信号与线性系统分析吴大正第四版习题答案

1、第四章习题4.6求下列周期信号的基波角频率Q和周期To(1) ej100t( 2) cos【a(t_3)(3) cos( 2t) - sin( 4t)( 4) cos( 2nt) +cos( 3nt) +cos( 5jrt)(5) cos( : t) - sin( t)( 6) cos( : t) cos( t) cos( : t)24235亠.夕打？打解 (1)角频率为0=100 rad/s.周期丁 =三=说三s1 OU角频率为O =今rad/s,周期T = 4 s角频率为0=2 rad厂周期T =兀s(4) 角频率为Q =兀rad/s,周期丁 =务=2 e0(5) 角频率为 Q rad/s

2、*周期 T = 8 s4£2角频率为门=盒rad/s,周期丁 =寻=60骂4.7用直接计算傅里叶系数的方法，求图4-15所示周期函数的傅里叶系数(三角形式或指数形式)。4 1<9 14图 4-15解 （1）周期T = 4=于卩则有1,碌一 W M + 1 产=|07 碌+ 1 <r<聚+ 3由此可得"T*/(Z)cos(riflt)dt = /(i)cos()drJ亡Z2乙'I2L幷TCOS(y)dr =2 . sin ?J7T?7T=£ I sin= On = 12-Z J-12» = 0, ± 1. + 2(2)周

3、期 T= 2.n =-sin(jrf),0,2 < r < 2 + 12k + i <_r < 2k+ 2由此可得=YJ戶叫=守J. J T艺呢1 +亡血iridz = - sin( ；rf df1Z*71 = 0，±1, 土2,4.10利用奇偶性判断图 4-18示各周期信号的傅里叶系数中 所含有的频率分量。,/|fAV1/)-rV'WZ T "T6/Ir¥/jlr>/VVVYV NT/At)VN|r/r图 4-18(1) 由的波形可如=/!(-;) =-/L(r-j)/(r)cos( riQt) dr* = 0 3 12 *

4、 "a。= 盘？ = a=*"= 血=久=仏=0 则f：(t)的傅里叶级数中含有的频率分量为奇次余弦波亠(2) 由/2(r)的波形可知=fz (t)严” 0则有！ 4 Ct 小=1，2,I bn =亍 )sin(f )df则fz(t的傅里叶级数中含有的频率分量为正弦波*(3) rfl人(门的波形可知人=/3(-r)则有牛=0«4 壬耐 =01 * 2电”召=)dz1G即fS(t)的傅里叶级数中含有的频率分量为偶次余弦波* 由fg 的波形可知/为奇谐函数，即T.行=/Jr ± T)则有 心=az = aA =址="=心=0即人(门的博里叶级数中只

5、含有奇次谐波包拈正弦波和余弦波"4-11某1 Q电阻两端的电压u(t)如图4-19所示，(1 )求u(t)的三角形式傅里叶系数。(2) 利用(1)的结果和u(1)，求下列无穷级数之和2S =1 1 丄-1 357(3) 求1Q电阻上的平均功率和电压有效值。(4) 利用(3)的结果求下列无穷级数之和1 1 1S =122牙.357图 4-19解 （1）由 讥C的波形图可知T = 2-H2kt2k-+ 1 < f+ 2则有To r十严山=i J =干v)df =IJ|'df = 1J Q2T.r丁 U(Z)COS(?4(?Z ) dz = ycds( )dzJ u0拧=1,

6、2乡(4u(：)sin(nfl： )d# =J 牙I CQS(v(r)cos(wt)drsinC?j；rf) d/g则Mf）三角形式的傅里叶级数为守+ Y仇0门（"疋）=-|f= LikI厶n=l1 C0S(?7C) re、sin( ?dJZ)71（2）以“波形图可知w(T) = T+n I1 (- 1尸N7TEn（罕）=则有£Ff=1 一（一 1尸珀门（#农_ 兀=27712.2(3)则可得无穷级数S=1-yin电阻上的平均功率为r则电压有效值为ftl tdt）的波形图可知rL2Tu2 (t)dtI；有政将认的傅里叶级数代入上式得ri(r)dr =2 J-i2.dr4.1

7、7-1P 1 cos(?7r)$ 科応八iL迈x -一讪宁m = 1J-imt£ 1-(-1)” 叶=IFf= 1S-?=9?2_sin()dr1W7TW7TIff7T2T根据傅里叶变换对称性求下列函数的傅里叶变换(1)f (t)(2)f (t)(3)f (t)2 ：2丄2：L 亠 tIL 2 二tsin 2 7： (t - 2),q ct二(t -2)，-:t :解 （1）由于宽度为"幅度为1的门函数禺（门的频谱函数为rSm（亍”即sin（等）乩 <> rSa（y）=L0J2取r = 2幅度为*,根据傅里叶变换线性性质有1 1 <7 yg2） = y X

8、 2Sa（s）= Sa（o>）即v一* Sa（3）注意到g2（r）是偶函数根据对称性可得Sa（r） <» 2兀 X *g2 （s） = ng2 （s）根据时移性和尺度变换性可知3CS 匸 2*1 2）二=由 /(r)sm一亍(打 2)_ = 2Sm27t(f 2)可知xc | £ 2兀 rad/s0,I 3 | > 2?r rad/s(2)由于2aa? + G(3)可知由于.2q y 2h亍 r = 27re"al<wQ. I t 希，-oovyx的傅里叶变换为决一“ns3根据对称性可知sin(27rr) p2nt幻”（s）,根据频域卷积积

9、分性质可得-sin(2?rr) n22izt又有a < 4兀 rad sqj > 4tt rad/ sw</<w的傅里叶变换为1_丄1 亠1不百抵(少)=< 2 _心兀-4.18求下列信号的傅里叶变换(1)f (t)二 el. (t -2)(2) f (t) =e*(tl'(t 1)(3)2f (t) = sgn( t - 9)(4)f (t) = e，t ；(t - 1)(5)tf (t)二；(1)2解 (1)已知&1由时移性质可得駅r 2) 厂血再由频移性质可得八门的傅里叶变换2)-亡F卄门即F(jw)= L"(2) /(t)=亡74

10、八扩(f 1) = (r- 1) - (-3)(r-l)=(r 1) +3«(t 1)又§d)一 j站由时移特性可知fit)的博里叶变换为F<j(w)=(讪+ 3)芒一加(3) /(? = sgn(r2 一 9) = 1 2胃島又乳乐<)=P g6(Z)e_>/df = 厂叭击=%n(九)J J 33=2戚(少)则有疹in(3G电（r） 亢$（3）+ ± J畑 利用时移特性可得再rti尺度变换特性可得£（4- 1）2曲（2G 佻=戒（3）十丄亡- ZjZo） -jtv即/（r）的傅里叶变换为4.19试用时域微积分性质，求图F（j3）=

11、TTCoj） +曲JCd3图 4-23解 (1)由/,(r)的波形可得其闭合表达式为/i (/) = Fe(Z r) (Z r)' r由此可得f()=丄二(f + r) eCt r)_ t r) d(f + r)又有 ( r ) < 7T$( 3 ) 4- 7J3M *> 1可得e(f ± r) 7t5(o>) +皿5(1 土 丁)v_> e二"则有=丄 2sin(")一 2cos(ar)r3当3 = 0时上式值为0,则有2ajcos( a/r) 2sin( o/r)2of TC2）由fg 的波形可得其闭合表达式为九=r（r +手）

12、-U 手）£“一手） fZ4丄(r-y )drF -4)-4422由此可得/2（r） =各）一w（f +斗）一皂（r 斗十就一手）*工上44z又有可得则有芝(r) y> 応5()一 -Tp±jwyy> 7T 吝(3)一:E ( f 土 Y> 兀 $( 3 ) 48当4 = 0时，上式为0,则有烈九=兀心16sin( ) * sin8E r4.20若已知Ff才.），试求下列函数的频谱:(1) tf(2t)(3)tdf (t)dt(5) (i -t) f(i-t)(8) ejt f (3 - 2t)(9)df (t)1 * 一dt解 (1)根据频域微分特性可知

13、(jr)/(r) v -F(js)则有一 j 羊F(j3)C1CU根据尺度变换特性可得”)一 j*舟F(j号)则可得兀/门一 j y £r(j号)(3)由时域微分特性可得斗F 一(jGF(jG又由频域微分特性可得(-")d优)* 舟jsF(js)则有 予 t 召/ (?) = j 3F(jo>) = -F(jo>) r 0)-yF (ja>) (5)由频域微分特性可得tf(t) j 羊F(jG由反转特性可得屮_门 一一jF(血)aat又由时移性质可得(t r 1) f (一 1 + 1) <一 je-知 yF ( jcu) *C1O)即5(1r)/(

14、l r)2 = je-x，-F( js)（8）由尺度变换特性可得八一2D *F（j 号由时移特性可得卅3 2门一恭YF（ j号）又由频移特性可得f （3 2/） *2 F（j 1 予 ®）JUMi即MeV（3 -2/） = le-：F（j（9）由时域微分特性可得jsF(jG又有1 jsgn(aj)TCt则由时域卷积定理可得 < jo>F(jcu) (j)sgn(<u)迁京*却=1F(jG4.21求下列函数的傅里叶变换(1)Fg)r1,国 <®00, ； :0(3)F (j ；：) = 2 cos (3)(5)2 ,2 sin-心 1)-. F (j

15、)二 en仝 解 (1)傅里叶逆变换为f(t) =F(jai)dw = j 护tig=L_ ( eL I 亡Fj =中皿同 2江"戒<3) F(仙)的傅里叶逆变换为/(/)=召 | 2cos(3oj)fdw =二 2血 + 点畑)/dF /tt一x/ttJkdtfw=豆由S(t) 4得M护血，则有/兀K/ (z) =E(r 3)+$(f 3)F(jG ='2 si 门jdfl-H 心 2 s 1 ricjjcv j3(w 一比他/Lc1 ccH = o 3由于 ©空竺则由时移特性可知 at皿一 1)gg (F 3 )g2 (r 5)2sintti _g -W亡

16、一:弧32 si ito c_3则F(joJ的傅里叶逆变换为/(r)=歹匸 F(jG = g£(z- 1) +g2(z-3) +g.(z-5)4.23试用下列方式求图 4-25示信号的频谱函数(1)利用延时和线性性质(门函数的频谱可利用已知结果)<(2 )利用时域的积分定理。(3 )将f(t)看作门函数g2(t)与冲激函数.(2)、弋-2)的卷积之和。-3-1 O 13图 4-25解 已知乳 一 rSa(),将r = 2代入，得幻(0 一> SSaCoj)由博里叶变换的时移性质可得幻(F 二 2) * 2Sa( a) b's根摇傅里叶变换的线性性质町得/(f)的傅

17、里叶变换即频谱碉数为F(M = 5/(n =2) -U-2>=2Sa(to)(ej2iU -e_-£*4 sinujcoStijUJ3(2)由f(t)的波形图可得直闭合表示式为则有/( / ) = £(/ + 3 J 1)E(f 1 ) E( t 3 )y7 ( Z )駅 F 3)击(£ 1 ) $(F 1) &(t 3)又駅"一由时移性质可得(_ e3* 申一e-：1J e-rl* = j2sin(3cli)呂in*j_ = j4sincijcQs(2<y)当和=0时上式为th则由时域积分定理可得界7)的频谱函数Ftjfw) = 2

18、/(r)2 =j4貝ingjco舄(2s)_ 4sincucos( 2cu)(3)已知gz(t) v 2Sa(tu)8M 1由时移特性可得则由J (t) = g?(t) * _3C r + 2)3( t 24sincocc)s( 2cy)以及时域卷积定理可知的频谱函数为F(j&>) = 2Sa<o>) * (严 +绻)4.25试求图4-27示周期信号的频谱函数。图（b）中冲激函数的强度均为1（a）1-1-4/cof |'尊1-2T| -T | 匸?1 了T l图 4-27解（小由于（7t ） _ 芫一（53 兀）亢）利用傅里叶变换的线性性质可得/（r）的频谱函

19、数为F（血）=5C/（r）Z = CyZ + ycos（3cr）一 Tt） + 2$（3（b） f（t）的傅里叶级数为1 ffjFtl = 4 TA（/）e-dr1 J T=斗£丁飞（F） -5（?+ y）dr = y（l -尹）贝l/cr）的频谱函数为F（jG = 2；r 工 y（l 卍05（® 冲=一8=李 £誓）4.27如图4-29所示信号f（t）的频谱为f（l），求下列各值不 必求出F（j ）qQ（1） F（0） =F（）|y（ 2） .；F（）d2(1) 由傅里叶变换定义可知F( joj)=I y(z)e-Jdr.1 00则有F(0) = FljG=|

20、/(r)drJ =gr/ + 1, 1 < Z < 0又有1,0 < r < 1.5其他F(0)=pfi3(f + 1 )dz 十 dt = J -1J oZ(2) 由傅里叶逆变换可知由此可得F(j<u)dz一 KFCjcw) dz = 2;r/(0) = 2 orOG(3)由/(r)的波形可知r(z+ I)3,1,0,-1<r<00 < f < 1其他则由能量等式可得W I F(血) ocI: do； = 2k 严(f )dfJ w屮plo l=l(f+l)?ck+ dr4.28利用能量等式O0 21°0|Uf dt=27j)d

21、co计算下列积分的值2sin( t)(1) dt t(2)°° dx解 (1)已知幅度为*门函数的傅里叶变换为Sa(w),即+幻(f) * Sa(w)=则由傅里叶变换对称性可得sinwCLl市能量等式可得J ae £(2)由于当a > 0时冬有1蜩2(12兀2a十of则当。=1时.有21 O)'由傅里叶变换的对椒性可得占一 l则由能量等式可得丄2?r,. -oc7? * (一 1)严=14.29 一周期为T的周期信号f(t),已知其指数形式的傅里叶 系数为Fn，求下列周期信号的傅里叶系数C 1)皿)=f (t 7)( 2) f2(t)二 f (-t)

22、df （t）（3） f3（t）（ 4） f4（t）二 f （at）, a . 0dt解 （1）由傅里叶变换时移特性可知烈 fi （t） e'D）则g死八"=厂创。2;rF0（3-M）n云x=2z （F”L皿。）（5（w ?if2）4=50由此可知f（n的傅里叶系数为几严（2）由傅里叶变换反转特性得Lfa（t）Z =更/（ t）Z = F（j边）=2h A F沁（3+ ?if）#f=30令k ="，则有烈？2（F）1 = 2兀才 F_k8 （a> kf! ） = 2tt 另 F-fl8 （OJ rif2 ）*.KJf一K由此可知九（门的傅里叶系数为F”（3）由傅

23、里叶变换时域微分特性可知=更金】=j血孔fX=j 皿 2r 工 Frf（5（£t> 一 祖）可=OGX即芫人（r）_ = 2亢jnf2F怡（曲）a=«由此可知 D 的傅里叶系数为（4）由傅里叶时域尺度变换特性可知y > 0时有1K乳齐=莎门皿门=* y f（-卫*二“i*=* 2n 5j F* 血（3 naQ）w=2 2 F/缶一血G）”=K由上式可知此时信号基波角频率变为Ml 则人"）的周期变为原来的丄倍竹卩a手则其傅里叶系数为匕信号周期为4.31求图4-30示电路中，输出电压电路中，输出电压U2(t)对输入电流is(t)的频率响应H()=怛4，为了

24、能无失真的传Isj)输，试确定尺、R2的值。1HIP解图中电路系统的频率响应为代人数值整理得图 4-30L( 1 + i?i /?2 ) ( jttf)-尺1T-(J? + Rg )( Jeu)十1H(ja；)=RI jsL R? 由于无失真传输系统频率响应满足H(jw)=防血其中飢卩均为常数，则必有R,&十电1解得凤=r2 = m故为了能无失真传输人尺应均为1 0的电阻,4.33某LTI系统，其输入为f(t)，输出为1 血 x -a y(t)s( )f (x - 2)dxa a a若输入f (t)=:号空cos(5t),求该系统的输出y(t)式中a为常数，且已知 s(t) S( j

25、.), 求该系统的频率响应H (j )。解 由已知可得5i(r) = 片( )/(x 2)dj?u J -x a= 丄广匕二)和文一 2)d丈u J -ka=丄x(- )a a由傅里叶变换的时移性质和尺度变换性质可得5 <一 ) =丄* S(一 aa>) = -_S (一 ua)aa _ 1'aa</(z-2) = e-2wF(w),其中 F(j(y) =由傅里叶变换时域卷积特性可知4.34某LTI系统的频率响应若系统输入_y(Z)_ =歹5 ()黄 f(t 一 2 )aa '1 , =* aaS(j如)*亡一憑f (j曲)则系统的频率啊应I_j( j2ii

26、c :、1F ( JGJ )U=丄<5(- )： -一 2)H(j')2 - j，2 j 解 系统输人的傅里叶变换为F(j(u) = Ccos2( = 7rj(w + 2) + 旅倒一2)则系统输出的傅里叶变换为Y (jo?) = F(j&；) H (i&j) = 7r_5&j 2) +恳(3 2) _ 2 +j3 =J 江 _§(如 + 2) 3( tx> 2) _其傅里叶逆变换为y(f)=尹| 丫(血)_ = sin(2f)此即为系统输入为于&)= cos(2z)时系统的输出.4.35 理想低通滤波器的频率响应一创,®

27、 < 3rad / sH ( jCO)才 30,© > 3 rad / s解 若输人 /(f) = 2 3ert(nr_) r其中 0 = 1 rad/s»求输岀 y(r)-PL*f=工3曰(川讨)C = 1 rad/s,如下依此进行其傅里叶变换跑=K输出信号频谱Y (joi) = H(jw)F( jcu)&於(tw> 讴油缶一1) +j4油(曲 + 1) 2) 2油(3 + 2)= 34- (-2j)ef 4-(2je_k -占-严=3 + Isin/ 2cos( 2f)4.36 一个LTI系统的频率响应e , 一6 rad / s < c

28、o < 0 H (j(0) = $e 2,0 £CC £6 rad / s0, 其他解幅度为*,宽度为2的窗函数的傅里叶变换为Sa（o）,即有*g2 * Sa（a）由对称性可得斗工一兀坯（3）又有cos（5r）式5（3 + 5）+6（3 5）则由频域卷积定理可得F（js）= 死/（f） = cos（5?）1尹sin)2tct关更cos）g'：7tg6（3）* 兀_5(3 + 5) + S(uj 5)6 rad/s V o» < 00 < a, < 6 rad/s其他=今g6（3 + 5） + g6（3 3）一 又由已知可得J, H（

29、js） = Y 八I 0 则系统输岀的傅里叶变换为Y(jft>) = F(js) H(jto)=今jg4(tt>+4) jg4(3 4)_1L1=2 (少)沃 j;r_5(a> + 4) 3(cu 4)_占7tg4 (a>) * jicT8(a)+ 4) 8(a) 4)又由傅里叶变换对称性可得si r / x n sin( 2t) 夕一穴幻(3)=-且有死 sin(4/)_ = j7t_S(3 + 4)5(a> 4)则由频域卷积定理可得系统的输出为y(t) = 3' y(joj)l = sin；2f) sine)4.39如图4-35的系统，其输出是输入的平

30、方，即y（t）2（t）（设f（t）为实函数）。该系统是线性的吗？（1） 如f平，求y（t）的频谱函数（或画出频谱图）。（2）如f（1）二丄cost cos（2t），求y（t）的频谱函数（或画出频谱2图）。系统图 4 35解令输入为十1 （）九（f）时系统的输出分别为$1仁）兄（门即加=舟刃=一/1（则当输人为如九9）时（其中© a为常数）有输出为 3=R J+也九了=空幷（f）空於（门+（）九（“H 肉幷（£）+©/!（）=«1 J1 （?）即系统不满足齐次性和可加性为非线性系统.（1）幅度为1宽度为2的窗函数的傅里叶变换为2Sa（a）,即©（

31、f）-亠 2 Sa （） 由傅里叶变换对称性可得Sa(Z ) * 7Tg2(OJ)则由傅里叶变换频域卷积定理可得输出信号的频谱为y(jaj) = F(joi) * F(jo>) Ttgs (oj) * 冗拓&口号R | | < 2 rad/s=丿 ZI0 ?I 曲 I > 2 rad/s(2)由已知可得F(joj) = 2/(/)=乳+ + cos/1 + cos(2f)2 =北 £ $(-fl2则由傅里叶变换频域卷积定理可得输岀信号的频谱为 Y(J£U)=亠F(joi) * F(ja?)匸' 5 一 h | _S(at fi)(b)所4.

32、45如图4-42(a)的系统，带通滤波器的频率响应如图 示，其相频特性：()=o，若输入f (t)=引"2 卫,s(t) =cos( 1000 t)2皿求输出信号 y(t)。/(£)广、带通y(f)V 亠(a)1汎3)=01咖Li1000i-1001 -999 Cl C> "99SWJ /<r&d &t图 4-42< Sa(w)由傅里叶变换对称性可得Sa(r) <_ Kg2(3)由傅里叶变换尺度变换特性可得 Sa(2门一界2(号)则有F(js)=込/(门=莎= yg4(cu)又有cos( 1000?) = tt/(co +

33、1000) + 5(® 1000) _根据傅里叶变换频域卷积定理，可得乘法器输岀信号的傅里叶变换为T/(?)COS( 1000?) = y-现F(/) * 乳CO5( lOOOr)=+g4(a+ 1000) +幻(3 1000)则系统输出信号的傅里叶变换为Y(jco) = T/(r)cos( 1000r)H(joj)由H(js)的波形图及相频特性可得H(jG = g2(s+ 1000) +幻(3 1000)将H(jG代入上式，可得Y(jaj) = tg2(s+ 1000) +血(3 1000)4=£g2(3)*5(3+ 1000)+5(3 1000)4=右右血(3) * 总

34、S+ 1000) +沁一 1000)由傅里叶变换频域卷积定理可得输岀信号为y(t)=戶Y(js)=(r)cos(1000f)= scos(1000r)4.48有限频带信号f（t）的最高频率为100Hz,若对下列信号 进行时域取样，求最小取样频率fs。(1) f(3t)(2)f2(t)（3） f （t）* f（2t）（ 4） f（t） f2（t）解令有限频带信号（）的傅里叶变换为即有则由已知可得 A = 100 H®（1）由傅里叶变换的尺度变换特性可得0(30 = yF(j2n)则有 牛=几小卩f叫=3/m = 300 HzFtl时域取样定理可知最小取样频率几满足A > 2血=600 缶（2）由傅里叶变换频域卷积定理可知=xF（j.2Tt/J * F（j2irf）由卷积性质可知最高频率几,=2几=200 H叭则由时域取样定理可知，最小 取样频率几应满足A > 纣叫=400 Hz（3J由傅甩叶变换尺度变换特性可知更f倍）=缶#又由傅里叶变换时域卷积定理可知=F字打八*F(逐彳)则最高频率为 仏 =/m = 100 H“由时域取样定理可知最高取样频率九应 满足f.孑 2扎* = 200 Hz(4) ft傅里叶变换的线性的性质可知+/1 =+ 乳尸=F伽° + 护伽C * F(j2“则*(2)中结果可知