重积分习题课

1、习题课一、一、 重积分计算的基本方法重积分计算的基本方法 二、主要内容二、主要内容 三、典型例题三、典型例题 机动 目录 上页 下页 返回 结束 重积分的 计算 及应用 一、重积分计算的基本方法一、重积分计算的基本方法1. 选择合适的坐标系选择合适的坐标系使积分域多为坐标面使积分域多为坐标面(线线)围成围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2. 选择易计算的积分序选择易计算的积分序积分域分块要少积分域分块要少, 累次积分易算为妙累次积分易算为妙 .图示法图示法列不等式法列不等式法(从内到外从内到外: 面、线、点面、线、点)3. 掌握确定积分限的方法掌握确定

2、积分限的方法 累次积分法累次积分法机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定定 义义几何意义几何意义性性 质质计算法计算法应应 用用二重积分二重积分定定 义义几何意义几何意义性性 质质计算法计算法应应 用用三重积分三重积分二、主要内容二、主要内容定义定义 设设),(yxf是有界闭区域是有界闭区域 D 上的有界函数，将上的有界函数，将闭区域闭区域 D 任意分成任意分成n个小闭区域个小闭区域1 ，,2 ，n ，其中，其中i 表示第表示第i个小闭区域，也表示它的面积，个小闭区域，也表示它的面积，在每个在每个i 上任取一点上任取一点),(ii ，作乘积作乘积 ),(iif i ，

3、), 2 , 1(ni ，并作和并作和 iiniif ),(1，1 1、二重积分的定义、二重积分的定义如果当各小闭区域的直径中的最大值如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数时，这和式的极限存在，则称此极限为函数),(yxf在闭区域在闭区域 D 上的上的二重积分二重积分，记为记为 Ddyxf ),(，即即 Ddyxf ),(iiniif ),(lim10、二重积分的几何意义、二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的当被积函数小于零时，二重积分是柱体

4、的体积的负值负值性质性质当当 为常数时，为常数时，k.),(),( DDdyxfkdyxkf 性质性质 Ddyxgyxf ),(),(.),(),( DDdyxgdyxf 、二重积分的性质、二重积分的性质性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性.),(),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxf )(21DDD 性质性质 若若 为为D的面积的面积.1 DDdd 性质性质若在若在D上，上，),(),(yxgyxf .),(),( DDdyxgdyxf 特殊地特殊地.),(),( DDdyxfdyxf 设设M、m分别是分别是),(yxf在闭区域在闭区域 D 上的最上的最大值和最小值，大值和最小

5、值， 为为 D 的面积，则的面积，则 DMdyxfm ),( （二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）性质性质 设函数设函数),(yxf在闭区域在闭区域D上连续，上连续， 为为D的面积，则在的面积，则在 D 上至少存在一点上至少存在一点),( 使得使得 ),(),(fdyxfD.性质性质（二重积分中值定理）（二重积分中值定理）、二重积分的计算、二重积分的计算,:bxaD ).()(21xyx X型型.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf X-型区域的特点型区域的特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点轴的直线与区域边界相交不多于两

6、个交点.（）直角坐标系下（）直角坐标系下 Y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴轴的直线与区域边界相交不多于两个交点的直线与区域边界相交不多于两个交点.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf ,:dycD ).()(21yxy Y型型.)sin,cos()()(21 rdrrrfd 1)sin,cos(Drdrdrrf ,:1 D).()(21 r（）极坐标系下（）极坐标系下.)sin,cos()(0 rdrrrfd,:2 D).(0 r 2)sin,cos(Drdrdrrf 3)sin,cos(Drdrdrrf .)sin,cos()(020 r

7、drrrfd,20:3 D).(0 r5 5、二重积分的应用、二重积分的应用(1) 体积体积的体积为的体积为之间直柱体之间直柱体与区域与区域在曲面在曲面Dyxfz),( DdxdyyxfV.),(设设S曲面的方程为：曲面的方程为：).,(yxfz 曲面曲面S的面积为的面积为 ;122dxdyAxyDyzxz (2) 曲面积曲面积当薄片是均匀的，重心称为形心当薄片是均匀的，重心称为形心.,1 DxdAx .1 DydAy DdA 其中其中,),(),( DDdyxdyxxx .),(),( DDdyxdyxyy 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),

8、(yx处处的的面面密密度度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，平平面面薄薄片片的的重重心心为为(3) 重心重心薄片对于薄片对于x轴的转动惯量轴的转动惯量薄片对于薄片对于y轴的转动惯量轴的转动惯量,),(2 DxdyxyI .),(2 DydyxxI 设有一平面薄片，占有设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域面上的闭区域D，在点在点),(yx处的面密度为处的面密度为),(yx ，假定，假定),(yx 在在D上连续，平面薄片对于上连续，平面薄片对于x轴和轴和y轴的转动惯量为轴的转动惯量为(4) 转动惯量转动惯量薄片对薄片对轴上单位质点的引力轴上单位质点的引力z 设设有有一一平

9、平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，计计算算该该平平面面薄薄片片对对位位于于z 轴轴上上的的点点), 0 , 0(0aM处处的的单单位位质质点点的的引引力力)0( a,zyxFFFF ,)(),(23222 dayxxyxGFDx ,)(),(23222 dayxyyxGFDy .)(),(23222 dayxyxaGFDz G为引力常数为引力常数(5) 引力引力6 6、三重积分的定义、三重积分的定义设设),(zyxf是空间有界闭区域是空间有界闭区域上的有界函上的有界函数，将闭

10、区域数，将闭区域任意分成任意分成n个小闭区域个小闭区域1v ，2v ,nv ，其中，其中nv 表示第表示第i个小闭区域，也表示它的个小闭区域，也表示它的体积体积, 在每个在每个iv上任取一点上任取一点),(iii 作乘积作乘积iiiivf ),( ，), 2 , 1(ni ，并作和，并作和, 如果当各如果当各小闭区域的直径中的最大值小闭区域的直径中的最大值趋近于零时，这和式趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数的极限存在，则称此极限为函数),(zyxf在闭区域在闭区域上的三重积分，记为上的三重积分，记为 dvzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .7、三重积分的几何意义、三

11、重积分的几何意义表示空间区域的体积表示空间区域的体积时时当当 Vdvzyxf,1),(8 8、三重积分的性质、三重积分的性质类似于二重积分的性质类似于二重积分的性质9 9、三重积分的计算、三重积分的计算.);()();,(),(:2121bxaxyyxyyxzzyxz .),(),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydxdvzyxf.,),( ),(21czcDyxzyxz .),(),(21 zDccdxdyzyxfdzdvzyxf() 直角坐标直角坐标 .,sin,coszzryrx () 柱面坐标柱面坐标.),sin,cos(),( dzrdrdzrr

12、fdvzyxf ,dzrdrddv .cos,sinsin,cossin rzryrx,sin2 ddrdrdv dxdydzzyxf),( .sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf() 球面坐标球面坐标1010、三重积分的应用、三重积分的应用. dvM 其中其中,1 dvxMx 设设物物体体占占有有空空间间闭闭区区域域 ，在在点点),(zyx处处的的密密度度为为),(zyx ，假假定定),(zyx 在在 上上连连续续，则则该该物物体体的的重重心心为为() 重心重心,1 dvyMy .1 dvzMz ,2 dvzIxy () 转动惯量转动惯量 设设物物体体占占有有空

13、空间间闭闭区区域域 ，在在点点),(zyx处处的的密密度度为为),(zyx ，假假定定),(zyx 在在 上上连连续续，则则该该物物体体对对坐坐标标面面,坐坐标标轴轴及及原原点点的的转转动动惯惯量量为为,2 dvxIyz ,2 dvyIzx ,)(22 dvzyIx ,)(22 dvxzIy ,)(22 dvyxIz .)(222 dvzyxIo 111 xyo例例1. 计算二重积分计算二重积分,dd)sgn()1(2yxxyID ,dd)22()2(22yxxyyxID 122 yx在第一象限部分在第一象限部分. 解解: (1)2xy 21, DD两部分两部分, 则则 1ddDyxI 111

14、2ddxyx32 2D 2ddDyx 2011ddxyx1011: yxD，其中其中D 为圆域为圆域把与把与D 分成分成1D作辅助线作辅助线机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 三、典型例题三、典型例题xy1o1xy (2) 提示提示: 21, DD两部分两部分 1D yxyxDdd)(22yxyxDdd)2( 说明说明: 若不用对称性若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号需分块积分以去掉绝对值符号. xy 作辅助线作辅助线2D将将D 分成分成 Dyxdd2yxxyyxIDdd)22(22 2)12(32 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例

15、例2. 计算二重积分计算二重积分,dd)(222yxeyxxIyxD 其中其中:(1) D为圆域为圆域;122 yx(2) D由直线由直线1,1, xyxy解解: (1) 利用对称性利用对称性.yox1DyxxIDdd2 0dd)(2122 yxyxD 10320dd21rr4 yxeyxDyxdd22 围成围成 .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 yxeyxDyxdd122 (2) 积分域如图积分域如图:o1yx11D2Dxyxy ,xy 将将D 分为分为,21DDyxxIDdd2 yxeyxDyxdd222 00dd1112 xyxx32 添加辅助线添加辅助线利用

16、对称性利用对称性 , 得得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例3. 计算二重积分计算二重积分,dd)35( Dyxyx其中其中D 是由曲是由曲044222 yxyx所围成的平面域所围成的平面域 .解解:2223)2()1( yx其形心坐标为其形心坐标为:面积为面积为: 9A DyxxIdd5 923)1(5A Dyxydd3积分区域积分区域线线形心坐标形心坐标2,1 yx DyxxAxdd1 DyxyAydd1AyAx 35机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例：例：计算积分计算积分 Ddyx,)(其中其中D 由由,22xy 12,4 yxy

17、x所围成所围成 .提示提示: :如图所示如图所示xy22424 6 oyx,12DDD 内有定义且内有定义且在在2),(Dyxyxf Dyxd)( 2d)(Dyx 1d)(Dyx连续连续, , 所以所以 yyxyx1222d)( 46dy yyxyx422d)( 24dy1511543 1D2DD机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例解解）所围的面积（取圆外部所围的面积（取圆外部和圆和圆是由心脏线是由心脏线其中其中计算计算ararDdyxD )cos1(.22 )cos1(2222aaDrdrrddyx 22331)cos1(31da).2922(3 a例例6 6.)

18、()(11)()(12 banxanbadyyfybndyyfyxdx证明证明 证证 bynbaxanbadxyfyxdydyyfyxdx)()()()(22 babynyxndyyf)(11)(1.)()(111 bandyyfybnDxy bbaa例例所所围围成成的的与与由由其其中中，计计算算22221)(yxzyxzdvzx 解解利用球面坐标利用球面坐标奇函数，奇函数，的的为为面为对称，面为对称，关于关于xxzyxfyoz ),(. 0 xdv有有 zdvdvzx)( 1024020sincosdrrrdd.8 例例. 1:222 zyxdvez，计计算算 解解法法，故采用先二后一，故采

19、用先二后一为圆域为圆域的函数，截面的函数，截面被积函数仅为被积函数仅为2221)(zyxzDz 上上dvedvezz2 10)(2dzedxdyzzD 102)1(2dzezz.2 例：例：计算三重积分计算三重积分,d)(22vzy 其中其中 是由是由 xoy平面上曲线平面上曲线xy22 所围成的闭区域所围成的闭区域 .提示提示: 利用柱坐标利用柱坐标 sincosrzryxx原式原式 522drx绕绕 x 轴旋转而成的曲面与平面轴旋转而成的曲面与平面5221 xr100 r 20rr d1003 20d 3250:zxyo5机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 5 xz

20、D1zD2例例10： 计算积分计算积分2222Rzyx zRzyx2222及,ddd2zyxz其中其中 是是两个球两个球 ( R 0 )的公共部分的公共部分.提示提示: 由于被积函数缺由于被积函数缺 x , y ,原式原式 = zDyx1ddzzzRzRd)2(2022 利用利用“先二后一先二后一” 计算方计算方便便 .zzRd202 zDyx2ddzzRRd22 zzRzRRd)(2222 548059R Rzyxo2R机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第十章第十章 测测 验验 题题 3 3、当当D是是( ( ) )围围成成的的区区域域时时, ,二二重重积积分分 D

21、dxdy= =1 1. . ( (A A) )x轴轴, ,y轴轴及及022 yx；( (B B) )31,21 yx ； ( (C C) )x轴轴, ,y轴轴及及3, 4 yx；( (D D) ). 1, 1 yxyx 4 4、 Dxydxdyxe的的值值为为( ( ) ). .其其中中区区域域为为D 01, 10 yx. . ( (A A) ) e1 ； ( (B B) ) e ； ( (C C) ) e1 ； ( (D D) ) 1 1 . . (A) (A) 101020zdzrdrdI；(B)(B) 11020rzdzrdrdI； (C) (C) 11020rrdrdzdI； (D)

22、(D) zzrdrddzI02010. .三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序: : 1 1、 yydxyxfdydxyxfdy30312010),(),(； 2 2、 21110),(xxdyyxfdx； 3 3、 00)sin,cos(rdrrrfda. .四、将三次积分四、将三次积分 yxxdzzyxfdydx),(110改换积分次序为改换积分次序为 zyx. .五、计算下列三重积分五、计算下列三重积分: : 1 1、 ,)cos(dxdydzzxy: :抛物柱面抛物柱面xy 2, zxozoy及及平平面面所围成的区域所围成的区域 .

23、.一、一、 1 1、D D； 2 2、C C； 3 3、A A； 4 4、A A； 5 5、B B；6 6、A A； 7 7、A A； 8 8、B,DB,D； 9 9、B B； 10 10、C.C.二、二、1 1、9402 ；2 2、2643 ；3 3、2494RR ；4 4、.25 三、三、1 1、 xxdyyxfdx3220),(；2 2、 222021010),(),(yyydxyxfdydxyxfdy；3 3、 aradrrfrdr )sin,cos(0. .四、四、 zzdxzyxfdydz0110),(. .五、五、1 1、21162 ； 2 2、 3250； 3 3、0.0.测验

24、题答案测验题答案第十章第十章 测测 验验 题题 3 3、当、当D是是( )( )围成的区域时围成的区域时, ,二重积分二重积分 Ddxdy=1.=1. (A) (A)x轴轴, ,y轴及轴及022 yx；( (B)B)31,21 yx ； (C) (C)x轴轴, ,y轴及轴及3, 4 yx；(D)(D). 1, 1 yxyx 4 4、 Dxydxdyxe的值为的值为( ).( ).其中区域为其中区域为D 01, 10 yx. . (A) (A) e1 ； (B) (B) e ； (C) (C) e1 ； (D) 1 . (D) 1 . (A) (A) 101020zdzrdrdI；(B)(B)

25、11020rzdzrdrdI； (C) (C) 11020rrdrdzdI； (D) (D) zzrdrddzI02010. .三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序: : 1 1、 yydxyxfdydxyxfdy30312010),(),(； 2 2、 21110),(xxdyyxfdx； 3 3、 00)sin,cos(rdrrrfda. .四、将三次积分四、将三次积分 yxxdzzyxfdydx),(110改换积分次序为改换积分次序为 zyx. .五、计算下列三重积分五、计算下列三重积分: : 1 1、 ,)cos(dxdydzzxy:

26、 :抛物柱面抛物柱面xy 2, zxozoy及及平平面面所围成的区域所围成的区域 . . 2 2、,)(22 dvzy其中其中 是由是由xoy平面上曲线平面上曲线 xy22 绕绕x轴旋转而成的曲面与平面轴旋转而成的曲面与平面5 x所围所围 成的闭区域成的闭区域 . . 3 3、,1)1ln(222222 dvzyxzyxz其中其中 是由球面是由球面 1222 zyx所围成的闭区域所围成的闭区域 . .六、求平面六、求平面1 czbyax被三坐标面所割出的有限部分被三坐标面所割出的有限部分 的面积的面积 . .七、七、 设设)(xf在在1 , 0上连续上连续, ,试证试证: : 310101)(

27、61)()()( dxxfdxdydzzfyfxfxyx . .一、一、 1 1、D D； 2 2、C C； 3 3、A A； 4 4、A A； 5 5、B B；6 6、A A； 7 7、A A； 8 8、B,DB,D； 9 9、B B； 10 10、C.C.二、二、1 1、9402 ；2 2、2643 ；3 3、2494RR ；4 4、.25 三、三、1 1、 xxdyyxfdx3220),(；2 2、 222021010),(),(yyydxyxfdydxyxfdy；3 3、 aradrrfrdr )sin,cos(0. .四、四、 zzdxzyxfdydz0110),(. .五、五、1

28、1、21162 ； 2 2、 3250； 3 3、0.0.测验题答案测验题答案六六、22222221accbba . .七七、提提示示： 0)0(,)()()()(,)()(100 FdxxftFxfxFdttfxFx且且则则D典型例题典型例题例例1 1解解围成围成由由其中其中计算计算2,1,.22 xxyxyDdyxD X-型型 xxDdyyxdxdyx1222122 2112)(dxyxxx 213)(dxxx.49 . 21,1: xxyxD例例2 2解解）所围的面积（取圆外部所围的面积（取圆外部和圆和圆是由心脏线是由心脏线其中其中计算计算ararDdyxD )cos1(.22 )cos

29、1(2222aaDrdrrddyx 22331)cos1(31da).2922(3 a例例3 3.)()(11)()(12 banxanbadyyfybndyyfyxdx证明证明 证证 bynbaxanbadxyfyxdydyyfyxdx)()()()(22 babynyxndyyf)(11)(1.)()(111 bandyyfybnDxy bbaa例例4： 计算积分计算积分 Ddyx,)(其中其中D 由由,22xy 12,4 yxyx所围成所围成 .提示提示: :如图所示如图所示xy22424 6 oyx,12DDD 内有定义且内有定义且在在2),(Dyxyxf Dyxd)( 2d)(Dyx

30、 1d)(Dyx连续连续, , 所以所以 yyxyx1222d)( 46dy yyxyx422d)( 24dy1511543 1D2DD机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例5. 计算二重积分计算二重积分,dd)(222yxeyxxIyxD 其中其中:(1) D为圆域为圆域;122 yx(2) D由直线由直线1,1, xyxy解解: (1) 利用对称性利用对称性.yox1DyxxIDdd2 0dd)(2122 yxyxD 10320dd21rr4 yxeyxDyxdd22 围成围成 .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 yxeyxDyxdd12

31、2 (2) 积分域如图积分域如图:o1yx11D2Dxyxy ,xy 将将D 分为分为,21DDyxxIDdd2 yxeyxDyxdd222 00dd1112 xyxx32 添加辅助线添加辅助线利用对称性利用对称性 , 得得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 111 xyo例例6. 计算二重积分计算二重积分,dd)sgn()1(2yxxyID ,dd)22()2(22yxxyyxID 122 yx在第一象限部分在第一象限部分. 解解: (1)2xy 21, DD两部分两部分, 则则 1ddDyxI 1112ddxyx32 2D 2ddDyx 2011ddxyx1011: yxD，其中其中D 为圆域为圆域把与把与D 分成分成1D作辅助线作辅助线机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xy1o1xy (2) 提示提示: 21, DD两部分两部分 1D yxyxDdd)(22yxyxDdd)2( 说明说明: 若不用对