2022年2022年高中必修课物理辅导微元法及其在物理中的应用

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载高中物理微元法一.方法简介所谓“微元法” ,又叫“微小变量法” ；微元法表达了微分思想,为解物理题的一种常用方法；微元法为分析. 解决物理问题中的常用方法,也为从部分到整体的思维方法；用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟识的物理规律快速地加以解决,使所求的问题简洁化；在使用微元法处理问题时,需将其分解为众多微小的“元过程”,而且每个“元过程”所遵循的规律为相同的,这样,我们只需分析这些“元过程”,然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理,进而使问题求解；使用此方法会加强我们对已知规律的再摸索,从而引起巩固学问.加深熟识和提高才能的作用；二.微元法

2、的一般思维程序1.微元思想在高中物理教材中有着广泛应用,也为近几年高考压轴题和各大名校自主招生考试中的热点；2.微元法在处理连续变化的问题时,有其特殊的方法,要留意取元的原就：可加性.有序性.平权性3.最常见的换 “元”技巧有如下几种 “时间元 ”与“空间元 ”间的相互代换（表现时.空关系的运动问题中最为常见）； “体元 ”.“面元 ”与“线元 ”间的相互代换（实质上为降“维”）； “线元 ”与“角元 ”间的相互代换（“元”的表现形式的转换） ； “孤立元 ”与“组合元 ”间的相互代换（充分利用“对称 ”特点）4.微元法并不为处理变力问题的唯独方法,仍有动能定理.图像法.平均力法.积分法等；5

3、.微元法的解题步骤第一步,取元；隔离挑选恰当微元空间元.时间元作为突破整体讨论的对象；微元可以为 :一小段线段.圆弧;一小块面积 ;一个小体积.小质量;一小段时间,但应具有整体对象的基本特点；比如, 在 x-t 图像中,时间t 很短或位移x 很小时,非匀变速运动可以看作匀变精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载速运动,运动图象中的梯形可以看作矩形,所以vtx , lvtlxs ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载其次步,模型化；将微元模型化如视作点电荷.质点.匀速直线运动等,并运用相关物理规律,求解这个微元,并留意适当的换元；第三步,求和；将一个微元的求解结果推广一到其他微

4、元,并充分利用各微元间精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载的关系,如对称关系.矢量方向关系.量值等关系,对各微元的解出结果进行叠加,以求精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载出整体量的合懂得答；比如 v-t 图像中,把很多小的梯形加起来为大的梯形,即ss ,（留意：前精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载面的 s 为小写, 后面的 s 为大写）,并且vvv0 ,当末速度 v0 时,有vv0 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载或初速度 v00 时,有vv ,这个求和

5、的方法表达了积分思想；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载三.举例例 1：如图 31 所示,一个身高为h 的人在灯以悟空速度v 沿水平直线行走；设灯距地面高为h ,求证人影的顶端c 点为做匀速直线运动；解析 ：该题不能用速度分解求解,考虑采纳“微元法”；设某一时间人经过ab 处,再经过一微小过程 t （ t0）,就人由ab 到达 a b ,人影顶端c 点到达 c点,由于 saa =vt 就人影顶端的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载移动速度 vclimscchlimhhsaahv精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载t0tt0thh可见 vc 与所取时间 t 的长

6、短无关,所以人影的顶端 c 点做匀速直线运动.例 2：如图 3 2 所示,一个半径为r 的四分之一光滑球面放在水平桌面上,球面上放置一光滑匀称铁链,其a 端固定在球面的顶点,b 端恰与桌面不接触,铁链单位长度的质量为 .试求铁链 a 端受的拉力t.解析 ：以铁链为讨论对象,由由于整条铁链的长度不能忽视不计,所以整条铁链不能看成质点,要分析铁链的受力情形,须考虑将铁链分割,使每一小段铁链可以看成质 点,分析每一小段铁边的受力,依据物体的平稳条件得出 整条铁链的受力情形.在铁链上任取长为l 的一小段（微元）为讨论对象,其受力分析如图32甲所示 .由于该元处于静止状态, 所以受力平稳,在切线方向上应

7、满意：ttg costtg c o slg c o s由于每段铁链沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大 t ,所以整个铁链对a 端的拉力为各段上t 的和,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即ttlg c o sgl c o s精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载观看l cos的意义,见图3 2乙,由于很小,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以 cd oc, oce= lcos 表示 l 在竖直方向上的投影r,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以l c o sr可得铁链 a 端受的拉力tgl cosg

8、r精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 3： 某行星环绕太阳c 沿圆弧轨道运行,它的近日点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 离太阳的距离为a,行星经过近日点a 时的速度为va ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载行星的远日点b 离开太阳的距离为b,如图 3 3 所示,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载求它经过远日点b 时的速度vb 的大小 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析： 此题可依据万有引力供应行星的向心力求解.也可依据开普勒其次定律,用微元法求解.设行星在近日点a 时又向前运动了极短的时间t,由于时间极短可以认为行星在

9、t精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载时间内做匀速圆周运动,线速度为va ,半径为a,可以得到行星在t 时间内扫过的面积精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载aas1 vta 2同理,设行星在经过远日点b 时也运动了相同的极短时间t,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就也有即得s1 vtb 2vbvbabab由开普勒其次定律可知：sa=sb此题也可用对称法求解.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 4： 如图 34 所示,长为l 的船静止在安静的水面上,立于船头的人质量为m,船的质量为m ,不计水的阻力,人

10、从船头走到船尾的过程中,问：船的位移为多大？解析： 取人和船整体作为讨论系统,人在走动过程中,系统所受合外力为零,可知系统动量守恒.设人在走动过程中的 t 时间内为匀速运动,就可运算出船的位移.设 v1.v2 分别为人和船在任何一时刻的速率,就有精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载mv1mv 2两边同时乘以一个极短的时间t , 有mv1tmv 2t精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由于时间极短,可以认为在这极短的时间内人和船的速率为不变的,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以人和船位移大小分别为s1v1t ,s2v2t精品学习资料精选学习资料 - - - 欢

11、迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由此将式化为ms1ms2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载把全部的元位移分别相加有ms1ms2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即ms1=ms 2 此式即为质心不变原理.其中 s1.s2 分别为全过程中人和船对位置移的大小,又由于l=s 1+s2sl2由.两式得船的位移mmm例 5： 半径为 r 的光滑球固定在水平桌面上,有一质量为 m 的圆环状匀称弹性绳圈,原长为r,且弹性绳圈 的劲度系数为k ,将弹性绳圈从球的正上方轻放到球上,使弹性绳圈水平停留在平稳位置上,如图3 5

12、 所示,如精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载平稳时弹性绳圈长为2 r ,求弹性绳圈的劲度系数k.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析： 由于整个弹性绳圈的大小不能忽视不计,弹性绳圈不能看成质点,所以应将弹性绳圈分割成很多小段,其中每一小段m 两端受的拉力就为弹性绳圈内部的弹力f.在弹性绳圈上任取一小段质量为m 作为讨论对象,进行受力分析.但为 m 受的力不在同一平面内,可以从一个合适的角度观看.选取一个合适的平面进行受力分析,这样可以看清晰各个力之间的关系.从正面和上面观看,分别画出正视图的俯视图,如图35甲和2 35乙.先看俯视图35甲,设在弹性绳圈的平面上,m 所

13、对的圆心角精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载为 ,就每一小段的质量拉力 f 的作用,合力为mm m 在该平面上受2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载t2fcos22 fsin2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由于当 很小时, sin所以 t2 ff2再看正视图35乙, m 受重力 mg,支持力n ,二力的合力与t 平稳 .即tmgt a n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载现在弹性绳圈的半径为r2 r2 r22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以sinr2r245t a n1精品学习资

14、料精选学习资料 - - - 欢迎下载因此 t=mgmg 2.联立,mgf,2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解得弹性绳圈的张力为：fmg 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设弹性绳圈的伸长量为x就x2 rr21 r精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载fmg21 mg精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以绳圈的劲度系数为：kx2212 r22 r精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 6：一质量为m .匀称分布的圆环,其半径为r,几何轴与水平面垂直,如它能经受的最大张力为t ,求此圆环可以绕几何轴旋转的最大角速度.解析 ：由于向心力f=

15、mr 2,当 肯定时, r 越大,向心力越大,所以要想求最大张力t 所对应的角速度 , r 应取最大值 .如图 3 6 所示,在圆环上取一小段l ,对应的圆心角精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载为 ,其质量可表示为mm ,受圆环对它的2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载张力为 t ,就同上例分析可得2t sin2mr2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由于 很小,所以sin,即22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2tmr22 t解得最大角速度精品学习资料

16、精选学习资料 - - - 欢迎下载22mr例 7： 一根质量为m ,长度为l 的铁链条,被竖直地悬挂起来,其最低端刚好与水平接触,今将链条由静止释放,让它落到地面上,如图3 7 所示,求链条下落了长度x 时,链条对地面的压力为多大？解析： 在下落过程中链条作用于地面的压力实质就为链条对地面的“冲力”加上落在地面上那部分链条的重力.依据牛顿第三定律,这个冲力也就等于同一时刻地面对链条的反作用力,这个力的冲量,使得链条落至地面时的动量发生变化.由于各质元原先的高度不同,落到地面的速度不同,动量转变也不相同.我们取某一时刻一小段链条（微元）作为讨论对 象,就可以将变速冲击变为恒速冲击.设开头下落的时

17、刻t=0,在 t 时刻落在地面上的链条长为x,未到达地面部分链条的速 度为 v,并设链条的线密度为 .由题意可知, 链条落至地面后,速度立刻变为零.从 t 时刻起取很小一段时间t,在 t 内又有 m= x 落到地面上静止.地面对 m 作用的冲量为 fmg ti由于mgt0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以ftmv0vx解得冲力：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xfv,其中tx就为 t 时刻链条的速度v,t精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故fv2链条在 t 时刻

18、的速度v 即为链条下落精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载长为 x 时的即时速度,即v2=2g x,代入 f 的表达式中,得f2gx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载此即 t 时刻链对地面的作用力,也就为t 时刻链条对地面的冲力.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以在 t 时刻链条对地面的总压力为n2gxgx3gx3mgx .l精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 8： 一根匀称松软的绳长为l ,质量为m,对折后两端固定在一个钉子上,其中一端突然从钉子上滑落,试求滑落的绳端点离钉子的距离为x 时,钉子

19、对绳子另一端的作用力为多大？解析： 钉子对绳子另一端的作用力随滑落绳的长短而变化,由此可用微元法求解.如图 3 8 所示,当左边绳端离钉子精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载的距离为x 时,左边绳长为1 l2x ,速度v2gx ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载右边绳长为1 l2x.又经过一段很短的时间t 以后,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载左边绳子又有长度1 vt2的一小段转移到右边去了,我们就分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载析这一小段绳子,这一小段绳子受到两力：上面绳子对它的拉力t和它本身的重力精品学习资料精选学习资料 - - - 欢

20、迎下载1 vtg 2m / l为绳子的线密度） ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载依据动量定理,设向上方向为正t1 v2tg t01 vtv2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由于 t 取得很小,因此这一小段绳子的重力相对于t 来说为很小的,可以忽视,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以有t1 v 2gx2因此钉子对右边绳端的作用力为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f1 l2xgt1 mg 123 x l精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 9： 图 3 9 中,半径为r 的圆盘固定不行转动,细绳不行伸长 但质量可忽视,绳下悬挂

21、的两物体质量分别为m .m.设圆盘与绳间光滑接触,试求盘对绳的法向支持力线密度.解析： 求盘对绳的法向支持力线密度也就为求盘对绳的法向单位长度所受的支持力.由于盘与绳间光滑接触,就任取一小段绳,其两端受的张力大小相等,又由于绳上各点受的支持力方向不同, 故不能以整条绳为讨论对象,只能以一小段绳为讨论对象分析求 解.在与圆盘接触的半圆形中取一小段绳元l , l 所对应的圆心角为 ,如图 3 9甲所示,绳元l 两端的张力均为t, 绳元所受圆盘法向支持力为n ,因细绳质量可忽视,法向合力为零,就由平稳条件得：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载nt sin2t sin22t sin2精品学

22、习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 很小时,sin2 n=t 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又由于 l=r 就绳所受法向支持力线密度为nnttlrr精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载以 m .m 分别为讨论对象,依据牛顿定律有mg t=ma精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载tmg=m a由.解得：t2mmg精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载将式代入式得：nmm2 mmg精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 mm r例 10：粗细匀称质量分布也匀称的半径为分别为r 和 r 的两圆

23、环相切.如在切点放一质点 m,恰使两边圆环对m 的万有引力的合力为零,就大小圆环的线密度必需满意什么条件？解析： 如要直接求整个圆对质点m 的万有引力比较难,当如要用到圆的对称性及要求所受合力为零的条件,考虑大.小圆环上关于切点对称的微元与质量m 的相互作用,然后推及整个圆环即可求解.如图 3 10 所示,过切点作直线交大小圆分别于p.q 两点,并设与水平线夹角为 ,当 有微小增量时,就大小圆环上对应微小线元l1r2l2r2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载其对应的质量分别为m11l11 r 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎

24、下载m22l 22 r2由于 很小,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故 m1. m 2 与 m 的距离可以认为分别为r12r cosr22rcos精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以 m1. m2 与 m 的万有引力分别为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1222fgmm1g1 r 2m 、fgm m2g2 r 2m精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载rr212r cos2 2rcos2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由于 具有任意性,如f1 与 f2 的合力为零,精品学习资料精选学习

25、资料 - - - 欢迎下载就两圆环对m 的引力的合力也为零,即g1 r 2mg2 r2m精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解得大小圆环的线密度之比为：2r cos 21r2r2rcos 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 11：一枚质量为m 的火箭,依靠向正下方喷气在空中保持静止,假如喷出气体的速度为 v,那么火箭发动机的功率为多少？解析 ：火箭喷气时,要对气体做功,取一个很短的时间,求出此时间内,火箭对气体做的功,再代入功率的定义式即可求出火箭发动机的功率.选取在 t 时间内喷出的气体为讨论对象,设火箭推气体的力为f,依据动量定理,有 f t= m· v

26、由于火箭静止在空中,所以依据牛顿第三定律和平稳条件有f=mg即 mg · t= m·v t= m· v/mg精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载对同样这一部分气体用动能定理,火箭对它做的功为：w1mv22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以发动机的功率pw1mv 221 mgv精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载tmv / mg 2例 12：如图 3 11 所示,小环 o 和 o分别套在不动的竖直杆 ab 和 a b上,一根不行伸长的绳子穿过环 o,绳的两端分别系在 a 点和 o 环上

27、,设环 o以恒定速度 v 向下运动,求当 aoo = 时,环 o 的速度 .解析 ： o.o之间的速度关系与 o.o的位置有关,即与 角有关,因此要用微元法找它们之间的速度关系 .设经受一段极短时间t, o环移到c, o 环移到 c,自 c与 c 分别作为o o 的垂线 cd 和 cd ,从图中看出.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ocod、 o co dodo d因此 oc+o c=精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载coscoscos精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载因 微小,所以ec ed, ec ed ,从而 od+o d oo cc 由于绳子总长度

28、不变,故oo cc=o c精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由以上三式可得：oc+o c= o c即 oco c 11精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载cos等式两边同除以t 得环 o 的速度为v0v1 co scos1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 13： 在水平位置的干净的平玻璃板上倒一些水银,由于重力和表面张力的影响,水银近似出现圆饼外形（侧面对外凸出）,过圆饼轴线的竖直截面如图3 12 所示,为了计精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载算便利,水银和玻璃的接触角可按180°运算 .已知水银密度精品学习资料精选学习资料 - -

29、- 欢迎下载13.6103 kg / m3 ,水银的表面张力系数0.49n/ m.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当圆饼的半径很大时,试估算其厚度h 的数值大约为多少？（取 1 位有效数字即可）解析 ：如以整个圆饼状水银为讨论对象,只受重力和玻璃板的支持力,在平稳方程中,液体的体积不为h 的简洁函数, 而且支持力n 和重力 mg 都为未知量, 方程中又不行能显现表面张力系数,因此不行能用整体分析列方程求解h.现用微元法求解.2在圆饼的侧面取一个宽度为x,高为 h 的体积元,如图 3 12甲所示,该体积元受重力g.液体内部作用在面精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载积 x

30、· h 上的压力f, fps1hg2xh1ghx , 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载仍有上表面分界线上的张力f1= x 和下表面分界线上的张力 f2 = x.作用在前.后两个侧面上的液体压力相互平稳,作用在体积元表面两个弯曲分界上的表面张力的合力,当体积元的宽度较小时,这两个力也为平稳的,图中都未画出.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由力的平稳条件有：ff1 cosf20精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即1gh 2x2x cosx0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选

31、学习资料 - - - 欢迎下载解得： h21cos g2.710 31cos精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由于0、 所以121cos2、故 2.7× 310m<h<3.8 × 310m精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载m 或 4× 10题目要求只取1 位有效数字,所以水银层厚度h 的估算值为3× 10 3 3m.例 14：把一个容器内的空气抽出一些,压强降为p,容器上有一小孔,上有塞子,现把塞子拔掉,如图3 13 所示 .问空气最初以多大初速度冲进容器？（外界空气压强为

32、p0.密度为 ）解析： 该题由于不知开头时进入容器内分有多少,不知它们在容器外如何分布,也不知空气分子进入容器后压强如 何变化,使我们难以找到解题途径.留意到题目中“最初”二字,可以这样考虑：设小孔的面积为 s,取开头时位于小孔外一薄层气体为讨论对象,令薄层厚度为 l ,因 l 很小,所以其质量 m 进入容器过程中,不转变容器压强,故此薄层所受外力为恒力,该问题就可以解决了 .由以上分析,得：f=p 0 ps对进入的 m 气体,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由动能定理得：fl1mv22而 m= sl精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - -

33、- 欢迎下载联立.式可得：最中学进容器的空气速度v2 p0p精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 15：电量 q 匀称分布在半径为r 的圆环上（如图3 14 所示）,求在圆环轴线上距圆心 o 点为 x 处的 p 点的电场强度 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析 ：带电圆环产生的电场不能看做点电荷产生的电场,故采纳微元法,用点电荷形成的电场结合对称性求解.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载选电荷元qrq2 r、它在 p 点产生的电场的场强的x 重量为：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载exkq c

34、os2rkr2 r r2qx2 xr2x 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载依据对称性ekqx2e23x2rx kqx22232rx kqx223rx 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由此可见, 此带电圆环在轴线p 点产生的场强大小相当于带电圆环带电量集中在圆环的某一点时在轴线p 点产生的场强大小,方向为沿轴线的方向.例 16：如图 3 15 所示,一质量匀称分布的细圆环,其半径为 r,质量为 m. 令此环匀称带正电,总电量为q.现将此环平放在 绝缘的光滑水平桌面上,并处于磁感应强度为b 的匀称磁场中,磁场方向竖直向下.

35、当此环绕通过其中心的竖直轴以匀角速度 沿图示方向旋转时,环中的张力等于多少？（设圆环的带电量不削减,不考虑环上电荷之间的作用）解析 ：当环静止时,因环上没有电流,在磁场中不受力,就环中也就没有因磁场力引起的张力.当环匀速转动时,环上电荷也随环一起转动,形成电流,电流在磁场中受力导致环中存在张力,明显此张力肯定与电流在磁场中受到的安培力有关. 由题意可知环上各点所受安培力方向均不同,张力方向也不同, 因而只能在环上取一小段作为讨论对象,从而求出环中张力的大小 .在圆环上取l=r 圆弧元,受力情形如图3 15甲所示 .因转动角速度 而形成精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载的电流iq,电

36、流元i l 所受的安培力2filbrqb 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载因圆环法线方向合力为圆弧元做匀速圆周运动所需的向心力,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2t sin22fmr精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 很小时,sin22trqb 2m2 r精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载mmt22rqbmr22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解得圆环中张力为trqbm 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 17：如图

37、3 16 所示,一水平放置的光滑平行导轨上放一质量为 m 的金属杆,导轨间距为l,导轨的一端连接一阻值为r 的电阻,其他电阻不计,磁感应强度为b 的匀强磁场垂直于导轨平面.现给金属杆一个水平向右的初速度v0,然后任其运动,导轨足够长,试求金属杆在导轨上向右移动的最大距离为多少？精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析 ：水平地从a 向 b 看,杆在运动过程中的受力分析如图 3 16甲所示,这为一个典型的在变力作用下求位移的题,用我们已学过的学问似乎无法解决,其实只要采纳的方法得当仍旧可以求解.设杆在减速中的某一时刻速度为v,取一极短时间t ,发生了一段微小的位移x,在 t 时间内,磁

38、通量的变化为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 =bl xiblx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载rtrtr精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载金属杆受到安培力为f安ilb22blx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载tr由于时间极短,可以认为f 安 为恒力,选向右为正方向,在t 时间内,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载安培力 f 安的冲量为：if安tb2 l2xr精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载对全部的位移求和,可得安培力的总冲量为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22ib lx 22b lx其中 x 为杆

39、运动的最大距离,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载rr对金属杆用动量定理可得i=0 mv 0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由.两式得：xm v0 r b 2 l2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 18：如图 3 17 所示,电源的电动热为e,电容器的电容为c, s 为单刀双掷开关,mn .pq 为两根位于同 一水平面上的平行光滑长导轨,它们的电阻可以忽视不计,两导轨间距为l ,导轨处在磁感应强度为b 的匀称磁场中,磁场方向垂直于两导轨所在的平面并指向图中纸面对里的方向.l 1 和 l 2 为两根横放在导轨上的导体小棒,质量分别为m1 和精品学习资料精

40、选学习资料 - - - 欢迎下载m2 ,且m1m2 .它们在导轨上滑动时与导轨保持垂直并接触良精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载好,不计摩擦,两小棒的电阻相同,开头时两根小棒均静止在导轨上 .现将开关s 先合向 1,然后合向2.求：（ 1）两根小棒最终速度的大小；（ 2）在整个过程中的焦耳热损耗.（当回路中有电流时,该电流所产生的磁场可忽视不计）解析： 当开关 s 先合上 1 时,电源给电容器充电,当开关s 再合上 2 时,电容器通过导体小棒放电,在放电过程中,导体小棒受到安培力作用,在安培力作用下,两小棒开头运动,运动速度最终均达到最大.（ 1）设两小棒最终的速度的大小为v,就分

41、别为l 1.l 2 为讨论对象得：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载fit im1 v1m1v1fi1ti1m1 v精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载同理得：fi 2t i 2m2 v精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由.得：fi1t i1fi 2t i 2m1m2 v精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又由于fi1bli 1t i1t i 2fi 2b l 2ii 1i 2i精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - -

42、 欢迎下载所以bli1ti 1bli 2t i 2bli1i 2 tiblit i精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载blqqm1m2 v精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载而 q=ceq=cu =cbl v所以解得小棒的最终速度vblce精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载m122m2 cbl精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）由于总能量守恒,所以1 ce 221 q 22 c1m12m v2q精品学习资料精

43、选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即产生的热量1 ce 2q热221 q 22 c1m122热m v 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载21 ce 21 1 cblv 21 mm v2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载21 ce 22 c211 cb 2 l2mm blce精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2m122m ce 212 m1m2 cb 2 l2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2m1m2b 2 l2c 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢

44、迎下载针对训练1某地强风的风速为v,设空气的密度为 ,假如将通过横截面积为 s 的风的动能全部转化为电能,就其电功率为多少？2如图 3 19 所示,山高为 h ,山顶 a 和水平面上 b 点的水平距离为 s.现在修一条冰道 acb ,其中 ac 为斜面,冰道光滑, 物体从 a 点由静止释放,用最短时间经 c 到 b ,不计过 c 点的能量缺失 .问 ac 和水平方向的夹角 多大？最短时间为多少？3如图 3 21 所示,在绳的c 端以速度v 匀速收绳从而拉动低处的物体m 水平前进,当绳ao 段也水平恰成 角时,物体m 的速度多大？4,如图 322 所示,质量相等的两个小球a 和 b 通过轻绳绕过

45、两个光滑的定滑轮带动c 球上升,某时刻连接c 球的两绳的夹角为 ,设 a.b 两球此时下落的速度为v, 就 c 球精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载上升的速度多大？5质量为m 的平板小车在光滑的水平面上以v0 向左匀速运动,一质量为m 的小球从高h 处自由下落,与小车碰撞后反弹上升的高度仍为h.设 m>>m ,碰撞弹力n>>g ,球与车之间的动摩擦因数为 ,就小球弹起后的水平速度可能为（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a2ghb 0c 22ghd v0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6半径为r 的刚性球固定在水平桌面上.有一质量为m 的圆环状匀称弹性细绳圈,原长2 a,a=r/2,绳圈的弹性系数为 k（绳伸长 s 时,绳中弹性张力为 ks）.将绳圈从球的正上方轻放到球上,并用手扶着绳圈使其保持水平,并最终停留在某个静力平稳位置 .考虑重力,忽视摩擦 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1）设平稳时弹性绳圈长2 b, b=2a ,求弹性系数k ；（用 m .r.g 表示, g 为重力加精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载速度）（ 2）设 k=mg/2 2r,求绳圈的最终平稳位置及长度. 7一截面呈圆形的细管被弯成大圆环,并固定在竖直平面内,在环内的