北京2013西城高三数学一模理科试题及答案

1、北京市西城区2013年高三一模试卷高三数学(理科)2013.4第I卷(选择题共40分)、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1 已知全集 U = R，集合 A = x 10 ： x ： 2 , B = x | x2 1 0，那么 Aeu B =2013西城高三一模数学理科第6页共9页(A) x|0 ： x ：1(B) x|0 ： x 叮(C) x|1 ： x ： 2(D x|1 乞 x ： 22若复数 a-i的实部与虚部相等，则实数 a -2i(A) -1( B) 1(C) -2(D) 23 执行如图所示的程序框图若输出 y - -

2、.3，则输入角二=(a) n(B)1F1ry - sindy=land1/输苗"/(c) n(D)4从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A, B, C ,D四项不同的工作，每人承担一项.若甲、乙人均不能从事 A工作，则不同的工作分配方案共有(A) 60 种(B) 72种(C) 84 种(D) 96种5 某正三棱柱的三视图如图所示，其中正(主)视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是(A) 6 ,3(B) 12 .3(C) 12 2 3(D) 24 2.36等比数列an中，a1 0,则“ ai :觅”是“氏：:a? ”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要

3、条件(D)既不充分也不必要条件x (0,=)，都有f (x)乞1，则c的取7 已知函数f (x) Tog2 x-2log2(x c)，其中c 0 .若对于任意的 值范围是1 111(A) (0,1( B) *, ：)(C) (0,1 ( D)右二)44888如图，正方体 ABCD-ABC1D1中，P为底面ABCD上的动点，PE AC于E ,且PA = PE，则点P的轨迹是(A)线段(B)圆弧 (C)椭圆的一部分(D)抛物线的一部分第n卷(非选择题 共110分)二、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分.小 = 2C0SG小9已知曲线C的参数方程为(：为参数)，则曲线C的直角坐标方程为=

4、1 +2s in。10设等差数列an的公差不为0，其前n项和是S 若S -S3,11 如图，正六边形 ABCDEF的边长为1,则AC DB -12如图，已知AB是圆O的直径，P在AB的延长线上，PC切圆 O 于点 C , CD_OP 于 D 若 CD=6 , CP=10,则圆O的半径长为; BP= 13 .在直角坐标系xOy中，点B与点A(-1,0)关于原点O对称.点P(x),y。)在抛物线y2 =4x上，且直线 AP与BP的斜率之积等于2，则乞=14记实数X1,X?, ,Xn中的最大数为 maxx1,X2, ,Xn ，最小数为minX1,X2，Xn.设厶ABC的三边边长 分别为 a,b,c，

5、且 abc，定义 ABC的倾斜度为max-,b,- mina,-,- b c a b c a(i) 若厶ABC为等腰三角形，则t=；(ii) 设a=1，则t的取值范围是三、解答题：本大题共 6小题，共80分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)已知函数f(x)二sinx-acosx的一个零点是 n.4(i)求实数a的值；(n)设 g(x) = f(x) f(-x) 2 3sin xcosx，求 g(x)的单调递增区间.16 (本小题满分13分)某班有甲、乙两个学习小组，两组的人数如下:7U别甲男3?女2现采用分层抽样的方法(层内采用简单随机抽样)从甲、乙两组中

6、共抽取3名同学进行学业检测.(i)求从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率；(n)记X为抽取的3名同学中男同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.17. (本小题满分14分)在如图所示的几何体中，面 CDEF为正方形，面 ABCD为等腰梯形，AB/ CD , AB = 2BC ,ABC =60 , AC _ FB.(i)求证：AC _平面FBC ；(n)求BC与平面EAC所成角的正弦值;(川)线段ED上是否存在点 Q,使平面EAC_平面QBC?证明你的结论.18. (本小题满分13分)其中a R .已知函数 f(x)=ax-1nx , g(x) =eax 3x ,(n)若存在区间M，使f

7、(x)和g(x)在区间M上具有相同的单调性，求 a的取值范围.19. (本小题满分14分)2 2如图，椭圆笃 y 1(a b 0)的左焦点为a bF，过点F的直线交椭圆于 A, B两点.当直线 AB经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60 .(i)求该椭圆的离心率；(n)设线段 AB的中点为G , AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D, E两点.记 GFD的面积为S , OED ( O为原点)的面积为S，求§的取值范围.S20. (本小题满分13分)已知集合 Sn 珂X|X 珂为必,，Xn),x N*,i =1,2, ,n(n 2).对于人珂印忌,an), B,bn) S，定义AB -弘

8、鸟-鮎,5弋)；nCa, ,an) =( '£!, 'a2, , 'an) ('R) ； A与 B之间的距离为 d(A, B)八 © F I.=1(I 当 n=5时，设 A = (1,2,1,2,a5), B =(2,4,2,1,3).若 d(AB)=7，求 a§ ；(n) (i)证明：若 A,B,C Sn，且0,使 AB= BC，则 d(A,B) d(B,C) = d(A,C)；(ii)设 A,B,C Sn，且 d(A,B) d(B,C)二 d(A,C).是否一定0 ,使 AB二 BC ?说明理由；(川)记 | =(1,1，1严&

9、#163; .若 A, BE&，且 d(l,A)=d(l,B) = p，求 d(A,B)的最大值.(i)求f (x)的极值;北京市西城区2013年高三一模试卷高三数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共1 . B ;2. A;二、填空题：本大题共8小题，每小题5分,3 . D;4 . B;6小题，每小题5分,2013.4 40分. C；30分.6 B;D;8A.12 注:2 2x y -2y -3=0 ;10111314-1心).12、14题第一问、解答题：本大题共2分，第二问6小题，共3分.80分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标准给分15 .(本小题满分13分

10、)(I)解：依题意，得n n 迈sinacos-442 V=0，解得a =1.(n)解：由(i)得f(x)二 sinx -cosx .1分3分5分6分g(x) = f (x) f (-x) 2 3sin xcosx=(s in x-cosx)(-s in x-cosx) . 3s in2x= (co x-sin2 x) . 3sin2x=cos2x3s in2 x= 2si n(2x10分由 2k 2x 2k n -, 得 knn k<-, Z .”，”，12 分2 6236所以g(x)的单调递增区间为k n, k n , k Z .,13分3 616 .(本小题满分13分)(I)解：依

11、题意，甲、乙两组的学生人数之比为(3 - 5):(2 - 2) =2:1 ,1分2 1所以，从甲组抽取的学生人数为一3=2；从乙组抽取的学生人数为3 = 1. ,2分3 3设“从甲组抽取的同学中恰有 1名女同学”为事件 A,3分C1 C11515则P(A) 宁，故从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率为.，,，5分C22828(n)解：随机变量 X的所有取值为0,1,2,3 .201西城高三一模数学理科第4页共9页10分P(X =2)=C c2c8 c；cl c2c2 c；528C3 c5 clc8 c；28帖=1）=警弄弟定，c8 c； c8 c；P(X =3)c2 c2 3 cl c； _

12、 56562013西城高三一模数学理科第9页共9页在厶ABc中，由余弦定理可得 AC二3BC，所以AC _ BC .11分所以，随机变量X的分布列为X0123P5259328562856EX=0 1 252 3 528562856 ；17.(本小题满分1；分)(I)证明：因为 AB=2BC, . ABC = 60,又因为AC_FB,所以 AC _ 平面 FBC .,(n)解：因为 AC _平面FBC，所以AC _ FC .因为CD _ FC，所以FC _平面ABCD.所以CA,CF,CB两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系C - xyz.在等腰梯形ABCD中，可得 CB-CD.设 bc=1，

13、所以 c（0,0,0）,A（屈0,0）, &0,1,0）,如），耳咅 一*）所以 CE,-1,。, CA = ( 3,0,0), C (0,1,0). 2 2n CE =0, 设平面EAC的法向量为n = (x,y,z)，则有In CA=0.31所以 1%-尹 z=0,取 z=1,得 (0,2,1).3x =0.9分10分；31(0 红叮)，所以 CQ = (-2,q,t)m CB 二 0,m CQ 二 0.所以b =0,tc =0.取 c=1,得 m = (- 2 t,0,1) 12分设 BC 与平面 EAC 所成的角为 v,则 si nr -1 cos CB ,n= 5 ,|CB|

14、n |52 5所以BC与平面EAC所成角的正弦值为2-5 .，”，”5(川)解：线段 ED上不存在点Q,使平面EAC_平面QBC证明如下： ,J31假设线段ED上存在点Q,设Q(=丄,t)2 2设平面QBC的法向量为m = (a,b,c)，则有2013西城高三一模数学理科第11页共9页13分2.3t 0 0 2 1 1=0此方程无解.所以线段ED上不存在点Q,使平面EAC_平面QBC18.(本小题满分13分)(I)解：f (x)的定义域为(0, ：),f(X)二 a-1xax-1x当a空0时，f (x) ：0，故f(x)在(0,=)上单调递减.从而f(x)没有极大值，也没有极小值.1当a 0时

15、，令f (x) = 0，得x二丄.af (x)和f (x)的情况如下：14分1分2分3分要使平面EAC _平面QBC，只需m n- 0 ,x(0,1)a1 a1(：,代)f (x)0+f(x)/11故f (x)的单调减区间为(0,丄)；单调增区间为(丄，).aa1从而f (x)的极小值为f ( ) = 1 In a ；没有极大值.a(n)解：g(x)的定义域为R，且g (x aeTx 3.9分由于f (x)在(0,=)上单调递减，不合题意.ii分当a ： -3时，xd 0，此时g(x)在(y,xo)上单调递减，由于f (x)在(0,)上单调递减，符合题意.当a 0时，显然 g (x) . 0，

16、从而g(x)在R上单调递增.1(I)得，此时f (x)在(一，：)上单调递增，符合题意.a当a=0时，g(x)在R上单调递增，f (x)在(0, ：)上单调递减，不合题意.，13当 a ： 0 时，令 g (x) =0，得 xoln().aag(x) 和 g(x) 的情况如下表:x(£X0)x(x, 2)g(x)0+g(x)/当-3 < a 0时，xo乞0，此时g(x)在(心 =)上单调递增,2013西城高三一模数学理科第15页共9页13分综上，a的取值范围是(-：，-3) (0, ：).19.(本小题满分14分)(I)解:依题意，当直线AB经过椭圆的顶点(0,b)时，其倾斜角

17、为60 .F(-c,0),b = tan 60 = 3 cb = 3c代入a2 二 b2解得a = 2c .所以椭圆的离心率为x2(n)解：由(I)，椭圆的方程可设为4c22 y_ 3c2设 A(X1,yJ , B(X2,y2).依题意，直线 AB不能与x,y轴垂直，故设直线 AB的方程为y = k(x c)，将其代入-4ck23ck )丿.3x2 4y2 =12c2，整理得(4 k2 3)x2 8ck2x 4k2c2 T2c2 = 0 .则jx厂拦，y1必2姑恙，G(4k2 3'4k2 33ck因为GD _ AB，所以4k2 3-4ck2 x4k2 3 一 XdXd-ck24k2 3

18、因为 GFD OED,(-4ckck)2 *( 3ck )211分所以 S _|GDf _(4k2+3一4口3"(4k2+3” S2 |OD|2( -ck2 )2(4k2 +3)(3ck2)2 (3ck)2(cy9c2k4 9c2k2c2k4=9k213分所以§1的取值范围是(9, ：) .”，”，14分S220.(本小题满分13分)5(I)解：当 n=5时，由 d(A,B)八 ja -b | =7，得 |1 -2|2-4|1 -2|2-1| |比 -3| =7，即 |比 -3| =2 .*由N ,得玄=1,或a5 = 5.(n) (i)证明：设 A = G,a2, ,0.

19、), B=(b,b2, b), C =(G,Q,g).因为0，使AB二BC,所以'0，使得(b - a1,b2 -,bn -°) = ' (c1q - 鸟,Cn - 0)，即弘0，使得 b -4 =(c b)，其中 i T,2,n.所以b -a与c -b(i =1,2/ ,n)同为非负数或同为负数.,5分nnn所以 d(AB)+d(B,c)=Z |0i-b|+迟 lbcl 近(lb-a | + |Ci-bl)i=1i=1i=1n=E |c a | = d(A,c).,6分(ii)解：设 A,B,C Sn，且 d(A,B) d(B,Cd(A,C)，此时不一定'0

20、，使得AB 一 BC.,7 分反例如下：取 A = (1,1,1，1) , B=(1,2,1,1，1), C(2,2,2,1,1，1),则 d(A,B)=1, d(B,C)=2, d(A,C)=3，显然 d(A, B) d(B,C)二 d(A,C).因为 AB =(0,1,0,0，,0), BC =(1,0,1,0,0，,0),所以不存在? ?，使得 AB =，BC.,8 分(川)解法一：因为nd(AB)八 |b -a |，i 二设b a (i =1,2，,n)中有m(mwn)项为非负数，nm项为负数.不妨设i =1,2，,m时b a兰0;= m+1,m+2,n时,b C <0.n所以 d(A,B)八 |b -a |i 4二(bbm)-佝a2為)(amiaman)-(bm ibm.2bn)因为