2022年2022年高考数学二面角专题训练

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀学习资料欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载高考数学二面角专题训练1. （ 06 安徽卷）如图,p 为边长为1 的正六边形abcdef所在平面外一点,面 abc内的射影为bf 的中点 o；（）证明pa bf ；（）求面apb 与面 dpb 所成二面角的大小；pa1, p 在平精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：（）在正六边形abcdef中,vabf 为等腰三角形,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 p 在平面 abc内的射影为o, po平面 abf, ao为 pa在平面 abf内的射影；o为bf 中点, ao b

2、f, pa bf；（） po平面 abf,平面 pbf平面 abc；而 o为 bf 中点, abcdef为正六边形,a.o.d 共线, 且直线 ad bf,就 ad平面 pbf；又正六边形abcdef的边长为1, ao1 ,233do, bo；22过 o在平面 pob内作 oh pb于 h,连 ah.dh,就 ah pb, dhpb,所以ahd 为所求二面角平面角；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在 vaho 中, oh=21 ,7tanaoahooh3127=；212217精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在 vdho中, tandhodo oh212；212772

3、1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载而 tanahdtanahodho 2212428精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（）以 o为坐标原点,建立空间直角坐标系,p0、0 ,1 ,a0 ,123、0 ,b2,0、0 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载uuur1uuur 3uuur精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载d0、2 , 0 , pa0、1, pb2、0、1 , pd 20、 2、11 y10精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1ururuuururuuur 2精

4、品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设平面 pab的法向量为n1 x1 、 y1、1 ,就 n1pa , n1pb ,得,x1310精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n1ur 23 、2、1 ；3uuruuruuuruuruuur22 y210精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载uur n2设平面 pdb的法向量为n2 23 、 1 、1 ；32 x2 、 y2 、1,就 n2pd , n2pb ,得3 x102,2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载uruururuur优秀学习资料欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n1n2精品学习资

5、料精选学习资料 - - - 欢迎下载cosn1 、 n2uruur精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载| n1 | | n2 |2. （ 06 北京卷）如图,在底面为平行四边表的四棱锥pabcd 中, abac , pa平面 abcd ,且 paab ,点 e 为 pd 的中点 .（）求证：acpb ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（）求证：pb / 平面 aec ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（）求二面角eacb 的大小 .解法一：（） q pa平面 abcd,ab为 pb在平面 abcd上得射影, 又 q abac, ac平面 abcd,acpb

6、.（）连接bd,与 ac相交与 o,连接 eo,q abcd为平行四边形o为 bd的中点又 e 为 pd的中点,eoppb.又 pb平面 aec, eo平面 aec, pbp平面 aec,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（）取bc中点 g,连接 og,就点 g的坐标为a 、 b 、022uuur, oc0、 b 、02精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载uuurbbuuur精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又 oe（ 0,、） 、ac22uuur uuuruuur uuur a、0、0、精品学习资料精选学习资料

7、- - - 欢迎下载oegac0、 og gac0、oeac 、ogac 、eog 为二面角 eacb 的平面角；uuur uuur精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载q cos eogcosuuuruuur oe 、ogoe gog2uuuruuur、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载og gog2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载eog1350.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载二面角 eacb 的大小为1350.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3. （ 06 广东） 如图 5 所示, af . de 分别世e o . e o1精

8、品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载的直径, ad 与两圆所在的平面均垂直,ad8 . bc 为o1e o 的de精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载直径,abac6 、 oe /ad .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(i) 求二面角 badf 的大小；(ii) 求直线 bd 与 ef 所成的角 .cafob图 5精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀学习资料欢迎下载解： ad与两圆所在的平面均垂直、0 ad ab、ad af、 故 bad为二面角b ad f 的平面角,依题意可知,abcd为正方形,所以bad 45 .0即二面角b ad f 的大

9、小为45 ； 以 o为原点, bc.af.oe所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系（如下列图）,就 o精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 0,0,0）, a（ 0,32 ,0）,b（ 32 , 0,0） 、d（ 0,32 , 8）,e（0, 0,8）,f（0,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载32 , 0）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以, bd32、 32 、8、 fe0、32、8精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载cosbd 、 efbd . fe0186482精品学习资料精选学习资料 -

10、- - 欢迎下载| bd | fe |1008210精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设异面直线bd与ef所成角为,就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载cos| cosbd 、 ef|82 10精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载直线 bd与 ef 所成的角为arccos8210精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4. （ 06 湖北卷）如图,已知正三棱柱abca1 b1c1 的侧棱长和底面边长为1, m 为底面精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精

11、品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载bc 边上的中点,n 为侧棱cc1 上的点,且cn 2c1n ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（）求二面角b1amn 的平面角的余弦值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（）求点b1 到平面 amn 的距离；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解法 1：（ ）由于 m为底面 bc边上的中点, 所以 ambc,又 amcc1 、 所以 am面 bcc1b1 ,精品学习资料精选学习

12、资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载从 而amb1 m、amnm, 所 以b1 mn 为 二 面 角 ,b1 am n 的 平 面 角 ； 又精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1b1 m=b b2bm 211542、 mn=mc 2cn 2145 、496精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀学习资料欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载连 b n,得b nb c 2c n 21110 ,在b mn精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载11111193中,由余弦定理

13、得精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b m 2mn 2bn 2525105精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载11cosb1mn4369；故所求精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2gb 1m gmn255526精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载二面角5b1 am n的平面角的余弦值为；5精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（）过b1 在面bcc1b1 内作直线b1hmn , h 为垂足；又am平面bcc1 b1 ,所精品学习资料精选学习资料 - -

14、 - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载以 amb1 h；于为b1 h平面 amn,故b1h 即为b1 到平面 amn的距离；在r1b1 hm 中,b1 h精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 b1 msin b1mh5111 ；故点25b1 到平面 amn的距离为1；1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解法 2：（）建立如下列图的空间直角坐标系,就c0、1、0、 n 0、1、2 、 a 3 、 1 、0 ,所以,b1（ 0, 0, 1）, m（ 0,2, 0）、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下

15、载uuuur am3223、0、0,2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载uuuur mb10、1 、1 、2uuuur mn0、 1 、 2 ；23精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由于uuuur uuuur mb1 gamuuuuruuuur3001 010所以22uuuuruuuur精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载mb1am 、 同法可得 mnam ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载uuuuruuuur故 mb1、 mn为二面角b1 am n的平面角精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下

16、载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载uuuuruuuuruuuuruuuur5精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 cos mb、 mn mb1mn125 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1uuuuruuuur555精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载mb1mn26精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故所求二面角b am n 的平面角的余弦值为5 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载15精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀学习资料欢迎下载uuuuruuuur精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（）设n

17、=x、y、z为平面 amn的一个法向量,就由nam 、 nmn 得精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3 x0x0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载24故可取 n0、3 、1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 y2 z0y3 z423精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载uuuur设与 n 的夹角为 a,就uuuur mb1n5325精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载mb1cos auuuur；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载mb1n55323精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以 b1到平面 amn的距离为uu

18、uur mb1cos a5251 ；25精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5. （ 06 江苏卷）在正三角形abc中, e.f.p 分别为 ab.ac.bc边上的点,满意ae:eb精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 cf:fa cp:pb 1:2 （如图 1）；将 aef沿 ef 折起到a1 ef的位置,使二面角a1 ef b 成精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载直二面角,连结a1b.a1p（如图 2）（）求证：a1e平面 bep；（）求直线a1e 与平面 a1bp所成角的大小；（）求二面角ba1p f 的大小（用反三角函数表示）aa1eeff精品学习资料精

19、选学习资料 - - - 欢迎下载bpc图 1bpc图 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 考点分析 ：此题主要考查线面垂直.直线和平面所成的角.二面角等基础学问,以及空间线面位置关系的证明.角和距离的运算等,考查空间想象才能.规律推理才能和运算才能 解 不妨设正三角形的边长为3,就（ i ）在图 1 中,取 be 的中点 d,连结 df,o ae eb=cf fa=1 2, af=ad=2,而 a=60 , adf为正三角形；又 ae=de=1, efad；在图 2 中, a1e ef,be ef, a1eb为二面角a1 ef b 的一个平面角,由题设条件知此二面角为直二面角,a

20、1e be；又 beef=e, a1e面 bef,即 a1e面 bep；（ ii ）在图 2 中, a1e 不垂直于a1b, a1e 为面 a1bp的斜线, 又 a1e面 bep, a1e bp,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀学习资料欢迎下载 bp垂直于 a1e 在面 a1bp内的射影（三垂线定理的逆定理） 设 a1e 在面 a1bp 内的射影为 a1q,且 a1q交 bp于 q,就 ea1q就为 a1e 与面 a1bp所成的角,且 bp a1q；oo在 ebp中, be=bp=2, ebp=60, ebp为正三角形,be=ep；又 a1e面 bep, a1b=a1p, q

21、为 bp的中点,且eq= 3 ,而 a1e=1,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在 rt a1eq中,tana1 eqeq a1 e3 ,即直线a1 e与面 a1bp所成角为60 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ iii）在图 3 中,过 f 作 fm于 m,连结 qm.qf；o cf=cp=1, c=60, fcp为正三角形,故pf=1,1又 pq=bp=1, pf=pq2 a1e面 bep, eq=ef= 3 , a1f=a1q, a1fp a1qp,故 a1pf= a1pq由及mp 为公共边知fmp qmp,故 qmp= fmp=90o,且mf=m,q f

22、mq为二面角b a1p f 的一个平面角；在 rt a1qp中, a1q=a1f=2, pq=1, a1p=5 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载mq= mq a1p,a1 qpq2525,mf=；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a1 p55o在 fcq中, fc=1,qc=2, c=60 ,由余弦定理得qf=3 ,mf 2mq 2qf 27精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在 fmq中, cosfmq,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2mfmq87精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载二面角b a1p f 的的大小为arccos；

23、8精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 注 此题仍可以用向量法来解；（略）6. （ 06 江西卷）如图,在三棱锥a bcd中,侧面abd.acd为全等的直角三角形,ad为公共的斜边,且 ad3 , bd cd 1,另一个侧面为正三角形(1) 求证： ad bc(2) 求二面角b ac d 的大小(3) 在直线 ac上为否存在一点e,使 ed与面 bcd精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀学习资料欢迎下载成 30 角？如存在,确定e 的位置；如不存在,说明理由；20.解法一：(1) 方法一：作ah 面 bcd于 h,连 dh；aab bdhb bd,又 ad3 ,bd 1

24、nab2 bc acbd dced又bd cd, 就bhcd 为 正 方 形 , 就bmdh bcad bcoc方法二：取bc的中点 o,连 ao.dof h就有 ao bc, do bc,bc 面 aodbc ad(2) 作 bm ac于 m,作 mn ac交 ad于 n,就bmn就为二面角bac d 的平面角,由于ab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 acbc2m为 ac 的中点,且mncd,就 bm6, mn 1cd 1,bn 1 ad3 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由余弦定理可求得cosbmn6322222精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载

25、6bmn arccos3(3) 设 e 为所求的点,作ef ch于 f,连 fd；就 ef ah,ef 面 bcd,edf就为 ed与面精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载bcd所成的角, 就edf 30 ；设 ef x ,易得 ah hc 1,就 cfx ,fd1 x2,tanedf精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 ef fdx 1 x 23 解得 x232,就 ce2 x 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故线段 ac上存在 e 点,且 ce 1 时, ed与面 bcd成 30 角；解法二：此题也可用空间向

26、量求解,解答略7. （ 06 江西文）如图,在长方体abcd a1b1c1d1,中, ad=aa1=1, ab=2,点 e 在棱 ab上移动.（ 1）证明： d1e a1d;（ 2）当 e 为 ab 的中点时,求点e 到面 acd1 的距离；（ 3） ae 等于何值时,二面角d1 ec d的大小为.4解法（一）（ 1）证明： ae平面 aa1dd1 ,a1d ad1, d1e a1d（ 2）设点 e 到面 acd1 的距离为h,在 acd1 中, ac=cd1=5 , ad1=2 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故 s ad1c3 、 而s21.ace2精品学习资料精选学习资料

27、 - - - 欢迎下载优秀学习资料欢迎下载11131精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载vdaecs aecdd1s ad ch、1h、h.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1331223精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3）过 d作 dh ce于 h,连 d1h.de,就 d1h ce, dhd1 为二面角d1ec d 的平面角 .设 ae=x,就 be=2 x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在rtd1 dh 中、qdhd1、dh1.4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载q 在rtad

28、e中、 de1x2 、在rtdhe 中、 ehx、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在rtdhc中ch3、 在rtcbe中 cex24x5.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x3x24x5x23.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ae23时 、二面角 d1ecd的大小为.4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解法（二） ：以 d 为坐标原点,直线da, dc, dd1 分别为 x、y、z轴,建立空间直角坐标系,设

29、 ae=x,就 a1（ 1, 0, 1）, d1（ 0, 0, 1）, e（1, x, 0）, a（ 1,0, 0） c（ 0, 2, 0）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1） 由于da1、 d1e1、0、1、 1、 x、10、所以da1d1 e.即 da1 d1e.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）由于 e 为 ab 的中点,就e1、1、0、 从而 d1 e1、1、1、 ac 1、2、0 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载uuuurrruuurnac0a2b0精品学习资料精选学习资料 - - -

30、 欢迎下载ad11、0、1.设平面 acd1的法向量为 na、b、 c、 就ruuuur也即nad10、ac0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a2b得、从而n ac2、1、2 ,所以点 e 到平面 ad1c 的距离为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载h| d1 en | n |2121 .33精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3）设平面d1ec的法向量 na、 b、 c , ce1、 x2、0、 d1c0、2、1、

31、dd 10、0、1、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载nd1c0、由n ce0、2bc0abx2令 b=1、 c=2、 a=2 x,0.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 n2x、1、2.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载依题意cos| n dd 1 |222 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4| n | dd1 |2x2252精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 x123 （不合,舍去） , x223.精品学习资料精选学习资料 - - -

32、欢迎下载 ae=23 时,二面角d1 ec d的大小为.4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载8（ 06 全国 ii卷）如图,在直三棱柱abca1 b1c1 中,abbc、 d . e 分别为bb1 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀学习资料欢迎下载ac1 的中点；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ i ）证明： ed为异面直线bb1 与ac1 的公垂线；c 1b 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ ii ）设aa1ac2ab、 求二面角a1a1adc1 的大小；de精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载cb精品学习资料精选学习

33、资料 - - - 欢迎下载解法一：（）设o为 ac中点,连接eo, bo,就 eo 1a1 ,又 c1c b1 b,所以 eo db, eobd为平精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载行四边形, edob2 分 ab bc, bo ac,c c2c1b1a1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又平面 abc平面 acc1a1, bo 面 abc,故 bo平面 acc1a1,d ed平面 acc1a1, bd ac1, edcc1,ef ed bb1,ed为异面直线ac1 与 bb1 的公垂线6 分cb（）连接a1e,由 aa1 ac2ab可知, a1acc1 为正方形,o

34、a1e ac1,又由 ed平面 acc1a1 和 ed 平面 adc1 知平面aadc1平面 a1acc1, a1e平面 adc1作 ef ad,垂足为 f,连接 a1f,就 a1f ad, a1fe为二面角a1 adc1 的平面角精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载不妨设 aa1 2,就 ac 2, ab2edob 1, efae× ed2,ad3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载tan a1fe3, a1fe 60°所以二面角a1 adc1 为 60°12 分解法二：（）如图,建立直角坐标系o xyz ,其中原点o为 ac的中点设 a a

35、, 0, 0 , b0 , b, 0 , b10 , b, 2c 就 c a,0, 0 , c1 a, 0, 2c , e0 , 0, c ,d0 , b, c 3 分 zed（ 0, b,0）, bb1 0 ,0, 2c c1b1a1· 0, ed bbedbb11de又 ac1 2a,0, 2c ,ycb oed· ac1 0, ed ac1,6 分a x所以 ed为异面直线bb1 与 ac1 的公垂线（）不妨设a1 ,0, 0 ,就 b0 ,1, 0 , c 1, 0, 0 , a11 ,0, 2 ,bc 1, 1, 0 , ab 1,1, 0 , aa1 0 , 0

36、, 2 ,bc· ab 0, bc· aa1 0,即 bcab, bcaa1,又 ab aa1 a, bc平面 a1ad精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀学习资料欢迎下载又e0 , 0, 1 ,d0 ,1, 1 , c 1, 0, 1 ,ec 1, 0, 1 , ae 1,0, 1 , ed0 , 1,0 ,ec· ae 0, ec· ed 0,即 ec ae,ec ed,又 ae ed e,ec面 c1ad10 分ec· bc1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载cos ec, bc ,即得 ec和 bc的夹角为60

37、°2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载| ec| ·|bc|所以二面角a1 adc1 为 60°12 分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载9（ 06 山东卷） 如图, 已知平面a1 b1c1 平行于三棱锥vabc 的底面 abc,等边ab1c精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所 在 的 平 面 与 底 面abc 垂 直 , 且 acb=90° , 设vac2a、 bca精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1）求证直线b1c1 为异面直线ab1 与a1c1 的公垂线；ac精品学习资料精选学习资料 - - -

38、 欢迎下载11（ 2）求点 a 到平面 vbc的距离；b 1（ 3）求二面角avbc 的大小；ac解法 1：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（）证明：平面a1b1c1 平面 abc ,b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b1c1 / bc 、 a1c1 / acq bcacb1c1a1c1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又平面ab1c 平面 abc ,平面ab1c 平面 abcac ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 bc 平面ab1c ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载bcab1

39、b1c1ab1 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又 q a1c1b1c1c1 , b1c1ab1b1 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b1c1 为ab1 与a1c1 的公垂线 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（）解法1：过 a作adb1c 于 d,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 ab1c 为正三角形,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 d为b1c 的中点 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀学习资料欢迎下载精品学

40、习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 bc平面ab1c精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 bcad ,又 b1cbcc , ad平面 vbc ,线段 ad的长即为点a 到平面 vbc 的距离 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在正ab1c 中, ad3ac32a3a .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22点 a 到平面 vbc 的距离为3a .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解法 2：取 ac中点 o连结b1o ,就b1o 平面 abc ,且b1o =3a .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - -

41、 - 欢迎下载由（）知bcb1c ,设 a 到平面 vbc 的距离为 x ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载vbabcva bb c ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载11即 11 bcacb o11 bcb cx ,解得 x3a .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载321321精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即 a 到平面 vbc 的距离为3a .uuuruuur就uuuruuurab1n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载d| ab1| cosab1 、 n| ab1 | cosuuur| ab1 | | n |精品学习资料精

42、选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载23a23a.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以, a 到平面 vbc 的距离为3a .(iii) 过 d 点作 dhvb 于 h ,连 ah ,由三重线定理知ahvbahd 为二面角 avbc 的平面角；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在 rtvahd 中, ad3a vb dhvb bcdhb1d .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载dhb1dbc b1 b115 a.5bcb1b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载

43、tanahdad dh15 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ahdarctan15 ；所以,二面角avbc 的大小为arctan15 .解法二：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀学习资料欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载取 ac 中点 o 连b1o 、 易知 ob1底面 abc ,过 o 作直线oe / bc 交 ab于e ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载取 o 为空间直角坐标系的原点,oe、oc 、ob1 所在直线分别为x 轴, y 轴, z 轴建立如图精品学习资料精选学习资料

44、- - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所示的空间直角坐标系；就a0、a、0、 b a、 a、0、 c0、 a、0、 b1 0、0、3a ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ i ） quuur bca 、0、0uuur, ab10、 a、3a ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载uuuruuur bcab1uuuruuurbcab1 ；a、0、00、a、3a0 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载bcab1精品学习资料精选学习资料 - -