必修二直线与圆选修圆锥曲线知识点例题练习答案

1、解析几何1、直线的倾斜角 ：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线 l，如果把 x轴绕着交点按 逆时针方向转 到和直线 l 重合时所转过的 最小正角 记为，那么 就叫做直线的倾斜角。当直线 l与 x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围 0,2、直线的斜率 ：（1）定义：倾斜角不是 90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率 k ，即 k tan(90°) ；倾斜角为90°的直线没有斜率； （2）斜率公式 ：经过两点P1 ( x1, y1) 、 P2 ( x2 , y2 ) 的直线的斜率为 ky1y2x1 x2x1x2练习：

2、（ 1）实数 x, y 满足 3x2 y5 0(1 x3)，则 y 的最大值、最小值分别为 _（答： 2 ,1）x3（2）过点 P(3,1), Q(0, m) 的直线的倾斜角的范围2 , 那么 m值的范围是（答：,_33m2或 m4 ）3、直线的方程 ：（ 1）点斜式：已知直线过点 ( x0 , y0 ) 斜率为 k ，则直线方程为 yy0k( xx0 ) ,它不包括垂直于 x 轴的直线。（2）斜截式：已知直线在 y 轴上的截距为 b 和斜率k ，则直线方程为y kxb,它不包括垂直于 x 轴的直线。（3）两点式：已知直线经过 1 1 1、222两P ( x , y ) P ( x , y )

3、点，则直线方程为yy1xx1 ，它不包括垂直于坐标轴的直线。 （ 4）截距式 ：已知直y2y1x2x1线在 x 轴和 y 轴上的截距为 a, b ,则直线方程为 xy1 ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过ab原点的直线。（5）一般式：任何直线均可写成 Ax ByC0(A,B 不同时为 0)的形式。提醒： (1) 直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；(2) 直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直线的斜率为-1 或直线过原点； 直线两截距互为相反数直线的斜率为 1或直线过原点； 直线两截距绝对值相等直线的斜率为1 或直线过原点。练习

4、：（1）过点A(1,4) ，且纵横截距的绝对值相等的直线共有_条（答： 3）（2）、经过圆 x22xy20 的圆心 C，且与直线 xy0垂直的直线方程是 xy 1 04. 设直线方程的一些常用技巧：（ 1）知直线纵截距 b ，常设其方程为 ykxb ；（2）知直线横截距 x0 ，常设其方程为 xmyx0 (它不适用于斜率为0 的直线 )；（ 3）知直线过点 (x0 , y0 ) ，当斜率 k 存在时，常设其方程为 yk(xx0 )y0 ，当斜率 k 不存在时，则其方程为 xx0 ；（4）与直线 l : Ax By C 0平行的直线可表示为 AxByC10 ；（ 5）与直线 l : Ax ByC

5、0 垂直的直线可表示为 Bx Ay C10 .5、点到直线的距离及两平行直线间的距离：（1）点 P( x0 , y0 ) 到直线 AxByC 0 的距离 dAx0By0 C ；A2B2（2）两平行线 l1 : Ax ByC10,l2 : AxByC2C1C20 间的距离为 dB2A2练习：（1）已知圆 x 2 4 x 4 y 2 0 的圆心是 P，则 P 到直线 x y 10 的距离是2 26、直线 l1 : A1xB1 y C10 与直线 l 2 : A2 x B2 yC20 的位置关系 ：（ 1）平行A1B2A2 B10（斜率）且 B1C2B2C10（在 y 轴上截距）；（ 2）相交A1B

6、2A2 B10 ；（ 3）重合A1B2A2 B10且 B1C2B2C10 。提醒：（ 1） A1B1C1、 A1B1、A1B1C1 仅是两直线平行、相交、重合的充分不A2B2 C2A2B2A2B2C2必要条件！为什么？ （ 2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；（ 3）直线 l1 : A1xB1 y C10与直线 l2 : A2 x B2 yC20 垂直A1 A2 B1 B20 。练习：（ 1）设直线 l1 : x my6 0 和 l 2: (m 2)x 3y2m0 ，当 m _时l1l2；当m时l 2；_ l1当

7、 m _时l1与l2相交；当m时与l 2重合（答： ；1；m3且 m1；_ l1123）；（2）已知两条直线 yax2 和 y(a 2) x 1 互相垂直，则 a 等于（ D ）（A）2（B）1（C）0（D） 1（3）若直线 l1： 2xmy 10 与直线 l 2： y3x 1 平行，则 m2 3（ 4）已知直线 l 的方程为 3x4y 12 0，则与 l 平行，且过点（ 1，3）的直线方程是 _（答： 3x 4y 90 ）；（ 5）两条直线 axy40 与 xy20 相交于第一象限， 则实数 a 的取值范围是 _（答：1a2 ）；7、直线与线性规划的原理形如二元一次不等式AxByC0( A0

8、) 表示直线 AxByC0 的右边区域求最优解的步骤： (选择题可用端点代入验证法)写出要求的目标函数和其约束条件在直角坐标系中作出可行域确定平移直线，在可行域内平移找到最值对应的点解方程组求出其坐标把上述坐标回代目标函数求出最值.x1,（1）已知变量 x、y 满足条件 xy0,则 xy 的最大值是 6_x2 y90,xy10（2）若实数 x、y 满足 x0，则 y 的取值范围是 ( D )x2xA.（ ， ）B.（ ， ）3)3，+)0 202C.( ,+D.22x0（3）已知 x, y满足条件yx(k为常数 )，若 zx3y 的最大值为 8，则 k = -6 .2xyk08、关于点和直线的

9、对称问题（1） 求点关于点的对称（中点坐标公式）（2） 求点关于直线的对称点（解方程组）（3） 求直线关于直线的对称（利用（2）练习：（1）已知圆 C1 ： (x1)2 + ( y1)2 =1，圆 C2 与圆 C1 关于直线 xy10 对称，则圆 C2 的方程为（B）（A ） ( x 2) 2 + ( y 2) 2 =1（B） ( x 2)2 +( y 2)2 =1（C） ( x 2)2 + ( y 2) 2 =1（D） (x 2) 2 + ( y 2) 2 =1（ 2）圆 C 与圆 (x1)2y21关于直线 yx 对称，则圆 C 的方程为（答：x2( y 1)21）；9、圆方程的三种形式（1

10、）标准式： ( x a) 2( yb) 2r 2 ，（2）一般式： x 2y 2DxEyF0，其中圆心D，E ，半径1D 2E 24F222二元二次方程 x 2y2DxEyF0表示圆的充要条件 D 2E 24AF0（3）参数式：原点为圆心：xr cos , ；圆心 ( x0 , y0 ) ）：xx0r cos（ 为参数）yy0r sinyr sin练习：（1）若圆 C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x3y0 和 x 轴相切，则该圆的标准方程是（B）72A ( x 3)2y1B (x 2)2( y 1)21332C ( x 1)2( y 3)21D x( y 1)212（ 2）圆心在直线

11、2xy 3 上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是_（答：(x 3) 2( y3) 29或 (x1) 2( y 1) 21 ）；10、 求直线与圆相交弦长度rd垂径定理 +勾股定理 : P2r 2d 2练习：（1）设直线 ax y 30 与圆 (x1)2( y2)24 相交于 A 、 B 两点，且弦 AB 的长为 23 ，则 a _0_（ 2）直线 x2y0 被曲线 x2y26x2y150 所截得的弦长等于（答： 4 5 ）；11、判断点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有：点在圆外、圆上、圆外三种；可把点坐标代入圆的方程判断；（2）直线与圆的位置关系：

12、直线 l : Ax By C2220 和圆 C：x ay brr 0 有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：代数方法：（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：0相交；0相离；0 相切；几何方法：（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为d ，则 dr相交； dr相离； dr相切。提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。（3）圆与圆的位置关系有：（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）：已知两圆的圆心分别为 O1，O2 ，半径分别为 r1, r2 ，则（1）当 |O1O2r1r2 时，两圆外离；（2）当 |O1O2r1r2 时，两圆外切；（3）当 r1r

13、2 <|O1O2r1r2 时，两圆相交；（4）当 |O1O2r1 r2| 时，两圆内切；（5）当 0|O1O2r1r2 | 时，两圆内含。练习：（1）直线 yx1与圆 x2y21的位置关系为（B）A 相切B相交但直线不过圆心C直线过圆心D相离（2）圆 O1:x 2+y2-2x=0 和圆 O2:x2+y2-4y=0 的位置关系是（ B ）(A) 相离(B) 相交(C) 外切(D) 内切（3）若过A(4,0)的直线 l 与曲线 ( x 2)2y 21有公共点，则 l 的斜率的取值范围为（ C）A 3, 3B (3, 3)33D (3, 3)C,333312、求两圆的相交弦方程用两圆方程直接相

14、减得出的方程便是两圆相交弦方程（你可以说出其中的原理吗？）练习：（1）已知两圆x2y222，AB的方程是10 和 ( x 1) ( y 3)20相交于 A B两点，则x3y0 （2）若圆 x2y24 与圆 x2y22ay60 （ a>0）的公共弦的长为2 3 ，则 a113、求过一定点的圆的切线先判断定点是否在圆上，如在圆上，此点就是切点，切线只有一条；如在圆外，则应有两条直线。（1）点在圆上：有一条切线，用直接法求(2) 点在圆外：有两条切线，用待定系数法求，注意斜率不存在的情况AA练习：（1）已知直线 5x12 ya0 与圆 x22xy20 相切，则 a 的值为-18 或 8。（ 2

15、）设 A 为圆 (x 1)2 y2 1上动点，PA是圆的切线，且|PA|=1 ，则 P 点的轨迹方程为 _（答： (x1)2y22 ）；（3）已知圆 O：x2y25 和点A（ ， ），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成1 2的三角形的面积等于25/414、解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用 ( 如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)!圆 x2y 24x4 y100 上的点到直线 xy140 的最大距离与最小距离的差是6 2圆锥曲线的方程与性质1椭圆（ 1）椭圆概念：平面内与两个定点F1 、 F2 的距离的和等于常数2 a（大于

16、| F1F2 | ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点，则有|MF1 | | MF2 |2a 。x2y2（ ab 0 ）（焦点在y 2x 2（ a b 0 ）（焦点在椭圆的标准方程为：b21x轴上）或b21a2a2y 轴上）。注：以上方程中a,b 的大小 ab 0，其中 b2a2c2 ；a2b21和a2b21两个方程中都有ab0 的条件，要分清焦点的位置，只要看x和在 x2y2y2x22y2 的分母的大小。例如椭圆x2y210 ， n0，mn）当mn时表示焦点在x轴上的（ mmn椭圆；当 mn 时表示焦点在y 轴上的椭圆。（ 2）

17、椭圆的性质范围：由标准方程x2y21知| x | a ， | y | b ，说明椭圆位于直线 xa ， yb 所围成的a2b2矩形里；对称性：在曲线方程里，若以y 代替 y 方程不变，所以若点 ( x, y) 在曲线上时，点 ( x,y) 也在曲线上，所以曲线关于 x 轴对称， 同理， 以x 代替 x 方程不变， 则曲线关于 y 轴对称。 若同时以x 代替 x ，y 代替 y 方程也不变，则曲线关于原点对称。所以，椭圆关于x 轴、 y 轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标。

18、在椭圆的标准方程中，令 x0 ，得yb ，则B1 (0,b) ， B2 (0,b) 是椭圆与y 轴的两个交点。 同理令y0 得 xa ，即 A1( a,0) ， A2 (a,0) 是椭圆与 x 轴的两个交点。所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。同时，线段11分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和 2b ，a和 b 分别叫做椭A A2、 BB2圆的长半轴长和短半轴长。由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在 RtOB2 F2 中， |OB2 |b ， | OF2 | c ，| B2 F2 | a ，且 |OF2 |2 | B2 F2 |2| OB2

19、|2 ，即 c2a2b2 ；离心率： 椭圆的焦距与长轴的比 ecc 0， 0 e1，且 e 越接近 1，叫椭圆的离心率 。 aac 就越接近 a ，从而 b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e 越接近于 0 ， c 就越接近于 0 ，从而 b 越接近于a ，这时椭圆越接近于圆。当且仅当a b 时， c0 ，两焦点重合，图形变为圆，方程为x2y2a2 。练习：1、椭圆 x2y21的焦点为 F1, F2 ，点 P 在椭圆上，若 | PF1 | 4 ，则 | PF2 |2； F1PF292的大小为 1200 .2、若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( B )A. 4B

20、. 3C. 2D. 155553、若椭圆 x2y21的离心率 e10 ，则 m 的值是 _（答： 3 或25 ）；5m532双曲线（1）双曲线的概念：平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（ |PF1 | | PF2|2a ）。注 意： 式中是差的绝对值，在 02a|F1F2 |条件下； |PF1| | PF2 | 2a 时为双 曲线的 一支 ；|PF2 | |PF1|2a 时为双曲线的另一支（含F1 的一支）；当 2a| F1F2 |时， | PF1| PF2 | 2a 表示两条射线； 当 2a| F1F2|时， |PF1 | PF2 | 2a 不表示任何图形； 两定点 F

21、1 , F2叫做双曲线的焦点，| F1F2|叫做焦距。（ 2）双曲线的性质范围：从标准方程x2y21 ，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线xa 的外侧。即a2b 2x 2a2 ， x a 即双曲线在两条直线xa 的外侧。对称性：双曲线x 2y21关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原a 2b2点是双曲线x2y21的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。a2b2顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线x 2y 21的方程里，对称轴是x, y 轴，a 2b 2所以令 y0 得 xa ，因此双曲线和x 轴有两个交点 A ( a,0)A2 (a,0)

22、x 2y21 的，他们是双曲线b2a 2顶点。令 x0 ，没有实根，因此双曲线和y 轴没有交点。1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。2）实轴：线段 A A2 叫做双曲线的实轴，它的长等于2a, a 叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段B B2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b, b 叫做双曲线的虚半轴长。渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线x 2y 21的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。a 2b 2等轴双曲线：1）定义： 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定

23、义式： ab ；2）等轴双曲线的性质： （ 1）渐近线方程为： yx ；（2）渐近线互相垂直。注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。3）注意到等轴双曲线的特征ab ，则 等轴双曲线可以设为：x2y 2(0) ，当0 时交点在 x 轴，当0 时焦点在 y 轴上。注意 x 2y 21与 y2x21的区别：三个量a,b, c 中 a, b 不同（互换） c 相同，还有焦点所在的坐169916标轴也变了。练习：1、双曲线 x2y 21 的渐近线与圆 ( x 3) 2y2r 2 (r 0) 相切，则 r3632、双曲线 x2-y2=1

24、 的焦点到渐近线的距离为 234123、双曲线 mx2y 21的虚轴长是实轴长的2 倍，则 m ( A )A 1B 4C 4D 144x2y244、已知双曲线a2 b21的一条渐近线方程为y 3x，则双曲线的离心率为 ( A )5453（A）3(B )3(C) 4(D) 25、已知双曲线 x2y 2 1(b0) 的左、右焦点分别是 F1 、 F2，其一条渐近线方程为 yx ，2b 2点 (3,y0) 在双曲线上 则·PF2（C）P. PF1A.12B. 2C. 0D. 46、设 ABC 是等腰三角形，ABC120，则以 A， B 为焦点且过点 C 的双曲线的离心率为（ B）A 12B

25、 123C1 2D1 327、设中心在坐标原点 O ，焦点 F1 、 F2 在坐标轴上，离心率 e2 的双曲线 C 过点 P(4,10) ，则 C 的方程为 _（答： x2 y2 6）8、双曲线的渐近线方程是3x 2y 0，则该双曲线的离心率等于 _（答：13 或13 ）；233抛物线（ 1）抛物线的概念：平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直线 l 上)。定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。方程 y22 pxp0 叫做抛物线的标准方程。注意：它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，焦点坐标是F（ p ,0 ），它的准线方程是x

26、p；22（ 2）抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y 22 px ， x 22 py ， x22 py.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：标准方程y22 pxy22 pxx22 pyx22 py( p0)( p0)( p0)( p0)yyyllFo FFoxx图形xlo焦点坐标( p ,0)(p ,0)(0, p )(0,p )2222准线方程xpxpypyp2222范围x 0x0y0y0对称性x 轴x 轴y 轴y 轴顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率e 1e1e1e1说

27、明：（ 1）通径： 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（ 2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调 p 的几何意义：是焦点到准线的距离。练习：1、抛物线 y24x 的焦点到准线的距离是2 .2、抛物线 x2y 的准线方程是 4y1 03、抛物线 yx2 上的点到直线4x3y 80 距离的最小值是 ( A)A 4B 7C 8D 3355、设O为坐标原点，F为抛物线2 4x 的焦点， A 是抛物线上一点，若OAAF ，则点4y4A 的坐标是（ B）A（ 2，22 ）B. (1， 2)C.（1，2）D.(2，2 2)5、过

28、双曲线 x2y21 的右顶点为 A ，右焦点为 F。过点 F 平行双曲线的一条渐近线的直线916与双曲线交于点B，则 AFB 的面积为 _32 _154、求圆锥曲线的方程，待定系数法 已知椭圆 C: x2y26 , 短轴一个端点到右焦点的距离为3 .22 =1(a b 0)的离心率为ab3求椭圆 C 的方程 ;解：设椭圆的半焦距为c ，依题意c6 ，a3a，3b 1，所求椭圆方程为 x2y213已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是 7 和 1.求椭圆 C 的方程；解:( ) 设椭圆长半轴长及半焦距分别为a，c ，由已知得：ac1

29、4, c3 ，ac, 解得 a7所以椭圆 C 的标准方程为 x2y211675、求动点轨迹四种常用方法（ 1）定义法（ 2）直接设点列式法（ 3）辅助点代入法已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F( 3,0) ,右顶点为 D (2,0),设点 A 1,1 .2（1）求该椭圆的标准方程；（2）若 P 是椭圆上的动点，求线段PA 中点 M 的轨迹方程；解： (1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距 c= 3 ,则半短轴 b=1.又椭圆的焦点在 x 轴上 , 椭圆的标准方程为 x 2y 214(2)设线段 PA 的中点为 M(x,y) , 点 P 的坐标是 (x0,y0

30、)，xx01x02 x121由1 ，得y02 yy 0y222由 ,点 P 在椭圆上 ,得 (2x1) 2(2 y1 ) 21,42线段 PA 中点 M 的轨迹方程是 ( x1) 24( y1 ) 21.24(4) 参数法步骤： 1）引入参数（如直线的斜率，圆锥曲线的参数方程）2）设动点 ( x, y) ，分别建立参数与x 与 y 的关系3）消去参数，得到一般方程过抛物线 y 22px （ p ）的顶点作两条互相垂直的弦、0OA OB（1）设 OA的斜率为k，试用 k表示点、的坐标；yA B（2）求弦 AB中点 M的轨迹方程。A解：（ 1） OA的方程为 ykx0Mx联立方程ykx解得 xA2 py A2 py 2k 2k2 pxB1 代上式中的 k ，解方程组y1x以kky22 px解得 xB2pk 2yB2 pkA（ 2 p， 2 p ）， B（ 2 pk 2 ， 2 pk ）。k 2k（1） 设 AB