勾股定理的应用 立方根 分式方程的应用 弧长和扇形面积 教学设计

1、16.3勾股定理的应用 教学设计思想：勾股定理及其逆定理的应用是很广泛的，本节课除了教科书提供的例子外，还补充一个九章算术中的有趣问题，使学生进一步认识勾股定理的悠久历史和广泛应用，了解我国古代人民的聪明才智。教学目标：知识与技能：能运用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）解决简单的实际问题。过程与方法：在解决实际问题的过程中，进一步培养从“形”到“数”和从“数”到“形”的转化，发展转化、推理能力。情感态度价值观：通过研究勾股定理的历史，了解中华民族文化的发展对数学发展的贡献，激发爱国热情和学习数学的兴趣。教学重难点：重点：利用勾股定理及逆定理，解决实际问题.准确难点：利用数学

2、中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题.教学方法：探究学习、合作学习课时安排1课时教学用具多媒体教学过程：一、创设问题情境，引入新课师：我们学习了勾股定理和直角三角形的判别条件（即勾股定理逆定理）.一起回忆一下.生：勾股定理：如果直角三角形两直角边是a，b，斜边为c，则a2+b2=c2.直角三角形判别条件（即勾股定理逆定理）：a，b，c是一个三角形的三条边，如果a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形.师：我们知道这两个定理非常重要.而之所以重要是因为它们是联系数学中最基本也是最原始的两个对象数和形.由直角三角形的“形”，可得到三边关系的“数”；反过来，由三角形三边关

3、系这个“数”，也可得到直角三角形这个“形”.更为重要的是，用它们能解决生活中的实际问题.例如：欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？所以至少需13米长的梯子.师：显而易见，勾股定理及其逆定理，应用十分广泛.下面我们再来看一个例子.二、讲授新课例1 如图所示，为了测得湖两岸点A和点C间的距离，一个观测者在点B设立了一根标杆，使ACB=90°。测得AB=200m，BC=160m。根据测量结果，求点A、C间的距离。分析：它对应的数学问题是什么？例2 登山运动员在山顶一平坦处竖立起一面会旗，旗杆被系在A处的三条等长的铁索拉近紧，并分别固定在地面的C，D

4、，E处，如图所示。如果ABC=ABD=ABE=90°，那么BC，BD，BE这三条线段的长度有怎样的关系？分析：（1）线段BC，BD，BE分别在哪些三角形中？这些三角形是直角三角形吗？（2）这些直角三角形的边之间有怎样的关系？（3）能由已知推出BC，BD，BE长度之间的关系吗？三、一起探究工人在制作铝合金窗框时，为保证窗框的四个角都是直角，有时采用如下的方法：如图，先亮出框AB，BC的长，再量出两点A，C的距离，由此判断B是否直角。1判断B是否直角的依据是什么？2如果AB=1.2m，BC=0.9m，那么，只有当点A，C的距离为多少时，B才是直角呢？引导学生思考：（1）这个实际问题可以归

5、结为一个什么样的数学问题？（2）你想怎样解决这个数学问题？（3）由数学问题的解决如何解释实际问题？四、试一试在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？（这是一道我国古代数学著作中记载的一个有趣的问题，让学生在全班对这个问题进行讨论，从中进一步认识勾股定理的悠久历史和广泛应用，了解我国古代人民的聪明才智）师生共析：我们可以将这个实际问题转化成数学模型.解：如图，设水深为x尺，则芦苇长

6、为（x+1）尺，由勾股定理可求得（x+1）2=x2+52，x2+2x+1=x2+25解得x=12则水池的深度为12尺，芦苇长13尺。五、小结这节课我们利用勾股定理和它的逆定理解决了生活中的几个实际问题.我们从中可以发现用数学知识解决这些实际问题，更为重要的是将它们转化成数学模型。六、练习1课后习题2举出生活中的一些实例，并用勾股定理解决它.3收集勾股定理的历史.七、作业习题16.3 1，2，3八、板书设计勾股定理的应用例1 一起探究 试一试例2方位、路程问题用勾股定理能解决的数学问题.勾股定理的灵活应用.立方根 教学设计（一）教学设计思想：这节课我们讨论立方根的概念，立方根的个数的唯一性及立方

7、根的求法，这是本章的重点内容之一在学习了平方根的概念的基础上学习立方根的概念，学生比较容易接受，因此教学重点放在立方根具有唯一性(实数范围内)的讨论上，组织教学活动时，引导学生多举一些实例。在学习的过程中让学生仔细观察、大胆猜测、交流讨论、分析推理，最后归纳总结。让学生思考问题，获取知识，掌握方法，借此培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体。教学目标：知识与技能：1能说出立方根的概念，会表示一个数的平方根。2知道开立方与立方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求一个数的立方根。3知道表示的是非负数a的平方根。过程与方法：通过用类比的方法探寻出立方根的运算及表示方法，并能自我总

8、结出平方根与立方根的异同。情感态度价值观：发展求同存异思维教学重难点：重点：立方根的概念及求法准确难点：立方根与平方根的区别教学方法：类比及引导探索法课时安排1课时教学用具多媒体教学过程：（一）创设情境、复旧导新1想一想：平方根是如何定义的？平方根有哪些性质？（1）一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。（2）正数有 个平方根，它们 ；（3）0的平方根是 ；（4）负数 ；为使学生能更轻松地发现，掌握立方根，先激活学生记忆中有关平方根的知识，在这里设计了想一想，让学生回顾平方根的知识，以填空的形式简要归纳，为立方根的引入奠定基础。2做一做：（多媒体展求图片及问题）要制

9、作一种容积0.125m3的正方体形状包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？用多媒体展示图片和课件让学生动手做一做。在做的过程中引导学生思考，利用体积等于边长的立方，将此题转化为求一个数使它的立方等于27，得出边长为3m。这样从现实生活中提出数学问题，把教学内容转化为具有潜在意义的问题，让学生产生强烈的问题意识，使学生的整个学习过程成为“猜想”，使学生积极主动地投入到数学活动中去，同时为学习立方根提供背景和生活素材。3试一试：你能试着给数的立方根下个定义吗？（学生分组讨论，相互交流，再总结定义，最后由教师补充）一般地，如果一个数x的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。即：如果x3=a，

10、那么x叫做a的立方根。求一个数的立方根的运算，叫做开立方。（强调开立方与立方是逆运算）让学生试着给出立方根和开立方的定义。在这里让学生原有的知识和经验出发，引导学生通过类比、思考、探索、交流来获取知识和学会学习，同时让学生经历数学知识的形成与应用过程，使他们更好地理解数学概念的形成，发展他们的数学能力。在本次活动中，教师要关注：学生对平方根的了解程度；学生能否正确的利用类比的方法说出立方根和开立方的概念；通过对概念的探究，能否理解立方与开立方是一种互逆的运算；学生在活动中的参与意识及发表个人见解的勇气。（二）启发诱导 探索新知1探究：根据立方根的意义填空（1）因为23=8，所以8的立方根是（

11、）；（2）因为（ ）3=0.125，所以0.125的立方根是（ ）；（3）因为（ ）3=0，所以0的立方根是（ ）；（4）因为（ ）3=8，所以8的立方根是（ ）；（5）因为（）=，所以的立方根是（ ）； 学生在了解立方根的有关概念的基础上通过对问题的研究，进一步巩固立方根的概念，并能熟练地利用开立方与立方的互逆性，求一个数的立方根。2大家谈谈：（学生分组讨论）观察练习题中正数、0和负数的立方根各有什么特点？并完成多媒体展示的表格平方根立方根正数有两个且互为相反数00负数没有平方根以填空的方式让学生计算具体的正数、0和负数的立方根，寻找它们各自的特点，通过小组讨论合作交流，归纳得出立方根的性质

12、。这样让学生通过探究活动经历了一个由特殊到一般的认识过程，在探究的过程中发展思维能力，有效的改变学生旧有学习方式。3自主探究：如何表示一个数的立方根？一个数a的立方根可表示为：，读作：三次根号a其中a是被开方数，3是根指数。通过让学生自主探究立方根的表示方法和读法，进一步训练学生利用类比的方法学习立方根，这样将新旧知识联系起来既有利于复习巩固平方根，又有利于理解和掌握立方根。4议一议： 你能说说数的平方根与数的立方根有什么不同吗？设计这个问题，可以了解学生对立方根及平方根知识的掌握程度，可以在教的过程中，对于学生不理解的，没掌握的知识点再加以强调。学生在归纳的过程中可能结果不是很完善，教师可以

13、引导学生从各自的定义、性质、表示方法上加以区别。在本次活动中，教师要关注：学生能否根据立方根的概念填空；学生能否准确地归纳出立方根的性质；学生能否正确地用符号表示一个数的立方根；学生能否全面地说出平方根与立方根的区别。（三） 引导探究，延伸知识1探究：例1 求下列各数的立方根（1）8；（2）； （3）0.064解：（1）因为所以 8的立方根是2，即 =2（2）因为所以的立方根是，即=（3）因为所以的立方根是0.4，即 =0.42猜一猜：你能从上述问题中总结出互为相反数的两个数a与a的立方根的关系吗？教师引导学生先分析每个式子所表示的意义再填空。通过这个活动，让学生大胆猜想，训练学生由浅入深，从

14、特殊情形总结一般规律的能力，进一步熟悉立方根的求法，总结出负数立方根的一个重要性质：=3做一做：例：求下列各式的值（1）（2）（3）例题采取学生自己先动手做，再由教师点评，最后师生共同小结的方式完成。这种师生互动的形式激发了学生学习的热情，使学生主动地获取了知识和技能。在（2）、（3）两题中，鼓励学生采取用多种方法来做，培养他们的发散思维。4练一练：求下列各式的值（1）（2）（3）（4）考虑到学习知识的过程就是一个由浅入深的过程，这又是学生第一次独立解题，故而练习的题目应以简单为宜。练习题中的被开方数由整数到小数再到分数，由正数到负数设计的比较全面，从学生的解题过程中也能较全面地看出学生对知识

15、的掌握程度。在本次活动中，教师应关注：学生能否真正理解每个根式所表达的意义；学生对立方根的了解程度；学生能否正确的说出一个负数立方根的求法。（四）归纳小结 深化新知学生总结，教师补充，重点总结平方根和立方根的异同点（五）板书设计弧长和扇形面积 教学设计教学设计思想本节需要两个课时，第一课时学习弧长和扇形面积，第二课时认识圆锥的侧面展开图。提高学生解决问题的能力，特别是用用数学解决问题的能力是数学教学的重要目标，因此本节内容重在方法的掌握，不要求学生死记公式。其中例题的学习主要通过学生的活动来完成，让学生学会分析面对的问题，遇到障碍时不至于束手无策。教学目标知识与技能：1会计算弧长及扇形的面积。

16、2会计算圆锥的侧面积和全面积，并能用这些知识解决相关问题。3知道圆锥的侧面积和扇形面积之间的关系。过程与方法：1通过作图、识图、阅读图形探索弧长、扇形及其组合图形面积的计算方法和解题规律。2在探究弧长公式和扇形面积公式的过程中，体会“从特殊到一般”的数学思想方法。情感态度价值观：在合作交流中体验成功的快乐。教学重难点重点：1计算弧长和扇形面积；2利用弧长和扇形面积公式计算圆锥的侧面积和全面积。难点：理解公式的推导过程教学媒体多媒体课时安排2课时教学过程设计一、复习引入已知O半径为R，O的面积S是多少？S=R2我们在求面积时往往只需要求出圆的一部分面积，如图中阴影图形的面积为了更好研究这样的图形

17、引出一个概念扇形：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。你能举例说出生活中的扇形吗？（比如扇子。）问题1：请同学们观察下图，指出哪部分是扇形，并说出它是由哪条弧和哪两条半径构成？问题2：请同学们判断，在同圆或等圆中，是否具有相同圆心角的扇形面积也相等呢？学生同桌讨论，做出正确判断，老师予以补充说明。结论：在同圆或等圆中，由于相等的圆心角所对的弧相等，所以具有相等圆心角的扇形，其面积也相等。二、做一做认识了扇形，我们下面就来一起探究一下已知O半径为R，如何求圆心角n°的扇形的面积1教师引导学生迁移推导弧长公式的方法步骤：设置问题：圆的周长是多少？1°圆心角所

18、对弧的长是多少？90°圆心角所对弧的长是多少？n°圆心角所对弧的长是多少？学生独立思考，给出答案。（1）圆周长C=2R；（2）1°圆心角所对弧长=；（3）90°圆心角所对弧长=；（4）n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长的n倍；n°圆心角所对弧长=归纳结论：若设O半径为R， n°圆心角所对弧长l，则   （弧长公式）2一起探究扇形面积教师组织学生对比研究：（1）圆面积S=R2；（2）圆心角为1°的扇形的面积= ；（3）圆心角为1°的扇形的面积=（4）圆心角为n°的扇形的

19、面积是圆心角为1°的扇形的面积n倍；（5）圆心角为n°的扇形的面积=归纳结论：若设O半径为R，圆心角为n°的扇形的面积S扇形，则S扇形= （扇形面积公式）3理解公式教师引导学生理解：（1）在应用扇形的面积公式S扇形= 进行计算时，要注意公式中n的意义n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；（2）公式可以理解记忆（即按照上面推导过程记忆）；提出问题：扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？（教师组织学生探讨）S扇形= lR想一想：这个公式与什么公式类似？（教师引导学生进行，或小组协作研究）与三角形的面积公式类似，只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l看作底，R看

20、作高就行了这样对比，帮助学生记忆公式实际上，把扇形的弧分得越来越小，作经过各分点的半径，并顺次连结各分点，得到越来越多的小三角形，那么扇形的面积就是这些小三角形面积和的极限要让学生在理解的基础上记住公式三、灵活应用例 如图，O的半径为10cm。（1）如果AOB=100°，求的长（精确到0.1cm）及扇形AOB的面积（精确到0.1cm2）；（2）已知=25cm，求COB的度数。学生：利用所学弧长及扇形面积的共式，充分探究，最后教师归纳总结。解：略，见课本P17。四、巩固练习教材P17 练习五、总结知识：弧长及扇形面积公式 S扇形= ，S扇形= lR方法能力：迁移能力，对比方法六、作业

21、 教材P18习题1、2、3七、板书设计弧长和扇形面积一、 定义 二、弧长公式 三、扇形面积公式 四、例题 五、练习第二课时一、引入生活中，我们会遇到许多圆锥形的物体，如图中的铅锤、粮堆、烟囱帽、漏斗等今天我就来研究它的一些特性。二、做一做在小学我们已知道，圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，如下图。我们把圆锥的顶点与地面圆周上任一点的连线叫做圆锥的母线。从圆锥的顶点与底面圆心之间的线段叫做圆锥的高h问：初一时我们学习几何体的展开图，请回忆一下，圆锥侧面展开图是什么形状？答：扇形。好，那请同学们把手中的圆锥沿侧面展开。学生以小组为单位，动手活动问：请同学们观察手中的图形，思考这个扇形所在

22、圆的半径长什么？学生独自思考，并回答。侧面展开图（扇形）的半径长等于圆锥的一条母线长。三、一起探究请同学们结合手中的圆锥展开图，思考已知圆椎的底面半径为r，母线为a。（1）如何用r和a表示扇形的弧长及扇形的面积？（2）如何用r和a表示圆锥的侧面积以及圆椎的表面积？学生以小组为单位讨论探究，老师巡视指导然后选几个小组的代表回答探究结果，其他学生补充说明。师生一起总结出如下公式：底面的周长：2r；底面的面积：r2；扇形的弧长：2r；圆椎的表面积：ra+r2四、应用例2 略。见课本P18例3 略。见课本P19这两道例题由学生独立完成五、练习课本P20 练习1、2六、小结圆锥是由一个圆和一个曲线围成的

23、，这个曲线的展开图是一个扇形，我们可以利用扇形的面积公式来求圆锥的侧面积，从而进一步求出圆锥的表面积。圆锥侧面展开图(扇形)中的各元素与圆锥的各元素之间的关系极为密切，即扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长是圆锥底面圆的周长。因此我们要重视空间图形与平面图形的互相转化。七、板书圆锥的侧面积一、母线和高 二、圆锥侧面积与表面积 三、例题分式方程的应用 教学设计思路本节是用分式方程解决实际问题，目的是深入感受分式方程的模型思想。经历用分式方程解决实际问题的过程，引导学生对用方程解决实际问题进行归纳总结，突出类比思想。教学目标知识与技能通过解决实际问题，体会如何恰当地把握不同形式的等量关系；能将实际问

24、题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型思想。过程与方法经历“实际问题分式方程模型求解解释解的合理性”的过程，发展分析问题、解决问题的能力；情感态度价值观实际问题中探索数学规律，强调从特殊到一般、类比、转化的数学思想；经历用方程解决实际问题的过程，进一步增强应用意识。教学重点和难点重点是分式方程的应用。难点是分式方程的应用。教学方法启发引导、小组讨论、合作探究课时安排2课时教具学具准备投影仪或电脑教学过程设计相关知识点1.列方程(组)解应用题的一般步骤是：审清题意；设未知数，找等量关系列方程；解方程；检验；写出答案列分式方程解应用题的方法、步骤与上述相同，关键是最后必须验根2.分式方程

25、的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程3.分式方程的解法（1）解分式方程的基本思想方法：（2）解分式方程的一般方法和步骤：一般解法是去分母，具体步骤如下：去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；解这个整式方程；验根：把整式方程的根代人最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去新授第一课时有些实际问题用列分式方程的方法解决更直接、更方便。小红和小丽分别将9 000字和7500字的两篇文稿录入计算机，所用时间相同。已知两人每分钟录入计算机的字数的和是220字。两人每分钟各录入多少字?（一）一起探究1.请找出上述问题中的等

26、量关系。2.试列出方程，求出方程的解。3.写出问题的答案，将结果与同学交流。参考1.(1)小红录入9 000字所用时间小丽录入7 500字所用时间。(2)小红每分钟录入的字数+小丽每分钟录入的字数220字。2.设小红每分钟录入x字，则解得x120。经检验是原方程的根。220一x=100。3.小红每分钟录入120宇，小丽每分钟录入100字。（二）例题例1 某工程队承建一所希望学校。在施工过程中，由于改进了工作方法，工作效率提高了20，因此，比原定工期提前1个月完工。这个工程队原计划用几个月建成这所希望学校?分析：如果设工程队原计划用x个月建成这所学校，那么，改进工作方法前的工作效率为，改进工作方法后的工作效率为。根据等量关系“改进工作方法前的工作效率×(1+20)改进工作方法后的工作效率”，可列出方程。解：设工程队原计划用x个月建成这所希望学校，根据题意，得。解这个方程，得x6。经检验，x=6是原方程的根。答：这个工程队原计划用6个月建成这所希望学校。（三）大家谈谈请试着说说列分式方程解决实际问题的一般步骤它与列整式方程(组)解决实际问题的般步骤有什么相同点和不同点?与同学交流。对用方程解决实际问题进行归纳总结，突出类比的思想。（四）练习某项工作