特殊环的子环、理想和商环

1、特殊环的子环、理想和商环摘要：坏是一种重要的代数结构，我们熟知的坏的例子很多。本文在假设我们熟知环的 例子有:整数环Z ,有理数环Q ,实数环/?以及复数环C等；倍整数环“Z ;模”剩余 类整数坏Z”环R上”级方阵环M”（R），如Mn （Z） , Mn（2Z）, M”（Q）等；环R上一 元多项式坏川打如Zx , 0（x）等的斟岀上，讨论具有一些特殊性质的环的例子以及它 们的子环,理想和商环的特殊性质。关键词：环子坏理想商环一、特殊环的例子泄义1称带有两个代数运算的代数系统R为环。若i. R对于加法做成交换群。ii. R乘法封闭。iii. 满足结合律（ab）c = a（bcjoiv. 两个分配律

2、成立（a+b）c = ac+bc ,c（a+b） = ca + cb。定义2 R为环，任一"，bwR, ab = ba,则称R为交换环。即乘法交换的环称 为交换环。定义3 R为环,若存在eeR，任一 awR, ae = ea = a,则称e为环R的单 位元的环。乘法有单位元的环称为有单位元环。单位元记为1。注：环必有单位环。环有单位元则唯一。R有单位元,aeR,若存在bwR,有（力=ba = 1,则称"为可以元，b为"的 逆元。注：1. R元中必有可逆元。2. 零环中零元一定可逆。3. 在非零环中零元不可逆。4. 环中元"可逆，则逆元唯一。定义3： /?

3、为环，（I, bwR, dHO, /?工0,若e = 0,则元"是环R的左零因子，b是环R的右零因子。任意两个非零元的乘积都不为零的环称为无零因子环。注：1. 零因子是非零元。2. 零因子成对出现。3. 零环为无零因子环。4. 数环一定为无零因子环。5. 为无零因子环o若4工0,且BhO,则（力=0。R为无零因子环o若ab = O,则dHO,且”工0。R为无零因子环o若d = 0, a = 0,贝h=0o若ohO, ax = ay 则x = y o若qhO, xa = ya »则x = y<>即无零因子环有两个 消去律成立。反之，若至少有一个消去律成立，则环为无

4、零因子环。泄义5称有单位元的无零因子可交换的环为整环。定义6整环：交换的有单位元的无零因子环称为整环。左义7除环：有单位元环中有非零元且任意非零元都有乘法逆远则称其为除环。定义8域：交换的除环为域。例1对于环的交换律，单位元和无零因子性，我们给岀如下例子，其中7表示满足该 项性质，表示X不满足该项性质。类型交换律单位元无零因子环例子1777(Z； +,：27X7(2Z 汁,)3X77M (+,)477X(Z(i)；+)5777(乙;+,)6XXR为非零加群，乘y法为川? = 07XXX<5 b、0)a.b e C >关于矩阵加法和乘法8寸77零环关于整环，除环和域的子环，我们易有如

5、下结论：引理1整环R的子集S为的子整环OS为/?的子环，且leSo引理2除环R的子集SH0为R的子除环OS为/?的子环且对0 HawS有(Cl eS o 证明记疋="0为/?的全体非零元的集合，因为R为除环，易验证用为乘法 群。s为/?的子除环os为r的子环，且s*=s/o为疋的子群。0$为/?的 子环，且PawS'有引理3域R的子集SH0为R的子域OS为R的子除环。非零除环是存在的，如：四元数除环H=(a,0)kz,“wC, 中加法，乘法分別为(q,0j+(a2，02)= (q +©,0| +02)(y,0J (冬,禹)二(QS -必-601)，其中了是G的复共轨

6、。引理4无零因子环的子环和理想无零因子。引理5有单位元无零因子环的非零因子环，若有单位元则与原来的一样。证明 设R有单位元1但无零因子，S为R的子环有单位元e ,则0 = ,-£ = £(£-1),必有e = o可以验证除环是无零因子的，但无零因子环不必是除环，利用四元除环H给出了 这样的例子。例2设H为四元数除环，i为虚数单位，R = a + bia,beZ,令 M = (a,0)b,0eR, M上泄义加法，乘法与H中一致，则M为有单位元非交换无零 因子环，但M不是除环。证明由题设，易见M为H的子环，因而M为无零因子环。H的单位元(1,0)也是 M的单位元，而(

7、i,0)=(0J) = -(0,l)(z,0), M为非交换环。下面讨论M中的可逆元，设若(q , 0| ) (冬也)=(1，°)，则 aia2 + 01 02 = 1' afX + aiP = 0若创工。，则 &(如 一 0102)= 1，|2 a2PP- =1，陆可=±1，±：。同样可证，若0|或色或02工0,则几或色或02=±1,±几若67工0,则&20=0，必有= 0 , 0工0,进而一0伏=，故0=-02，此时可逆元有四个(0,1)" =(0,-1), (0,/)-1 =(0,-/)同样，若0严0,则

8、可逆元有(0,1=(0,-1), (1,0)" =(1,0), (?,0=(i,0)。若&工0, 0工0,此时avp =±,±i,则或者a, (a2 + /?2) = 1,« (±a2) = 0,或者CT (a?寸 02 ) = lq (02 ±ia2)= °，于是 02 = ±a2 或 02 = ±ia2，故 02 = ±Ct2 或 02 = ±(X1，进而冬土瓦=0，±2a或±20，此与6Z1（a2±A）= 1或 a】（巾±i02）=

9、 1不合。由上M中的可逆元共8个住1,0）,（0,±1）, （±Z,0）,（0,±/）,故M非除环。例3设H为四元数除环，M为例2中的M，儿RX2为正整数。H为以下子环:O = (a,b)|a,b gZ| , P = (a,b)|a,Z? g ”Z,K = (a,b)aeZ,benZ, 7' = (a,0)|d w C,U =(“,0)b w " + bik/,b eZ,U = (a,o)bez,W = (",0)b e a + bia,b e nZ ,X =(a,0)b e”Z,Y = la,/3）a = a+bi,a,bekZ,fl

10、 = c+dix,d e（kn）Z。证明根据H的运算，易知以上集合都是加群，只要验证乘法封闭即可。在N中，（3，01）（如 A ） = （%2 - 0”2，602 - 40|），因为qs，久A wa+创a,bw”Z,取a、a、+ 卩卩、,丘“+仞labenZ于是（e，0j,（G2，02）wN。其余均可类似验证。由引理4,这些子环都无零可验证：N是M, y的理想；P是K的理想：P, K是。的 理想：X是V的理想；W是的理想；Z是N与丫的理想。由引理5, N , P, X , Z无 单位元。在单位元的环中，单位元及其负元当然是可逆的，可逆的必是非零元且不是零因子。例 2中的环M是不交换的有单位的无

11、零因子环，其非零元不全是可逆的，而英可逆元有不仅 是单位元及其负元。下面给出交换环的例子，而其它性质与例2中的M样，且其逆元不 可逆元均无限多。例4 R = 2,aajieZ关于有理数的加法和乘法构成环。证明容易验证R是一个交换的有单位元的无零因子环，且R的非零元不全是可逆的。 除单位元1及英负元-1外，R还有可逆元±2士"，”为正整数。为构造进一步的例子，我们需要环的直和左义：设儿，傀是两个环，在垃和&的卡氏 积&尺=（Gd）k 呂&上按分量左义加法和乘法构成的环称为环&和«的直和。记斤=（小0）|伐尺,瓦=（斤,0）|代町，则R

12、三K，故人可自然地看成K鸟的 理想，且有 & R2R = R2» K = R -利用直和，我们将上面例子中的无零因子性去掉，构造交换（不交换情形可以整数矩阵 环为例）的有单位元的有零因子环的例子，其非零元不全是可逆的，而英可逆元又不仅是单 位及其负元，同时其不可逆元不全是零因子。 例无单位元无零因子环的真子集环无单位元。证明设R为无零因子环无单位元环，R的真子环S有单位元 因为"不能是R的单位元，所以有4G腕使df Hd或MHd , 不妨设aea,取bwS/0,贝eb = h0,于是aeb = ab,即（必一d）b = 0,矛盾。所以无单位元无零因子环的真子集环无单

13、位元结论成立。例5令&为上例中的环，/?2=Z5,则R = R®R满足前述条件。证明显然心是有单位元1的交换的有零因子环，而R是交换的有单位元（1,1）的有 零因子环，而R得全体可逆元为（mjk=±l,±2,±2士"込=±1,±5,貝中 （0山）（0巧）|斤，其中（0疋）比=2,3.4,既是左零因子又死右零因子。例子中M和上例中R是无零因子环，例子中M的可逆元不可逆元分别是有限多忽然无 限多的，例子4中R的可逆元，零因子和不可逆的非零因子都有无限多。为给岀其他数量 的可逆元，零因子和不可逆非零因子的例子，我们需要群环

14、的泄义：设环/?有单位元1, 群G的单位元为e, id /?（/?）= r,g|r.e/?r ,规淀R（G）上加法和乘法为lx工肚-工嘟=工仇-讣，ErE5 = EE（vJ（）*£=6g=Ggr=G gg=G则R（G）构成一个有单位元10的环，苴零元为,称R（G）为群G在R上的群环。例6设G = ©为一个3阶群，R=Q（G R2=Z（G）.则K没有不可逆非零因子, 可逆元和零因子有无限多个，而乩不可逆非零因子无限多，可逆元有限多，零因子无限多。证明 若rQe + ia + r2a2 eRt 有逆元soe + sa + s2a2 9 则（rQe+ia + /;n2）（5/ +

15、 sa + s2a2）=（%£+£ d + 归d'）（举 + +'）=（巾o + 甲2 + 柄）£+（倘 + 甲° + r2s2）a + （ros2 + r2sQ + r）a2心几 + r2s +rs2=有何+的+牛2=°系数矩阵及其行列式为4 =r2s0 + r）s2 = 0|4| = %'+斤'+才一3砂竝,若|A|hO,贝iJ（50,5p52）有唯一解,rQe + rax+r2ct2可逆，如：对心0有（rey=rle, （m）_1=rV均是可逆元，有穷多非零解。当|A| = 0时，齐次线性方程组4X=0总有

16、无穷多非零解，/ + ra1+2总是零因子，均有无穷多。在心中,若|4|工0,贝叽比冷宀）在Q中有唯一一组解,v 一斥-眶°ir2_T要使（必冷显2）在Z中有唯一组解,即使一砖=$o|A| ， r2 2 =1 H ，才一他=巾|人| ，注意到 卜| =（人+勺+%）（斥一斤4 +斥一4 +斥一*山）（3）将（2）代入得国=（% + 斤 +"）（%+$ +52）|A| 必须斥）+ 斤 +r2=s0+s+s2=± 不妨 设D +斤+石=%+込+勺=1（4）代入（3）得国齐2 一也+/J2_3+§2_仙即2卜卜仏_+（/；-”+亿-/ 由,（4）得佃一$|）卜

17、| =才一花+才一剧=仏一勺）仏+斤+叮齐一阳（必-勺）同=斤-$'（52-50）|4| = -' 代 入（5）整理得2 = （50_52）+（52_51 ）"+（5l_5,0）|（50-52y+（52-51）2+（5|-50）2=l,2 若（50 -52 ）2 + （5, -5, ）2 +（5j -5（） = 1#1 = 2,（5O-S2）2,（S2-51）2,（51-5O）2中有且只有两个为0,另外一个为±1，易验证这是不可 能，必有（ 乞）2 +（$2 _$J2 +（儿一耳）2 = 2，则（心一巧）2 +（巧一斤 A +（斤 _«）'

18、 = 2仇一 4 ）2,（E人）二（斤一心）'中有两个1 一个0 °于是心,斤,勺中有且有两个相等，设值为X，则另一个为X = ±l,注意到+斤+4=1,有兀=0且6Gb的三个值为0,0,1。因此可逆元为1匕141"。对于其它无限种|A|丰±0的情形,（必,S2）在Z中无解，即re + rKa + r2a2在鸟不可逆, 但不是零因子，也有无限种。|A| = 0的情形而（50,5p52）在Z中有解，即心有无限零因子。环的元或是零因子或是非零因子，在有单位元的环中，非零因子或是可逆的或是不可逆 非零因子下而几个定理讨论可逆元，零因子和不可逆非零因子的

19、数量关系，容易证明：交换 环R若有有限多零因子则必为有限环。下面尬理1是推广。立理1无限环中，零因子有则无限多，且其中双侧零因子无限多。左理2有单位元的无限环中，不可逆的非零因子有则无限多。立理3设R为有单位元的有限环，若aeR不是零因子，则"可逆。证明考虑aR = abb e ,则aR匚R。由于"不是零因子，故|賦| =网，从而aR = R, 进而存在bwR使d/? = l°同理存在cwR使cd = l,而b = lb = （cd）b = c（ab） = c ,即b可 逆。有单位元的有限环中的非零元要么是零因子，要么是可逆元，不可逆非零因子不存在而 具有不同的可

20、逆元和零因子数量的有限环的例子如下：例7可逆元零因子不可逆非零因子例子Y s00r0000Z3 Z3二、特殊坏的子坏，理想和商坏立义5：环/?的非空子集S关于R的加法，乘法做成环，则称S为/?的子环，记 为S<R注：1. 环一定有子环。2. 子环的子环还是子环。3. 0</?, R5R,称0, R为环R的平凡子环。例 8 （Z； +,）5（Q； +<）<（R； +,.）<（C； +,）。例 9（Mn（F）；+, ）. S = <? a,beR,求证SWM”（F）°10 0丿证因为:M：Ho0b-d0丿2 o丿卩又因为任一I。/ a、0 所以，S&l

21、t;Mn（F）o例 10 /?为环，C = dcr = /r,Vrg/?,ce/?,求证C<RO 证因为0g/?, reR, 0r = /0 = 0, OgCh0。又因为VCH C2eC, rwR, （C,-C2）r = r（C,-C2）, C-C2eRCxrC2r = re, rC2, CC2r = rCC2, CtC2 w R。所以，C<R.称C为环R的中心。泄义5： /?是一个环，21是R的一个非空子集，若i.Vd,bw2l,ii.Vag21 , VrG/?=>flrjz?G2l u则称21为R的理想，记为21a/? o注：1. 理想一立是子环。2. 环一定有理想。在环

22、的理想中，有两类特殊的理想：极大理想与素理想，它们在环论的研究中占有重要 的地位，为叙述方便，先给出极大理想和素理想的定义：泄义6：设N是环R的理想子环，若N uR,且中不存在任何满足N uMuR的 理想M,则N是R的极大理想。泄义7：设P是交换环R的理想，若gbwR,当abeP时，有awP或bwP.也即:当ab三P(o)时有d三P(o)或b三P(o),则称P是R的素理想°下而定理1与定理2是环R的理想为极大理想与素理想的已知结论：泄理1设R是有单位元的交换环，N是的一个真理想子环(NhP),则N是R的极 大理想子环。O商环是域。泄理2设R为交换环，P是R的理想子环，则P是/?的素理

23、想。O商环&N是整环。例11 R为环,因()/?, RR知零理想和单位理想是平凡理想。例12除换只有平凡理想。证明 0a,bw2l,贝a eR,据2UR, aa =PbwR, b = lbw0,则则R = 2U例3 (Z3;+, )中，nZ 十IzwZ,求ijEhZaZ o证 0 = " 0 w “Z 工 0fiZi, nz2 e nZ ,吃一 = (© 勺)w "Z,V/z! enZ , VawZ, a nz =n(az)enZ nzZ o例 14 N = x/(x)| /(x) g Rx,求证 MJ?卜。证.x。已R*eV/1 (x)2 (x)已 N、

24、心(x)-/2(x) e/v.V/(x)eMg(x)e/?x,g(x).x/(x)=x(g(x)/(x)eMNRx.左义8环同态基本左理：R与下为环,(p、ZR到耳的同态满射，则卩的核21为/?的 理想，进而R/ = R.以Zp记非空集合a + bia,bezt并/£zi中规左两个代数运算：普通加法和普通 乘法，用加号“ + ”和乘号“ 表示，由代数学的理论易知：zp关于普通加法和普通乘 法做成一个环，且这个有单位元1,无零因子的交换环，即zf是一个环，称之为&必.茫整 环。例15 zp的任一素元P生成一个极大理想。证明 设P是Zr的任一素元。假泄N是包含“）UN三“。因而存

25、在reZp.使 得p“，又因为卩是素元，故“是"的相伴元，则N =”，故卩是极大理想。以下再给岀几个环的理想是极大理想的充分必要条件：左理3设N是环R的理想子环，则N是R的极大理想O商环是/WV单环。iiE 利用环同态的一个结论，即：若环R是环R的同态想，RR, ker（0）= N, 则在以下对应关系之下，（p:HH =（p（H）, H是R的理想子环，使得环R在N与R之 间的理想子环与环R的全部理想子环，在N与R之间，除N与R外，没有理想子环O/WV 没有平凡的理想子环O 7WV是单环。泄理4设R是有单位元的可交换环，N是/?的理想，则1）N是/?的极大理想；2）若x2 =o（N）,

26、贝ij有x三o（N）u>商环MV是域。证明必要性。若N是R的极大理想，则RW除零理想及自身外无苴它理想。有因 为测有单位元，故知测是域。充分性。若砂V是域，则除零理想及自身外无去其它理想，则N是极大理想。 又因为砂V是域，则/WV是整环。由泄理2知，N是/?的素理想，故当J2=J-xg N时, 必有xwN,即若x2 =o（N）时，则有x = o（N）。泄理5设P为环的理想子环，则P是R的素理想O商环&P是无零因子环。证明 必要性。若P是环R的素理想，即若环abeP>aeP或bwP,则 a,beR/P ,若三 6=>d/?wN =>awP 或 Z?eP=>d

27、 = 6 或乙=6,即卿中无非零的零因子。故©P是无零因子环。充分性。设EP是无零因子环，则F兀wR,于是，若=三0=>a三6或乙=6,即P是/?的素理想。交换环的子环，理想和商环都是交换的。有单位元环的商环有单位元，非平凡理想不能含有原来的单位元。泄义 12 设(rz) = xay +.+xnlaym + sa+ai +,y,5,/ e/?,/?ez,则（“）/?称由"生成的环R的主理想，"称为生成元。大部分的例子是容易构造的，为了直观给出所有例子，且只对少数例子给岀部分验证,用R, S, I , 0分别环，子环，理想和商环。当讨论商环0时，对应的理想用厶

28、，有时商环用与其同构的环表示且用写出。例(1,5), R = H , S=Z。 例(I®, R = Q，S = 3Z。例(1,厶)，R = Z, /=3Z-例(1,SJ, R = Q, S=Z»例(1,Q), R = Z, Q = Z、。例(1,), R = Z, Q = Z6O例(2,S2) /? = a,beZ>,例(2,/J, R = 2Z, I=6Z例(2,Q), R = 2Z, Q = Q6Z = 0,2,4三石例(2,g,) , !? = 2/(x)l/(x)eZx , L = 2/(x)l/(x) eZx,Q = ZO例(2,2), R = 3Z, Q = R/2Z = 0,3,6,9 = Z4例(2,Q), /? = 2/(x)l/(x)eZx, 7? = 2/(x)l/(x)eZx, L = 2+/(x)l/(x)wZx ,/? = 12(« + beZ , Q 中有零因子