2022年2022年高考数学中的内切球和外接球问题VIP

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载高考数学中的内切球和外接球问题一.有关外接球的问题假如一个多面体的各个顶点都在同一个球面上,那么称这个多面体为球的内接多面体,这个球称为多面体的外接球. 有关多面体外接球的问题, 为立体几何的一个重点, 也为高考考查的一个热点.考查同学的空间想象才能以及化归才能.讨论多面体的外接球问题,既要 运用多面体的学问, 又要运用球的学问, 并且仍要特殊留意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系,而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.一.直接法 公式法 1.求正方体的外接球的有关问题例 1 如棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上,就该球的表面积

2、为 .例 2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,如该正方体的表面积为 24 ,就该球的体积为 .2.求长方体的外接球的有关问题例 3 一个长方体的各顶点均在同一球面上,且一个顶点上的三条棱长分别为 1、2、3 ,就此球的表面积为.例 4 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为 16,就这个球的表面积为（）.a.16b.20c.24d.32精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3.求多面体的外接球的有关问题例 5 一个六棱柱的底面为正六边形,其侧棱垂直于底面, 已知该精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为为 3 ,就这

3、个球的体积为.解 设正六棱柱的底面边长为x ,高为 h ,就有9 ,底面周长8精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6x396h33 x2 hx1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载842精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载正六棱柱的底面圆的半径r1 ,球心究竟面的距离 d23 .外2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载接球的半径 rr 2d 2.体积： v4r3 .3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载小结此题为运用公式 r2r 2d 2 求球的半径的,

4、该公式为求球的半径的常用公式 .二.构造法 补形法 1.构造正方体例 5如三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为3 ,就其外接球的表面积为 .例 3如三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为3 ,就其外接球的表面积为.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故其外接球的表面积s4r 29.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载小结：一般地,如一个三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分别为 a、 b、 c ,就就可以将这个三棱锥补成一个长方体,于为长方体的体对角线的长就为该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为r ,就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载有 2ra2b2c2

5、 .显现“墙角”结构利用补形学问,联系长方体；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【原理】：长方体中从一个顶点动身的三条棱长分别为a、 b、 c ,就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载体对角线长为 la2b2c 2 ,几何体的外接球直径为2r 体对角线长 l精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 2b 2c2即 r2练习：在四周体abcd 中,共顶点的三条棱两两垂直,其长度分别为1、6 、3 ,如该四周体的四个顶点在一个球面上,求这个球的表面积；球的表面积为s4 r216例 6 一个四周体的全部棱长都为2 ,四个顶点

6、在同一球面上,就此球的表面积为（）a.3b.4c.33d.6精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 7已知球 o 的面上四点 a .b.c.d , da平面 abc, abbc ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载daabbc3 ,就球 o 的体积等于.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析：此题同样用一般方法时,需要找出球心,求出球的半径.而利精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载用长方体模型很快便可找到球的直径,由于da平面 abc, abbc ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载联想长方体

7、中的相应线段关系,构造如图4 所示的长方体,又由于精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载daabbc3 ,就此长方体为正方体,所以cd 长即为外接球的直精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载径,利用直角三角形解出cdd3 .故球 o 的体积等于a9.（如图 4）2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ooabcbcd图 4图 5精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.例 8（ 2021 年安徽高考题）已知点a .b.c.d 在同一个球面上,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ab平面 bcd, dcbc

8、,如 ab6、 ac213 、 ad8 ,就球的体积为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析：第一可联想到例7,构造下面的长方体,于为ad 为球的直径, o 为球心, oboc4 为半径,要求 b.c 两点间的球面距离,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载只要求出boc 即可,在 rtabc 中,求出 bc4 ,所以boc60,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故 b.c 两点间的球面距离为4.（如图 5）3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载本文章在给出图形的情形下解决球心位置.半径大小的问题；三.多面

9、体几何性质法例.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为 16,就这个球的表面积为a. 16b. 20c. 24d. 32.小结 :此题为运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.四.寻求轴截面圆半径法例正四棱锥 sabcd 的底面边长和各侧棱长都为2 ,点s、 a、 b、c 、 d 都在同一球面上,就此球的体积为s解:设正四棱锥的底面中心为o1 ,外接球的球心为 o ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如图 1 所示.由球的截面的性质,可得oo1平面 abcd .dc o1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又 so1平面 abcd

10、,球心 o 必在so1 所在的直线上 .a图3b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载asc的外接圆就为外接球的一个轴截面圆,外接圆的半径就为外接球的半径.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在asc中,由 sasc2 、 ac2、得sa2sc2ac 2 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载asc为以 ac为斜边的直角三角形.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 ac21 为外接圆的半径,也为外接球的半径.故v球.43精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载小结 :依据题意,我们可以挑选正确角度找出含有正棱锥特点元素的外接球的一个轴截面圆, 于为该

11、圆的半径就为所求的外接球的半径.此题供应的这种思路为探求正棱锥外接球半径的通解通法,该方 法的实质就为通过查找外接球的一个轴截面圆,从而把立体几何问题转化为平面几何问题来讨论.这种等价转化的数学思想方法值得我们 学习.五 .确定球心位置法精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 5在矩形 abcd 中,ab4、 bc3 ,沿 ac 将矩形 abcdd精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载折成一个直二面角b积为acd ,就四周体 abcd 的外接球的体aoc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a. 125b. 125c. 1

12、25d. 125图4b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载12963解:设矩形对角线的交点为o ,就由矩形对角线相互平分,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载可知 oaobocod .点 o 到四周体的四个顶点a、 b 、c 、 d的距离相精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载等,即点 o 为四周体的外接球的球心,如图2 所示.外接球的半径精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载roa5 .故v球24r33125.6精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载显现两个垂直关系,利用直角三角形结论；【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半；球心为直角三角形斜边

13、中点；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球o 的球面上, abbc 且精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载pa7、 pb5、 pc51、 ac10 求球 o 的体积；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解： abbc 且 pa7、 pb5、 pc51、 ac10精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由于7 2512102所以知 :ac 2pa 2pc 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以appc所以可得图形为：在

14、rtabc 中斜边为 ac在 rtapc 中斜边为 ac取斜边的中点,在 rtabc 中 oaoboc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在 rtapc 中 opoboc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以在几何体中 opobocoa ,即为该四周体的外接球的球心精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载rac52所以该外接球的体积为v球4r335003精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【总结】斜边一般为四周体中除了直角顶点以外的两个点连线；精品学习资料精选学习资

15、料 - - - 欢迎下载1. （陕西理.6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1 的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上,就该正三棱锥的体积为（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a3 34b 3c33d 3412精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载答案b2. 直三棱柱 abca1 b1c1 的各顶点都在同一球面上,如精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载abacaa12 、bac120,就此球的表面积等于；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解: 在abc 中abac2 、bac120、可得 bc23

16、 、由正弦定理 、可精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载得abc外接圆半径r=2、设此圆圆心为 o ,球心为 o ,在 rtobo 中,易得精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载球半径 r5 ,故此球的表面积为4r220.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3正三棱柱abca1 b1c1 内接于半径为 2 的球,如a、 b 两点的球面距离精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载为,就正三棱柱的体积为 答案84. 表面积为 23的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,就此球的体积为精品学习资料精选学习资料 - - -

17、欢迎下载a 23b 1 3c 23d223精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载答案a【解析】 此正八面体为每个面的边长均为a 的正三角形,所以由 3a2823 知,4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a1 ,就此球的直径为2 ,应选 a；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5. 已知正方体外接球的体积为32,那么正方体的棱长等于（）3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a.22b.233d. 43 3c. 42 3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载答案d6. （2006 山东卷） 正方体的内切球

18、与其外接球的体积之比为 a .1 3b .1 3c.1 33d. 1 9答案c7. （ 2021海 南 . 宁 夏 理 科 ） 一 个 六 棱 柱 的 底 面 为 正 六 边形,其侧棱垂直底面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载该 六 棱 柱 的 体 积 为 98, 底 面 周 长 为3 , 就 这 个 球 的 体 积 为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载答案438. （2007 天津理.12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为 1,2,3,就此球的表面积为答案149.（ 2007 全国理.15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载的球面上；假如正四棱柱的底面边长为1 cm,那么该棱柱的表面积为