第八章多元函数微分法PPT课件

1、 高等数学（XAUAT）练习题练习题解答解答重点难点重点难点基本概念基本概念计算方法计算方法练习题练习题典型例题定理结论定理结论习题课结构高等数学（XAUAT）一.本章的重点、难点、此次习题课达到的目的重点：偏导数的概念；全微分的概念；多元函数求偏导数；多元重点：偏导数的概念；全微分的概念；多元函数求偏导数；多元 函数求极值。函数求极值。难点：二元函数极限的计算；多元符合函数的求导法则、隐函数难点：二元函数极限的计算；多元符合函数的求导法则、隐函数 求导法则的运用；条件极值的概念与拉格朗日数乘法的意义。求导法则的运用；条件极值的概念与拉格朗日数乘法的意义。习题课达到的目的：使学生理解偏导数、全

2、微分的概念，熟练掌习题课达到的目的：使学生理解偏导数、全微分的概念，熟练掌 握偏导函数的计算方法。握偏导函数的计算方法。 高等数学（XAUAT）2.二元函数偏导数00000000,limlimxxxxfxx yfxyzfxyxx 记 00000000000,lim,.xxyyfx yDPxyDPDfx yfxyfx yPxy设函数在区域 内有定义，是 的内点或边界点，且如果则称函数在点连续00000000000,.,lim,xzfx yPxyyfxx yfxyyzfx yxxyx 设函数在点的某一邻域内有定义当 固定在而极限存在，称在关于 的偏导数存在.1.二元函数连续.二 基 本 概 念高等

3、数学（XAUAT）00000000,limlimyyyyzf xyyf xyfxyyy 0000000,limxxxyyfxyyfxyfxyy 二元函数偏导数的几何意义。二元函数偏导数的几何意义。同理有同理有轴轴0000.,x yf xyx00,xfx y是曲线是曲线在点在点 的切线与的切线与tan x正向夹角的正切（即切线对0,zf x yy y轴的斜率）3.全微分全微分 若函数若函数,z f x y在点在点, x y的全增量的全增量z可表为(,)( ,)( )zf xx yyf x yA x B y o 其中, A B与, x y 无关，仅与有关，, x y22xy 高等数学（XAUAT）

4、0202(,)( ,)()(liml( ,)( ,)(),(,)imf xx yyfzf x yP x ypplxlpxxx yfpfpyylxy 设函数在点的某一邻域U内有定义。自点 引射线设 轴正向到射线 的转角为 ，并设为 上另一点若存在），（=）( ,),)zf x yx yxB y 在点（的微分 dz=Ayzdzdxdyxy全 微 分 公 式 : 4.方向导数称函数.ff xyPll（ ， ）在 点沿方向的方向导数存在,记为,)x y称函数在点（可微，而函数高等数学（XAUAT）0limfpfpfl既cossi,nffflxzfyyyxp x方向导数计算公式： 若在是可微的 则 ,1

5、212,.,1,0,0,1 1,00, 1xyfx yp x yfffx ypxeyexeye 若在点的偏导存在 则在点沿 轴正向轴正向， 轴负方向， 轴负方向的方向导数存在1122xxyffffeeffffee 且 高等数学（XAUAT）( , )D( , )( , )zf x yffijzf x yp x yxy 设函数在平面区域 内具有一阶连续偏导数,称为函数在点的梯度.22(,)fffx yxy梯 度 的 模 ： grad(,)fffxyijxygra d 记 5 . 梯 度22max( ,)ffffx ylxygrad梯 度 的 方 向 与 取 得 最 大 方 向 导 数 的 方 向

6、 一 致 ， 它 的模 为 方 向 导 数 的 最 大 值 ，即 tanfxxfy梯 度 与 轴 正 向 转 角 的 正 切 为高等数学（XAUAT）zfufvfwxuxvxwx Z W y v U x三.计算方法,zfx y1.多元显函数偏导数的计算2.多元复合函数求偏导注意：分段表示的函数求偏导数时，各段上用公式求， 分段点一般而言，分段函数的偏 导数仍为处用定义求.分段函数. .,.,.,zf u v wuu x y vv x y ww x yxzf u x yv x yw x y若其中那么.的偏导公式为xyyx对（或 ）求偏导.把（或 ）看成常量。高等数学（XAUAT）（1） 先画出复

7、合函数的连锁图（如上页图）3 ddxx（ ） 公式中的复合函数的中间变量、自变量只有一个时. 求导记号用，多于一个时用。求多元复合函数的偏导数时，可用连锁规则：具体做法（2） 连线图中从复合函数到达某自变量的路线有几条， 公式中就有几项相加.每条线有几段则该项就有几 个偏导数（或导数）因子相乘。高等数学（XAUAT）, ,xyzFFFx y z求、时，将看作注意：相互独立的。3. 隐函数求导()()()( , )( , )( , )( , )uvwuxyvxywxydzf duf dvf dwfu dxu dyfv dxv dyfw dxw dyg x y dxh x y dyuug x yh

8、 x yxy则（4） 利用一阶全微分形式的不变性质yxzzFFzzxFyF ( , , )0( , , )0,( , )F x y zF x y zzx yzf x ya. 如果方程满足隐函数存在定理的条件 可由方程确定 是的函数：高等数学（XAUAT）( , )0( , )0 xyF x yFdyF x ydxF b. 方程满足隐函数存在定理的条件 确定函数 y=f（x）且 F X Y z XY以上公式可利用复合函数求导推得 , ,( ,)0,00 xxzxxzxyzyyyF x y f x yx yFzFFffxFFzFFffyF 方程两边分别对求偏导有 得 得 .xxyxzxyFffyF

9、zyf 2.求二阶偏导数时，方程继续对 求偏导， 是x, 的函数，解出其他同理。1.,.x yzx y注意：方程两边求导时，相互独立， 是的函数高等数学（XAUAT） 00001,(,)xtytzw tttM xyz（ ）若向量曲线 由方程给出 则曲线 上对应于的点的切向量为,(,)0(,)uvuvu vx yFFF GGGU VF（x，y，u，v）=0c. 如果方程组 满足隐函数存G（x，y，u，v）=0 在定理条件则方程组可确定是的函数，这时， 若 J= ,xuvuvxxyy 则：方程组中的每个方程两边对 求偏导数， 得到新方程组，解出 同理可得4. 空间曲线的切线和法平面方程高等数学（X

10、AUAT）0Tt 00（t ）， （t ）， （ ）0000)()0yyzztzz0000000 x-x切线方程： （t） （t）（t）法平面方程：（ )(x-x）+ (t )(y-y( ,)0( ,)0Fx y zGx y z若 曲 线为 曲 线的 切 向 量 为,yzxyzxyzxyzxMMMFFFFFFTGGGGGG高等数学（XAUAT）5. 曲面的切平面与法线 000zxyzxyzxyzxyMMMxxyyzzFFFFFFGGGGGG切线： 0000000( , , )0(,)xyznFMFF x y zMx y zMF M 若曲面 由方程给出，则曲面 在点 法向量为 处的0000yzx

11、yzxyzxyzxMMMFFFFFFxxyyzzGGGGGG法平面：高等数学（XAUAT）000000(,), 1xynfxyfxyM xy在点处的法向量: 000000 xyzF MxxF MyyF Mzz切平面： 00000 xyzxxyyzzFMFMFM 法 线： 00( , )( ,)zf x yM x y特殊：若 由给出，则 在点处0000000,1xyxxyyzzfxyfxy法 线 ： 0000000,0 xyfx yx xfx yyyzz切平面：高等数学（XAUAT）+注意：根号前要取“ ”号都取“ ”号，表示法线的一个方向。 根号前要取“-”号都取“-”号，表示法线的另一个方向

12、。 0000000000( , ),( , ),xxxyyyzf x yxyxyf xfxyBfxfxyyyC1 设在点的某邻域内存在直到二阶连续偏导， 且为的驻点 A= 记 222222222cos,cos111coscoscoscos11yxxyxyxyffffffrrff 有法向量的方向余弦为6. 求多元函数极值高等数学（XAUAT）该驻点处的函数值即为所求的最值。2)0ACi iBi 时,不能判断。200)0,ACBfiix y 时,处不取极值。2000,0) iACBfx yA时, 在点处取极限。且A0,y0 z0)的条件极值。 极值。 高等数学（XAUAT）2u12( , )dU.

13、,f.=e cos ,sin ,.1345ux yzx yzzv yev zuvxyxyz lnyy5. 求下列函数的一阶偏导数 （ ） z=x （ ）U=f(x,xy,xyz),z=6. 设 U=f(x,z),z(x,y)是有方程z=x+y (z)确定 的隐函数，求7. z=f(u,x,y),u=xe 其中 具有连续的二阶偏导 数，求8. 设 x求9. 求平面和22柱面 X +Y =1的交线上 到 XOY平面距离最短的点。高等数学（XAUAT）七. 练习题答案222222222222ln1ln123231.141212 sincos02.( , )00( , )014.8ln5.(1)(ln)(2)()(