高三数学人教版a版数学(理)高考一轮复习教案：9.3二项式定理word版含答案(精编版)

1、第三节二项式定理二项式定理的应用(1)能用计数原理证明二项式定理(2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题知识点一二项式定理1定理公式 (ab)n c0nanc1nan1b cknankbk cnnbn(nn*)叫作二项式定理2通项tk1cknankbk为展开式的第k1 项易误提醒(1)二项式的通项易误认为是第k 项实质上是第k1 项 (2)(ab)n与(ba)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a 与第二个量b 的位置不能颠倒(3)通项是tk1cknankbk(k0,1,2， n)其中含有tk1，a，b，n，k 五个元素，只要知道其中四个即可求第五

2、个元素自测练习 1.2x1x6的展开式中常数项为_解析： 由题意可知常数项为c46(2x)21x460. 答案： 60 2.x124x8的展开式中的有理项共有_项解析 ： tr1cr8(x)8r124xr 12rcr8x163r4r 为 4 的倍数，故r0,4,8 共 3项答案： 3 知识点二二项式系数与项的系数1二项式系数与项的系数(1)二项式系数二项展开式中各项的系数ckn(k0,1 ， n)叫作二项式系数(2)项的系数项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念2二项式系数的性质性质内容对称性与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即cmncnmn增减性当 kn

3、12时，二项式系数逐渐减小最大值当 n 是偶数时，中间一项第n21项 的二项式系数最大，最大值为cn2n；当 n是奇数时，中间两项第n121项和第n121项 的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为cn12n或 cn12n3.各二项式系数的和(ab)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即 c0nc1nc2n ckn cnn2n. 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即c1nc3nc5n c0nc2n c4n 2n1. 易误提醒二项式系数与展开式项的系数的异同：在 tk1cknankbk中，ckn就是该项的二项式系数，它与a，b 的值无关； tk1项的系数指化

4、简后除字母以外的数，如a2x， b3y，tk1 ckn2nk 3kxnkyk，其中ckn2nk3k就是tk1项的系数自测练习 3(2015 高考四川卷 )在 (2x1)5的展开式中，含x2的项的系数是 _(用数字填写答案 )解析： 由二项展开式的通项tr1cr5(2x)5r( 1)r(r0,1， ，5)知，当r3 时， t4c35(2x)53(1)3 40 x2，所以含x2的项的系数是40. 答案： 40 4c0n 3c1n 5c2n (2n1)cnn _. 解析： 设 sc0n3c1n5c2n (2n1) cn1n(2n1)cnn，s(2n1)cnn(2n1)cn1n3c1nc0n，2s2(

5、n1)(c0nc1nc2ncnn)2(n 1) 2n，s(n1) 2n. 答案： (n1) 2n 考点一二项展开式中特定项与系数问题|1(2016 海淀模拟 ) x22x3的展开式中的常数项为() a12 b 12 c6 d 6 解析： 由题意可得，二项展开式的通项为tr1 cr3 (x2)3r2xr(2)rcr3x63r，令 63r0，得 r2，x22x3的展开式中的常数项为t21(2)2c2312，故选 a. 答案： a 2(2015 高考安徽卷 ) x31x7的展开式中x5的系数是 _(用数字填写答案) 解析： 由题意知，展开式的通项为tr1cr7(x3)7r1xrcr7x214r，令

6、214r5，则 r4， t5c47x535x5，故 x5的系数为35. 答案： 35 3若1xx xn展开式中含有x2项，则 n 的最小值是 _解析：1xxxn的展开式的通项是tr1crn1xnr (xx)rcrn (1)r x52rn.依题意得，关于 r 的方程52rn2，即 r2 n 25有正整数解；又2 与 5 互质，因此n2 必是 5的倍数，即n25k，n5k2， n 的最小值是3. 答案： 3 求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行化简通项公式后，令字母的指数符合要求 (求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r1，代回通项公式即可考点二二项式系数性质与各项

7、系数和问题|(1)若x2x2n展开式中只有第6 项的二项式系数最大，则展开式的常数项是() a360 b180 c90 d45 (2)若 a1(x1)4a2(x1)3a3(x1)2a4(x1)a5x4，则 a2a3 a4_. 解析 (1)展开式中只有第6 项的二项式系数最大，则展开式总共11 项，所以n10，通项公式为tr1cr10(x)10r2x2rcr102rx552r，所以 r2 时，常数项为180. (2)x4(x1)14c04(x1)4 c14(x1)3c24(x1)2c34(x1)c44，对照 a1(x1)4a2(x1)3a3(x1)2a4(x1)a5x4得 a2c14，a3 c2

8、4，a4c34，所以a2a3a4c14c24 c3414. 答案 (1)b(2)14 (1)赋值法研究二项式的系数和问题“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(axb)n、(ax2 bxc)m(a，br)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令 x 1即可； 对形如 (axby)n(a，br)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令xy 1即可(2)二项式系数最大项的确定方法(1)如果 n 是偶数，则中间一项第n2 1 项 的二项式系数最大(2)如果 n 是奇数，则中间两项第n12项与第n121 项 的二项式系数相等并最大(2015 成都一中模拟)设(x21)(2x 1

9、)9a0a1(x2)a2(x2)2 a11(x 2)11，则a0a1a2 a11的值为 () a 2 b 1 c1 d2 解析： 令等式中x 1 可得 a0a1a2a11(11)(1)9 2，故选 a. 答案： a 考点三多项式展开式中特定项或系数问题|在高考中， 常常涉及一些多项式二项式问题，主要考查学生的化归能力，归纳起来常见的命题角度有：1几个多项式和的展开式中的特定项(系数 )问题2几个多项式积的展开式中的特定项(系数 )问题3三项展开式中的特定项(系数 )问题探究一几个多项式和的展开式中的特定项(系数 )问题1(2016 商丘月考 )在(1 x)5(1x)6(1 x)7(1x)8的展

10、开式中，含x3的项的系数是() a74 b121 c 74 d 121 解析 ：展开式中含x3项的系数为c35(1)3c36(1)3c37(1)3c38(1)3 121. 答案： d 探究二几个多项式积的展开式中的特定项(系数 )问题2(2015 高考全国卷 )(ax)(1x)4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a_. 解析： 法一：直接将 (ax)(1x)4展开得 x5(a4)x4(64a)x3(46a)x2 (1 4a)xa，由题意得1(64a) (1 4a)32，解得 a3. 法二： (1x)4展开式的通项为tr1cr4xr，由题意可知，a(c14c34)c04c24c443

11、2，解得 a 3. 答案： 3 探究三三项展开式中特定项(系数 )问题3(2015 高考全国卷 )(x2xy)5的展开式中， x5y2的系数为 () a10 b20 c30 d60 解析 ：(x2xy)5 (x2x)y5的展开式中只有c25(x2x)3y2中含 x5y2，易知 x5y2的系数为 c25c1330，故选 c. 答案： c (1)对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数 )问题， 只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项，再求和即可(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏(3

12、)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决30.一般与特殊的思想在二项式问题中的应用(赋值法 ) 【典例】若 (2x3)4a0 a1xa2x2a3x3a4x4，则 (a0a2a4)2(a1a3)2的值是_思维点拨 要求解的问题与二项式系数有关考虑赋值法，令x 1，可求得奇数项与偶数项系数之和解析 令 x1， 得 a0a1a2a3a4(23)4，令 x 1， 得 a0a1a2a3a4(23)4.故(a0a2a4)2(a1a3)2(a0a2a4a1a3)(a0a2a4 a1 a3)(23)4 (23)4(34)41. 答案 1 方法点评 赋值法是求展开式中的系数与系数和的常用方法，注意所赋的值要有

13、利于问题的解决，可以取一个或几个值，常赋的值为0， 1.一般地，若f(x)a0a1x a2x2 anxn， 则 f(x)的展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0 a2a4 f 1 f 12，偶数项系数之和为a1a3a5f 1 f 12. 跟踪练习 若(1xx2)6a0a1xa2x2 a12x12，则 a2a4 a12_. 解析： 令 x1，则 a0a1a2 a1236，令 x 1，则 a0a1a2 a121，a0a2a4a123612. 令 x0，则 a01， a2a4a123612 1364. 答案： 364 a 组考点能力演练1若 x21xn的展开式中的所有二项式系数之和为5

14、12，则该展开式中常数项为() a 84b84 c 36 d36 解析： 由二项式系数之和为2n512，得 n9.又 tr1(1)rcr9x183r，令 183r0，得 r6，故常数项为t784.故选 b. 答案： b 2已知 (1ax)(1x)5的展开式中x2的系数为5，则 a () a 4 b 3 c 2 d 1 解析： (1x)5中含 x 与 x2的项为 t2c15x5x，t3c25x210 x2， x2的系数为105a5， a 1. 答案： d 3(2016 青岛模拟 )设 (1 x)na0a1xa2x2 anxn，若 a1 a2 an63，则展开式中系数最大的项是() a15x2b2

15、0 x3c21x3d35x3解析： (1x)na0a1xa2x2 anxn，令 x0，得 a01. 令 x1，则 (11)na0a1a2an64， n6，又(1x)6的展开式二项式系数最大项的系数最大，(1x)6的展开式系数最大项为t4c36x320 x3. 答案： b 4(2016 西城一模 )若3x13x2m的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中1x3的系数是 () a21 b 21 c7 d 7 解析： 2m128， m7，展开式的通项tr1cr7(3x)7r13x2rcr737r(1)rx75r3，令 753r 3，解得 r6，1x3的系数为c67376(1)6 21，故选 a.

16、 答案： a 5(2016 广州调研 )已知 a20cos x6dx，则二项式x2ax5的展开式中x 的系数为() a10 b 10 c80 d 80 解析： a20cos x6dx2sin x6|0 2，展开式的通项为tr1cr5(2)rx103r，令 103r1，则 r3， t4c35(2)3x 80 x. 答案： d6. x12x6的展开式中常数项为_解析：x12x6的通项为tk1ck6x6k12xk 12kck6x62k，令 62k 0，得 k 3，故展开式中常数项为52. 答案： 527(2015 高考天津卷 )在 x14x6的展开式中， x2的系数为 _解析： 二项式x14x6展开

17、式的第r1 项为 tr1cr6x6r14rxrcr614rx62r，令62r2，解得 r2，故 x2的系数为c261421516. 答案：15168若 (12x)2 015a0a1x a2x2 a2 015x2 015，则a12a222a2 01522 015 _. 解析： 当 x0 0 时，左边 1，右边 a0，a0 1 当 x12时，左边 0，右边 a0a12a222 a2 01522 01501a12a222a2 01522 015a12a222a2 01522 015 1 答案： 1 9已知 (a21)n展开式中的各项系数之和等于165x21x5的展开式的常数项，而(a21)n的展开式

18、的系数最大的项等于54，求正数a 的值解：165x21x5展开式的通项tr1cr5165x25r1xr1655rcr5x205r2，令 205r0，得 r4，故常数项 t5c4516516，又(a21)n展开式的各项系数之和为2n，由题意，得2n16，n4. (a21)4展开式中系数最大的项是中间项t3，从而 c24(a2)2 54， a3. 10(1)求证： 1222 25n1(nn*)能被 31 整除；(2)求 sc127c227 c2727除以 9 的余数解： (1)证明： 1 222 25n125n12125n132n1(311)n 1 c0n31nc1n31n1cn1n31 cnn1 31(c0n31n1c1n 31n2cn1n)，显然 c0n31n1c1n31n2cn1n为整数，原式能被31 整除(2)s c127c227c27272271891 (91)91c0999c1998c899c9919(c0998c1997c89)2. c0998c1997 c89是整数，s被 9 除的余数为7. b 组高考题型专练1(2014 高考湖北卷 )若二项式2xax7的展开式中1x3的系数是84，则实数a() a