2020版高考复习第七章数列

1、1第七章数列及求和7.1 数列的概念与简单表示抓基础V主学习I理教材徳自期1、数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它 的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项）2、数列的通项公式如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示， 那么这个公式叫做这个数列的通项 公式.3、数列的递推公式如果已知数列an的第1项（或前几项），且任何一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一 个式子来表示，即 an= f（an）（或an = f（an-1 , an -2）等），那么这个式子叫做数列 an的递推公式

2、.4、Sn与an的关系Si, n= 1,、已知数列 an的前n项和为Sn,则an=这个关系式对任意数列均成立.SI SI-1, n2,5、数列的分类分类标准类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an+ 1>an其中n N*递减数列an+1 Van常数列an+ 1 = an按其他标准分类有界数列存在正数 M ,使an M摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项, 1例11、数列an中，a = 2,且an+1 = qan 1 ,则a5的值为n1 + a 2 , n为偶数,I2、数列an定义如下：a1= 1 ,当n2时，an

3、= I若an = 4贝卩n的值为_9一,n为奇数，an 1突破点二数列的性质例2 (数列的单调性)1、已知数列an的通项公式是an = 3 ,那么这个数列是一递增(填递增或递减)2、设an = 3n2+15n 18 ,则数列an中的最大项的值是 0.3、已知数列an的通项公式为an= (n + 2) n,则当an取得最大值时，n等于5或6.方法技巧求数列最大项或最小项的方法(1)将数列视为函数f(x)当x N*时所对应的一列函数值，根据f(x)的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f(x)的最值，进而求出数列的最大(小)项.an an1,an an -1 ,(2) 通过通项公式

4、 an研究数列的单调性，利用(n 2)确定最大项，利用(n 2)anan+1an an+1确定最小项.(3) 比较法： 若有an+1 an = f(n + 1) f(n)>(或an>0时，a>1 ),贝U an+ 1>an,即数列 an是递增数列，所以数 列an的最小项为a1 = f(1); 若有an+1 an = f(n + 1) f(n)<(或an>0时，a<1 ),贝U an +1<an,即数列 an是递减数列，所以数列an的最大项为 a1 = f(1).例3 (数列的周期性)1、已知数列2 008,2 009,1 , 2 008 ,，若这

5、个数列从第二项起，每一项都等于它 的前后两项之和，则这个数列的前2 018项之和S2 018=.解析 由题意可知 an+1 = an+ an+2, a1 = 2 008, a2= 2 009, a3= 1, a4= 2 008, a5= 2 009, a6 =1, a7= 2 008, a8 = 2 009,，° an+ 6 = an,即数列 an是以 6 为周期的数列，又 a1+ a2+ a3+ a4+ a5+ a6= 0, S2 018 = 336(a1 + a2+ a3+ a4+ a5+ a6) + (a1+ a2) = 4 017.2、 若数列an中，a1= 2, a2= 3

6、, an+1= an an-1 (n2),贝U a2 019 =()A. 1B. 2C. 3D. 3解析： 选 A 因为an=an 1 an 2(n 3), 所以an+ 1= anan 1=(an 1 an 2) an 1 = an 2,所以an + 3=an,所以an+ 6= an+3 = an ,所以 an是以6为周期的周期数列.因为 2 019= 336 × 6+ 3,所以a2 019 = a3= a2 a1 = 3 2 = 1.故选 A.3、 数列an满足a1= 2, a = 也三，其前n项积为Tn,贝U T2 019 = ( C )an+1+ 11a.2B . - 2突破点

7、三利用an与Sl的关系求通项S1, n = 1, 数列 an的前n项和Sn与通项an的关系为an =Sn - Sn-1, n 2,通过纽带:an= Sn Sn-1( 2),根据题目已知条件，消掉 an或3,再利用特殊形式（累乘或累加）或通过构造成等差数列或者等比数列求解.例4 1、已知Sn是数列an的前n项和，且Sn= n2+ 1 ,则数列an的通项公式是 .2, n= 1,答案:an=2n 1, n22、已知SI为数列an的前n项和，且log2(Sn+ 1) = n + 1,则数列an的通项公式为 .所以数列an的通项公式为an =3, n= 1, 2n, n 2.解析 由 log2(Sn+

8、 1) = n+ 1 ,得 Sn+ 1 = 2n*1,当 n= 1 时，a1 = S1 = 3;当 n2 时，an = SI Sn-1 = 2n,第5页（共33页）3、已知数列an的各项均为正数，Sn为其前n项和，且对任意 n N* ,均有an, 3, a!成等差数列，则 an解析：. an, Sn, a!成等差数列，. 2Sn= an+ a2. 当 n = 1 时，2S1 = 2a1 = a1 + a2.又 a1>0, a1 = 1.当 n 2 时，2an = 2(Sn SI-I)= an+ an an -1 a2-1, (an an- 1) (an+ an-1)= 0. (an+ a

9、n- 1)(an- an- 1) (an+ an- 1)= 0, (an+ an-1)( an an- 1 1) = 0, an+ an-1>0, an an-1 = 1 ,an是以1为首项，1为公差的等差数列， an= n(n N*).4、已知数列an的前n项和为 Sn, a1 = 1 , Sn= 2an+1,贝U Sn=()ACn-ID 3 n-1C 2 n1C1 n-1A.2 1B.21C. 31D .21解析：选 B Sn= 2an+ 1 = 2Sn+ 1 2Sn? 3Sn = 2Sn+1? -S- = ?,故数列 Sn为等比数列，公比是？，又 & =3 3 1 ,所以

10、SI= 1× 2 n 1= 2 n 1.故选 b.5、已知数列an的前n项和为Sn,且a1= 1, Sn =n+ 1 an则 a2 019=(A. 2 018B . 2 019C . 4 036 D. 4 038a11已知Sn求an的3个步骤解析：选B由题意知n 2时，an = Sn-Sn- 1 =号严罟，化为=， = S =1 , an= n.则 a2 019= 2 019.故选 B.方法技巧（1）先利用a1 = S1求出a1;用n 1替换SI中的n得到一个新的关系，利用a= Sn- Sn- (n 2)便可求出当n 2时an的表达式;对n= 1时的结果进行检验，看是否符合 n2时a

11、n的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式 合写；如果不符合，则应该分n= 1与n2两段来写.突破点四 利用递推关系求通项例5 1、在数列an中，a= 2, an + = an+ 3n+2,求数列an的通项公式.n 12、在数列an中，a1= 1, an=an- 1(n2),求数列an的通项公式.3、在数列an中a1= 1, an+1 = 3an+ 2,求数列an的通项公式.2a4、已知数列an中，a1= 1, an+1 = a十；,求数列an的通项公式.n 3n + 12 (n 2).解(1)因为 an+1 an = 3n + 2 ,所以 an an-1= 3n 1(n 2),所以 an=

12、 (an an-1)+ (anT an -2)+ + (a2 a1)+ a1当n = 1时，a1= 2 = 1× (3 × 1 + 1),符合上式，所以 不=务2+乡n 1因为an = an- 1(n2),所以n- 2an-1 = an- 2,n 11,a2= a1.1 2n 1 a1 1由累乘法可得an=彰彳肓=匸=n(n 2).又a1=1符合上式,an +1 + 1 因为an+1=3an+2,所以an+1 + 1 = 3(an+ 1),所以=3,所以数列an+ 1为等比数列，公比qan+ 1=3,又 a1 + 1 = 2,所以 an + 1 = 2 3n 1,所以 an

13、= 2 3n 1 - 1an+1 =2anan+ 2,a1 =1, an 0 ,丄=丄+1an+1an2,即1an+ 11 1=1，又 a1= 1 ,则an2a1a;是以1为首项，2为公差的等差数列.=+ (n -1) × an a11 = n + J2 2 2'an =-(n N*).方法技巧n + 1典型的递推数列及处理方法1 °形如"an I Pan q ”，利用待定系数法求解。求数列an的通项公式的关键是将 an 1 qa* b转化为 an 1 a q(an a)的形式，其中 a 的值可由待定系数法确定，即 bqan b an 1qan (q 1)

14、a a (q 1).q 12°递推关系形如“ an 1Pan qn”，两边同除Pn1或待定系数法求解1、递推已知数列 an中，关系形如“递推关系形如"累加法：an I累乘法：an I在数列an中,A . 31anananan 2P an I q an ”，利用待定系数法求解Pan 1f(n)f(n)qanan(p,q0）,两边同除以anan 1anan(anana n 1an I)(anan 2 )(anan3）(a2 a1 ) a1an 1an 2an 2an 3a3 a2 a1a2 aa1= 1, an+1 = 2an+ 1(n N),贝U a4 的值为(C )B .

15、30C. 15631 1已知数列an满足an+1=，右a1=3，贝U a2 019=(1 an2C. 13、数列1,4,- 9,16, - 25,的一个通项公式为(BA . an= n2B. an= ( 1)n 2C. an= (- 1)n+1 n2an= ( 1)n (n+ 1)21 1114、若数列的前4项分别是1-1, 4, - 5,则此数列的一个通项公式为-1 n+1 A石-1 nB . n+ 1-1 n-1D.-n5、在各项均为正数的数列 an中，对任意 m, n N*,都有am+ n= am an若a6= 64,则a9等于（CA. 256B . 510C. 512D . 1 024

16、6、设数列an的通项公式为an= n2- bn,若数列an是单调递增数列，则实数 b的取值范围为（CA . (-,- 1B. (-, 2C. (-, 3) D.-, 9第#页（共33页）解析：选C 因为数列 an是单调递增数列，所以an+1 an= 2n+ 1 b>0(n N*),所以 b<2n+ 1(n N*),所以 b<(2n + 1)min = 3,即 b<3.7、已知数列an的前n项和Sn= 2- 2n+1,贝U a3= ( D )D.B. 28、已知数列an,则“ an+ 1>an- 1”是“数列an为递增数列”的（B）A .充分不必要条件B.必要不充分

17、条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9、设数列an的前n项和为Sn,且a1= 1, Sn+ nan为常数列，则an等于（B1A. 3n-1B. n2n+ 15 - 2nD .丁解析：选B 由题意知，Sn+ nan = 2,当n2时,一 a2 a3 a4(n+ 1)an= (n- 1)an-1,从而二二环an = 1 2an-13 4n 1 n+ 1,2 2 有an= nTT '当n =1时上式成立'所以an=不匚1.10、已知数列an，bn,若 b1 =0，an= n，当 n2 时，有 bn=bn-1 +an-1 ,则 b501 =霧解析： 由bn=bn + an-1 得b

18、n bn=a-1 ,所以 b2 b= ai, b3 b2=a2,，bnbn-1=an-1,所以 b21 1 1-b1 + b3 b2+bn-bn-1=a1+a2+an-1=1×2+ 2×3+1×n，即 bn-b1=a1 + a2+an-七+2×3+=11+23+÷t= 11=1又b1=°，所以 bn=1所以500 b501=50?11、已知在数列an中,nan+1 = n+7n(n N),且a1=4,则数列an的通项公式an=解析:an+ 1 =an,n+ 2,an + 1ana2a1a 1aanI=+1 (2)，以上式子累乘得，石=

19、n 3 n 2 1n 1 n n+ 12 8 8 + 1 .因为a1 = 4,所以a= + 1 (n2).因为a1 = 4满足上式，所以a= +.12、已知数列a满足 a1 = 2, an a = n(n 2,n N*),贝U a =n2+ + 22-第11页(共33页)解析：由题意可知，a2 a1 = 2, a3 a2= 3,，an an-1 = n(n 2), 以上式子累加得，a 一 a1 = 2 + 3+ n.n 1 2+ n n2 + + 2因为 a1= 2 ,所以 a= 2+ (2+ 3+ n) = 2+2=2( 2) 因为a1= 2满足上式，所以a =n2+ n + 2213、若数

20、列a是正项数列，且a+.a2+a3+ .a= n2+ ,贝Ua1 + + +=2n2 + 2n.解析：由题意得当 n2 时，a= 2+ n (n 1)2 (n 1)= 2n, ° a = 4n2.又 n = 1, 一 a1= 2,二 a1= 4,. a= 4n, a1+ 2+ + a= 1(4 + 4n)= 2n2+2n.14、已知数列a满足 a1 = 3, a+1 = 4a+ 3.(1) 写出该数列的前4项，并归纳出数列a的通项公式；a+1 + 1(2) 证明：齐1=4.解：(1)a1 = 3, a2= 15, a3= 63, a4 = 255.因为 a1 = 41 1, a2 =

21、 42 1, a3 = 43 1, a4 = 44 1,，所以归纳 得 a = 4n 1.(2)证明：因为a+1 +1an+1= 4an+ 3,所以 an+ 14a+ 3 +1a+ 14 a+ 1 =4.a+ 115、已知数列a的通项公式是a= n2+ kn+ 4.若k=- 5,则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；对于n N*,都有an+ >an,求实数k的取值范围.解：由 n2- 5n + 4<0,解得 1<n<4.因为 n N*,所以 n = 2,3,所以数列中有两项是负数，即为a2, a3.因为an= n2-5n+ 4 = n 5 2-

22、4,由二次函数性质，得当 n= 2或n = 3时，an有最小值，其最小值为 a2 = a3=- 2.(2)由an +>an,知该数列是一个递增数列，又因为通项公式 an = n2+ kn+ 4,可以看作是关于 n的二次函数，考虑到n N*,所以一|<|,解得k> 3所以实数k的取值范围为(一3,+).216、已知数列an的前n项和Sn= n2+ 1 ,数列bn中，bn=,且其前n项和为Tn ,设Cn = T2n+ 1-Tn.an+ 1(1)求数列 bn的通项公式；(2)判断数列cn的增减性.23 n = 1， 解：(1) a1= S1 = 2, an= SI-SI-1 = 2

23、n- 1(n 2),' bn=I丄 n 2 .n1 1+ n + 22n+ 11(2)由题意得 Cn +1 CnCn= bn+1 + bn + 2+ + b2n + 1 =+n+ 11_1 1 1 1 -12n + 2+ 2n+ 3一 n + 1 = 2n+ 3一 2n + 2= 2n + 3 2n + 2 <0, Cn +1<Cn,.数列Cn为递减数列.7.2 等差数列及前n项和抓基册自主学习双基自主掰1、等差数列的通项公式和性质(1)等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差

24、通常用字母d表示。即a?aa3a?a4 a3an an 1an 1 an(2)等差数列的通项公式：如果等差数列an的首项是31 ,公差是d ,那么由等差数列的定义得到它的通项公式为ana n 1 d.(3)通项公式的变形： 对于任意的m N ,在等差数列中，有 an am n m dana1n 1 danamn m dan amn m(4) 通项公式的应用： 可以由首项和公差求出等差数列中的任一项;A叫做a和b的等差中项。其中已知等差数列的任意两项，就可以确定等差数列中的任一项。(5) 等差中项：如果三个数a,代b组成等差数列，那么a b【注意：若A,即A a b A,则a,A,b成等差数列。

25、】2(6) 等差数列的判定定义法：an I an d常数an是等差数列;通项公式法：耳kn b k、b为常数an是等差数列;(相中项法：2an i an an 2 an是等差数列【注意：此法常适用于未知或不能求出通项公式的情形对于等差数列的定义，an an I d n 2,n N 常用于已知或可求出通项公式的情形)】(7) 等差数列的性质对于任意正整数n ,都有an i an d (定义式)，即a. i a.anan 1an 1 an 2a2a1对于任意正整数n、m n m 都有 an amn m d(通项公式的推广式)对于任意正整数m、n、p、q ,若 m n P q ,贝U amanap

26、aq ；特别地，若 m n2r ,则am an2ar.an成对于非零常数b ,若数列aJ成等差数列，公差为d ,则ban成公差为bd的等差数列；且b 公差为d的等差数列. 若an、bn都是等差数列，Cn a* bn, dn a* bn ,则Cn'dn都成等差数列。 若an为公差为d的等差数列，则Ian、an k、an 2k组成一个公差为Ikd的等差数列（即下标成等差数 列的各项成等差数列）。 在等差数列an中，aana2an1a3an2.2、等差数列的前n项和（1）等差数列的前n项和定义：一般地，我们称a a2 a3 . an为数列an的前n项和，用Sn表示, 即（3）求和公式：,依据

27、是在等差数列a.中,Sn2n n 1Qna d 2A. 12B. 14C. 16D. 18第13页（共33页）【注意：以上两个公式中都含有 a1和n ；如果已知an和an，则用公式；如果已知 a1> n和d， 则用公式；这两个公式中共有5个基本量，可知三求二；】【扩充：若二次函数常数项为零，则该二次函数所表示的数列，一定是等差数列；若数列的二阶差相等，则该数列可用二次函数表示】（4）对于Sn的函数性的理解由公式Sn na1n n 1d可进一步变形为2na12n dndd 2一 nda1n,若令Ad22222a1,则 Sn An2 Bn.该式是等差数列前 n项和公式的另一种表达形式。当A

28、0,即d 0时，Sn An2 Bn是n的二次函数，即 n, Sn在y Ax2 BX的图像上。因此,2当d 0时，数列S1,S2,S3, Sn的图像是抛物线y AXBX上的一群离散的点。因此，由二次函数的性质即可得结论：当d 0时，Sn有最小值，当d 0时，Sn有最大值。等差数列的前 n项和与函数的关系，给出了一种判断数列是否为等差数列的方法：若数列前n项和Sn An2 Bn C ,那么当C 0时，数列是一个首项为 A B ,公差为2A的等差数列；当IC 0时， 数列不是一个等差数列。（5）等差数列的前n项和的性质 等差数列an中，Sn1S2n Sn1San S2n,也成等差数列，公差为n勺.

29、等差数列an中，若Smp,Spm m P ,则Sm P m P . 等差数列an中，若Sm SP m P ,则Sm P 0等差数列an中，若项数为偶数2n ,则 S,nnana.1a.、a.1 为中间两项；S偶S奇nd;an 1若项数为奇数2n1 ,则S2n 1 2n 1 an an为中间项若数列an与bn均为等差数列，且前n项和分别是Sn和Tn ,则ambmEm 1m 1明考向题型突剧析现较曲法I突破点一等差数列的基本运算例1 （通项公式）1、在等差数列an中，a2= 2, a3= 4,贝V a10= （ D ）2、在等差数列an中，a2= 5, a6= a4 + 6,贝U a1等于（B ）

30、3、已知递增的等差数列an满足a1= 1, a3= a2 4,则an=a1 = 1a1 = 1,解析：设等差数列an的公差为d,由已知得a3= a1+ d2 4,即1+2d= 1 + d2 4,解得a1= 1, 于等差数列an是递增的等差数列，因此d =2.所以 an= a + (n 1)d= 2n 1.4、若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5, 例2 （前n项和）1、已知等差数列an满足a2 + a4= 4,则m与n的等差中项是3a3+ a5= 10,则它的前10项和Sio=(A. 138B . 135C. 95D. 23a2 + a44解析：设等差数列an的首项为a1,公差为d

31、.则a3 + a5 = 10一得 2d = 6, d= 3.a2+ a4= a1+ d+ a1+ 3d = 2a1 + 4d = 2a1+ 4 × 3 = 4, a1 = 4, S10= 10 × ( 4) + 210× 9× 3 = 40+ 135 = 95.故选 C.2、等差数列an的前n项和为Sn,若S2= 4，S4= 20,则数列an的公差d等于（B3、设Sn为等差数列 an的前n项和,a12= 8,S9= 9,贝U S16 =解析：设等差数列an的首项为a1 ,公差为a12= a1+ 11d = 8,d,由已知，得9d× 8S9= 9

32、a1 +9,解得a1= 3,d = 1.16× 15 Si6 = 16× 3+2× ( I) = 72.4、设等差数列an的前n项和为Sn, Sn= 22,a4 = 12,若 am = 30,贝V m=(B . 10C . 11D . 15解析：设等差数列an的公差为d,依题意S11= 11a1 + 11× ；1 1 d= 22,解得a4= a1 + 3d = 12,a1 = 33,d = 7, am = a1 + (m 1)d= 7m 40= 30, m= 10.5、已知等差数列an为递增数列，其前3项的和为一3 ,前3项的积为8.（1）求数列 an的

33、通项公式；求数列an的前n项和Sn.解：（1）设等差数列an的公差为d, d>0 ,等差数列an的前3项的和为一3,前3项的积为8,3a1 + 3d= 3,a1= 2, a1 = 4, 或a1 a1 + d a1+ 2d = 8,d= 3d= 3.(2) an= 3n- 7,' a= 3 7 =- 4,n 4 + 3n 7 n 3n 11 SI =2= -2-.突破点二等差数列的性质及应用例3 (性质应用)1、已知等差数列an中，a7+ a9= 16, a4= 1,则ai2等于(A )A. 15B. 30C. 31D. 64解析：T a7+ a9= 2a8= 16,故a8= 8.

34、在等差数列 an中，a4, a8, a12成等差数列，所以 a12= 2a8- a4= 16 1 = 15.2、如果等差数列 an中，a3+ a4+a5=12,那么a1 + a2 + +a7=( C )A. 14B. 21 C. 28 D. 35解：a3 + a4+ a5= 12, 3a4= 12, a4= 4. a1 + a2+ + a7= (a1 + a7)+ (a2 + a6) + (a3+ a5)+ a4= 7a4= 28.3、在等差数列an中，若 a1, a2 019为方程 x2 10x + 16= 0 的两根，则 a2+ a1 010+ a2 018= ( B )A. 10B .

35、15C. 20D. 404、 在等差数列an中，3(a3+ a5) + 2(a7 + a10 + a13)= 24,则该数列前13项的和是 26.5、 已知等差数列 an的公差是正数，且 a3a7= 12, a4+ a6= 4,求an的通项公式.解析a3+ a7= a4+ a6= 4,又 a3a7= 12 a3、a7是方程 x2+ 4x 12= 0 的两根a1 + 2d = 6而 d>O, a3= 6, a7= 2.，故 a1 = 10, d= 2, an= 2n 12.6、设Sn为公差不为零的等差数列a1 + 6d= 2an的前n项和，若S9= 3a8,则鬲等于（A ）A. 15B .

36、 17C . 19D . 217、设等差数列an , bn的前n项和分别为Sn, Tn,若对任意自然数n都有SnTn2n 34n 3a9b5+ b7a3的b8+ b4值为【解析】 an , bn为等差数列,a9+a3b5+ b7b8+ b4a9a3 a9+ a3 a6+2b6 2b62b6b6'.S11= a1+ a11 = 2a6= 2× 11 3 = 19. a= 19 T11 b1+ b11 2b6 4× 11 3 41b641.例4 (等差数列前n项和最值问题)1、等差数列an中，Sn为前n项和，且a1 = 25,S17=S9,请问：数列前多少项和最大？、丄

37、17× 169× 8解：法一:.a1 = 25, S17= S9, 17a1 + 2 d = 9a1 + -2-d,解得 d= 2.an= 25 2 n 1 0, a1 = 25>0 ,由1n 132, 得1n 12当n = 13时，Sn有最大值.17× 169× 8 a1 = 25, S17= S9, 17a1 +2 d = 9a1 + -2-d,解得 d = 2.an+1 = 25 2n 0,第15页（共33页）从而 Sn= 25n+ n n 1 (- 2) =- n2+ 26n= (n 13)2+ 169.故前 13 项之和最大.2、(201

38、8全国卷 )记SI为等差数列an的前n项和，已知a1=- 7, S3= 15.(1)求an的通项公式；求Sn,并求Sn的最小值.解(1)设an的公差为d,由题意得3a1+ 3d = 15.又a1 = - 7,所以d= 2.所以an的通项公式为 an= 2n 9.n a1 + anOO法一：(二次函数法)由(1)得 Sn =2 - = n2 8n = (n 4)2 16,所以当n = 4时，Sn取得最小值，最小值为一16.法二：(通项变号法)由(1)知 an = 2n 9 ,则 Sn=n a1+ an2=n2an 0,8n.由Sn最小?an + 1 0,112 第13页(共33页)2n 9 0,

39、79即7 n -,又 n N* ,. n=4,此时 Sn 的最小值为 S4= 16.2n 7 0,22突破点三等差数列的判定与证明例5 1、已知Sn是等差数列an的前n项和，S2= 2, Sb= 6.(1) 求数列an的通项公式和前n项和Sn；(2) 是否存在正整数n,使Si, Sn +2+ 2n, Sn+3成等差数列？若存在，求出 n;若不存在，请说明理由.2a1 + d= 2,a1 = 4,解：(1)设数列an的公差为 d,贝U3× 2 an= 4 6(n 1) = 10 6n,3a1 + d = 6,d= 6,n n 12SI = na1 +2 d = 7n 3n .(2)由(

40、1)知 Sn+ Sn+3= 7n 3n2+ 7(n + 3) 3(n+ 3)2= 6n2 4n 6,2(Sn+2+ 2n )= 2( 3n2 5n+ 2+ 2n) = 6n2 6n + 4,若存在正整数n使得Sn, Sn+ 2+ 2n , Sn + 3成等差数列，则6n2 4n 6= 6n2 6n+ 4,解得 n = 5,存在 n= 5,使 Sn, Sn+2+ 2n, Sn+3成等差数列.,31*1*2、已知数列an中，a1= ：, an= 2 (n 2, n N),数列bn满足 bn=" (n N ).5an1an 1(1)求证：数列bn是等差数列.求数列an中的通项公式an.11

41、11解析：(1)证明：因为 an= 2 (n2, n N*), bn=.所以 n2 时，bn bn-1=an-1an 1an 1 an 1 11an 11an 1 1an-1an 1 11an- 1 1=1.又 b1 =1a1 1所以数列bn是以一5为首项，1为公差的等差数列712(2)由(I)知，bn= n2，贝U an = 1+ bn= 1 + 2- 73、已知数列an满足 a = 1 ,且 nan+i(n+ 1)an= 2n2+ 2n.求a2, a3；证明数列an是等差数列，并求an的通项公式.解(1)由已知，得 a2 2ai = 4,贝U a2= 2ai + 4,又 ai = 1,所以

42、 a2= 6.由 2a3 3a2= 12 ,得 2a3= 12 + 3a2 ,所以 a3= 15.nan+1 n + 1 an口r an +1 an(2)由已知 nan+1 (n+ 1)an= 2n(n+ 1),得 n n + I = 2,即 = 2，所以数列an是首项为O1= 1,公差d = 2的等差数列.则n= 1+ 2(n 1)= 2n 1,所以an = 2n2 n. n1n4、数列an的前n项和Sn= n2 7n 8.(1)求an的通项公式；求an的前n项和Tn.14 n= 1 解析(1)当 n = 1 时，a1 = S1 = 14;当 n2 时，an= Sn SI-1 = 2n 8,

43、故 an=2n 8 n 2由 an= 2n 8 可知：当n 4 时，an0,当n 5 时，an>O.当n 4 时，Tn= 3=n2+ 7n+ 8,当 n 5 时，Tn=- S4+ (Sn S4)= Sn- 2S4= n2 7n 8 2 × ( 20) = n2 7n+ 32,n2 + 7n + 81 n 4二 Tn= n2 7n+ 32n 5第19页（共33页）1、已知等差数列an的前n项和为Sn, a3= 3, a5= 5,贝U Sz的值是（A. 30B . 29C. 28272、已知数列an中 a1= 1, an+1= an 1 ,贝U a4 等于(D )C. 13、设等差

44、数列an的公差为d,且a1a2= 35,2a4 a6= 7,贝U d =（C. 2a10+ a11的值为（4、已知等差数列an的前n项和为Sn,且S5= 50, S10= 200,则A . 20B . 40C . 60D . 805、已知等差数列an各项均为正数，其前n 项和为 Sn,若 a1 = 1, > S3= a2,贝U a8= (D )A . 12B . 13C . 14D . 156、九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3 升,F面3节的容积共4升，则第5节的容积为（B ）4a1 + 6d = 3,即解得3a1 + 21d=

45、 4,C.a1+ a2+ a3+ a4= 3,解析：选B 设该等差数列为an,公差为d,由题意得13a1 =,22 13 7 67 a5=+ 4× 一 = 一 故选 B75226666.故选d =66'7、 数列an满足 2an= an + an+ （n2），且 a2+ a4+ a6= 12,贝U a3+ a4+ a5等于（D ）A. 9B. 10C. 11D. 128、已知等差数列 an的公差为d（d 0）,且a3+ a6+ a10 + a13= 32 ,若am= 8 ,贝U m的值为（A ）A. 8B. 12C. 6 D. 49、设等差数列an的前n项和为Sn,若S3=

46、9, Se= 36,则a7+ a8+ a9等于（B ）A. 63B. 45C. 36 D. 2710、 已知等差数列an中，a1= 11, a5= 1,则an的前n项和Sn的最大值是（C ）A. 15B. 20C. 26D. 3011、等差数列an的前n项和为Sn,已知a1= 13, S = S11,当SI最大时，n的值是（C ）A . 5B . 6C . 7 D . 812、 已知等差数列an的前n项和为 3, a6+ a18= 54, S19 = 437,则a2 020的值是（B ）A . 4 039B . 4 043 C . 2 019D . 2 03813、在等差数列an中，a1 +a

47、3 + a5 =105 , a2 + a4 +a6 = 99 ,以SI表示an的前n项和，则使SI达到最大值的n是（B）A . 21B . 20C . 19 D . 1814、 在等差数列an中，a1 = 2 015,其前n项和为Sn,若卷SO = 2,贝卩& 018 = （ C ）A . 2 018B . 2 018C . 4 036D . 4 03615、 设 Sn为等差数列an的前 n项和，a12= 8, S9= 9,贝U S16= 72.16、 已知等差数列an的前n项和为 3,且S10 = 10, S20= 30,则S30 = _60.17、 等差数列an的前n项和为Sn,若

48、am= 10, S2m-1= 110,则m=6.18、 设等差数列an的前n项和为Sn.若 a3= 5,且Sl, Ss, S7成等差数列，则数列an的通项公式an= _2n 1.a1 + 2d = 5,解析：设等差数列an的公差为d,a3= 5,且S1, S5, Sr成等差数列，二a1+ 7a1+ 21d= 10a1+ 20d,a1 = 1,解得 an= 2n 一 1.d= 2,19、 等差数列an的前n项和为Sn,已知a5+ a7= 4, a6+ a8= 2 ,则当Sn取最大值时，n的值是.解析：依题意得2a6= 4,2a7= 2, a6 = 2>0 , a7= 1<0.又数列a

49、n是等差数列，所以在该数列中，前6项均为正数，自第 7项起以后各项均为负数，于是当Sn取最大值时，n = 6.S2 014 S2 00820、 已知Sn是等差数列an的前n项和，若a1= 2 014,歹常2"譲 =6,贝卩S2 019=8076.21、等差数列an与bn的前n项和分别为Sn和Tn,若Sn= InE ,则bl= 一务_.22、 设数列an的通项公式为 an= 2n- 10(n N*),则 |ai| + a + + a15 = _130.23、【2019年高考全国I卷文数】记Sn为等差数列an的前n项和，已知S9=-a5.(1)若a3=4 ,求 an的通项公式；(2)若a

50、1>0,求使得Sn an的n的取值范围.【解析】(1)设an的公差为d.由S9a5得a1 4d 0 .由a3=4得a1 2d 4 .于是a18,d2 .因此 an的通项公式为a.102n.(2)由(1)得 a14d ,故 an (n 5)d,Snn(n 9)d2第21页(共33页)2由 a1 0知 d 0,故 Sn an等价于 n 11n 10,0 ,解得 1 n 10所以n的取值范围是n1 n 10, n N .24、已知等差数列an的前三项和为一3,前三项的积为 8.求等差数列an的通项公式；若a2, a3, a1成等比数列，求数列an的前n项和Tn解设等差数列an的公差为d,贝U a2= a1 + d, a3= a1 + 2d.3a1+ 3d = 3,a1 = 2,a1 = 4,由题意得解得或a1 a1+ d a1 + 2d = 8,d=- 3d= 3.所以由等差数列通项公式可得an= 2 3(n 1) = 3n + 5或an= 4