绵阳市人教版 九年级数学竞赛专题：反比例函数(含答案)

1、x人教版 九年级数学竞赛专题：反比例函数（含答案）k【例 1】（1）如图，已知双曲线 y = ( x >0) 经过矩形 OABC 边 AB 的中点xy.F 且交 BC 于点 E，四边形 OEBF 的面积为 2，则 k =（2）如图，OA ，A A 都是等腰直角三角形，点 P ，P 在函数1 1 2 1 2 1 2yCOE BFAx4y = ( x >0) 的图象上，斜边 OA ， A A 都在 x 轴上，则点 A 的坐标1 1 2 2P1P2是 .OA1A2x1【例 2】如图，P 是函数 y =( x >0) 图象上一点，直线 y =-x+1交 x 轴 2 x于点 A，交 y

2、 轴于点 B，PMx 轴于 M，交 AB 于 E，PNy 轴于 N，交 AB 于 F， 则 AF ×BE 的值为 .yNOBFPEM Ax【例 3】如图，已知直线 y = 为 4.（1）求 k 的值；12kx 与双曲线 y = ( x >0) 交于 A、B 两点，且点 A 的横坐标x（2）若双曲线 y =kx( x >0) 上一点 C 的纵坐标为 8，求AOC 的面积；yCk（3）过原点 O 的另一条直线 l 交 y = ( x >0) 于 P、Q 两点（P 点在第一x象限），若由点 A、B、P、Q 为顶点组成的四边形面积为 24，求点 P 的坐标.k，其中一次函数

3、的和一次函数 y =2 x -1【例 4】已知反比例函数 y =2 x两点.图象经过 ( a, b) ， (a +1,b +k )BOyAx（1） 求反比例函数的解析式；（2） 如图，已知A 点在第一象限且同时在上述两个函数的图象上，求 A 点 坐标；（3） 利用（2）的结果，请问：在 x 轴上是否存在点 P， AOP 为等腰三角形？若存在，把符合条件的 P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由.AO x2【例 5】一次函数 y =ax +b 的图象分别与 x 轴、y 轴交于点 M、N，与反比例函数 y =kx的图象相交于点 A、B，过点 A 分别作 ACx 轴，AEy 轴，垂足分别为 C，E

4、；过点 B 分别 作 BFx 轴，BDy 轴，垂足分别为 F，D，AC 与 BD 交于点 K，连接 CD.（1）若点 A，B 在反比例函数 y =kx的图象的同一分支上，如图 1，试证明： S 四边形AEDK=S四边形CFBK； AN =BM .（2）若点 A，B 分别在反比例函数 y = 等吗？试证明你的结论.ykx的图象的不同分支上，如图 2，则 AN 与 BM 还相yNEAENADKBF MCO CF M xOxBDK图 1图 2【例 6】点 A(4,0)， B (0,3)与点 C 构成边长是 3，4，5 的直角三角形，如果点 C 在反比例函数 y =kx的图象上，求 k 可能取的一切值

5、.能力训练1. 已知 y =( m -2) x 3 -m 是反比例函数，则 m =.2. 若反比例函数 y =k -3x的图象位于第二、四象限，则满足条件的正整数k 的值是 .3. 已知双曲线 y =kx经过点 ( -1,3)，如果 A( a , b ) 1 1， B ( a , b ) 2 2两点在该双曲线上，且122a <a <0 ，那么 b 1 2 1b .24. 已知函数 y =-a2 -1（a 为常数）的图象上有三点 (3, y ) x，(-1, y ) 2，(2, y )3，则 y ，1y2， y3的大小关系是 .5. 如图，一次函数与反比例函数相交于 A，B 两点，则

6、图中使反比例函数的值小于一次 函数的值的 x 的取值范围是 .6. 如图，B 为双曲线 y =OB -AB =4 ，则 k =ykx( x >0) 上一点，直线 AB 平行于 y 轴交直线 y =x 于点 A，若 .yA-1-122BxOABx（第 5 题） （第 6 题）7. 如图，直线 y =mx 与双曲线 y =kx交于 A、B 两点，过点 A 作 AMx 轴于 M 点，连接 BM，若ABM=2 ，则 k 的值是（ ）A.2 B. m -2C.mD.4yyAADC EOBxBOM x8. 如图，反比例函数 y =（第 7 题） （第 8 题）-4 1的图象与直线 y =- x 的交

7、点为 A、B，过 A 作 y 轴的平行 x 3线与过 B 作 x 轴的平行线相交于点 C，则ABC 的面积为（ ） A.8 B.6 C.4 D.29. 函数 y =kx +b ( k ¹0)与 y =kx( k ¹0) 在同一坐标系中的图象可能是（ ）y yy yOxOxOxOx10. 如图， ABO 的顶点 A 是双曲线 y =kx与直线 y =-x+(k +1)y在第四象限的交点，ABx 轴于 B，且（1）求这两个函数的解析式；ABO3= .2CO Bx（2）求直线与双曲线的两个交点 A，C 的坐标和AOC 的面积.A11. 如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 与 y

8、 轴、x 轴分别交于点 A、点ymB，与反比例函数 y = 在第一象限的图象交于点 C (1,6)xy 轴于 E，过点 D 作 DFx 轴于 F.、D(3, n)，过 C 点作 CEAEC（1） 求 m，n 的值；（2） 求直线 AB 的函数解析式；O FDBx（3）求证：AEC DFB.12. 如图所示，已知双曲线 y =kx( k >0, x >0) 的图象上有两点 P ( x , y ) ， P ( x , y )1 1 1 2 2 2，且 x <x1 2，分别过 P ， P 向 x 轴作垂线，垂足为 B，D，过 P ， P 向 y 轴作1 2 1 2y垂线，垂足分别为

9、 A，C.（1）若记四边形 APBO 和四边形 CP DO 的面积分别为 S ， S ，周长分1 2 1 2ACP1P2别为 C ， C ，试比较 S 和 S ， C 和 C 的大小； 1 2 1 2 1 2OB Dx（2）若 P 是双曲线 y =kx( k >0, x >0) 上一点，分别过 P 向 x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为 M，N. 试问当 P 在何处时四边形 PMON 的周长最小，最小值为多少？11 22平行四边形参考答案例 1 （1）连结 OB，则SDAOF=SDBOF=SDCOE=SDBOE=k2. 所以 k=2（2）作 P COA 于 C，P DOA 于 D，P

10、 C=OC，P D=A D=A D，1 2 2 1 2 1 2a a设 OA =a，A A =b，所以 =4 ，所以 a=4.2 2æ又因为 P D·OD=4，所以 çèa +b ö b÷ =42 ø 2.则 b=4 2 - 4，所以 OA = OA +A A = 4 +2 1 1 24 2 - 4 =4 2 ，则 A （4 2 ，0）.2例 2 1 提示：作 FGx 轴于 G，EHy 轴于 H，则 AF= 2b ，BE= 2 a ，1AF BE = 2 a 2b =2 ab =2 ´ =12例 3 （1）k=8（

11、2）可试一试用图 2 解答：C(1，8)，SDAOC=S矩形 CDFE-SDOCD-SDOAE-SDCFA=32-4-4-9=15.（3）因为反比例函数图像是关于原点 O 的中心对称图形， 所以 OP=OQ，OA=OB.所以四边形 APBQ 是平行四边形，SDPOA=1 1S = ´24 =6 4 4.设 P 点的坐标为（m,8m）（m>0 且 m4），过点 P、A 分别作 x 轴的垂线，垂足为 E、F，点 P、A 在双曲线上，SDPOE=SDAOF=4.若 0<m<4（如图 a）SDPOE+S梯形PEFA=SDPOA+SDAOFS梯形PEFA=SDPOA=6即1（

12、2 +28m）(4 -m ) =6解得：m=2，m=-8(舍去) 若 m>4（如图 b）SDAOP+S梯形PEFA=SDPOA+SDPOES梯形PEFA=SDPOA=6即1（2 +28m）(m -4) =6解得：m=8，m=-2(舍去)故点 P 的坐标是 P（2,4）或（8,1）îyPyABO E F xAPQOFE xQB图 ay =例 4 （1）1x图 bìï（2）解方程组 íï1y =x y =2 x -1得x =11，x =-212（舍去）从而 y=1，A（1,1）（3）符合条件的点 P 存在，有下列情况（如图）：若 OA 为底，

13、则AOP =45°，OA=12，由 OP =P A，得 P (1，0)；1 1 1若 OA 为腰，AP 为底，则由 OP=OA= 2 ，得 P (- 2 ，0)，P （ 2 ，0）；2 3若 OA 为腰，OP 为底，则由 AO=AP=y2，得 OP=2，P (2，0)4P2OP P13P4x例 5 （1）S矩形 AEOC=S矩形 BDOF=kS矩形 AEOC-S矩形 DOCK= S矩形 BDOF-S矩形 DOCKîîîïî3 1 3312îîS矩形 AEDK=S矩形 CFBK连 AD、AO、BC、BO.SDADC=

14、SDAOC，SDBCD=SDBODSDADC=SDBCD CDMN.又ACDN，BDCM，四边形 ANDC、BDCM 为平行四边形，AN=DC=BM（2）AN 与 BM 仍然相等，证法同（1）.例 6 点 A 与点 B 之间的距离是 5，则它们之间的连线是直角三角形的斜边. 设点 C（a，b），则ì（a-4）2+b 2 =9 ía 2 +(b -3) 2 =16ìa =ìa =4 ï 解得 í 或 íb =3b =î28252125（ìa-4）2+b2 =16 ía 2 +(b -3) 2 =9

15、所以 C 的坐标是（4，3）或（72ìa =ïìa =025或 í解得 í96b =0ïb =25î28 21， -25 25）对应的 k 的值是 12 或-588625.因为原点不可能在反比例函数图像上，所以 C 的坐标是（72 96 6912 ， ）对应的 k 的值是 .25 25 625综上所述，k 的值是 12 或 -588 6912或 .625 625A 级1.-2 2.1 、2 3.< 4. y2>y1>y3 5. x<-1 或 0<x<2 6.2 7. A8. A9.A10.

16、(1)设 A 点坐标为（x，y)，由 SV ABO=，得 | xy |= ，|k|=3，k=±3. 2 2 2A 点在第四象限内，k=-3，两个函数的解析式分别为 y =- , y =-x-2 .x（2）由ìïíïî3y =- ìx =-3 ìx =1 x ，得 í ， íy =1 y =-3y =-x-2 1 2，A（1，-3），C（-3，1）.1 k1 11 1111 1 1 11 k k1 211 112222 2x2221kk k设直线 AC 与 y 轴交于点 D，则 D（0，-2）.故

17、 SV AOC1 1=S V AOD +S V COD = ´2 ´1+ ´2 ´3 =42 2（平方单位）.11. （1）m=6,n=2 (2)y=-2x+8 (3)A(0,8), B(4,0),AE=DF=2,CE=BF=1，又AEC= DFB=900，故AECDFB.12. (1) Q S =2 ´ x gy =x y , 而点 P （x ， y ) 在 y = 图象上， x y =k ，即 S =k. 同理2 xQ S =2 ´ x gy =k ，S =S ，又 C =2（x +y )= 2( x + ), C =2( x + )2 x x1 2C -C = =2( 2 2 12 +k x 2 +k x x 2 +kx -x 2 x -kx - 1 ) =2 ´ 1 2 1 1 2 2x x x x2 1 1 2双曲线在第一象限，x >0，x >0.x x >0.又 x x +kx -x x -kx =x x (x -x )-k(x -x )=(x x -k)(x -x )，且 x >x ， 1 2