(完整word版)2014年山东省高考文科数学真题及答案

1、第1页(共 20 页)2014 年山东省高考数学试卷(文科)一 选择题每小题 5 分，共 50 分1. (5 分)已知a，bR,i是虚数单位，若 a+i=2 - bi,贝 U( a+bi)2=()A. 3 -4i B. 3+4i C. 4- 3i D. 4+3i2. (5 分)设集合 A=x| x2- 2xv0 , B=x| 1 xy B. sinxsinyC. In (x2+1) In (y2+1)D. -xZ+l y2+l第2页(共 20 页)A.a1,c1B. a1,0vcv1 C.0vav1,c1 D.0vav1,0vcv17.(5 分)已知向量= (1,匸=(3, m),若向量 a,

2、亍的夹角为晋，贝 U 实数 m=()A.27B.二 C. 0D.-二8.(5 分)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验.所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为12, 13), 13, 14), 14, 15), 15, 16),16, 17，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组， : 第五组.如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有 20 人，第三组中没有疗效的有 6 人，则第三组中有疗效的人数为()12 13 M IS 16A. 6B. 8C. 12 D. 189.(5 分)对于函数 f (x),若存在常数 a0,使得 x 取定义域内的

3、每一个值，都有 f(x)=f(2a-x),则称 f(x)为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是()A. f(x)=4B. f (x)=xC. f (x) =tanx D. f (x) =cos (x+1)fK-y-10,I 2K_y_b0)在该约束条件下取到最小值 2 匸时，a2+b2的最小值为()A. 5 B. 4 C.- D. 26.(5 分)已知函数 y=loga(x+c)所示，则下列结论成立的是(第3页(共 20 页)二填空题每小题 5 分，共 25 分11. (5 分)执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为 1,则输出的 n 的值为2第4页(共 20 页)幵始T12. （5 分）函

4、数 y= sin2x+coVx 的最小正周期为213. （5 分）一个六棱锥的体积为 2；，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长 都相等，则该六棱锥的侧面积为.14. （5 分）圆心在直线 x-2y=0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切，圆 C 截 x 轴所 得弦的长为 2，则圆 C 的标准方程为 _.2 215.- （5 分）已知双曲线 =1（a0, b0） 的焦距为 2c,右顶点为 A,抛a b物线 x2=2py（p 0） 的焦点为 F,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c,且 |FA=c,贝 U 双曲线的渐近线方程为 .三解答题共 6 小题，共 75 分16. （12 分）海关对

5、同时从 A, B, C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测, 从各地区进口此商品的数量（单位：件）如表所示.工作人员用分层抽样的方法 从这些商品中共抽取 6 件样品进行检测.地区ABC数量50150100（I）求这 6 件样品来自 A, B, C 各地区商品的数量；（n）若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测，求这 2 件商 品来自相同地区的概率.17. （12 分） ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c.已知 a=3,COSA=H ,X =属出n /r_ J _结束_P-n=0第5页（共 20 页）B=A+(I)求 b 的值；“)求厶 AB

6、C 的面积.18. (12 分)如图，四棱锥 P- ABCD 中，AP 丄平面 PCD AD/ BC, AB=BC丄AD,2E,F 分别为线段 AD，PC 的中点.(I)求证：AP/平面 BEF；(U)求证：BE 丄平面 PAC19. (12 分)在等差数列an中，已知公差 d=2, a2是 ai与 a4的等比中项.(I)求数列an的通项公式；(U)设 bn=aJ ，记 Tn= b1+b2 b3+b4+ ( 1 )nbn，求 Tn.220.(13 分)设函数 f (x) =alnx+， 其中 a 为常数.x+1(I)若 a=0，求曲线 y=f (x)在点(1，f (1)处的切线方程；(U)讨论

7、函数 f (x)的单调性.221. (14 分)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C: + . =1 (a b 0)的离心a b率为二，直线 y=x 被椭圆 C 截得的线段长为二 I .(I)求椭圆 C 的方程；(n)过原点的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点(A，B 不是椭圆 C 的顶点).点 D 在椭圆 C上，且 AD 丄 AB,直线 BD 与 x 轴、y 轴分别交于M，N 两点.(i)设直线 BD, AM 的斜率分别为 k1, k2,证明存在常数入使得匕=入水， 并求出 入的值；(ii)求厶 OMN 面积的最大值.2第6页(共 20 页)2014 年山东省高考数学试卷（文科）参考答案与

8、试题解析一 选择题每小题 5 分，共 50 分1.（5 分）（2014?山东）已知 a，b R, i 是虚数单位，若 a+i=2- bi，则（a+bi）2=（）A. 3 -4i B. 3+4i C. 4- 3i D. 4+3i【分析】利用两个复数相等的充要条件求得 a、b 的值，再利用两个复数代数形 式的乘法法则求得（a+bi）2的值.【解答】解：a+i=2 - bi，二 a=2、b=- 1,则（a+bi）2= （2 - i）2=3- 4i， 故选：A.2.（5 分）（2014?山东）设集合 A=x|x2-2xv0 , B=x| Kx4，则 AHB=（）A. （0, 2 B. （1, 2） C

9、. 1, 2） D. （1, 4）【分析】分别解出集合 A 和 B,再根据交集的定义计算即可.【解答】 解：A=x| 0 xv2 , B=x| 1 x 4, AHB=x| 1x0【解答】解：由题意可得，解得第7页（共 20 页）I，第8页（共 20 页）所求定义域为（2, +x）.故选：C.4. （5 分）（2014?山东）用反证法证明命题 设 a, b 为实数，则方程 x3+ax+b=0 至少有一个实根”时，要做的假设是（）A. 方程 x3+ax+b=0 没有实根B. 方程 x3+ax+b=0 至多有一个实根C. 方程 x3+ax+b=0 至多有两个实根D. 方程 x3+ax+b=0 恰好有

10、两个实根【分析】直接利用命题的否定写出假设即可.【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，用反证法证明命题 设 a，b 为实数，贝昉程 x3+ax+b=0 至少有一个实根”时，要 做的假设是：方程 x3+ax+b=0 没有实根.故选：A.5. （5 分）（2014?山东）已知实数 x，y 满足 axvay（0vav1），则下列关系式恒 成立的是（）3、3A. x y B. sinxsinyC. In （x2+1） In （y2+1） D. xZ+l yZ+l【分析】本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题 的关键.【解答】解：实数 x，y 满足 axvay（0v

11、av1）， xy，A. 当 xy 时，x3y3，恒成立，JTB. 当 x=ny=刁-时，满足 xy，但 sinxsiny 不成立.JC. 若 In （x2+1） In （y2+1），则等价为 x2y2成立，当 x=1，y=- 1 时，满足 x y，但 x2y2不成立.D.若 一_，则等价为 x2+1vy2+1，即 x2vy2，当 x=1，y=- 1 时，满足x +1 y + 1xy,但 xvy 不成立.故选：A.A.a1,c1 B. a1,0vcv1 C.0vav1,c1 D.0vav1,0vcv1 【分析】根据对数函数的图象和性质即可得到结论.【解答】解：函数单调递减， 0vav1,当 x=

12、1 时 loga(x+c)=loga(1+c)v0,即卩 1+c1,即卩 c0,当 x=0 时 loga(x+c)=logac0,即卩 cv1,即卩 0vcv1, 故选：D.7.（5 分）（2014?山东）已知向量；=（1,诉），b = （3, m）,若向量；，E 的夹角为，则实数 m=（）A.2_、B.C. 0 D.-匚【分析】由条件利用两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式，求得m 的值.【解答】解：由题意可得 cos_ =, = =,6lal-lbl吋9+用2解得 m=；，故选：B.a 1)8.（5 分） （2014?山东）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试 验.所有志愿

13、者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为12, 13）, 13, 14）,第 7 页（共20 页）第 8 页(共 20 页)14, 15), 15, 16), 16, 17，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组如图是根据试验数据制成的频率分布直方图已知第一组与 第二组共有 20 人，第三组中没有疗效的有 6 人，则第三组中有疗效的人数为【分析】由频率以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出第三组中有疗效的人数得到答案；【解答】解：由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有 20 人，分布在区间 第一组与第二组的频率分别为 0.24, 0.16，所以第一组

14、有 12 人，第二组 8 人，第三组的频率为 0.36，所以第三组的人数：18 人, 第三组中没有疗效的有 6 人，第三组中有疗效的有 12 人.故选：C.9.(5 分)(2014?山东)对于函数 f (x),若存在常数 a0，使得 x 取定义域内的每一个值，都有 f (x) =f (2a-x),则称 f (x)为准偶函数，下列函数中是准 偶函数的是()A. f(x)=)B.f(x)=x C.f(x)=tanxD. f(x) =cos(x+1)【分析】由题意判断 f (x)为准偶函数的对称轴，然后判断选项即可.【解答】解：对于函数 f (x),若存在常数 aM0,使得 x 取定义域内的每一个值

15、， 都有f (x) =f (2a- x),则称 f (x)为准偶函数,函数的对称轴是 x=a, aM0,选项 A 函数没有对称轴；选项 B、函数的对称轴是 x=0,选项 C,函数没有对称 轴.函数 f (x) =cos (x+1),有对称轴，且 x=0 不是对称轴，选项 D 正确.2第12页（共 20 页）故选：D.f x v=1W 010.（5 分）（2014?山东）已知 x,y 满足约束条件*、，当目标函数 z=ax+by2x- y - 30（a0, b 0）在该约束条件下取到最小值 2 :时，a2+b2的最小值为（）A. 5 B. 4C. - D. 2【分析】由约束条件正常可行域，然后求

16、出使目标函数取得最小值的点的坐标，代入目标函数得到 2a+b- 2 -=0. a2+b2的几何意义为坐标原点到直线2a+b-2 匸=0 的距离的平方，然后由点到直线的距离公式得答案.化目标函数为直线方程得：丁_ - 二（b 0）.由图可知，当直线丁 亠一二过 A 点时，直线在 y 轴上的截距最小，z 最小.2a+b=2一、.即 2a+b- 2 二=0.作可行域如图,第13页（共 20 页）则 a2+b2的最小值为 故选：B.2第14页（共 20 页）填空题每小题 5 分，共 25 分11. （5 分） （2014?山东） 执行如图所示的程序框图， 若输入的 x 的值为 1,贝 U 输 出的 n

17、 的值为 3.【分析】计算循环中不等式的值，当不等式的值大于 0 时，不满足判断框的条件, 退出循环，输出结果即可.【解答】解：循环前输入的 x 的值为 1，第 1 次循环，x2- 4x+3=0 0，满足判断框条件，x=2, n=1，x2- 4x+3= - 1 0，满足判断框条件，x=3, n=2，x2- 4x+3=00,不满足判断框条件，输出 n: 3.故答案为：3.12. （5 分）（2014?山东）函数 y=sin2x+cosx 的最小正周期为 _n【分析】利用两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式化简函数的解析式为=si n （2x 土）,从而求得函数的最小正周期【解答】解：函数 y= s

18、in2X+COS2X= sin2x+，=sin （2x+）f (x)第15页（共 20 页）故函数的最小正周期的最小正周期为二=冗， 故答案为：n13. （5 分）（2014?山东）一个六棱锥的体积为 2；，其底面是边长为 2 的正六 边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为12 .【分析】判断棱锥是正六棱锥，利用体积求出棱锥的高，然后求出斜高，即可求 解侧面积.【解答】解：一个六棱锥的体积为 2，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱 长都相等，.棱锥是正六棱锥，设棱锥的高为 h，则丄，4 h=1，棱锥的斜高为：亠丁=2，该六棱锥的侧面积为：二=12.e 故答案为：12.14. （5 分）（2

19、014?山东）圆心在直线 x-2y=0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切， 圆C 截 x 轴所得弦的长为 2 二，则圆 C 的标准方程为（x 2）2+ （y- 1）2=4 .【分析】由圆心在直线 x 2y=0 上，设出圆心坐标，再根据圆与 y 轴相切，得到 圆心到 y 轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径 r，由弦长 的一半，圆的半径 r 及表示出的 d 利用勾股定理列出关于 t 的方程，求出方程的 解得到 t 的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可.【解答】解：设圆心为（2t，t），半径为 r=| 2t|，圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2 匚， t2

20、+3=4t2， t=1，圆 C 与 y 轴的正半轴相切，2第16页（共 20 页） t= 1 不符合题意，舍去，故 t=1, 2t=2，第 12 页(共 20 页)(X 2)2+ (y 1)2=4. 故答案为：(x- 2)2+ (y 1)2=4.15. (5 分)(2014?山东)已知双曲线主-七=1 (a0, b0)的焦距为 2c,右顶点为 A，抛物线 x2=2py (p0)的焦点为 F,若双曲线截抛物线的准线所得 线段长为 2c,且|FA=c，则双曲线的渐近线方程为y= x .【分析】求出双曲线的右顶点 A (a, 0),拋物线 x2=2py (p0)的焦点及准线2t,方程，根据已知条件得

21、出，-及 .：、-,求出 a=b,得双曲4b线的渐近线方程为：y= x.【解答】解：右顶点为 A,-A (a, 0), F 为抛物线 x2=2py (p0)的焦点,- I FA =c,抛物线的准线方程为广； a=b,二双曲线的渐近线方程为：y= x,故答案为：y=x.由，得一亠+，其中 a 为常数.x+1(I)若 a=0,求曲线 y=f (x)在点(1, f (1)处的切线方程；(U)讨论函数 f (x)的单调性.【分析】(I)根据导数的几何意义，曲线 y=f (x)在 x=1 处的切线方程为 y-f(1) =f(1) (x- 1),代入计算即可.(U)先对其进行求导，即：_，考虑函数 g (

22、x) =ax+ (2a+2)耳(x+1)2x+a，分成 a0，-丄vav0，a0 时，由 x0 知 f(x)0,即 f(乂)在(0，+X)上单调递增；(2)当 av0 时，令 f(x)0,则三.0,整理得，ax2+ (2a+2) x+a*(x+1)2 0,令 f( x)v0,贝u v0，整理得，ax2+ (2a+2) x+av0.第仃页(共 20 页)x (x+1)2以下考虑函数 g (x) =ax + (2a+2) x+a, g (0) =av0二-j: .-:，对称轴方程一二1当 a0)22当-1 vav0 时，此时，对称轴方程心-0,2a g (x) =0 的两根一正一负，计算得当 0v

23、xv亠_ 时，g (x)0；a当 x时，g( x)v0.a综合(1) (2)可知，当 a-丄时，f (乂)在(0，+x)上单调递减；2当-0 时，f (x)在(0，+x)上单调递增.2221. (14 分)(2014?山东)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C: +丄=1 (aba2bZ 0)的离心率为，直线 y=x 被椭圆 C 截得的线段长为二I.25(I)求椭圆 C 的方程；(n)过原点的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点(A，B 不是椭圆 C 的顶点).点 D 在椭圆 C上，且 AD 丄 AB,直线 BD 与 x 轴、y 轴分别交于 M，N 两点.(i) 设直线 BD， AM 的斜率分别为 k1, k2,证明存在常数入使得&=入也并求出 入的值；(ii)求厶 OMN 面积的最大值.【分析】(I)由椭圆离心率得到 a，b 的关系，化简椭圆方程，和直线方程联立 后求出交点的横坐标，把弦长用交点横坐标表示，则 a 的