华东师大数学分析答案_2058

1、第四章函数的连续性第一节连续性概念1按定义证明下列函数在其定义域内连续：1x 。（ 1） f ( x)； （ 2） f ( x)x证：（ 1） f (x)1的定义域为 D(,0)(0,) ，当 x, x0D 时，有x11xx0由三角不等式可得：xx0xx0，xx0x x0故当 xx0x0时，有11xx0xx02xx0x0x0对任意给的正数，取x020, 则x0，当xD且 xx0时，1x0有f (x)f ( x0 )11xx0可见f ( x) 在 x0连续，由 x0的任意性知：f (x) 在其定义域内连续。(2) f (x)x 的定义域为 (,), 对任何的 x0(,) ，由于x x0xx0，从

2、而对任给正数，取，当 xx0时，有f ( x)f ( x0 ) x x0x x0故f( x) 在 x0 连续，由 x0的任意性知，f (x) 在 (,) 连续。2指出函数的间断点及类型：（ 1） f ( x)x1；（ 2） f ( x)sin x ；（ 3） f ( x) cosx ；xx（ 4） f ( x)sgn x ；（ 5） f ( x)sgn(cos x) ；1,x7x,为有理数x7（ 6） f ( x)x；（ 7） f ( x)x,7 x 1x,x为无理数1( x1) sin, 1xx1解： （ 1） f ( x) 在 x0 间断，由于 lim ( x1 ) 不存在，故 x 0 是

3、 f ( x) 的第二类间断点。x x（ 2） f ( x) 在 x0 间断，由于lim f ( x)limsin x1 ，x0x0xlimf ( x)limsin x1故 x0 是 f ( x) 的跳跃间断点。x 0x0x（ 3） f ( x) 在 xn间断， (n0,1, 2,)由于l i m f (x)l i m c o sx 0，limf ( x)xlim cos x 0x nxnxnn故xn是 f (x) 的可去间断点 (n0,1 ,2,) 。（ 4） f ( x) 在 x0 间断，由于limf ( x)lim sgn x1，x0x 0limf (x)lim sgn x1 ，故 x0

4、是 f ( x) 的可去间断点。x 0x0（ 5） f ( x) 在 x2k(k0,1 ,2,) 间断，由于limf ( x)1 ，2x4k12l i m f ( x) 1 ，l i mf ( x)1 ，l i mf ( x) 14 k1x4k1x4k 1x222故 x2k(k0,1 ,2,) 是 f ( x) 的跳跃间断点。2（ 6） f ( x) 在 x0 的点间断且若x00 ，则 limf ( x)不存在，故 x0 是 f ( x) 的第二xx0类间断点。（ 7） f (x) 在 x7及x1间断，且 limf ( x)7， lim f ( x) 不存在， 故 x7 是x7x7f (x)

5、的第二类间断点。又因limf ( x)lim ( x1) sin10 ， limf ( x) 1，x1x 1x1x 1故 x1是 f (x) 的跳跃间断点。3延拓下列函数，使在(,) 上连续：（ 1） f ( x)x38 ；（ 2） f (x)3cos x ；x2x2（3） f ( x)x cos 1。x解：（ 1）当 x2时， f (x) 没有定义，而 limx38= lim (x 22x4) =12x2x2x2x3 8 , x 2(,) 上连续。于是函数F ( x)x2是 f ( x) 的延拓，且在12,x2（2）当 x0 时， f (x)没有定义，而 lim1cos x1，于是f (x)

6、 = limx22x 0x 01cosx ,x 0函数F ( x)x2是 f (x) 的延拓，且在(, ) 上连续。1x0,2（3）当 x0 时， f (x) 没有定义，而 limf (x) = lim x cos 10 ，于是x 0x 0x函数F ( x)xcos1 , x 0(,) 上连续。x是 f ( x) 的延拓，且在0,x04若 f 在 x0 点连续，则f， f2 是否也在 x0 连续？又若f或 f2 在 I 上连续，那么f 在I 上是否连续？解：（ 1）若 f 在 x0 点连续，则 f与 f2 在 x0连续。（ i ） f在 x0 点连续。事实上，由于f 在 x0 点连续，从而对任

7、给正数，存在正数，当 xx0时，有f ( x)f (x0 )，而f (x)f (x0 )f ( x)f ( x0 )故当xx0时，有f ( x)f ( x0 )，因此 f 在 x0 点连续。（ ii） f2在 x0 点连续。 事实上， 由于 f 在 x0 点连续， 从而由局部有界性知：存在 M0 及0 使当 x x01 时，f (x)M（ 1）1有，2有连续性定义知：对任给正数，存在正数2 ，当 x x02有f (x)f ( x0 )M（ 2）先取min1, 2，则当 xx0，上（ 1）与（ 2）式同时成立，因此f2 (x)f 2 (x0 )f ( x)f ( x0 ) f (x)f ( x0

8、 )f ( x)f ( x0 ) ( f ( x)f ( x0 ) )故f 2 在 x0 点连续。（ 2）逆命题不成立。例如设f ( x)1,为有理数，则 f， f 2 均为常数，故是连续函数，x为无理数1, x但 f (x) 在 (,) 任一点都不连续。50 时，f (x)g( x)，而f (0) g( 0)，试证f与 g 这两个函数中至多有一个在设当 xx 0 连续。证明：（反证）假设 f (x) 与 g( x) 均在 x0 连续，则 lim f ( x)f (0) ， lim g (x) g (0) ，x0x0又因 x 0 时， f ( x)g(x) ，于是 lim f ( x)lim

9、g (x) ，x0x 0从而f (0)g( 0)这与 f (0)g (0) 相矛盾。故 f 与 g 这两个函数中至多有一个在x0 连续。6证明：设 f 为区间 I 上的单调函数，且x0I 为 f的间断点，则 x0 必是 f 的第一类间断点。证： 不妨设 f 为区间 I 上的递增函数，于是当x I ，且 xx0 时， f ( x)f ( x0 ) ，从而由函数极限的单调有界定理可知：f ( x00) 存在 ，且 f ( x0 0) = limf ( x)f (x0 )xx0同理可证f ( x00) 存在，且 f ( x00) = limf ( x)f ( x0 )x x0因此 ， x0 是 f的

10、第一类间断点。7f只有可去间断点，定义g( x) limf ( y)，证明 g 为连续函数。设函数yx证：设f的定义域为区间 I ，则 g( x) 在 I上处处有定义（因f只有可去间断点，从而极限处处存在），任取 x0I ，下证 g ( x) 在 x0 连续。由于 g ( x0 )lim f ( y)yx0且 g( x)lim f ( y) （ xI ），从而对任给正数，存在正数，当 0 y x0时有yxg( x0 )f ( y) g( x0 )，22任取 xU 0 ( x0 , ) ，则必存在 U (x, )U 0 (x0 ,) 。于是当yU (x,) 时，由不等式性质知g(x0 )g( x

11、)limf ( y)g( x0 )2y x2因此当 xU 0 ( x0 ,) 时，有g (x)g( x0 )，故 g( x) 在 x0 处连续。8设 f 为 R 上的单调函数，定义g( x)f ( x0) ，证明函数 g 在 R 上每点都连续。证：由于f 为 (,) 上的单调函数，故f只有第一类间断点，故右极限处处存在。于是 g( x) 处处有定义，任取x0(,) ，下证 g 在 x0 右连续。由于g( x0 )f ( x00)= limf ( y) 且g ( x) = lim f ( y) ，（x）从而对任给正数y x0yx，存在正数，当 0yx0时，有 g( x0 )f ( y)g (x0 )，22任取 xU 0 (x0 ,) ，则必存在 U0 ( x,)U 0 ( x0 , ) 。于是当 yU0 (x, ) 时，上不等式成立。由极限不等式性质知g(x0 )g( x)limf ( y)g( x0 )2y x2因此当 xU 0 ( x0 , ) 时，有g( x)g(x0 )，故 g (x) 在 x0 处右连续。9举出定义在0,1上符合下列要求的函数：（ 1）在1 , 1和 1 三点连续的函数；234（ 2）只在1 , 1 和 1