面起决定性的作用 1社会实践活动向数学提出问题 社会实践活动包含着人们的生活实践、生产实践以及从事科学和技术研究的实践活动 从数的概念与运算的产生与发展的历史中，我们可以看到，人们在社会实践中需要记数、计数，从

52、而产生了计算，形成了数的概念当人们掌握了计算后，实践又要求有表示数的符号，并提出更困难的任务几何是从土地的丈量中产生的几何量的概念长度、面积、体积同样是从实践活动中产生的实践中提出要去测量长度、确定距离、估计面积体积，从而产生了相关的概念在天文学中要研究天体的相互位置，在测地学中研究地球的形式，在晶体学中研究晶体的形式，等等实践活动，提出对几何采取“纯粹形式”作为其对象在数学发展史上，初等数学的发展又可分为“希腊的”、“东方的”和“欧洲文艺复兴时代的”发展时期，这与当时当地的生产发展、文化繁荣时代相一致，是实践向数学提出更多的问题的要求例如，以天文学需要为指南，建立了球面几何及三角学的原理，并

53、计算出最初的一些正弦表 17世纪欧洲资本主义的发展，各行各业有很大发展，向数学提出了更多的问题例如，航海业的发展向数学提出如何精确地测定经纬度的问题；造船业的发展向数学提出描绘船体部位的各种形状、风帆的式样、如何提高船速问题；军事上的需要提出了内部弹道、外部弹道学一系列问题，等等我们注意到：开普勒发现行星是沿椭圆形轨道围绕太阳运动；伽里略确定：投掷的物体，比如石头或炮弹，是沿抛物线飞出(忽略空气阻力)这些问题就推动了解析几何的发明与发展微积分的发明是以力学问题和几何问题为基础的已知路程对时间的关系时，微分法基本上就是寻求运动在任意给定时刻的速度的方法；已知速度对时间的关系时，积分法就是寻所通过

54、的路程的方法从微积分一道产生了分析的其他分支，如级数论、微分方程、微分几何等，所有这些理论都是因力学、物理学和技术问题的需要而产生并向前发展的概率论是由保险业的发展而产生的，但刺激数学家思考一些问题却来自赌博者的要求 现代生产、现代战争、现代科学和技术发展的需要提出了更多的各种各样的数学问题例如，正是力学和技术的发展，提出了从一般的形态上研究变量间的关系问题；量子力学和电动力学、计算技术问题、物理学问题和技术的统计问题等等推动了如泛函分析等新的数学理论的发展 2社会实践活动的需要促使各种数学问题的提出和解决，刺激了数学的发展 人们的社会实践活动，不但提出了许多数学问题或者需要数学方法解决的问题，而且在解决这些问题中，又提出新问题、新方法、创建新的数学理论在前面谈的一些例子