2012高考数学专题复习——函数与导数问题解题方法探寻及典例剖析

1、函数与导数问题解题方法探寻及典例剖析【考情分析】1函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法是高中数学的一条重要的主线，选择、填空、解答三种题型每年都有函数题的身影频现，而且常考常新以基本函数为背景的综合题和应用题是近几年的高考命题的新趋势函数的图象也是高考命题的热点之一近几年来，考查用导数工具研究函数性质的综合题基本已经定位到压轴题的位置了2对于函数部分考查的重点为：函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性对称性和函数的图象；指数函数、对数函数的概念、图象和性质；应用函数知识解决一些实际问题；导数的基本公式，复合函数的求导法则；可导函数的单调性与其导数的关系，求一些实际问题（一般指

2、单峰函数）的最大值和最小值【常见题型及解法】1. 常见题型一、 小题：1.函数的图象2.函数的性质 (单调性、奇偶性、周期性、对称性); 3.分段函数求函数值；4.函数的定义域、值域（最值）；5.函数的零点；6.抽象函数；7.定积分运算（求面积）二、大题：1. 求曲线( )yf x=在某点处的切线的方程；2. 求函数的解析式3. 讨论函数的单调性，求单调区间；4. 求函数的极值点和极值；5. 求函数的最值或值域；6. 求参数的取值范围7. 证明不等式；8. 函数应用问题2. 在解题中常用的有关结论（需要熟记 ） ：(1) 曲线( )yf x在0 xx处的切线的斜率等于0()fx，且切线方程为0

3、00()()()yfxxxf x。(2) 若可导函数( )yf x在0 xx处取得极值，则0()0fx。反之，不成立。(3) 对于可导函数( )f x，不等式( )fx00（）的解集决定函数( )f x的递增（减）区间。(4) 函数( )f x在区间 i 上递增（减）的充要条件是：xi( )fx0 (0)恒成立（( )fx不恒为 0）. (5) 函数( )f x（非常量函数）在区间i 上不单调等价于( )f x在区间 i 上有极值，则可等价转化为方程( )0fx在区间 i 上有实根且为非二重根。 （若( )fx为二次函数且i=r，则有0） 。(6)( )f x在区间 i 上无极值等价于( )f

4、 x在区间在上是单调函数， 进而得到( )fx0或( )fx0在 i 上恒成立(7) 若xi，( )f x0恒成立，则min( )f x0; 若xi，( )f x0恒成立，则max( )f x0(8) 若0 xi，使得0()f x0，则max( )f x0；若0 xi，使得0()f x0，则min( )f x0. (9) 设( )f x与( )g x的定义域的交集为d，若xd ( )( )f xg x恒成立，则有min( )( )0f xg x. (10) 若对11xi、22xi，12()()f xg x恒成立，则minmax( )( )f xg x. 若对11xi，22xi，使得12()()

5、f xg x,则minmin( )( )f xg x. 若对11xi，22xi，使得12()()f xg x，则maxmax( )( )f xg x. （11）已知( )f x在区间1i上的值域为a,，( )g x在区间2i上值域为 b，若对11xi,22xi，使得1()f x=2()g x成立，则ab。(12) 若三次函数f(x) 有三个零点，则方程( )0fx有两个不等实根12xx、，且极大值大于0，极小值小于0. (13) 证题中常用的不等式: ln1 (0)xxxln+1(1)xxx（）1xex1xexln1(1)12xxxx22ln11(0)22xxxx3. 解题方法规律总结1. 关

6、于函数单调性的讨论：大多数函数的导函数都可以转化为一个二次函数，因此，讨论函数单调性的问题，又往往转化为二次函数在所给区间上的符号问题。要结合函数图象， 考虑判别式、 对称轴、 区间端点函数值的符号等因素。2. 已知函数（含参数）在某区间上单调，求参数的取值范围，有三种方法：子区间法；分离参数法；构造函数法。3. 注意分离参数法的运用：含参数的不等式恒成立问题，含参数的不等式在某区间上有解，含参数的方程在某区间上有实根（包括根的个数）等问题，都可以考虑用分离参数法，前者是求函数的最值，后者是求函数的值域。4. 关于不等式的证明：通常是构造函数，考察函数的单调性和最值。有时要借助上一问的有关单调

7、性或所求的最值的结论，对其中的参数或变量适当赋值就可得到所要证的不等式。对于含有正整数n 的带省略号的不定式的证明，先观察通项，联想基本不定式（上述结论中的13） ，确定要证明的函数不定式（往往与所给的函数及上一问所得到的结论有关），再对自变量x 赋值，令 x 分别等于 1、2、 .、n,把这些不定式累加，可得要证的不定式。）5. 关于方程的根的个数问题：一般是构造函数，有两种形式，一是参数含在函数式中，二是参数被分离，无论哪种形式，都需要研究函数在所给区间上的单调性、极值、最值以及区间端点的函数值，结合函数图象，确立所满足的条件，再求参数或其取值范围。【基本练习题讲练】【例 1】 “龟兔赛跑

8、”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚乌龟还是先到达了终点 , 用s1、s2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间， 则下图与故事情节相吻合的是（）【例 2】 （山东高考题）已知定义在r 上的奇函数)(xf，满足(4)( )fxf x，且在区间 0,2上是增函数，若方程( )(0)f xm m在区间8,8上有四个不同的根123,xxxx，则1234_.xxxx例 3】若1x是方程lg3xx的解，2x是310 xx的解，则21xx的值为（）a23错误！未指定书签。 b32 c3 d31【例 4】若函数( )

9、(01)xf xaxaaa且有两个零点，则实数a的取值范围是【例 5】已知偶函数( )f x在区间0,)单调递增，则满足(21)fx1( )3f的 x 取值范围是（）（a） （13，23） (b) 13，23） (c)（12，23） (d) 12，23）【例 6】某单位用2160 万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10 层、每层 2000 平方米的楼房经测算，如果将楼房建为x（x10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用 +平均购地费用，平均购地费用=）建筑总面积购地总费用典

10、型题剖析及训练】【例 1】已知 a、b 为常数，且 a0 ，函数( )lnf xaxbaxx=-+，( )2f e =。（ ）求实数 b 的值；（ ）求函数 f(x)的单调区间；（ ）当a1 时，是否同时存在实数m 和 m（mm） ，使得对每一个tm，m，直线yt 与曲线1( )yf xxee骣=琪桫都有公共点？若存在，求出最小的实数m 和最大的实数m；若不存在，说明理由。【例 2】已知函数2( )lnf xaxbx图象上一点2,2pf处的切线方程为32ln22yx。（ 1）求ab、的值（2）设2( )2g xxx，求证：对于任意的0,x，有( )( )f xg x（3）若方程( )0f xm

11、在1, ee上有两个不等实根，求m 的取值范围（其中e 为自然对数的底数）abcd 【例 3】设函数( )lnf xx，( )ag xx，( )( )( )f xf xg x。1）求函数( )f x的单调区间；（2）若函数( ) (03)yf xx图象上任意一点00(,)p xy处的切线的斜率12k恒成立，求实数a的取值范围；（3）若方程( )f xmx在区间21 ,e上有唯一实数解，求实数m的取值范围；（4）是否存在实数t，使得函数2(1)yf x的图象与函数2211aygtx的图象恰好有4 个不同的交点？若存在，求实数t 的取值范围；若不存在，说明理由。【例 4】 （2009 全国 i）设

12、函数3233fxxbxcx在两个极值点12xx、，且12 10,1,2.xx，（ i） 求bc、满 足的 约束 条件 ，并 在 下面 的坐 标平 面 内， 画出 满 足这 些条 件的 点,b c的 区 域； (ii) 证 明 ：21102fx【例 5】已知函数( )lnaf xxx=+，( )g xx=，( )(1)( )xf xfeg x=+-（xr?）（1）若函数( )f x的图象上任意一点00(,)p xy处的切线的斜率都不大于12，求实数a的取值范围。（2）当0a =时，若12xxr?、且12xx1，证明：1212()()22xxf xf xf骣+）有唯一实数解，求m的值。【例 6】设

13、函数1( )ln().f xxax arx(i) 讨论( )f x的单调性；（ii ）若( )f x有两个极值点12xx和，记过点1122(,(),(,()a xf xb xf x的直线的斜率为k，问：是否存在a，使得2?ka若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由【例 7】已知函数xaaxxxf)2(ln)(2 （i）讨论)(xf的单调性；（ii ）设0a，证明：当10 xa时，11fxfxaa；（iii）若函数)(xfy的图像与 x 轴交于 a，b两点，线段ab 中点的横坐标为x0，证明：f（x0） 0【例 8】 已知 a， b 是实数，函数32( ),( ),f xxaxg xxbx)(

14、xf和)(xg是( )( )f xg x、的导函数，若0)()(xgxf在区间 i 上恒成立，则称)(xf和)(xg在区间 i 上单调性一致 .（1）设0a，若函数)(xf和)(xg在区间), 1上单调性一致 ,求实数 b 的取值范围；（2）设, 0a且ba，若函数)(xf和)(xg在以 a，b 为端点的开区间上单调性一致，求ab的最大值 . 【例 9】 已知关于x 的函数 f(x) 331xbx2cxbc,其导函数为f+(x) 。.令 g(x) ( )fx,记函数 g(x) 在区间 -1 、1上的最大值为m. () 如果函数 f(x) 在 x1 处有极值 -34，试确定 b、c 的值：（）若

15、 b1,证明对任意的c,都有 m2:()若 mk 对任意的 b、c 恒成立，试求k 的最大值。【例 10】已知函数( )(0)bf xaxcax的图象在点(1,(1)f处的切线方程为1yx（1）用a表示出 b、c。（2）若( )lnf xx在1,)上恒成立，求a的取值范围。（3）证明：1111ln(1)(1)232(1)nnnnn【例 11】 （2011 湖南 理）已知函数f（x） =3x，g（x）=x+x。（1）求函数( )( )( )h xf xg x的零点个数，并说明理由；（2）设数列* ()nann满足1(0)aa a，1()()nnf ag a，证明：存在常数m，使得对于任意的*nn

16、，都有nam. 【专题演练】1函数22log2xyx的图象（）a 关于原点对称b关于主线yx对称c关于y轴对称d关于直线yx对称2 定义在 r 上的偶函数fx的部分图象如右图所示，则在2, 0上，下列函数中与fx的单调性不同的是（）a21yxb| 1yxc321,01,0 xxyxxd,0 xxexoyex3 已 知 定 义 在r上 的 奇 函 数)(xf， 满 足(4 )()fxfx, 且 在 区 间 0,2 上 是 增 函 数 , 则( )a( 25)(11)(80)fffb(80)(11)( 25)fffc(11)(80)( 25)fffd( 25)(80)(11)fff4 定义在 r 上的函数 f(x)满足 f(x)= 0),2() 1(0),1 (log2xxfxfxx，则 f（2009 ）的值为5 已知函数( )f x在 r 上满足2( )2 (2)88f xfxxx，则曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程是6已知函数321( ),3f x