(完整word版)2015-2016学年安徽省安庆一中高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)_第1页
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1、2015-2016 学年安徽省安庆一中高二上学期期末考试 数学(理)试题 、选择题 1.抛物线y =2x的焦点坐标是( ) A 1 C 1 1 1 A . (0-) B . (0書)C 4 8 .(8,0) D .(4,0) 【答案】B 【解析】试题分析:由题 x?二丄丫,. p =1,所以焦点坐标为(0,丄),故选B. 2 4 8 【考点】抛物线的性质 I I I I 4 4 4 4 2. a =( 1 t, 1 t, t), b =( 2, t, t),则 |b a | 的最小值是( ) A.匹 B 55 C 仝 D 11 5 5 5 5 【答案】C 【解析】 试题分析: 呻 4 Va=

2、(1-1,1-1, t ,b= 2, t, t , t R, a-b= -1-t,-2t,0 , .|a b 卜 1 t 2 (1 2t)2 【考点】平面向量的坐标运算;一元二次函数的图像与性质 程为() .y 二一3x C 【考点】双曲线的简单性质的应用;椭圆的性质 4. 下列命题中正确的是( ) A .若p q为真命题,则p q为真命题【答案】A 【解析】试题分析: 方程. 通过椭圆的离心率,得到 ab 的关系式, 然后求解双曲线的渐近线 2 x 椭圆二 a 2 b2 1 =1( a b 0)的离心率为一 2 c2 _1 a2 4, a2 -b2 =丄 二, 双曲线 2 x 2 a 2 与

3、=1的渐近线方程为y二一 b 2,故选A. 2 2 3.若椭圆笃 a 2 丄 b2 =1(a b 0)的离心率为 1 1,则双曲线 2 2 x 2 a 2 N =1的渐近线方 b2 b a B. “ a 0, b 0”是“ -a _2 ”的充分必要条件 a b C. 命题“若X2-3X 0,则x =1或x=2 ”的逆否命题为“若 x = 1或x = 2,则 2 X -3x 2 = 0 ” D. 命题 p: Xo R,使得 X2 XO 一1 : 0,则P :一x R,使得 X2 x 1 _0 【答案】D 【解析】试题分析:由若 p q为真命题,则 p,q 中至少有一个为真,则 p 且 q 真假

4、不确定,即可判断 A; 运用充分必要条件的定义和基本不等式,即可判断 B;由原命题和逆否命题的关系,注 意或的否定为且,即可判断 C;由存在性命题的否定为全称性命题,即可判断 D. 对于 A.若p q为真命题,则 p, q 中至少有一个为真,则 p q的真假不定,则 A 错 误; a a-2, 充分不必要条件, 2 X -3x 2 = 0,贝y X=1 或 X=2 ”的逆否命题为“若 x = 1 且 x = 2,则 x2-3X 2 :0 ”,则 C 错误;对于 D.命题 p X R ,使得 x2 x -1 : 0 , 则p: 一x R,使得x2 X -0 ,则D正确.故选D. 【考点】命题的真

5、假判断 5. 如图,在直三棱柱 ABC-ABiC 中,/ ACB= 90, AA= 2, AC= BC= 1,则异面直线 AiB 与 AC 所成角的余弦值是( ). .込 B .左 C .上 D .上 b a 对于 B.若a 0, b 0,则一一 a b =2,当且仅当 a=b 取得等号,反之,若 a2 b2 -2ab 2 a -b ab b a 亠 ab 0,则“a 0,b 0”是“; U-2”的 则 B 错误;对于 C.命题“若 5 4 3 6 【答案】D 【解析】试题分析:由 AcL ACi,知 GA1B是异面直线A1B与 AC 所成角,由此利用余弦定理能求出异面直线 AB 与 AC 所

6、成角的余弦值. 在直三棱柱 ABC-ABCi中,丫 ACLACI.N GAB 是异面直线 AB 与 AC 所成角, :.ACB =90,AA1=2, AC 二 BC =1 心=1,. cos CAB= 61 二5 6 2146 6 异面直线 A1B与 AC 所成角的余弦值是 一 6 【考点】异面直线所成角 6. 设 F1 (- 4, 0) , F2 ( 4, 0)为定点,动点 M 满足|MF1| + |MF2| = 8,则动点 M 的轨迹 是( ). A.椭圆 B .直线 C .圆 D .线段 【答案】D 【解析】试题分析:首先确定点 M 在直线上,再利用长度关系,确定点 M 在线段 F1F2

7、 上,从而得到结论. 若点 M 与 F1, F2可以构成一个三角形,则|MF1|+|MF2| 戶冋, .下冋=8,动点 M 满足 |MF1|+|MF 2|=8 , 点 M 在线段 F1F2上.故选 D 【考点】椭圆的定义 7. 若直线y 交抛物线/ =4x于 A,B 两点,且线段 AB 中点到y轴的距离为 3, 则 AB =( ) A. 12 B . 10 C . 8 D . 6 【答案】C 【解析】试题分析:根据抛物线的方程求出准线方程,利用抛物线的定义抛物线上的点 到焦点的距离等于到准线的距离,列出方程求出 A B 的中点横坐标,求出线段 AB 的中 点到 y 轴的距离. 直线y=kx 恒

8、过(1 , 0 ),恰好是抛物线+=处的焦点坐标,设 A( X1, yd(X2, y2), 抛物丫? =4x的线准线 X - -1,线段 AB 中点到 y 轴的距离为 3, 为2=6, AB = AF|+|BF =捲+X2+2=8,故选:C. 【考点】直线与圆锥曲线的位置关系 AB= J4+1 +1 =6, C1 B= , 4 仁 5, x2 8. 已知双曲线 C: 4 2 y 1的左、右焦点分别为 5 F1, F2, P 为 C 的右支上一点,且 |PF2| = |F1F2| , A. 24 B . 48 【答案】C 50 D . 56 则PF1 PF2等于 ) 【解析】试题分析:设点 P

9、的坐标为(m,n),其中 m2,根据点 P 在双曲线上且|PF2|=|F 1F2I, 建立关于 m n的方程组,解之得 m n的值,从而得到向量 左、老,的坐标,利用向 量数量积的坐标公式,可算出 PF1 PF2 . 2 2 x y 2 , j 1 得 a =4, b =5, 5 7 PF1 =( _3_m, -n), PF2 =(3-m, _ n), .PF1 PF 2 =( 一 3 _ m)( 3 _ m) (- n) (- n) 【考点】双曲线的简单性质 2 2 3 9已知椭圆笃2 =1 ab .0的焦点分别为 F1、F2, b = 4,离心率为-过 F1 a b 5 的直线交椭圆于 A

10、 B 两点,U AABF2的周长为() A. 10 B . 12 C . 16 D . 20 【答案】 【解析】试题分析:先根据条件求出椭圆的标准方程中 a 的值,再由 ABF 的周长是 (| AF AF2 |) (| BF1I+IBF21) 2a+2a 求出结果. x2 y2 3 椭圆二 2 =1 a b 0的焦点分别为 丘上山詡,离心率e , a = 5, a b 5 ABF2 的周长是(|AF1TAF2|) ( | BFi BF2 |) 2a 2a = 4a = 20,故选 D 【考点】椭圆的定义、标准方程 10 .已知正三棱柱 ABC-ABQ 的侧棱长与底面边长相等,则 AB 与侧面

11、ACCA1所成角的 正弦等于(). 10 C D .仝 A.C . 4 4 2 2 【答案】A 【解析】试题分析: 根据正三棱柱及线面角的定义知, 取 AC 的中点 D,/ BAD 是所求 的角,再由已知求出正弦值. 取 AC 的中点 D,连接 B1D , AD,在正三棱柱 ABC-ABC 中,BD 丄面 ACCA1,则/ B1AD 是 AB 与c = . a2 b2 =3,所以双曲线的焦点 根据双曲线方程 4 分别为F( -3,0)、 F2(3,0),设点 P 的坐标为( m n),其中 m2 点P在双曲线上, 且 IPF2FIF 1F2I ,. =1 4 5 (m-3)2 + n2 =6

12、16 ,-m n 11, 3 2 256 -9 至=50 9 侧面 ACCA1所成的角,正三棱柱 ABC-ABQ 的侧棱长与底面边长相等, 3 一 T6 .2 4 故选 A. 【考点】空间中的线面位置关系 11.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F ( J7 , 0),直线 y = x 1 与其相交于 M, N 两点, MN 中点的横坐标为 2 -2,则此双曲线的方程是( 3 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 A. 丄“ B . x -y =1 C . x 丄=1 D .x-y =1 3 4 2 5 5 2 4 3 【答案】B 【解析】试题分析:先根据题意设出双曲线的方程,然后与直线方程联立

13、方程组,消元 得二元一次方程,根据韦达定理及 MN 中点的横坐标建立 a、b 的一个方程,又双曲线中 有 c2=a2+b2,则另得 a、b 的一个方程,最后解 a、b 的方程组即得双曲线方程. 2 2 设双曲线方程为冷-当=1 将 y = x a b 2 2 2 2 2 2 2 (b-a) x2ax-a-ab 0. 由 韦 达 【考点】双曲线的标准方程 【易错点睛】1 .应用双曲线的定义需注意的问题 在双曲线的定义中要注意双曲线上的点 (动点)具备的几何条件,即“到两定点(焦点) 的距离之差的绝对值为一常数, 且该常数必须小于两定点的距离”. 若定义中的“绝对 值”去掉,点的轨迹是双曲线的一支

14、.同时注意定义的转化应用. 2.求双曲线方程时一是标准形式判断;二是注意 a,b,c 的关系易错易混. 2 12 .抛物线y =2px(p 0)的焦点为F,准线为 I,A,B是抛物线上的两个动点,且 满足 AFB 手,设线段AB的中点M在1上的投影为N,则麗的最大值是() A. 3 B 【答案】C |AF|=a、|BF|=b,由抛物线定义结合梯形的中位线定理,得sin._ B1AD1 2 2 1 代入笃-吿=1 整理得 a b 2a2 xi x2 x1 x2 二口,- 丁 a2 a2 : c2 二 a2 b2 3 2 2 =7, a =2,b 二 5, 所以双曲线的方程是 2 2 x y 1,

15、故选 B. 2 5 【解析】试题分析:设 2|MN|=a+b .再由余弦定理得 AB 2 =a2 +b2 +ab, 结合基本不等式求得|AB|的范围, 设AF =a, BF =b, A B在准线上的射影点分别为 Q P,连接AQ、BQ , 由抛物线定义,得|AF|=|AQ|且|BF|=|BP| ,在梯形 ABPC 中根据中位线定理, 得 2 MN|=|AQ| +|BP|= a +b . 由余弦定理得 AB $ =a2+b22abcos = a2+b2+ab, AB ? =( a + b)2ab, 3 a+b2 2 2a+b23 2 :ab( 丁 儿(a b)-b( a b)一(丁)蔦(a b)

16、, a b 3 - a b 2 【考点】抛物线的简单性质 【方法点睛】与抛物线有关的最值问题的解题策略 该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关. 实现由点到点的距离与点到直线的距离的 相互转化. (1) 将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离, 构造出“两点之间线段 最短”,使问题得解. (2) 将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,利用“与直线上所有点的连 线中垂线段最短”原理解决. 二、填空题 7 2 _ 13.已知命题p: X,R,ax 2ax 0 .若命题 P是真命题,则实数 a 的取值范 从而可得巴山的最大值. |AB| ABK( a + b) 2 MN MN -,

17、故选 C 3 围是 _ . 【答案】0,4 【解析】试题分析:根据已知条件容易判断出一元二次不等式 X2 ax 0无解,从 2 而得到判别式 八二a -4a空0,解该不等式即得实数 a 的取值范围. p是真命题, p是假命题;不等式x2 ax a : 0无解; 2 也a 4-a 00 a兰;4食数 a 的取值范围是0,4. 【考点】复合命题的真假判断 14 .已知 a=(2,1,2) b =(1,3仝),c = (13,6,k),若向量 a,b,c 共面,则 = _ . 【答案】3 【解析】试题分析:根据所给的三个向量的坐标,写出三个向量共面的条件,点的关于 要求的两个方程组,解方程组即可.

18、因为;=(2,1,2) , b=(1,3,3), C = (13,6,九), 4 4 4 所以.a =xb yc, (2,-1,2) = x( -1,3, -3) y(13,6, ), -x+13y =2 :、3x +6y = -1,”.丸=3 -3x y - 2 【考点】共线向量与共面向量 x2 y2 15 .设FF2分别是双曲线 C:二 2=1(a 0,b 0)的左、右焦点,P是C的右支 a b 上的点,射线PT平分.F1PF2 ,过原点0作PT的平行线交PF1于点M ,若 AA ) = 0;向量AD1与向量AB的夹角是 60 ;正方体 ABCD-ABCD 的体积为 T T T | AB

19、AA AD | . 其中正确命题的序号是 _ . 【答案】 【解析】试题分析:本题考查的是用向量的知识和方法研究正方体中的线线位置关系及 夹角与体积用到向量的加法、减法、夹角及向量的数量积,研究了正方体中的线线平 行、垂直,异面直线的夹角及正方体的对角线的计算、体积的计算. 2 2 2 2 向量的加法得到: A1A A1D1 A1B A1C , AC =3A,B,,- (AC)=3(ABJ ,1 | MP | | F1F21,则C的离心率为 _ . 3 3 【答案】3 2 【解析】试题分析:运用极限法,设双曲线的右顶点为 时,射线 PTT直线 设双曲线的右顶点为 AO , 即 |PM| A,考

20、察特殊情形,当点 PT A x=a,此时 PMf AO 即|PM| Ta,结合离心率公式即可计算得到. A, T |PM|=a. 丁阿|=十汀2 考察特殊情形,当点 特另U地 c 厂 a , - e = 3 2 2c 盲, PT A 时,射线 PTf直线 , 当 P 与 A 3 x=a, 此时 PMh 重合时, 3 【考点】双曲线的简单性质 【名师点睛】 双曲线的渐近线与离心率问题是每年各地高考命题的热点. 的命题角度有: (1)已知离心率求渐近线方程; (2)已知渐近线求离心率;(3)由离心率或渐近线确 定双曲线方程;(4)利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围. 2 2 16已知 ABC

21、D ABCD 为正方体,( AA + A D + AB ) = 3AB : AC ( AB 归纳起来常见 ACD 是等边三角形,/ ADC= 60,又 AiB/ DC,A异面直线 AD 与 AB 所成的 夹角为 60,但是向量 ADi与向量AB的夹角是 120,故不正确; ;AB 丄 AA,,AB AA = 0, |AB ZD|=0,因此不正确. 故答案为. 【考点】命题的真假判断与应用;平面向量数量积的性质及其运算律. 【名师点睛】平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容,题型多为选择题、填空 题,难度适中,属中档题归纳起来常见的命题角度有: (1)平面向量的模;(2)平面 向量的夹角;(

22、3)平面向量的垂直. 三、解答题 17 已知命题P :实数m满足m2 -7am 12a2 : 0 (a 0),命题q :实数m满足方 2 2 程卫 =1表示焦点在y轴上的椭圆,若一q是p的充分不必要条件,求a的 m -12 -m 取值范围. 【答案】 【解析】试题分析:根据命题 p、q 分别求出 m 的范围,再根据非 q 是非 p 的充分不必 要条件列出关于 m 的不等式组,解不等式组即可 2 2 试题解析:由 m -7am 12a : 0(a 0),则 3a : m 4a,即命题 p: 3a : m 4a 2 2 亠亠=1 由m-1 2 -m 表示焦点在y轴上椭圆可得:2-mm-1, 由一q

23、是一p的充分不必要条件,则 p是q的充分不必要条件, 3a -1 4a 乞色 1_a _3 从而有: 2 3 8 【考点】充要条件 【方法点睛】根据命题真假求参数的方法步骤 (1) 先根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况) ; (2) 然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围; (3) 最后根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围. 18 .已知在平面直角坐标系中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为 F(-丿3,0),且所以正确; :晁_ AR _ AC, AC亦1 =0,故正确; 即命题 q :1 : m 3 2 过占D(2,0) 八、 (1) 求该椭圆的标准方程;

24、 (2) 设点A(1,丄),若P是椭圆上的动点,求线段 PA的中点M的轨迹方程. 2 【答案】(1) y1 ; (2)(x - I)2 4( y 丄)2 =1 4 2 4 【解析】试题分析:(1)由题椭圆的半长轴 a = 2,半焦距c = 3,则半短轴b = 1, 结合椭圆的焦点在 x轴上,得到椭圆的标准方程;(2) (2)设点p(x0, y0),线段 PA 的 中点为M(x,y),根据中点坐标公式将 xo、yo表示成关于 x、y 的式子,将 P (xo,yo) 关于 x、y 的坐标形式代入已知椭圆的方程, 化简整理即可得到线段 PA 的中点 M 的轨迹 方程. 试题解析:(1)由已知得椭圆的

25、半长轴 a = 2,半焦距 3,则半短轴b = 1 .又椭 2 圆的焦点在x轴上,椭圆的标准方程为 y1 . 4 (2)设线段PA的中点为M (X,y),点p的坐标是(xo,y), (2x 12 1 2 由点P在椭圆上,得 1(2y丄)2=1, 4 2 线段PA中点M的轨迹方程是(x -扌)2 4( y _寸)2 =1. 【考点】轨迹方程;椭圆的标准方程 19在边长是 2 的正方体ABCD- A1B1C1D1中,E,F分别为AB, A1C的中点.应用空 间向量方法求解下列问题. x3 2 / ,1,得 y J . 2 (1)求 EF 的长; (2) 证明:EF / 平面 AA1D1D ; (3

26、) 证明:EF _平面ACD . 【答案】(1) 、2 ; (2)见解析;(3)见解析 【解析】试题分析: (1)建立适当的空间直角坐标系,求出向量 EF的坐标表示,代入 长度公式求解; (2) 求出ADi的坐标表示,关键坐标关系判断 EF L ADi,再利用线面平行的判定定 理证明; T T T T (3) 利用CD EF =O,EF A1D= 0 ,可证直线 EF 垂直于 CD AD,再利用线面垂直 的判定定理证明. 试题解(1)如图建立空间直角坐标 _ I EF =(-1,0,1) ,|EF|i2 (2) ADj =(-2,0, 2) ADEF,而 EF 二面 ADD1Ar EF / 平

27、面 AA1D1D (3) , EF CD =0, EF AQ=0 EF CD, EF AQ 又 CDAQ=D EF _ 平面 ACD . 【考点】向量方法证明线、面的位置关系定理;直线与平面平行的判定;直线与平面垂 直的判定. 20.在直角坐标系xOy中,设动点p到定点F(1,0)的距离与到定直线i:-1的距离 A =(2,0, 2) ,A = (2,0,0) , B = (2,2,0) ,C = (0,2,0) , D (0,0, 2) E =(2,1,0) ,F =(1,1,1) y 4 相等,记P的轨迹为-,又直线AB的一个方向向量d = (1,2)且过点(1,0) , AB与丨交 于A

28、、B两点,求1 AB丨的长. 【答案】5 【解析】试题分析:根据抛物线的定义得动点 y2 =4x 由直线方程的点斜式,算出直线 AB 的方程为y ,再将直线方程与 抛物线方程联解,并结合抛物线的定义加以计算,可得线段 AB 的长. 试题解析:由抛物线的定义知,动点 P的轨迹是抛物线,方程y =4x. 直线AB的方程为口 = y,即y = 2x - 2 1 2 2 设 A(xi,yi)、B(x2,y2), y =2x-2 代入 y =4x, 整理,得 x2 -3x 1 =0 所以 1 AB | = 2 xi * X2 = 5 【考点】抛物线的标准方程;两点间的距离公式 21.如图,平面 ABE

29、吐平面 ABC 四边形 ABEF 为矩形,AB=BC O 为 AB 的中点,OF1 A Q . /Q (2)若A- -时,求二面角 F-CE-B 的余弦值. AB 2 1 【答案】(1)见解析;(2)-丄 3 【解析】试题分析:(1)连结 O-则 OCL AB,从而得到 OCL OF,进而得到 OF 丄 OE 由 此能证明OEL FC. (2)由(1)得 AB=2AF 不妨设 AF=1, AB=2,取 EF 的中点为 O,建立坐标系,求出平 面 FCE 的法向量、平面 CEB 的法向量,利用向量的夹角公式,求二面角 F-CE-B 的余弦 值为即可 试题解析:(1)证明:连结 OC 因 AC=B

30、C O 是 AB 的中点,故OC丄AB . 又因平面 ABC_平面 ABEF 故OC _平面 ABEF,于是OC _ OF .又OF - EC,所以 OF 平面 OEC 所以OF OE,又因OC OE,故OE 平面OFC ,所以 OE FC. (2)由(1),得AB=2AF ,不妨设AF =1, AB =2,取 EF 的中点 D,以 O 为原点, OC OB OD所在的直线分别为 x , y , z 轴,建立空间直角坐标系,设 OC = k,则 F(0,-1,1),E(0,1,1),B(0,1,0),C k ,0,0) 在的直线分别为 x,y,z轴,建立空间直角坐标系,P 的轨迹r是抛物线,求

31、出其方程为 则 F(0, 1,1),E(0,1,1),B(0,1,0), CG.2,0,0),从而 CE =(i、2l,1),E? = (0, -2,0), 设平面FCE的法向量n =(x,y,z), 由厂0,得心1,0,迈) EFLn =0 冋理可求得平面 CEB的法向量m =(1八2 ), 1 由于二面角FCEB为钝二面角,则余弦值为 -丄 3 【考点】与二面角有关的立体几何综合题 【易错点睛】利用法向量求二面角时应注意 (1) 对于某些平面的法向量要注意题中隐含着,不用单独求. (2) 注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角,可结合图形进行,以防结论失误. X2 2 2 22如图,椭圆Ci: y -1 , X轴被曲线C2:y=x -b截得的线段长等于 C1的长 4 半轴长. (1) 求实数 b 的值; (2) 设 C2与y轴的交点为 M,过坐标原点 O 的直线I与C相交于点 A、B,直线 MA MB 分别与 C 相交于点 D、E. 证明: MD ME =0 记=MAB,匚MDE的面积分别是 S,S2,若=,求的取值范围. S2 长等于

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