2022年2022年高考数学专题复习分类讨论思想

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载高考动向热点分析高考冲刺：分类争论思想精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载分类争论为一种重要的规律方法,也为中学数学中常常使用的数学思想方法之一 .突出考查同学思维的严谨性和周密性, 以及熟悉问题的全面性和深刻性, 提高同学分析问题, 解决问题的才能,能表达 “着重考查数学才能 ”的要求 .因此分类争论为历年数学高考的重点与热点 .而且也为高考的一个难点.数学中的分类争论贯穿教材的各个部分,它不仅形式多样,而且具有很强的综合性和规律性 .学问升华1分类争论的常见情形（ 1）由数学概念引起的分类争论：主要为指有的概念本身为分类的,在不同条件下有不同结论

2、,就必须进行分类争论求解,如肯定值.直线斜率.指数函数.对数函数等.（ 2）由性质.定理.公式引起的分类争论：有的数学定理.公式.性质为分类给出的,在不同条件下精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载结论不一样,如二次函数y=ax等比数列前n 项2+bx+ca ,0由 a 的正负而导致开口方向不确定,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载和公式因公比q 为否为 1 而导致公式的表达式不确定等.（ 3）由某些数学式子变形引起的分类争论：有的数学式子本身为分类给出的,如 ax2+bx+c0, a=0,a 0, a 0 解法为不同的.（4）由图形引起的分类争论：有的图形的类型.位置也要

3、分类,如角的终边所在象限, 点.线.面的位置关系等 .（ 5）由实际意义引起的争论：此类问题在应用题中常见.（ 6）由参数变化引起的争论：所解问题含有参数时,必需对参数的不同取值进行分类争论；含有参数的数学问题中,参变量的不同取值,使得变形受限导致不同的结果.2分类的原就（ 1）每次分类的对象为确定的,标准为同一的；分类争论问题的难点在于什么时候开头争论,即熟悉为什么要分类争论,又从几方面开头争论,只有明确了争论缘由,才能精确.恰当地进行分类与争论.这就要求我们精确把握所用的概念.定理.定义,考虑问题要全面.函数问题中的定义域,方程问题中根之间的大 小,直线与二次曲线位置关系中的判别式等等,常

4、常为分类争论划分的依据.（ 2）每次分类的对象不遗漏.不重复.分层次.不越级争论.当问题中显现多个不确定因素时,要以起主导作用的因素进行划分,做到不重不漏, 然后对划分的每一类分别求解,再整合后得到一个完整的答案.数形结合为简化分类争论的重 要方法 .3分类争论的一般步骤第一,明确争论对象,确定对象的范畴；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载其次,确定分类标准,进行合理分类,做到不重不漏；第三,逐类争论,获得阶段性结果；第四,归纳总结,得出结论.4.分类争论应留意的问题第一,按主元分类的结果应求并集.其次,按参数分类的结果要分类给出.第三, 分类争论为一种重要的解题策略,但这种分类争

5、论的方法有时比较纷杂,如有可能,应尽量避免分类 .经典例题透析类型一：不等式中的字母争论1.（ 2021·山东）如对于任意,恒成立,就a 的取值范畴为 .思路点拨： 依据式子的特点,进行整理,分子分母同除以x.解析：对一切恒成立,在 r+ 上的最大值 .而当且仅当即 x=1时等取号.举一反三：【变式 1】解关于的不等式 :（） .解析： 原不等式可分解因式为:,（下面按两个根与的大小关系分类）（ 1）当,即或时,不等式为或,不等式的解集精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载为：；（ 1）当,即时,不等式的解集为：；（ 2）当,即或时,不等式的解集为：；综上所述,原不等式的解集

6、为：当或时,；当当或时,时,；.【变式 2】解关于的不等式 :.解析：（ 1）当时,不等式为、 解集为；（ 2）当时,需要对方程的根的情形进行争论：即时,方程有两根.就原不等式的解为.即时,方程没有实根,此时为开口向上的抛物线,故原不等式的解为.即时,方程有两相等实根为,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就原不等式的解为.（ 3）当时,即时,方程恒成立,有两根.此时,为开口向下的抛物线,故原不等式的解集为.综上所述,原不等式的解集为：当时,解集为；当时,解集为；当时,解集为；当时,解集为.类型二：函数中的分类争论2.设（）设为实数,记函数,求的取值范畴,并把的最大值为表示为的函数,

7、；（）求；（）试求满意解析：的全部实数 .（ i）,要使有意义,必需且,即,且的取值范畴为,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由得：,（ ii ）由题意知即为函数,的最大值,时,直线为抛物线的对称轴,可分以下几种情形进行争论：（ 1）当时,函数,的图象为开口向上的抛物线的一段,由知在上单调递增, 故；（ 2）当时,有=2；（3）当时,函数,的图象为开口向下的抛物线的一段,如即时,如即时,如即时,综上所述,有=（ iii ）当时,；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当时,故当时,；当时,由知：,故；当时,故或,从而有或,要使,必需有,即,此时,综上所述,满意的全部实数为：

8、或.举一反三：【变式1】函数的图象经过点-1, 3,且 fx 在-1, +上恒有 fx<3 ,求函数fx.解析： fx 图象经过点 -1, 3,就,整理得：,解得或1当时,就,此时 x -1 ,+时, fx>3 ,不满意题意；2当,就,此时, x -1, +时,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即 fx<3 ,满意题意为所求.综上,.【变式 2】已知函数有最大值2,求实数的取值 .解析：令,就.1当即时,解得 :或（舍）；2当即时,、解得 :或（舍）；3 当即时,解得（全都舍去） .综上,当或时,能使函数的最大值为2.3.已知函数（） .（ 1）争论的单调性；（

9、2）求在区间上的最小值 .解析：（ 1）函数的定义域为（0, +）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载对求导数,得解不等式,得 0 x e解不等式,得 x e故在（ 0, e）上单调递增,在（e,+）上单调递减（ 2）当 2ae时,即时,由（ 1）知在（ 0, e）上单调递增,所以当 ae时,由（ 1）知在（ e, +）上单调递减,所以当时,需比较与的大小由于所以,如,就,此时如 2 a e,就,此时综上,当0 a2时,；当 a 2 时总结升华： 对于函数问题,定义域要第一考虑,而（）中比较大小时,作差应当为特别有效的方法.举一反三：【变式 1】设,（ 1）利用函数单调性的意义,判定

10、fx 在（ 0, +）上的单调性；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）记 fx 在 0<x1上的最小值为ga,求 y=ga 的解析式 .解析：（ 1）设 0<x 1<x 2<+就 fx 2-fx 1=由题设 x 2-x 1>0 ,ax1·x 2>0当 0<x 1<x2 时, fx 2-fx 1<0 ,即 fx 2<fx 1,就 fx 在区间 0 ,单调递减,当<x 1<x 2<+时, fx 2-fx 1>0,即 fx 2>fx 1,就 fx 在区间（,+）单调递增 .（ 2）由

11、于 0<x1,由（ 1）的结论,当 0<1即 a1时, ga=f=2-;当>1,即 0<a<1 时, ga=f1=a综上,所求的函数y=ga .【变式 2】求函数在上的值域 .解析：令,就1当 0 a1时,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 0x,a f x 只0有a=1 且 x=1 时 f x=0 fx 在0、a 上单增,从而,值域为；2当 a>1 时, 0x,a fx 在单增,在上单减,并且,值域为；3当 -1a<0时, 0x|,a| fx 在0、|a|上递减从而即,值域为4当 a<-1 时, 0x|,a| fx 在单减,在上单增

12、,又,值域为.类型三：数列4 .数列 a n 的前n 项和为sn,已知 s n 为各项均为正数的等比数列,试比较与的大小,并证明你的结论.解析： 设等比数列 s n 的公比为q,就 q>0 q=1 时, sn=s1=a1当 n=1 时, a2=0,即当 n2时, an=sn-sn-1 =a1-a1=0,即精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n-12q 1时, sn=s1·q当 n=1 时,=a1·qn-1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载,即.当 n2时,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载an=sn-sn-1 =a1·qn-

13、1-a1·qn-2n-2=a1·qq-1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载此时 q>1 时,0<q<1 时,.总结升华： 等比数列前n 项和公式分q=1 或 q1两种情形进行争论.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载举一反三：22343456精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【变式 1】求数列： 1, a+a 、a +a +a 、a +a +a +a 、（其中 a0）的前 n 项和 sn.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析： 数列的通项a =an-1n2n-2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载争

14、论：n+a +a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1）当 a=1 时, an=n, sn=1+2+n=（ 2）当 a=-1 时,（ 3）当 a±1且 a0时,.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【 变 式2 】 设 a n 为 由 正 数 组 成 的 等 比 数 列 , sn 为 其 前n项 和 , 证明:.解析：（ 1）当 q=1 时,sn=na1,从而,（ 2）当 q1时, 从而由（ 1）（ 2）得 :. 函数为单调递减函数.【变式 3】已知 a n 为公比为q 的等比数列,且a1, a3, a2 成等差数列 . 求 q 的值； 设 b n 为以 2

15、为首项, q 为公差的等差数列,其前n 项和为 sn,当 n2时,比较sn与 bn 的大小,并说明理由 .解析：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 由题设 2a3=a1+a222,即 2a q1=a1+a1q、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a10, 2q-q-1=0,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载或, 如 q=1 ,就当 n2时,如精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 n2时,故对于 nn +,当 2n9时, sn>bn；当 n=10 时, sn=bn；当 n11时, sn<b n.【变式4 】 对于数列,规定数列为数列的一阶

16、差分数列,其中； 一 般 地 , 规 定为的k阶 差 分 数 列 , 其 中且 k n* , k2；（ 1）已知数列的通项公式；试证明为等差数列；（ 2）如数列的首项a1=13 ,且满意,求数列及的通项公式；（ 3）在（ 2）的条件下,判定为否存在最小值；如存在,求出其最小值,如不存在,说明理由；解析：（ 1）依题意：,数列为首项为1,公差为5 的等差数列；（ 2）,（ 3）令,就当时,函数单调递减；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当时,函数单调递增；又因,而,所以当 n=2 时,数列an 存在最小值,其最小值为18；类型四：解析几何5.已知椭圆c 的方程为,点 p（ a、b）的

17、坐标满意,过点p 的直线 l 与椭圆交于a .b 两点,点q 为线段 ab 的中点,求：（ 1）点 q 的轨迹方程 .（ 2）点 q 的轨迹与坐标轴的交点的个数.思路点拨： 此题求点的轨迹方程,点与椭圆的位置关系,直线与椭圆相交等学问.解析：（ 1）设点 a , b 的坐标为（ x1, y1）,（ x 2, y2）,点 q 的坐标为q（ x、y ） .当 x1x2 时,可设直线l ： y=kx-a+b由已知,y1=kx 1 -a+b、y2=kx 2-a+b由得 x 1+x 2x 1-x 2 +y 1+y2 y 1-y 2=0由得 y1+y 2=kx 1+x2 -2ak+2b由.及,得22精品学

18、习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载点 q 的坐标满意方程2x+y -2ax- by=0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 x1=x 2 时, l 平行于 y 轴,因此 ab 的中点 q 肯定落在x 轴上,即q 的坐标为（ a、0）,明显 q 点的坐标满意方程.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载+y综上所述,点q 的坐标满意方程：2x22-2ax-by=0.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2设方程所表示的曲线为l ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载222就由,得（ 2a +b） x -4ax+2-b =0精品学习资料精选学习资料 - -

19、 - 欢迎下载222由于 =8ba +-1,由已知a +12所以当 a +=1 时, =0,曲线 l 与椭圆 c 有且只有一个公共点p（ a、b） .当 a2+<1 时 <0,曲线 l 与椭圆无交点,而由于（ 0, 0）在椭圆c 内,又在曲线l 上,所以曲线l 在椭圆 c 内.22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故点 q 的轨迹方程为2x+y -2ax-by=0.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）由,解得或,又由,解得或,就当 a=0、b=0、即点 pa、b为原点 .曲线 l 与坐标轴只有一个交点0、0当 a=0 且 0<|b| 时 、即点

20、pa、b不在椭圆c 外且在除去原点的y 轴上时 、点 a、0与0、0 重合,曲线l 与坐标轴有两个交点0、b 与0、0当 b=0 且 0<|a| 时1,即点 pa、b不在椭圆c 外且在除去原点的x 轴上时 、曲线 l 与坐标轴有两个交点a、0 与0、0.当 0<|a|<1 且 0<|b|<时、即点 pa、b在椭圆 c 内且不在坐标轴上时、曲线 l 与坐标轴有三个交点a、0、0、b 与0、0.总结升华： 此题充分运用了分类争论的思想方法 、以及综合运用学问解题的才能 、此题运算量大 、涉及学问点较多 、需要较高的运算才能和规律推理才能 、做为考题区分度好 、特殊为分类争论时易出错 .举一反三：【变式 1】争论 k 的取值,说明方程表示的曲线 .解析： 方程中 x.y 的平方项系数为否为0,为否相等打算着方程表示的曲线,故需要对k 值就以上情形分类争论.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 k向左的抛物线 .2=0 即 k=0 时,方程化为,表示顶点在原点,x 轴为对称轴,开口精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 2k-1=0 即时,方程化为xx-8=02 x=