2022年2022年高中数学复习专题讲座不等式知识的综合应用

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载题目高中数学复习专题讲座不等式学问的综合应用高考要求不等式为继函数与方程之后的又一重点内容之一,作为解决问题的工具,与其他学问综合运用的特点比较突出不等式的应用大致可分为两类一类为建立不等式求参数的取值范畴或解 决一些实际应用问题；另一类为建立函数关系,利用均值不等式求最值问题.本难点供应相关的思想方法,使考生能够运用不等式的性质.定理和方法解决函数.方程.实际应用等方面的问题精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载重难点归纳1 应用不等式学问可以解决函数.方程等方面的问题,在解决这些问题时,关键为把非不等式问题转化为不等式问题,在化归与转化中,要留意等

2、价性2 对于应用题要通过阅读,懂得所给定的材料,查找量与量之间的内在联系,抽象出事物系统的主要特点与关系,建立起能反映其本质属性的数学结构,从而建立起数学模型,然后利用不等式的学问求出题中的问题典型题例示范讲解例 1 用一块钢锭烧铸一个厚度匀称,且表面积为2 平方米的正四棱锥形有盖容器 如右图 设容器高为h 米,盖子边长为a 米,1求 a 关于 h 的解析式；2设容器的容积为v 立方米, 就当 h 为何值时, v 最大？求出v 的最大值 求解此题时,不计容器厚度精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载命题意图此题主要考查建立函数关系式,棱锥表面积和体积的运算及用均值定论求函数的最值学问依

3、靠此题求得体积v 的关系式后, 应用均值定理可求得最值错 解 分 析在 求 得a的 函 数 关 系 式 时 易 漏h 0技 巧 与 方 法本 题 在 求 最 值 时 应 用 均 值 定 理精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解 设h 为 正 四 棱 锥 的 斜 高 , 由 题 设 可 得消去由 h 0得所以 v,当且仅当 h=即 h=1 时取等号精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故当h=1 米时, v 有最大值,v 的最大值为立方米+bx+c, gx=ax+b,当 1 x例 2 已知 a, b, c 为实数,函数fx=ax2 1 时|fx| 11证明|c |1；2证明当

4、1 x1 时, |g x| 2；3设 a 0,有 1 x1 时, gx的最大值为2,求 f x命题意图此题主要考查二次函数的性质.含有肯定值不 等 式 的性 质 ,以 及 综合 应 用 数学 知 识分 析 问题 和 解 决问 题 的能 力精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学问依靠二次函数的有关性质.函数的单调性为药引,而肯定值不等式的性质敏捷运用为此题的灵魂错解分析此题综合性较强, 其解答的关键为对函数fx 的单调性的深刻懂得,以及对条件“1 x1 时|f x| 1”的运用；肯定值 不等式的性质使用不当,会使解题过程空洞,缺乏严密, 从而使题目陷于僵局技巧与方法此题 2 问有三种证

5、法,证法一利用gx的单调性；证法二利用肯定值不等式|a| |b| |a± b|精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载|a|+|b|；而证法三就为整体处理gx与 f x的关系1证明由条件当 =1 x 1 时, |f x| 1,取 x=0 得 |c|=|f0| 1,即 |c| 12证法一依题设 |f0| 1 而 f0= c,所以 |c | 1当 a 0 时, gx= ax+b 在 1,1上为增函数,于为 g 1 gxg1, 1 x 1 |fx| 1, 1 x 1, |c| 1, g1= a+b=f1 c |f1|+|c |=2,g 1= a+b= f 1+c |f 2|+|c|

6、2, 因此得 |gx|2 1 x 1；当 a0 时, gx=ax+b 在 1,1上为减函数, 于为 g 1 gxg1, 1 x 1, |fx| 1 1 x 1, |c| 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 |g x|=|f1 c| |f1|+| c| 2综合以上结果,当1x 1 时,都有 |gx| 2证法二 |fx| 11 x 1 |f 1| 1, |f1| 1, |f0| 1, fx=ax2+bx+c, |a b+c| 1, |a+b+c| 1, |c| 1,因此,依据肯定值不等式性质得|ab |=|a b+c c| |a b+c|+|c| 2,|a+b|=|a+b+c c|

7、|a+b+c|+|c| 2, gx=ax+b, |g ±1|=|± a+b|=|a± b| 2, 函数 gx=ax+b 的图象为一条直线,因此 |gx|在 1,1上的最大值只能在区间的端点x= 1 或 x=1 处取得,于为由 |g± 1| 2 得|gx| 2, 1 x 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 1 x1 时,有 0 1, 10, |fx| 1, 1 x 1, |f| 1,|f|1；因此当1 x 1时, |gx| |f|+|f| 2(3) 解由于 a0,gx在 1,1上为增函数,当x=1 时取得最大值2,即 g1= a+b=f1

8、f0=2 1 f0= f1 21 2= 1, c=f0= 1由于当 1 x 1 时, f x 1,即 fx f0,依据二次函数的性质,直线x=0 为 f x的图象的对称轴,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由此得 0 ,即 b=0由得 a=2,所以 fx=2x2 1例 3 设二次函数fx =ax2+bx+ca 0,方程fx x=0 的两个根x1 .x2满意 0 x1 x21当 x 0, x1时,证明 x f x x1；2设函数fx的图象关于直线x=x0 对称,证明x0 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解1令 fx=fx x,由于 x1,x2 为方程 fx x=0 的根

9、,所以fx=ax x1x x2当 x 0, x1时,由于x1 x2,得 xx1 x x2 0,又 a0,得 fx=axx1x x2 0,即 xfxx1 fx= x1 x +f x=x1 x+ax1 xxx2=x1 x 1+ ax x2 0 x x1 x2, x1 x 0, 1+ax x2=1+ axax2 1 ax2 0 x1 fx0,由此得fx x12依题意x0=,由于x1.x2 为方程f x x=0 的两根,即x1, x2 为方程 ax2+b1 x+c=0 的根精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 x1+x2= x0=,由于 ax2 1, x0同学巩固练习1 定义在r 上的奇函数

10、fx为增函数,偶函数g x在区间 0,+ 的图象与 fx的图象重合,设a b0,给出以下不等式,其 中正确不等式的序号为 fb f aga g b f b f a gag b fa f bgb g a f a f b gbg aab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载cd2 下 列 四 个 命 题 中 a+b 22 sin x+ 4设x, y 都为正数,如=1,就 x+y 的最小值为12如 |x 2| ,|y 2| ,就|x y| 2 ,其中全部真命题的序号为 3 某公司租地建仓库,每月土地占用费y1 与车库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2 与到车站的距离成正比,假如 在

11、距车站10 公里处建仓库, 这两项费用y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元, 那么 要 使 这 两 项 费 用 之 和 最 小 , 仓 库 应 建 在 离 车 站 公 里 处精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4 已知二次函数fx=ax2+bx+1 a,br ,a 0,设方程 fx=x 的两实数根为x1, x2 1假如 x1 2 x24,设函数fx的对称轴为x=x0,求证 x0 1；2假如 |x1| 2, |x2 x1|=2,求 b 的取值范畴5 某种商品原先定价每件p 元,每月将卖出n 件,假如 定 价 上 涨x成 这 里x成 即, 0 x 10每月卖出数量将削减y 成,而

12、售货金额精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载变成原先的z 倍1设 y=ax,其中 a 为满意 a1 的常数,用a 来表示当售货金额最大时的x 的值；2如 y=x,求使售货金额比原先有所增加的x 的取值范围6 设函数fx 定义在r上,对任意m . n 恒有f m+n=fm·fn,且当 x 0 时, 0 f x 11求证f0=1 ,且当 x 0 时, fx 1；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2求证fx在 r 上单调递减；3设集合 a= x, y|fx2 · fy2 f1 ,集合 b= x, y|f ax g+2=1 ,a r ,如 a b=,求 a 的

13、取值范畴7 已知函数fx=b 0的值域为 1,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3,论；1求 b.c 的值；2判定函数f x=lg fx,当 x 1, 1时的单调性,并证明你的结精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(3) 如t r , 求 证lg f|t | |t+| lg参考答案精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1解析由题意fa=ga 0, fb= g b 0,且 fa f b, ga gb f b f a=fb+fa=ga+ g b而 ga g b=ga gb ga+gb ga gb=2gb 0, fb f a ga g b同理可证fa f b gb g

14、a答案a2 解析不满意均值不等式的使用条件“正.定.等”式|x y|=|x 2 y 2| |x 2 y 2| |x 2|+|y 2| + =2 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载答案3 解 析由 已 知y1=；y2=08xx 为仓库与车站距离费用之和y=y1 +y2=08x+2=8当且仅当08x=即 x=5 时“ =”成立答案5 公里处精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4证 明1 设gx=fx x=ax2+ b 1x +1,且 x 0 x1 2 x2 4, x1 2x2 2 0,即 x1x2 2x1+x2 4,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(2) 解由方

15、程gx=ax2+b 1x+1=0可知精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x1·x2=0,所以 x1, x21°如 0x 12,就 x2 x1=2 , x2=x1+2 2, g2 0,即 4a+2b 10又x2 x12= 2a+1=a 0代入式得,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 3 2b解得 b2°如 2 x1 0,就 x2 = 2+ x1 2 g 2 0,即 4a 2b+3 0又 2a+1=,代入式得2 2b 1解得 b综上,当0 x1 2时, b ,当2 x1 0 时, b 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5解1 由题意

16、知某商品定价上涨x成时,上涨后的定价.每月卖出数量.每月售货金额分别为p1+元. n1元. npz 元,因而,+100+在 y=ax 的条件下, z= ax2x 10精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由于 a1,就 0 10要使售货金额最大,即使 z 值最大, 此时 x=2 由 z=10+ x10 x 1 ,解得0 x 561 证 明令m 0 , n=0得f m= fm ·f0 fm 0, f0=1取 m=m,n= m, m 0,得 f 0= fmfm f m=, m 0, m 0, 0f m 1, fm 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学

17、习资料 - - - 欢迎下载2 证明任取 x1,x2 r,就 fx1 fx2= fx1 f=fx1 fx2x1· fx1= fx1 1 f x2 x1, f x1 0, 1fx2 x1 0, fx1 fx2,函数 fx在 r 上为单调减函数(3) 由,x2 x1+x 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由题意此不等式组无解,数形结合得 1,解得 a2 3 a,71 解设 y=,就y 2x2 bx+y c=0 x r,的判别式 0,即b2 4y 2 y c 0,即 4y2 42+ cy+8c+b2 0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由条件知,不等式的解集为1,

18、 3 1, 3 为方程 4y2 42+ cy+8c+b2=0 的两根 c=2, b= 2, b=2舍）2 任取 x1, x2 1,1,且 x2 x1,就 x2 x1 0,且 x2 x11 x1x2 0, f x2 fx1= 0, f x2 fx1, lgfx2 lgfx1,即 fx2 fx1 f x为增函数即 u,依据 fx的单调性知f f u f ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 lg f |t | |t+| lg对任意实数t 成立课前后备注数学中的不等式关系数学为争论空间形式和数量关系的科学,恩格斯在 自然辩证法 一书中指出, 数学为辩证的帮助工具和表现形式,数学中包蕴着极

19、为丰富的辩证 唯物主义因素, 等与不等关系正为该点的生动表达,它们为对立统一的,又为相互联系.相互影响的；等与不等关系为中学数学中最基本的关系等的关系表达了数学的对称美和统一美,不等关系就犹如仙苑奇葩出现出了数学的奇特美不等关系起源于实数的性质,产生了实数的大小关系, 简洁不等式, 不等式的基本性质,假如把简洁不等式中的实数抽象为用各种数学符号集成的数学式,不等式进展为一个人丁兴盛的大家精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载族, 由简到繁, 形式各异假如给予不等式中变量以特定的值.特定的关系,又产生了重要不等式.均值不等式等不等式为永恒的吗？明显不为,由此又产生明白不等式与证明不等式两个极为重要的问题解不等式即寻求不等式成立时变量应满意的 范畴或条件