高考数学专题八平面向量精准培优专练理

1、培优点八平面向量1代数法例 1：已知向量a，b 满足a =3， b =2 3 ，且a (a+b)，则 b 在a方向上的投影为（ ）A3B -3C -3 32D3 32【答案】C【解析】考虑 b 在a上的投影为a ×ba，所以只需求出a， b 即可由a (a+b)可得： a ×(a+b)=a2+a×b=0，所以 a ×b=-9进而2几何法a ×b -9 3 3 = =-b 2 3 2故选 C例 2：设 a ， b 是两个非零向量，且 【答案】2 3a = b = a +b =2 ，则 a -b =_【解析】可知 a ， b ， a +b 为平行四

2、边形的一组邻边和一条对角线，由a = b = a +b =2可知满足条件的只能是底角为 60o，边长 a =2的菱形，从而可求出另一条对角线的长度为3建立直角坐标系3a =2 3例 3：在边长为 1 的正三角形 ABC 中，设uuuv uuuv uuv uuv uuuv uuuv BC =2 BD ，CA =3CE ，则 AD ×BE =AE_BDCuuuv uuuv 【答案】 AD ×BE =-14【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个 角度解题，.ç ÷2ç ÷ ç ÷

3、2 2ï ç ÷ïy =3 y =î 6î 2ç÷3 6ç÷ ç ÷2 6 6()观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题，如图建系：Aæ 3 öç0, ÷，è øæ 1 ö æ1 ö B - ,0 ， C ,0è 2 ø è2 ø，下面求 E 坐标：令 E (x,y )，uuv æ 1 ö uuv

4、æ 1 3 ö CE =çx- , y ÷，CA =ç- , ÷，è 2 ø è ø由ì æ 1 ö 1 ì 1 3 x - =- x =uuv uuv ï è 2 ø 2 ï 3 CA =3CE 可得： í Þ íï 3 ï 3ï ï，Eæ1 3 öç , ÷，è øuuuv æ

5、; 3 ö uuv æ5 3 ö uuuv uuuv AD =ç0,- ÷， BE =ç , ÷， AD ×BE =-è ø è ø对点增分集训一、单选题141已知向量a， b 满足a =1，b =2，且向量a， b 的夹角为p4，若 a -lb 与 b 垂直，则实数 l的值为（ ）A -12B12C -24D24【答案】D【解析】因为 a ×b=1´2 ´cosp4= 22，所以 a -lb ×b= 2 -l×4=0

6、2; l= ，故选 D42已知向量 a ， b 满足 a =1 ， b =2 ， a +b = 7 ，则 a ×b=（ ）A1B2C3D2【答案】A.2 2 21( )114æö2 2ç÷1uuuvuuuv uuuv1( )( )1111 1【解析】由题意可得： a +b = a + b +2a ×b=1 +4 +2a ×b=7 ，则 a ×b=1故选 A3如图，平行四边形 ABCD 中，AB =2 ，AD =1 ，ÐA =60o ，点 M 在 AB 边上，且 AM =13AB ，则uuuuv uuuvD

7、M ×DB =（ ）A -1B1 C -33D33【答案】B【解析】因为 AM =13AB ，所以uuuv uuv uuuv DB =AB -ADuuuuv uuuv uuuv uuuv uuuv ， DM =AM -AD = AB -AD ，3则uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv DB ×BM = AB -AD × AB -AD = AB - AB ×AD +ADè3 ø 3 31 4 1= ´4 - ´2 ´1´ +1 =1 3

8、 3 2故选 Buuuv uuuv4如图，在ABC 中， BE 是边 AC 的中线， O 是 BE 边的中点，若 AB =a ， AC =b ，则uuuvAO =（ ）1 1 A a + b2 21 1 B a + b2 41 1 C a + b4 21 1 D a + b4 4【答案】Buuuv uuuv【解析】由题意，在 ABC 中， BE 是边 AC 的中线，所以 AE = AC ，2又因为 O 是 BE 边的中点，所以 AO = AB +AE ，2uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv，故选 B所以 AO = AB +AE = AB + AE = a + b2 2 2 2 4

9、5在梯形 ABCD 中， ABCD ， CD =1 ， AB =BC =2 ， ÐBCD =120o ，动点 P 和Q分别在线段 BC 和 CD 上，且.uuv uuuvBP =lBCuuuv 1 uuuv uuuv uuuv， DQ = DC ，则 AP ×BQ 的最大值为（ ） 8l1( ) æ öç ÷uuuv uuuv( )÷- ，442( )A -2B -32C34D98【答案】D【解析】因为 ABCD ， CD =1 ， AB =BC =2 ， ÐBCD =120o，所以 ABCD 是直角梯形，且 CM

10、 = 3 ， ÐBCM =30°，以 AB 所在直线为 x 轴，以 AD 所在直线为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系：uuv uuuv 因为 BP =lBCuuuv， DQ =18luuuvDC ，动点 P 和Q分别在线段 BC 和 CD 上，则lÎ(0，1，B(2，0)， P 2 -l, 3l ， Q ，3è8l ø，所以AP ×BQ = 2 -l，3l×æçè18lö 1 1 -2，3 =5l+ -4 -ø 4l 8，令 f(l)=5l+1 1-4 -4l 8且l&

11、#206;(0，1，由基本不等式可知，当 l =1 时可取得最大值，则 f(l) = fmax(1)1 1 9 =5 + -4 - =4 8 8故选 D6已知 ABC 中，AB =2，AC =4，ÐBAC =60°，P 为线段 AC 上任意一点，则uuv uuuvPB ×PC的范围是（ ）A1，4B0，4Cé 9 ùê úë ûD-2，4【答案】C【解析】根据题意， ABC 中，AB =2，AC =4， ÐBAC =60°，则根据余弦定理可得 BC =4 +16 -2 ´2

12、´4 ´cos60 °=12 ，即 BC =2 3 ABC 为直角 三角形以 B 为原点， BC 为 x 轴， BA 为 y 轴建立坐标系，则A (0，2)， C 2 3，0 ，.( )92222( )则线段 AC 的方程为x2 3y+ =12， 0 £x £2 3 设P (x,y )uuv uuuv ，则 PB ×PC =(-x，-y)(23-x，-y)=x2+y24 10 3-2 3x = x 2 - x +4 3 30 £x £2 3uuv uuuv ， - £PB ×PC £4

13、4故选 C7已知非零向量 a ， b ，满足 a =22b 且(a+b)×(3a-2b)=0，则a与b 的夹角为（ ）Ap4Bp2C3 p4Dp【答案】A【解析】非零向量 a ， b ，满足 a =22b 且(a+b)×(3a-2b)=0，则(a+b)×(3a-2b)=0， 3a 2 +a ×b-2b 2 =0 ， 3 a + a ´b ´cosq -2 b =0 ， 3 ´1 2b + b ´b ´cosq 2 2-2 b =0 ， cosq2= ，2q =p4p， a 与 b 的夹角为 ，故选 A4u

14、uv uuuv8在 ABC 中斜边 BC =a ，以 A 为中点的线段 PQ =2 a ，则 BP ×CQ 的最大值为（ ）A -2B0 C2 D2 2【答案】B【解析】在 RtABC 中斜边 BC =a ， BA CA ， A 为线段PQ中点，且PQ =2 a，原式=-a2uuv uuuv uuuv uuv+BA ×AQ -AQ ×CA =-a2uuuv uuv uuv+AQ BA -CA =-a2uuuv uuv+AQ ×CB =-a2+a2cosq，当 cosquuv uuuv=1 时，有最大值， BP ×CQ =0 故选 B9设向量 a

15、 ， b ， c ，满足a = b =11， a ×b=- ， a -c, b -c =60 2o，则 c 的最大值等于（ ）A1 B2C3D2.22222 2【答案】Duuv uuv uuuv【解析】设 OA =a ， OB =b ， OC =c ，因为 a ×b=-12， a -c, b -c =60o，所以 ÐAOB =120°， ÐACB =60°，所以 O ， A ， B ， C 四点共圆，因为uuvAB =b -auuv， AB =(b-a)=b2+a2-2a ×b=3 ，所以 AB = 3 ，由正弦定理知 2

16、R =ABsin120 °=2，即过 O ， A ， B ， C 四点的圆的直径为 2，所以c的最大值等于直径 2，故选 D10已知 a 与 b 为单位向量，且 a b ，向量 c 满足 c -a -b =2 ，则 c 的取值范围为（ ）Aé1,1 + 2ëùûBéë2 - 2,2 + 2ùûC é 2,2 2 ëùûD é3-2 2,3 +2 2 ëùû【答案】B【解析】由 a ， b 是单位向量， a ×b=0

17、，可设a =(1,0)，b=(0,1)，c=(x,y)，由向量c满足c -a -b =2，(x -1, y -1)=2，(x -1)+(y -1)=2，即 (x-1)+(y-1)=4，其圆心C (1,1)，半径 r =2 ， OC = 2 ， 2 - 2 £c = x2+y2£2 + 2 故选 Buuuv uuuv uuv uuuv uuuv11平行四边形 ABCD 中， AC ， BD 在 AB 上投影的数量分别为 3 ， -1，则 BD 在 BC 上的 投影的取值范围是（ ）A(-1,+¥)B(-1,3)C(0,+¥)D(0,3)【答案】A【解析】建

18、立如图所示的直角坐标系：设B (a,0)，则C (3,b)，D (a-1,b)，则3 -(a-1)=a，解得 a =2 .uuuvAD ×AE,9 3,3 3,9 3÷êæ 2 ö æ2æöç÷2ç ÷AD ×AEAD ×AE,9 3所以 D (1,b)，C(3,b)uuuv uuuvBD 在 BC 上的摄影 BM = BD cosq= 1 +b 2 cosq，当 b ® 0 时， cos ®-1 ，得到： BM ® -1，当

19、 b ® +¥时， q® 0 ， BM ®+¥，故选 A12 如图，在等腰直角三角形 ABC 中，AB =AC = 2， D ， E 是线段 BC 上的点，且1 uuuv uuuvDE = BC ，则 的取值范围是（ ） 3Aé8 4 ùê úë ûBé4 8 ùê úë ûCé8 8 ùê úë ûDé4 ö, +¥ë3 &#

20、248;【答案】A【解析】如图所示，以 BC 所在直线为 x 轴，以 BC 的中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,1)，B(-1,0)，C(1,0)，设D(x,0)，则E çx + ,0 ÷， ç-1£x£è 3 ø è13ö÷øuuuv 据此有 AD =(x,-1)，uuuvAE = x + , -1 è 3 ø，uuuv uuuv 则 AD ×AE =x22 æ 1 ö 8 + x +1 = x + + 3 è

21、 3 ø 91 uuuv uuuv据此可知，当 x =- 时，38 取得最小值 ；9当 x =-1或 x =1 uuuv uuuv 4 时， 取得最大值 ；3 3uuuv uuuvAD ×AE的取值范围是é8 4 ùê úë û故选 A二、填空题13已知向量a =(1,2)，b=(2,-2)，c=(1,l)，若c(2a+b)，则 l=_.( )( )221【答案】2【解析】因为a =(1,2)，b=(2,-2)，所以2a +b =(4,2)，又c =(1,l)，且c(2a+b)，则 4l=2 ，即l =1214若向

22、量a， b 满足a =1， b = 2 ，且a (a+b)，则a与 b 的夹角为_3 【答案】 p4【解析】由a (a+b)得，a ×(a+b)=0，即 a2+a ×b=0，据此可得 a ×b=a ×b ×cos a, b =-a2， cos a , b =-11 ´ 22=- ，2又a与 b 的夹角的取值范围为0,p，故a3与 b 的夹角为 p4uuv uuuv15 已知正方形 ABCD 的边长为 2 ， E 是 CD 上的一个动点，则求 AE ×BD 的最大值为 _【答案】4【解析】设uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv DE =lDC =lAB ，则 AE =AD +DE =AD +lAB，又uuuv uuuv uuuv BD =AD -AB，uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv AE ×BD = AD +lAB ×AD -AB =AD -lAB +(l-1)AB×AD=4-