必修四平面向量复习基本知识点总结及基础训练精品资料

1、平面向量 复习基本知识点及经典结论总结1、向量有关概念：（ 1）向量的概念 ：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段 ，为什么？（向量可以平移） 。例：已知A （1,2），B（ 4,2），则把向量AB按向量a （ 1,3）平移后得到的向量是_。（ 2）零向量 ：长度为0 的向量叫零向量，记作：0 ，注意 零向量的方向；（ 3）单位向量 ：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量( 与 AB 共线的单位向量是：)；（ 4）相等向量 ：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有；作：（ 5 ）平行向量（也叫）：方向，规定零向量和任何向量平

2、行。或的非零向量a 、 b 叫做平行向量，记提醒： 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性 ！（因为有0) ；三点 A、B、 C 共线AB、AC 共线；（ 6）相反向量 ：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是。例：命题：（1）若 ab ，则 ab 。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（ 3）若 ABDC ，则 ABCD 是平行四边形。 （ 4）若 ABCD 是平行四边形，则AB DC 。（ 5）若ab, bc ，则 ac

3、。（ 6）若 a / b,b / c ，则 a/ c 。其中正确的是 _；2、向量的表示方法：（ 1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ， b ， c 等；（ 3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i， j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为 axiy jx, y ，称x, y 为向量 a 的坐标， a 叫做向量 a 的坐标表示。如果向量的起点在原点 ，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。3. 平面向量的基本定理 ：如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共

4、线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数1 、2 ，使 a=1 e1 2 e2。（1）若a (1,1),b(1, 1),c(1,2)，则 c _；例；（ 2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A.e1(0,0), e2(1,2)B.e1( 1,2), e2 (5,7)C.e1(3,5), e2(6,10)D.e1(2,3),e2( 1 ,3)24（ 3）已知 AD,BE 分别是ABC 的边 BC, AC 上的中线 ,且 ADa, BEb ,则 BC 可用向量 a, b表示为 _；（ 4）已知ABC 中，点 D 在 BC 边上，且 CD2 DB ， CD r ABs AC ，

5、则 r s 的值是 _4、实数与向量的积：实数与向量a 的积是一个向量，记作a ，它的长度和方向规定如下：1aa , 2当>0 时，a 的方向与a 的方向，当<0 时，a 的方向与a 的方向，当 0 时，a0 ，注意 ：a 0。5、平面向量的数量积：（ 1）两个向量的夹角：对于非零向量a ， b ，作 OAa, OBb ，AOB0称为向量 a ， b 的夹角，当0 时， a ， b 同向，当时， a ， b 反向，当时， a ， b 垂2直。（ 2）平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，做 a 与 b 的数量积（或内积或点积），记作：，即数量积是 0，注意数量积是一个实数，不再是

6、一个向量b ，它们的夹角为，我们把叫a b 。规定：零向量与任一向量的。例：（ 1） ABC中，|AB|3，| AC |4 ， | BC | 5，则 AB BC _；（ 2）已知 a1), b(0,1akb, da b ， c 与 d的夹角为，则 k 等于 _；(1,),c224（ 3）已知 a2, b 5, a b3 ，则 a b 等于 _；（ 4）已知 a,b 是两个非零向量，且aba b ，则 a与ab 的夹角为 _（ 3） b 在 a 上的投影 为 | b | cos，它是一个实数，但不一定大于0。 如已知 | a | 3 ， | b |5 ，且 a b12 ，则向量 a 在向量 b

7、上的投影为 _（ 4） a b 的几何意义 ：数量积 a b 等于 a 的模 | a |与 b 在 a 上的投影的积。（ 5）向量数量积的性质：设两个非零向量 a ， b ，其夹角为，则： a b 则；当 a ， b 同向时， ab 2a a22；当 a 与 b 反向时，特别地， aa , aaa b ；当 ab 0 时， ；当 ab 0，；非零向量 a ， b夹角的计算公式：； | a b | | a |b | 。例：（ 1）已知 a(,2 ) ， b (3,2) ，如果 a 与 b 的夹角为锐角，则的取值范围是 _；（ 2）已知 OFQ 的面积为 S ，且 OF FQ1S31，若，则 OF

8、 , FQ 夹角 的取值范22围 是 _ ；（ 3） 已 知 a( c oxs , sx i nb) ,y ( c aoy与 b之间有关系式ka b3 akb ,其中 k0，用 k 表示 ab ；求 a b 的最小值，并求此时a 与 b 的夹角的大小。6、向量的运算：（ 1）几何运算 ：向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设 AB a, BC b ，那么向量 AC 叫做 a 与 b 的和，即a b AB BCAC ；向量的减法：用“三角形法则”：设 ABa, ACb, 那么ab ABACCA ，由减向量的终点

9、指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。例：（ 1）化简： AB BC CD _； ABAD DC _ ； ( ABCD)( ACBD ) _；（ 2）若正方形 ABCD 的边长为1， AB a, BCb, ACc ，则 | ab c | _；（3）若 O 是ABC 所在平面内一点，且满足OBOCOBOC2OA ，则ABC 的形状为 _；（4）若 D 为ABC 的边 BC 的中点， ABC 所在平面内有一点P ，满足 PABPCP 0，设|AP|，则 的值为 _；|PD |（ 5）若点 O 是 ABC 的外心，且 OA OB CO0 ，则 ABC 的内角 C 为_；（ 2）坐

10、标运算 ：设 a (x1, y1 ), b (x2, y2 ) ，则： 向量的加减法运算 ： a + b =。 a b =。例：（ 1）已知点 A(2,3), B(5,4)， C (7,10) ，若 AP ABAC(R) ，则当 _时，点 P 在第一、三象限的角平分线上； （ 2）已知 A(2,3), B(1,4), 且 1AB(sin x,cos y) ， x, y (,) ，则222xy；（ 3）已知作用在点A(1,1)的三个力 F1(3,4), F2(2, 5), F3(3,1) ，则合力FF1 F2F3 的终点坐标是。 实数与向量的积 ： a =。若 A( x1 , y1 ), B(

11、x2 , y2 ) ，则 AB =，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。例： 设 A(2,3), B( 1,5)，且 AC13 AB ，则 C、 D 的坐标分别是 _ ；AB，AD3 平面向量数量积 ： ab ，。例： 已知向量 a （ sinx， cosx）, b （ sinx， sinx） , c （ 1， 0）。（ 1）若 x ，求向量 a 、 c 的夹角；（ 2）若 x 3, ，函数 f ( x)ab 的最大值为1 ，3842求的值 向量的模 ： a =。例： 已知 a, b 均为单位向量，它们的夹角为60 ，那么 | a3b | _； 两点间的距离 ：若

12、 A x1 , y1, Bx2 , y2 ，则 AB =。例：如图，在平面斜坐标系xOy 中，xOy60 ，平面上任一点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若 OPxe1ye2 ，其中 e1, e2 分别为与 x 轴、y 轴同方向的单位向量，则 P 点斜坐标为( x, y) 。（ 1）若点 P 的斜坐标为（ 2， 2），求 P 到 O 的距离 PO；（2）求以O 为圆心， 1 为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程。；7、向量的运算律：（ 1）交换律：abba ，aa ， abba ； (2) 结合律：a b ca b c,a b c a b c，a ba bab；（3）分配律：aaa, a

13、bab ， a b c a c b c 。例：下列命题中：a ( b c) a b a c； a (b c)( a b) c ； (ab)2| a |22 | a | | b | | b |2 ； 若 ab0，则 a 0或 b0 ；若 a bc b, 则 a c ； a22abb2a22b)222a b2；aa2； ( a b)b ； (aab 。其中正确的是 _a提醒：（ 1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除( 相约 ) ；（

14、 2 ）向量的“乘法”不满足结合律，即a(bc) (ab)c ，为什么？8、向量平行 ( 共线 ) ： a / bab(a b) 2(| a | b |)2x1 y2 y1 x2 0。例 ： (1) 若 向 量 a(x,1),b(4, x) ， 当 x _ 时 a 与 b 共 线 且 方 向 相 同 ；（ 2 ） 已 知a (1, 1)b,( 4,x，)u a 2b， v2a b， 且 u / v， 则x _ ；（ 3 ） 设PA( k,12), PB(4,5), PC(10,k ) ，则 k_时， A,B,C 共线；9、向量垂直：a ba b 0| a b | | a b |x1 x2 y1

15、 y2 0 . 特 别 地( ABAC )( ABAC )。ABACABAC例：(1) 已知 OA (1,2), OB (3,m) ，若 OAOB ，则 m；（ 2）以原点 O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB， B 90，则点 B 的坐标是 _（； 3）已知 n (a,b), 向量 nm ，且 n m ，则 m 的坐标是 _；10. 线段分点求法：例： 1 ）若 M （-3， -2）， N（ 6， -1），且 MP1MN，则点 P 的坐标为 _；3（ 2）已知 A( a,0), B(3,2 a) ，直线 y1，则 a 等于 _；ax 与线段 AB交于 M ，且 AM MB22

16、11. 向量中一些常用的结论 ：（ 1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（ 2） |a | | b | | a b | | a | b |，特别地，当 a、b 同向或有0| ab | | a |b | | a | | b | ab |；当 a、b 反向或有 0| ab | | a | b |a | b | | ab |；当 a、b 不共线| a | b | | ab | | a | b | ( 这些和实数比较类似).（3）在ABC中 ， 若 A x1 , y1 , B x2 , y2, C x3 , y3，则其重心的坐标为G x1x2x3 , y1y2y3。33例：若 ABC的三边的中点分别为（2，1）、（ -3 ， 4）、（ -1 ， -1 ），则 ABC的重心的坐标为_；1G为 ABC 的重心，特别地为ABCPG3 (PA PB