2021年中考数学压轴题专项训练：四边形的综合(含答案)

1、2021年数学中考压轴题专项训练：四边形的综合1如图，四边形 ABCD是直角梯形，AD/ BC ABLAD,且AB= A&BC, E是DC的中点，连结BE并延长交AD的延长线于G(1) 求证：DG= BC(2) F是AB边上的动点，当 F点在什么位置时，FD/ BG说明理由.AE交FD于H, FH与HD长度关系如何？说明理由.:丄 DGE=Z CBE / GDE=Z BCE E是DC的中点，即 DE= CEDG= BC(2) 解：当F运动到 AF= AD时，FD/ BG 理由：由(1)知DG= BC AB= ADBC AF= AD BF= BC= DG AB= AG/ BAG 90&#

2、176; ,/ AFD=Z ABG= 45° , FD/ BG(3) 解：结论：FH= HD理由：由(1)知GE= BG又由(2)知厶ABG为等腰直角三角形，所以 AEI BG AE! FD AFD为等腰直角三角形,2如图，在矩形 ABC中，过BD的中点0作EF丄BD分别与AB CD交于点E、F.连接DEBF.(1) 求证：四边形 BEDF是菱形；(2) 假设M是AD中点，联结 0M与 DE交于点N AD= 0M= 4，贝U ON的长是多少？BFn1A/°7IE1(1)证明：四边形 ABCD1矩形, AB/ CD/ DFO=Z BEO/ DOF=Z EOB 0D= OB D

3、03A BOE( AAS,DF= BE四边形BEDF是平行四边形，/ EF! BD四边形BEDF是菱形.(2)解： DM= AM DO= OB OMZ AB AB= 2OM= 8,DN= EN ON=yBE 设 DE= EB= x,在 Rt ADE中，那么有 x2= 42+ (8 - x) 2,解得x= 5,ON= 3. (1)如图1,四边形EFGH中,FE= EH, / EFC+Z EHG 180°,点 A B分别在边 FG GH上,且Z AEB= Z FEH求证:AB= AF+BH(2)如图2，四边形EFGH中,FE= EH点M在边EH上，连接FM EN平分/ FEH交FM于点

4、N, Z ENM=a, Z FGH= 180 ° - 2 a,连接 GN HN找出图中与NH相等的线段，并加以证明;BG求Z NGH勺度数(用含 a的式子表示).Eo(1)证明：如图1中，延长BH到M使得HM= FA连接EM/ F+Z EHG= 180°,/ EHG/EHIW 180° , / F=Z EHM / AE= HE F心 HM EFAA EH(SAS, EA= EM Z FEA=Z HEM/ FEA+Z BEH=Z HEM/ BEH=Z BEMk / FEH,2 Z AEB=Z BEM/ BE= BE EA= EM AEBA MEB(SAS, AB=

5、BM/ BM= Bb+HM= BH-AF, AB= AF+BH(2)解：如图2中，结论：NH= FN理由： NE平分Z FEH Z FEN=Z HEN/ EF= EH EN= EN ENFA ENH(SAS, NH= FN ENFA ENHZ ENF=Z ENH/ EN1 ENH= 180 ° -a,. / MNI4 180 o _a_a=180°- 2a,/ FGI+ 180 ° - 2 a,/ MNI4 / FGI,/ MN+Z FNI+ 180 ° ,/ FGI+Z FNI+ 180° , F, G I N四点共圆，/ N* NF,:丄

6、NG岸 Z NGF=Z FGI+ 904.如图， ABC中, Z ACB= 90°, AC= 4, BC= 3，点M N分别是边 AC AB上的动点,连接MN将厶AMN& MN所在直线翻折，翻折后点A的对应点为AAC求AM的长;(1) 如图1，假设点A'恰好落在边(2) 如图2，假设点A'恰好落在边AB上，且 AN=+BC上，且 A N/ AC 试判断四边形 AMA N的形状并说明理由； 求AM MN的长；时，求CP的长(3) 如图3，设线段NM BC的延长线交于点解：(1)如图1中,在 Rt ABC中，/ C= 90°, AC= 4, BC= 3,

7、 AB=：= y f : - 5,/ A=Z A,/ ANMbZ C= 90°, ANMbA ACBANo匸-Afi1O2 5，AM=52(2)如图2中,/ NA / AC,/ AMN=Z NMA,由翻折可知： MA= MA，/ AM比/ NMA ,/ MNA=/ a MN A N= A M二 AM= A N,t AM/ A N四边形AMA N是平行四边形,/ MA= MA ,四边形AMA N是菱形.连接AA交MN于0.设AM= MA = x,/ MA / AB,AM=- AA =I-'四边形AMA N是菱形, AA 丄 MN OM= ON OA= OA =MN= 2OM=2

8、/10J£JA,J(3)如图3中，作NHLBC于H. NH/ ACNHBNBHACNH-AI2-3BH4-5-3 NH= =, BH=-5 56 gCH= BC BH= 3亠55 AM- AC=二二，7 7CM= AC- AM= 4-=丄,7 7CM NH PC= 1.，点E为边CD上一动点,5.如图，四边形ABCD为平行四边形，AD= 1, AB= 3, / DAB= 60°过点C作AE的垂线交AE的延长线于点 F.(1)求/D的度数;假设点E为CD的中点，求EF的值;当占=1 八、E在线段CD上运动时，是否存在最大值？假设存在,求出该最大值；假设不存(3)解：1如图1中

9、, AB/ CB/ ADG/ DAB= 180/ DAB= 60°,ADC= 120 °.(2)如图1中，作AHL CD交CD的延长线于 H.在 Rt ADH中，/ H= 90°,/ ADH= 60°, AD= 2,AH= AD?sin60 ° =巴 DH= AD?cos60 °11可，2 DE= ec=| EH= DH+DE= 2, AE=- _：,/ CFL AF,/ F=/ H= 90°,/ AEH=/ CEF AEHo CEFEHAEEF'EC"2V192EF =3_2(3)如图2中，作厶AFC勺外

10、接圆O O,作AHL CD交CD的郯城县于 H ,作OKI CD于 K,交O 0于M 作FP/ CD交AD的延长线于 P,作MNT CD交AD的延长线于 M作NQLCD于Q.DE/ PF,AFAPAEAD AD是定值, PA定值最大时,yy定值最大,观察图象可知，当点 F与点M重合时J PA定值最大，最大值=AN的长,V32由2可知，AHh，心,/ H= 90 °,OM=AC=耳,OK/ AH AO= OC KH= KC :亠一 , | NQ | r2 I k/39 |1 在Rt ND® , DN=議厂=亦 =丁乜， ANh A&DNR+6.如图，在边长为连接AP

11、DP点也丄丽AD 2 于.2的正方形ABCD中，点P是射线BC上;一动点点P不与点B重合，(2)求证 BE!ARE是线段AP上一点，且/ ADE=Z APD连接BE (1)求证：aD= AEAP;(1)证明：/ DAE=Z PAD / ADE=Z APDADAEAP !， AD= AE?AP(2)证明：四边形 ABCD1正方形, AD= AB / ABC= 90°, aB= AE?APABAPAEAB/ BAE=Z PAB ABEA APB/ AEB=Z ABP= 90°, BE! AP.(3 ) ADEA APDADDEAF =FDPDDEAPAD/ AD= 2, DE最

12、小时，卫卩的值最小，AP如图，作 ABE的外接圆“OO连接OD OE易知0匚1, 0D=衝, DE>OD- OE= 口- 1, DE的最小值为 n- 1,-的最小值='.PA2D厂1F!Vf.O'11-»gBc1 p4(1) 如图1，点F为AE的中点，连接 CF.tan / FBE=, BF= 5,求CF的长；(2) 如图2,过点E作AE的垂线交CD于点G,交AB的延长线于点H,点O为对角线AC的中点，连接 GO并延长交 AB于点M 求证：AM+BH= BE解：(1) Rt ABE中, BF为中线，BF= 5, AE= 10, FE= 5,作FP丄BC于点P,R

13、t BFP 中，亍，J：，丄 BA 3, FP= 4,在等腰三角形 BFE中，BE= 2BP= 6,由勾股定理求得 帕屮护呂=BC， - CP= 8 - 3 = 5,丄-；(2)/ ACD=Z BAC= 45°, AO= CQ / AO=Z COG证明 AM CG(ASA, AM= GC过G作GP垂直AB于点P,得矩形BCGP CG= PB/ AB= PG / AE=Z H, / ABE=Z GPH ABEA GPH( ASA , BE= PHh PBBHh CGB* AM+BH&阅读理解：如图 1,假设一个四边形的两条对角线互相垂直，那么称这个四边形为垂美四边形.(1 )概

14、念理解：如图 2,在四边形 ABCD , AB= AD CB= CD问四边形 ABCD!垂美四 边形吗？请说明理由；(2) 性质探究：如图1，试在垂美四边形 ABC曲探究AB, CD, AD, BC之间的关系， 并说明理由；(3) 解决问题：如图3,分别以Rt ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形 ACFG和正方形 ABDE连结CE BG GE CE交BG于点N,交AB于点MAC=#1, AB= 2, 求GE的长.解：(1)如图2,四边形ABCD是垂美四边形;理由如下:圏2连接AC BD交于点E,/ AB= AD点A在线段BD的垂直平分线上，/ CB= CD点C在线段BD的垂直平分线上

15、，直线AC是线段BD的垂直平分线， ACL BD即四边形 ABCD1垂美四边形；(2)猜测结论：aW+cD=aD+bC,证;明：如图1，在四边形ABCDK/ ACL BD/ AOD=Z AOB=Z BOC=Z COD= 90°,由勾股定理得：aB+cD= aO+bO+od+oCaD+bC = aO+bO+od+oC aB+cD= aD+bC,(3)如图3，连接CG BE/ CAG=/ BAE= 90°,/ CAG/ BAC=/ BA圧/ BAC 即/ GAB=Z CAE在厶 GABA CAE中,pK=ACfmnGB 3 edcabZGAB=ZCAEiAB=AE GAB2A

16、CAE( SSS, / ABG=/ AEC/ AEC/ AM匡 90 ° , / ABG/ BMW 90 ° , / BNC= 90°,即卩 BGLCE四边形CGE是垂美四边形，由(2)得：eG+bC= cG+bE心,AB= 2, BC= 1, '： ； .；，F2 '', EG= Cd+BE- BC= 6+8 - 2= 13,- :.9.：如图，长方形 ABCDh/ A=/ B=/ B=/ D= 90°, AB= CD= 4 米，AD= BC= 8 米，点M是BC边的中点，点P从点A出发，以1米/秒的速度沿AB方向运动再过点 B

17、沿 BM方向运动，到点M停止运动，点O以同样的速度同时从点 D出发沿着DA方向运动，到 点A停止运动，设点 P运动的时间为x秒.(1 )当x = 2秒时，线段AQ的长是 6米；(2)当点P在线段AB上运动时，图中阴影局部的面积发生改变吗？请你作出判断并说明理由.的运动时间x的值；假设不存在，请说明理由.解：(1)v四边形ABCD是矩形,AD= BC= 8,/ DQ= 2,AQ= AD DQ= 8 - 2= 6,故答案为6.(2)结论：阴影局部的面积不会发生改变.理由：连结 AM作MHLAD于 H.那么四边形 ABM是矩形,MH= AB= 4.S 阴=Sa apiMSa aq=(8 - x)x

18、4= 16,阴影面积不变;(3)当点P在线段AB上时，BP= 4-x, DQ= x. BP=DQ1 4 - x=_-x,- x = 3.当点P在线段BM上时，BP= x - 4, DQ= x. BP= -DQ x - 4= -x,3 x = 6.所以当x = 3或6时,10. A B, C, D是长方形纸片的四个顶点，点E、F、H分别"是边AB BC AD上的三点,连结EF FH(1) 将长方形纸片 ABCD图所示的方式折叠，FE FH为折痕，点B C D折叠后的对应点分别为 B、C、D，点B在FC上，那么/ EFH的度数为 90°(2) 将长方形纸片 ABC黴图所示的方式

19、折叠，FE FH为折痕，点B C、D折叠后的 对应点分别为 B、C、D，假设/ B FC = 18°，求/ EFH的度数；(3) 将长方形纸片 ABCD按图所示的方式折叠，FE、FH为折痕“，点B C D折叠后的/ BFE=Z B' FE / CFH=Z C FH,点B'在FC上，/ EFH= (/ BFB+ / CFC)=180°= 90°,故答案为：90°(2)沿 EF, FH折叠，可设/ BFE=Z B FE= x,Z C FH=Z CFH= y,/ 2x+18° +2y = 180 ° , x+y= 81 &#

20、176;,/ EFH= x+18° +y = 99°(3)沿 EF, FH折叠，可设/ BFE=Z B FE= x,Z C FH=/ CFH= y,/ EFH= 180° -Z BFE-Z CFH= 180° -( x+y),即 x+y= 180 ° - m ,又/ EFH=Z EFB -Z B FC+ Z C FH= x-Z B FC+y, Z B'FC =( x+y )-Z EFH= 180°- m - m = 180°- 2m , 故答案为：180°- 2m .11 勾股定理是数学史上非常重要的一个定

21、理早在2000多年以前，人们就开始对它进行研究，至今已有几百种证明方法在欧几里得编的?原本?中证明勾股定理的方法如下，请同学们仔细阅读并解答相关问题：如图，分别以 Rt ABC的三边为边长，向外作正方形ABDE BCFG ACHI.(1) 连接 BI、CE 求证： ABIA AEC(2) 过点B作AC的垂线，交 AC于点M 交IH于点N. 试说明四边形AMNI与正方形ABD啲面积相等； 请直接写出图中与正方形 BCFG勺面积相等的四边形.(3) 由第(2)题可得：正方形ABDE的面积+正方形BCFG勺面积= 正方形ACHI的面积，即在 Rt ABC中, ab+bC= aC .GF(1)证明：四

22、边形 ABDE四边形 ACHI是正方形, AB= AE AC= AI, Z BAE=Z CAI= 90°, Z EAC=Z BAI,dAE在厶ABI和厶AEC中,Z盼I=ZEA,tAI=ACABIA AEC( Sas；(2证明：T BML AC AI 丄 AC四边形AMN的面积=2 ABI的面积，同理：正方形 ABDE勺面积=2、AEC的面积,又ABIB、AEC四边形 AMN与正方形 ABDE勺面积相等.解：四边形 CMN与正方形BCFG勺面积相等，理由如下：/ Rt ABC中, AB+BC= AC,正方形 ABDE勺面积+正方形BCFG勺面积=正方形 ACHI的面积，由得：四边形

23、AMNI与正方形ABDE勺面积相等，四边形CMN与正方形BCFG勺面积相等；(3)解：由(2)得：正方形 ABD啲面积+正方形BCFG勺面积=正方形 ACHI的面积;即在 Rt ABC中, AB+BC = AC;故答案为：正方形 ACHI, AC.12在长方形纸片 ABC呼，点E是边CD上的一点，将、AED沿 AE所在的直线折叠， 使点D落在点F处.(1)如图1，假设点F落在对角线AC上,且/ BAC= 54°，那么/ DAE勺度数为18(2)如图2，假设点F落在边BC上，且AB= 6, AD= 10,求CE的长.(3)如图3，假设点E是CD的中点,AF的沿长线交 BC于点G,且AB

24、= 6, AD= 10,求CG解：(1)v四边形ABCD1矩形, / BAD= 90°,/ BAC= 54°, / DAC= 90°- 54° = 36由折叠的性质得：/ DAE=Z FAE./ DAE=2/ DAC= 18°2故答案为：18;(2) 四边形 ABCD!矩形，/ B=Z C= 90°, BC= AD= 10, CD= AB= 6,由折叠的性质得： AF= AD= 10, EF= ED 8， CF= BC- BF= 10 - 8 = 2,设 CE= x，贝 U EF= ED= 6 -x,在Rt CEF中，由勾股定理得：2

25、2+x2=( 6 -x) 解得：x =寻，即CE的长为(3) 连接EG如图3所示：点E是CD的中点， DE= CE由折叠的性质得： AF= AD= 10,/ AFE=Z D= 90°, FE= DE / EFG= 90°=/ C,|fEG=EG在 Rt CE feg中 , |M, Rt CEG FEG( HL), CG= FG设 CG= FG= y ,那么 AG= AF+FG= 10+y , BG= BC- CG= 10 - y ,在 Rt ABG中 ,由勾股定理得： 62+ (10 - y) 2=( 10+y) 2 ,9解“得：y=,9即CG的长为壬.AB= 6cm AD

26、= 8cm点P从点A出发，以每秒一个单位的速度沿L B-C的方向运动；同时点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿 LS D的方向运 动，当其中一点到达终点后两点都停止运动设两点运动的时间为t秒.(1 )当t =7时，两点停止运动；(2)设厶BPQ勺面积面积为S (平方单位) 求S与t之间的函数关系式；DC 求t为何值时， BPC面积最大，最大面积是多少?解：(1)v四边形ABCD!矩形,AD= BC= 8cm AB= CD= 6cmBC+AD= 14cm -1 = 14 2 = 7,故答案为7.J.2(2)当 0V t V 4 时，S=二？(6- t )X 2t =- t2+6t .当 4 W

27、 t V 6 时，S= <-?( 6 - t )X 8 =- 4t+24.1 2当 6Vt W 7 时，S= (t - 6)?(2t - 8)= t2 - 10t+24. t = 3时， PBQ的面积最大,当 4<t V 6 时，S=-?(6 t )X 8 = 4t+24,t = 4时， PBQ的面积最大,最大值为8,当 6Vt w 7 时，S= (t 6)?(2t 8)=t2 10t+24=( t 5) 2 1,t = 7时， PBQ的面积最大，最大值为3,综上所述，t = 3时， PBQ的面积最大,最大值为9.14.综合实践:问题情境数学活动课上，老师和同学们在正方形中利用旋转

28、变换探究线段之间的关系探究过程如下所示：如图1,在正方形 ABCD，点E为边BC的中点.将 DCB点D为旋转中心, 顺时针方向旋转，当点 E的对应点E落在边AB上时，连接CE .“兴趣小组发现的结论是： AE = C E ;“卓越小组发现的结论是： DE= CE , DEL CE .解决问题(1)请你证明“兴趣小组和“卓越小组发现的结论；拓展探究证明完“兴趣小组和“卓越小组发现的结论后，“智慧小组提出如下问题：如图2,连接CC,假设正方形 ABCD勺边长为2,求出CC的长度.CC的长度.(直接写出结论即可)(1 )证明： DEC由厶DEC旋转得至腹DC = DC, / C =Z DCE= 90

29、°.又四边形 ABC虎正方形，DA= DC / A= 90 ° ,DA= DC ,DE = DE , Rt DAE Rt DCE'( HL), AE = C E'.点E为BC中点，C E = AE = CE点E为AB的中点. BE = CE又 DC= BC / DCE=Z CBE = 90°,CBE ( SAS,DE= CE，/ CDE=Z E'CB/ CDEZ DEC= 90 ° ,/ E'CBnZ CE圧 90°, DEL CE .(2)解：如图2中，作C' ML CD于 M,交AB于N.McEB*r團2/ AB/ CD C' ML CDC' ML AB,/ DMC=Z C NE =Z DC E'= 90° ,/ MDC +/DC M= 90°,/ DC M+Z E' CN= 90°,/ MDC =/ E' C' N,DC