


版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
1、特殊环的子环、理想和商环摘要:坏是一种重要的代数结构,我们熟知的坏的例子很多。本文在假设我们熟知环的 例子有:整数环Z ,有理数环Q ,实数环/?以及复数环C等;倍整数环“Z ;模”剩余 类整数坏Z”环R上”级方阵环M”(R),如Mn (Z) , Mn(2Z), M”(Q)等;环R上一 元多项式坏川打如Zx , 0(x)等的斟岀上,讨论具有一些特殊性质的环的例子以及它 们的子环,理想和商环的特殊性质。关键词:环子坏理想商环一、特殊环的例子泄义1称带有两个代数运算的代数系统R为环。若i. R对于加法做成交换群。ii. R乘法封闭。iii. 满足结合律(ab)c = a(bcjoiv. 两个分配律
2、成立(a+b)c = ac+bc ,c(a+b) = ca + cb。定义2 R为环,任一",bwR, ab = ba,则称R为交换环。即乘法交换的环称 为交换环。定义3 R为环,若存在eeR,任一 awR, ae = ea = a,则称e为环R的单 位元的环。乘法有单位元的环称为有单位元环。单位元记为1。注:环必有单位环。环有单位元则唯一。R有单位元,aeR,若存在bwR,有(力=ba = 1,则称"为可以元,b为"的 逆元。注:1. R元中必有可逆元。2. 零环中零元一定可逆。3. 在非零环中零元不可逆。4. 环中元"可逆,则逆元唯一。定义3: /?
3、为环,(I, bwR, dHO, /?工0,若e = 0,则元"是环R的左零因子,b是环R的右零因子。任意两个非零元的乘积都不为零的环称为无零因子环。注:1. 零因子是非零元。2. 零因子成对出现。3. 零环为无零因子环。4. 数环一定为无零因子环。5. 为无零因子环o若4工0,且BhO,则(力=0。R为无零因子环o若ab = O,则dHO,且”工0。R为无零因子环o若d = 0, a = 0,贝h=0o若ohO, ax = ay 则x = y o若qhO, xa = ya »则x = y<>即无零因子环有两个 消去律成立。反之,若至少有一个消去律成立,则环为无
4、零因子环。泄义5称有单位元的无零因子可交换的环为整环。定义6整环:交换的有单位元的无零因子环称为整环。左义7除环:有单位元环中有非零元且任意非零元都有乘法逆远则称其为除环。定义8域:交换的除环为域。例1对于环的交换律,单位元和无零因子性,我们给岀如下例子,其中7表示满足该 项性质,表示X不满足该项性质。类型交换律单位元无零因子环例子1777(Z; +,:27X7(2Z 汁,)3X77M (+,)477X(Z(i);+)5777(乙;+,)6XXR为非零加群,乘y法为川? = 07XXX<5 b、0)a.b e C >关于矩阵加法和乘法8寸77零环关于整环,除环和域的子环,我们易有如
5、下结论:引理1整环R的子集S为的子整环OS为/?的子环,且leSo引理2除环R的子集SH0为R的子除环OS为/?的子环且对0 HawS有(Cl eS o 证明记疋="0为/?的全体非零元的集合,因为R为除环,易验证用为乘法 群。s为/?的子除环os为r的子环,且s*=s/o为疋的子群。0$为/?的 子环,且PawS'有引理3域R的子集SH0为R的子域OS为R的子除环。非零除环是存在的,如:四元数除环H=(a,0)kz,“wC, 中加法,乘法分別为(q,0j+(a2,02)= (q +©,0| +02)(y,0J (冬,禹)二(QS -必-601),其中了是G的复共轨
6、。引理4无零因子环的子环和理想无零因子。引理5有单位元无零因子环的非零因子环,若有单位元则与原来的一样。证明 设R有单位元1但无零因子,S为R的子环有单位元e ,则0 = ,-£ = £(£-1),必有e = o可以验证除环是无零因子的,但无零因子环不必是除环,利用四元除环H给出了 这样的例子。例2设H为四元数除环,i为虚数单位,R = a + bia,beZ,令 M = (a,0)b,0eR, M上泄义加法,乘法与H中一致,则M为有单位元非交换无零 因子环,但M不是除环。证明由题设,易见M为H的子环,因而M为无零因子环。H的单位元(1,0)也是 M的单位元,而(
7、i,0)=(0J) = -(0,l)(z,0), M为非交换环。下面讨论M中的可逆元,设若(q , 0| ) (冬也)=(1,°),则 aia2 + 01 02 = 1' afX + aiP = 0若创工。,则 &(如 一 0102)= 1,|2 a2PP- =1,陆可=±1,±:。同样可证,若0|或色或02工0,则几或色或02=±1,±几若67工0,则&20=0,必有= 0 , 0工0,进而一0伏=,故0=-02,此时可逆元有四个(0,1)" =(0,-1), (0,/)-1 =(0,-/)同样,若0严0,则
8、可逆元有(0,1=(0,-1), (1,0)" =(1,0), (?,0=(i,0)。若&工0, 0工0,此时avp =±,±i,则或者a, (a2 + /?2) = 1,« (±a2) = 0,或者CT (a?寸 02 ) = lq (02 ±ia2)= °,于是 02 = ±a2 或 02 = ±ia2,故 02 = ±Ct2 或 02 = ±(X1,进而冬土瓦=0,±2a或±20,此与6Z1(a2±A)= 1或 a】(巾±i02)=
9、 1不合。由上M中的可逆元共8个住1,0),(0,±1), (±Z,0),(0,±/),故M非除环。例3设H为四元数除环,M为例2中的M,儿RX2为正整数。H为以下子环:O = (a,b)|a,b gZ| , P = (a,b)|a,Z? g ”Z,K = (a,b)aeZ,benZ, 7' = (a,0)|d w C,U =(“,0)b w " + bik/,b eZ,U = (a,o)bez,W = (",0)b e a + bia,b e nZ ,X =(a,0)b e”Z,Y = la,/3)a = a+bi,a,bekZ,fl
10、 = c+dix,d e(kn)Z。证明根据H的运算,易知以上集合都是加群,只要验证乘法封闭即可。在N中,(3,01)(如 A ) = (%2 - 0”2,602 - 40|),因为qs,久A wa+创a,bw”Z,取a、a、+ 卩卩、,丘“+仞labenZ于是(e,0j,(G2,02)wN。其余均可类似验证。由引理4,这些子环都无零可验证:N是M, y的理想;P是K的理想:P, K是。的 理想:X是V的理想;W是的理想;Z是N与丫的理想。由引理5, N , P, X , Z无 单位元。在单位元的环中,单位元及其负元当然是可逆的,可逆的必是非零元且不是零因子。例 2中的环M是不交换的有单位的无
11、零因子环,其非零元不全是可逆的,而英可逆元有不仅 是单位元及其负元。下面给出交换环的例子,而其它性质与例2中的M样,且其逆元不 可逆元均无限多。例4 R = 2,aajieZ关于有理数的加法和乘法构成环。证明容易验证R是一个交换的有单位元的无零因子环,且R的非零元不全是可逆的。 除单位元1及英负元-1外,R还有可逆元±2士",”为正整数。为构造进一步的例子,我们需要环的直和左义:设儿,傀是两个环,在垃和&的卡氏 积&尺=(Gd)k 呂&上按分量左义加法和乘法构成的环称为环&和«的直和。记斤=(小0)|伐尺,瓦=(斤,0)|代町,则R
12、三K,故人可自然地看成K鸟的 理想,且有 & R2R = R2» K = R -利用直和,我们将上面例子中的无零因子性去掉,构造交换(不交换情形可以整数矩阵 环为例)的有单位元的有零因子环的例子,其非零元不全是可逆的,而英可逆元又不仅是单 位及其负元,同时其不可逆元不全是零因子。 例无单位元无零因子环的真子集环无单位元。证明设R为无零因子环无单位元环,R的真子环S有单位元 因为"不能是R的单位元,所以有4G腕使df Hd或MHd , 不妨设aea,取bwS/0,贝eb = h0,于是aeb = ab,即(必一d)b = 0,矛盾。所以无单位元无零因子环的真子集环无单
13、位元结论成立。例5令&为上例中的环,/?2=Z5,则R = R®R满足前述条件。证明显然心是有单位元1的交换的有零因子环,而R是交换的有单位元(1,1)的有 零因子环,而R得全体可逆元为(mjk=±l,±2,±2士"込=±1,±5,貝中 (0山)(0巧)|斤,其中(0疋)比=2,3.4,既是左零因子又死右零因子。例子中M和上例中R是无零因子环,例子中M的可逆元不可逆元分别是有限多忽然无 限多的,例子4中R的可逆元,零因子和不可逆的非零因子都有无限多。为给岀其他数量 的可逆元,零因子和不可逆非零因子的例子,我们需要群环
14、的泄义:设环/?有单位元1, 群G的单位元为e, id /?(/?)= r,g|r.e/?r ,规淀R(G)上加法和乘法为lx工肚-工嘟=工仇-讣,ErE5 = EE(vJ()*£=6g=Ggr=G gg=G则R(G)构成一个有单位元10的环,苴零元为,称R(G)为群G在R上的群环。例6设G = ©为一个3阶群,R=Q(G R2=Z(G).则K没有不可逆非零因子, 可逆元和零因子有无限多个,而乩不可逆非零因子无限多,可逆元有限多,零因子无限多。证明 若rQe + ia + r2a2 eRt 有逆元soe + sa + s2a2 9 则(rQe+ia + /;n2)(5/ +
15、 sa + s2a2)=(%£+£ d + 归d')(举 + +')=(巾o + 甲2 + 柄)£+(倘 + 甲° + r2s2)a + (ros2 + r2sQ + r)a2心几 + r2s +rs2=有何+的+牛2=°系数矩阵及其行列式为4 =r2s0 + r)s2 = 0|4| = %'+斤'+才一3砂竝,若|A|hO,贝iJ(50,5p52)有唯一解,rQe + rax+r2ct2可逆,如:对心0有(rey=rle, (m)_1=rV均是可逆元,有穷多非零解。当|A| = 0时,齐次线性方程组4X=0总有
16、无穷多非零解,/ + ra1+2总是零因子,均有无穷多。在心中,若|4|工0,贝叽比冷宀)在Q中有唯一一组解,v 一斥-眶°ir2_T要使(必冷显2)在Z中有唯一组解,即使一砖=$o|A| , r2 2 =1 H ,才一他=巾|人| ,注意到 卜| =(人+勺+%)(斥一斤4 +斥一4 +斥一*山)(3)将(2)代入得国=(% + 斤 +")(%+$ +52)|A| 必须斥)+ 斤 +r2=s0+s+s2=± 不妨 设D +斤+石=%+込+勺=1(4)代入(3)得国齐2 一也+/J2_3+§2_仙即2卜卜仏_+(/;-”+亿-/ 由,(4)得佃一$|)卜
17、| =才一花+才一剧=仏一勺)仏+斤+叮齐一阳(必-勺)同=斤-$'(52-50)|4| = -' 代 入(5)整理得2 = (50_52)+(52_51 )"+(5l_5,0)|(50-52y+(52-51)2+(5|-50)2=l,2 若(50 -52 )2 + (5, -5, )2 +(5j -5() = 1#1 = 2,(5O-S2)2,(S2-51)2,(51-5O)2中有且只有两个为0,另外一个为±1,易验证这是不可 能,必有( 乞)2 +($2 _$J2 +(儿一耳)2 = 2,则(心一巧)2 +(巧一斤 A +(斤 _«)'
18、 = 2仇一 4 )2,(E人)二(斤一心)'中有两个1 一个0 °于是心,斤,勺中有且有两个相等,设值为X,则另一个为X = ±l,注意到+斤+4=1,有兀=0且6Gb的三个值为0,0,1。因此可逆元为1匕141"。对于其它无限种|A|丰±0的情形,(必,S2)在Z中无解,即re + rKa + r2a2在鸟不可逆, 但不是零因子,也有无限种。|A| = 0的情形而(50,5p52)在Z中有解,即心有无限零因子。环的元或是零因子或是非零因子,在有单位元的环中,非零因子或是可逆的或是不可逆 非零因子下而几个定理讨论可逆元,零因子和不可逆非零因子的
19、数量关系,容易证明:交换 环R若有有限多零因子则必为有限环。下面尬理1是推广。立理1无限环中,零因子有则无限多,且其中双侧零因子无限多。左理2有单位元的无限环中,不可逆的非零因子有则无限多。立理3设R为有单位元的有限环,若aeR不是零因子,则"可逆。证明考虑aR = abb e ,则aR匚R。由于"不是零因子,故|賦| =网,从而aR = R, 进而存在bwR使d/? = l°同理存在cwR使cd = l,而b = lb = (cd)b = c(ab) = c ,即b可 逆。有单位元的有限环中的非零元要么是零因子,要么是可逆元,不可逆非零因子不存在而 具有不同的可
20、逆元和零因子数量的有限环的例子如下:例7可逆元零因子不可逆非零因子例子Y s00r0000Z3 Z3二、特殊坏的子坏,理想和商坏立义5:环/?的非空子集S关于R的加法,乘法做成环,则称S为/?的子环,记 为S<R注:1. 环一定有子环。2. 子环的子环还是子环。3. 0</?, R5R,称0, R为环R的平凡子环。例 8 (Z; +,)5(Q; +<)<(R; +,.)<(C; +,)。例 9(Mn(F);+, ). S = <? a,beR,求证SWM”(F)°10 0丿证因为:M:Ho0b-d0丿2 o丿卩又因为任一I。/ a、0 所以,S&l
21、t;Mn(F)o例 10 /?为环,C = dcr = /r,Vrg/?,ce/?,求证C<RO 证因为0g/?, reR, 0r = /0 = 0, OgCh0。又因为VCH C2eC, rwR, (C,-C2)r = r(C,-C2), C-C2eRCxrC2r = re, rC2, CC2r = rCC2, CtC2 w R。所以,C<R.称C为环R的中心。泄义5: /?是一个环,21是R的一个非空子集,若i.Vd,bw2l,ii.Vag21 , VrG/?=>flrjz?G2l u则称21为R的理想,记为21a/? o注:1. 理想一立是子环。2. 环一定有理想。在环
22、的理想中,有两类特殊的理想:极大理想与素理想,它们在环论的研究中占有重要 的地位,为叙述方便,先给出极大理想和素理想的定义:泄义6:设N是环R的理想子环,若N uR,且中不存在任何满足N uMuR的 理想M,则N是R的极大理想。泄义7:设P是交换环R的理想,若gbwR,当abeP时,有awP或bwP.也即:当ab三P(o)时有d三P(o)或b三P(o),则称P是R的素理想°下而定理1与定理2是环R的理想为极大理想与素理想的已知结论:泄理1设R是有单位元的交换环,N是的一个真理想子环(NhP),则N是R的极 大理想子环。O商环是域。泄理2设R为交换环,P是R的理想子环,则P是/?的素理
23、想。O商环&N是整环。例11 R为环,因()/?, RR知零理想和单位理想是平凡理想。例12除换只有平凡理想。证明 0a,bw2l,贝a eR,据2UR, aa =PbwR, b = lbw0,则则R = 2U例3 (Z3;+, )中,nZ 十IzwZ,求ijEhZaZ o证 0 = " 0 w “Z 工 0fiZi, nz2 e nZ ,吃一 = (© 勺)w "Z,V/z! enZ , VawZ, a nz =n(az)enZ nzZ o例 14 N = x/(x)| /(x) g Rx,求证 MJ?卜。证.x。已R*eV/1 (x)2 (x)已 N、
24、心(x)-/2(x) e/v.V/(x)eMg(x)e/?x,g(x).x/(x)=x(g(x)/(x)eMNRx.左义8环同态基本左理:R与下为环,(p、ZR到耳的同态满射,则卩的核21为/?的 理想,进而R/ = R.以Zp记非空集合a + bia,bezt并/£zi中规左两个代数运算:普通加法和普通 乘法,用加号“ + ”和乘号“ 表示,由代数学的理论易知:zp关于普通加法和普通乘 法做成一个环,且这个有单位元1,无零因子的交换环,即zf是一个环,称之为&必.茫整 环。例15 zp的任一素元P生成一个极大理想。证明 设P是Zr的任一素元。假泄N是包含“)UN三“。因而存
25、在reZp.使 得p“,又因为卩是素元,故“是"的相伴元,则N =”,故卩是极大理想。以下再给岀几个环的理想是极大理想的充分必要条件:左理3设N是环R的理想子环,则N是R的极大理想O商环是/WV单环。iiE 利用环同态的一个结论,即:若环R是环R的同态想,RR, ker(0)= N, 则在以下对应关系之下,(p:HH =(p(H), H是R的理想子环,使得环R在N与R之 间的理想子环与环R的全部理想子环,在N与R之间,除N与R外,没有理想子环O/WV 没有平凡的理想子环O 7WV是单环。泄理4设R是有单位元的可交换环,N是/?的理想,则1)N是/?的极大理想;2)若x2 =o(N),
26、贝ij有x三o(N)u>商环MV是域。证明必要性。若N是R的极大理想,则RW除零理想及自身外无苴它理想。有因 为测有单位元,故知测是域。充分性。若砂V是域,则除零理想及自身外无去其它理想,则N是极大理想。 又因为砂V是域,则/WV是整环。由泄理2知,N是/?的素理想,故当J2=J-xg N时, 必有xwN,即若x2 =o(N)时,则有x = o(N)。泄理5设P为环的理想子环,则P是R的素理想O商环&P是无零因子环。证明 必要性。若P是环R的素理想,即若环abeP>aeP或bwP,则 a,beR/P ,若三 6=>d/?wN =>awP 或 Z?eP=>d
27、 = 6 或乙=6,即卿中无非零的零因子。故©P是无零因子环。充分性。设EP是无零因子环,则F兀wR,于是,若=三0=>a三6或乙=6,即P是/?的素理想。交换环的子环,理想和商环都是交换的。有单位元环的商环有单位元,非平凡理想不能含有原来的单位元。泄义 12 设(rz) = xay +.+xnlaym + sa+ai +,y,5,/ e/?,/?ez,则(“)/?称由"生成的环R的主理想,"称为生成元。大部分的例子是容易构造的,为了直观给出所有例子,且只对少数例子给岀部分验证,用R, S, I , 0分别环,子环,理想和商环。当讨论商环0时,对应的理想用厶
28、,有时商环用与其同构的环表示且用写出。例(1,5), R = H , S=Z。 例(I®, R = Q,S = 3Z。例(1,厶),R = Z, /=3Z-例(1,SJ, R = Q, S=Z»例(1,Q), R = Z, Q = Z、。例(1,), R = Z, Q = Z6O例(2,S2) /? = a,beZ>,例(2,/J, R = 2Z, I=6Z例(2,Q), R = 2Z, Q = Q6Z = 0,2,4三石例(2,g,) , !? = 2/(x)l/(x)eZx , L = 2/(x)l/(x) eZx,Q = ZO例(2,2), R = 3Z, Q = R/2Z = 0,3,6,9 = Z4例(2,Q), /? = 2/(x)l/(x)eZx, 7? = 2/(x)l/(x)eZx, L = 2+/(x)l/(x)wZx ,/? = 12(« + beZ , Q 中有零因子
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 装修居间服务预算控制协议
- 二零二五年度北京市工作室装修合同(智能家居系统)
- 药房麻醉药品管理讲义
- 小区物业管理处年终工作总结
- 银行业年度工作总结报告
- 自发性气胸保守治疗护理查房
- 停车场收费管理服务委托合同范本
- 集资房购买合同范本
- 25年一建机电讲义
- 婚姻协议书范本
- DBJ41-139-2014 河南省基坑工程技术规范-(高清版)
- 光伏电站生产运维体系架构
- 隧道基本情况卡片
- 新概念第二册Lesson-1-A-private-conversation-课件
- 确有专长人员从事传统医学临床实践年限证明
- 2022年上海市学业水平考试生命科学试卷含答案
- 2022浙江农林大学博士入学考试英语
- 2022年云南省中考数学试题及答案解析
- 煤矿矿安全监测监控系统的选型设计
- 样板引路专项方案计划
- 华中师大版七年级全一册心理健康 16.团结协作互助前行 课件(14ppt)
评论
0/150
提交评论