2022年2022年高考数学_压轴题_放缩法技巧全总结

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载放缩技巧（高考数学备考资料）证明数列型不等式,因其思维跨度大.构造性强,需要有较高的放缩技巧而布满摸索性和挑战性,能全面而综合地考查同学的潜能与后继学习才能,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素 材；这类问题的求解策略往往为：通过多角度观看所给数列通项的结构,深化剖析其特点,抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一. 裂项放缩精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n例 1.1 求k 12的值 ;2 求证 : n15 .224k1k 1 k3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析 :1 由于24n212n212n11

2、2n112n1、所以24 kn2k 11112n12n2 n1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2由于 112nn 214424n1122 n112 n1、所以n12k 1 k12 113512n112n112533精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载奇巧积存:1 1n244n 244 n21122n112n121c 1 c 22 n1 n n11nn11n n1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载crr13 tr 1nnn. r .n1rr .n11r.r r111rr1rn 1n2精品学习资料精选学习资料 - -

3、 - 欢迎下载4 151 nn1111121321115nn1261n2n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2n 2 n12n12 nn2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载7 2n1n 91k n1k n12n111kknn11、1n1 n n1k 11k1 n8n22n111k112n32 n 2n11 2n 12n13 2 n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载10nn1 .1n .n11 .111n2 2n12n12 22n12n12n1n122精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学

4、习资料 - - - 欢迎下载nnn11222n2nnnn2 n 1nn 111n2n 1n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2121 2121 2221212121精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3121 n12n nn n11 n11nn11nn11n1n1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载132n1n112 2 n1nn131 2n1 n12 n332 n1n112n1n1n2 n12312n2n13精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选

5、学习资料 - - - 欢迎下载14k. kk21.k2.1 k1 .1k2 .151nn1nn1 n2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载15i21ij 21ji 2j 2ij i 21j 21ii 21j1j 21精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1例 2.1求证 :112235: 111111416364n224n: 1131351 3 52242462 4 62求证122n171n2622n1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3求证 2n12n2n11精品学习资料

6、精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4 求证： 2 n111112312 2n11n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析 :1 由于1 2n1 22n11 2n1112 2n 112n 1、所以ni 1 2i11211 12 3112n 11 12 312n 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 1114163614n 21 114221 1 111n 24n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 -

7、 - - 欢迎下载3 先运用分式放缩法证明出1 3 52n11、再结合1进行裂项 、最终就可以得到答案精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 4 62n2n1n2nn2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4 第一 1n2 n1n 2n1n、所以简单经过裂项得到2 n11111123n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载再证12 2n 1n2n12 22 n 12n 12n1n2而由均值不等式知道这为明显成立的,12精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精

8、选学习资料 - - - 欢迎下载所以 11123122nn11精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 3.求证 :n6n1 2n11114915n23精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析 :一方面 : 由于 114211、所以1n212 1111125精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载另一方面 : 1nn22114914 n2411n212n12n11233411n nk 1 k11351nn1n12 n12n133精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 n3 时、nn16nn12n、当 n11 时、

9、n6n1 2n11111 、49n2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 n2 时、 n6n1 2n11111 、49n2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以综上有6n111n12n14915n23精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 4.2021 年全国一卷 设函数f x xx ln x .数列a满意 0a1. af a .设 ba ,1 ,整数a1b .证精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n1n 1n1k a1 ln b精品学习资料精选学习资料 -

10、- - 欢迎下载明: ak 1b .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析 :由数学归纳法可以证明an 为递增数列 、 故如存在正整数mk 、 使 amb 、 就 ak 1akb 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如 abmk 、就由 0aab1 知 aln aa ln aa ln b0 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载m1mmm1m1a k 1aka k ln a ka1am ln amkm 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由于k mam ln am1k a1 ln b 、于为 a k 1a1k | a1 ln b |a1ba1 b精

11、品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 5.已知n、mn 、 x1、 sm1m2 m3 mnm 、求证 :nm 1 m1 snn1m 11 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析 :第一可以证明 : 1x n1nx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载nm 1n m 1n1m 1n1 m 1 n2 m 11m 10nk m 1k 1k1m1 所以要证精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载nm 1m1sn n1 m 11 只要证 :精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - -

12、 欢迎下载n k m 1k 1k1m 1nm1km k 1n1m 11 n1 m 1nm 1n m 1n1m 12m 11 m 1n kk 11 m 1k m 1 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故只要证n km 1k 1 k1m 1 nm1km k 1n kk 11 m 1k m 1 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即等价于km 1 k1 m 1m1k m k1 m 1km 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即等价于 1m1k11 m 1 、1m1kk11

13、m 1k而正为成立的、所以原命题成立.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n例 6.已知 a4 n2 n 、tn2na1a2、求证 :ttt123an4 13.tn24 n 212 n 4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载t解析 :n414 2434 n 212 22n 141234n1212 n 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以nnt22n4n 1nn23 2n 1n 1n 1n32n 2n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4n132 12n 43422n 143322 n 1433 222 2

14、 2 3 21精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载32 22 n2 n1 2n1312 2n112n 11精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载t从而 1t2t33111tn2 133712n1132n 112精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x1例 7.已知 x1 、nnn2k1、 kz 、求证 :1112 n11nn *精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载证明 :1n1n12k 、 kz14 x21x34 x4x512 、4 x2n x2 n 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4由于2x2n x2 n 1nn4 2nn12n11 、所以

15、4 4n2114 4n222n2 n22 n1n 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4 x2n x2n 12 n所以11nn112 n11 nn *精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4 x2 x34 x4 x54 x2n x2n 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载二.函数放缩例 8.求证：ln 22ln 33ln 44ln 3n 3n5n63n6n * .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n解析 :先构造函数有ln xx 1ln x x11 、从而xln 22ln 33ln 44ln 3n3n3 n1 111 233n精品学习资料精选学习资料

16、- - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载cause111111533993n 13n 15n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载233n2n2n13n66918272 3n 13n6精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以 ln 22ln 33ln 44ln 3 n3n11111111234567895nnn31365n66精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 9.求证 :12、 ln 22ln 33ln n n2n22nn1 n21精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析 :构造函数f xln x 、得到xln n nln

17、n2 、再进行裂项n 2ln n22n1112n1nn、求和后可以得到答案1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载函数构造形式:ln xx1、 ln nn12精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 10.求证 : 11231ln n1111n12n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析 :提示 : ln n1ln n1nnn12ln n11nlnnn1ln 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载函数构造形式:ln xx、 ln x11yx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当然此题的证明仍可以运用积

18、分放缩精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如图 、取函数f x1 、nxed精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载第一 :n1 、从而 、 11nfc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sabcfxn ixln x |n iln nln nib精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载取 i1有、 1 nn iln nln nn i1 、aon-inx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所 以 有12ln 2 、 13ln 3ln 2、1nln nln n1 、1n1ln n1ln n、 相 加 后 可 以 得 到 :精品学习资料精选学习资料 - -

19、- 欢迎下载111ni23n1ln n1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载另一方面n 1 sabden i x、从而有1inin 1n i xln x |nln nln ni精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载取 i1有、1n1ln nln n1 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以有1ln n 1121 、所以综上有11n231ln n1111n 12n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 11.求证 : 11 11 2.3.11 n.和e 11 11 98111 32 ne .解析 :构造函数后即可证明精品学习资料精选学习资料 - - -

20、欢迎下载例 12.求证 : 112 1231nn1e2 n 3解析 :ln nn1 123nn 1、叠加之后就可以得到答案1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载函数构造形式:ln x 132 x0x 11 ln1 x x3 x0 x 1加强命题 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 13.证明 : ln 2ln 3ln 4ln nn n 1 nn*、 n1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载345n 14精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析 :构造函数f x

21、ln x1x11 x1 、求导 、可以得到 :精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载'f ' x121x 1xx 、令1f x 0 有1x2 、令'f x0 有 x2 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以 f xf 20 、所以ln x1x2 、令 xn21 有 、ln n2n21精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以 ln nn 1 、所以ln 2ln 3ln 4ln nn n1) nn *、 n1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n 12345n14精品学习资料精选学习资料

22、 - - - 欢迎下载例 14. 已知a11、an 111n2ann1 . 证明 an2ne2 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析 :an 111n n1 ann1211n n 11、n a n2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载然后两边取自然对数、可以得到ln an 1ln11n n11n ln a n2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载然后运用ln1x x 和裂项可以得到答案精品学习资料精选学习资料 - - -

23、欢迎下载放缩思路：a n 1112nn1n an2ln a n 1ln11n 2n1n ln an2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ln an1n2n1 ；于为2nln an 1ln a n11 ,n 2n2 n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ii2n 1n 1111 n 11111 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ln a i 1i 1ln ai 2i i 1ln a nln a11 n11222 .n2 n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即 ln anln a12ae2 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n注：题目所给

24、条件ln1x x （ x0 ）为一有用结论,可以起到提示思路与探究放缩方向的作用；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当然,此题仍可用结论2nnn1 n2) 来放缩：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载an 111nnan11n n 1a n 111 111n n a11nn 1n 111,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ln an 11) ln an1ln1n n 1.nn 1 ln ai 11i 2ln ai1i 2i i1ln an1ln a2111n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即 ln a n11ln 3an3e1e 2.精品学习资料

25、精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 16.2021 年福州市质检 已知函数f xx ln x. 如 a0、b0、 证明 :f aab ln 2f abf b.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析 :设函数g xf xf kx 、 k0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载q f xx ln x、g xx ln xkxln kx、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载0xk .qg xln x1ln kx1lnx、kx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载令g x0

26、、 就有x12 xk0kxk.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载kxkx2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载函数g x 在k 、 k ）上单调递增,在20、k 上单调递减 . gx 的最小值为2g k ,即总有2gxg k . 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载而 g k 2f k 2f kk k ln k22k ln kln 2f k k ln 2、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载g x f k k ln 2、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即 f xf kxf k k ln 2.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载

27、令 xa、 kxb、 就 kab.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f af bf abab ln 2.f aab ln 2f abf b.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 15.2021 年厦门市质检 已知函数f x 为在0、 上到处可导的函数、如 xf 'xf x 在 x0 上恒成立 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载i 求证：函数g xf x在 0、x 上为增函数；ii 当 x10、 x20时、 证明 :f x1 f x2 f x1x2 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习

28、资料精选学习资料 - - - 欢迎下载iii 已知不等式ln1xx在x1且x0 时恒成立,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载求证：1 ln 222 21 ln 3 2321 ln 42421n1 2ln n1 22 nn n1 n2n * .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析 :ig' xf ' x x2xf x 0 、所以函数g x f x x在 0、上为增函数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ii

29、由于g xf x x在 0、上为增函数 、所以精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f x1 x1f x1 x1x2 x2f x1 x1x1x2f x1x2 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2f x x2f x1x2x1x2f x 2 2xx1x 2f x1x 2 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载两式相加后可以得到f x1 f x2 f x1x2 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3f x1 x1f x2 x2

30、f x1x 2x1x2f x1x 2x1x 2x n x nxn xnf x1 x1f x2 x1x 2x nx 2x1x2f x1xnx2f x1xn x2xn 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xf xn nf x1x2xx12xn xnxnxxf xn 12f x1x2xnxn 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载相加后可以得到:f x1 f x 2 f xn f x1x2xn 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以 x1 ln x1x 2 ln x2x 3 ln

31、 x 3xn ln xnx1x 2xn ln x1x 2xn 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载令1、有x n1 n 2111 ln 2 22211 ln 32321 ln 4 242111 n 1 21ln n1 2111122324 2111 n 1 2nln1122321 n 1 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 232n 1 2ln2 13 2n1nn12n22 n1 n2 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以 122ln 221 ln 323 21

32、ln 42421n1 2ln n1 22 nnn1 n2n * .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载方法二 ln n 1 2ln n 1 2ln 4ln 411精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 n 1 2n1n2 n 1 n2n 1n2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所 以 1 ln 221 ln 321 ln 421ln n1 2ln 4 11nln 4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22324 2 n 1 22n22 n2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又 ln 411、所以n

33、11 ln 222 21 ln 323 21 ln 424 21n 1 2ln n1 22nnn1n2n * .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载三.分式放缩姐妹不等式 : babm ba am0、 m0 和 babm aamb0、 m0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载记忆口诀 ”小者小 、大者大 ”精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载说明 :看 b、如 b 小、就不等号为小于号、反之 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 19. 姐妹不等式 : 11111135112n12n1 和精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选

34、学习资料 - - - 欢迎下载11121 11 4611 2n12n1也可以表示成为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 4 62n和 1 3 5 2n11精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 3 5 2n12n12 4 62n2n1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析 : 利用假分数的一个性质bbm baama0、 m0 可得精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2462n35 72n113 52n 11352n124 62n24 62n 2n 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 2 4

35、61 352n22n12n1 即 11111135112n12n1.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 20.证明 : 11111147113n23 3n1.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析 : 运用两次次分式放缩:精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 5 83n13 . 6 93n 加 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 4 73n22 5 83n12583n14 7.101473n23 693n1 3n 加 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载相乘 、可以得到 :2583n214.1473 n227103n11473n2583n12583n13 n1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以有