动态作图运动轨迹+智能平台概述立体几何用户指南

1、第五章动态作图、运动轨迹5.1动态作图是几何，那就少不了图形，不然何以体现其意，因此作图就是随之而來的非常重要 的一方而了，然而通常我们所作的阁都是静态的，很多时候不足以令我们满意，那么动 态作图怎么说都将是你的“肱股”。动态作图是本智能软件的重要功能之一，也是本软 件的“精彩”之处，当然这个“精彩”是建立在你灵活使用的基础上，就如“无牙需要 子期”。灵活运用动态作图的有关操作以及这些操作的有效组合不但可以按要求准确地画 出儿何阁形，而且具有动态显示功能。用鼠标拖动点可以改变阁形的位置和形状，同时 保持儿何对象间的儿何关系不变（简单地说这就是动态的含义）。这样可以形象的反映 出点与点、点与线、

2、点与面、线与线、线与面以及面与面之间的关系。借此可以观察出 一些重要的儿何原理。在叙述动态作图之前，我们有必要先了解一些基本橾作（当然如果你不想的话可以 跳过，不过最好是循序渐进，算是“先走后跑”吧）：点的选取：单击“对象选取工具”使其处于被选中状态，然后单击要选取的点直线的选取：在“对象选取工具”处于被选中状态时单击要选取的直线，当然你也 可以按下ctrl键，然后依次选取确定直线的两个点来代替选中直线平面的选取：在“对象选取工具”处于被选中状态时，依次选中确定平面的三个点多个对象的选取：有时需要将一个以上的几何元素同时处于选中状态，其实现操 作是：按下ctrl键的同时，依次选取所要求的对象；

3、另外的一个方法就是在工作区中 连续的选取（单击对象名），同样可以同时选取多个对象，而不需要按下ctrl键，当然 需要记住的是连续选取，不要把鼠标点到作图区中去了对象选取中的其他问题：相同对象（例如同是三个点）的选取先后次序不同其实 现的意义也往往不同；当误选中某对象时（例如当你选取点b时却不小心误选了点a）, 你可以再次选取该对象（比如这里的点a）,消除其选中状态，然后继续后面的步骤，当然也可以放开ctrl键消除所有选取动作，再重新选取关于作图中的逻辑顺序点：一般在我们作图过程中作点、画线会有先后顺序，点 的命名也有一般规则：点的名字按照作点的顺序依次获得在字母表中的字母，同样， 本软件在作图

4、过程中亦是严格遵守此项规则。所以为了方便说明问题，我们将点的名字 在字母表中位置前后称为点的逻辑顺序另外：在作图过程中本智能软件实现了一次命令作出多个类似图形的功能。例如在 取已知线段的中点橾作中，你可以选取多条线段后执行作线段中点的命令，即可作出所 有被选取的线段的中点来。关于这一点其他的命令与此类似，你尽可以利用此项功能避 兔重复橾作的烦琐和无谓的时间浪费。以下的各个菜单命令介紹中将略去对此项的说 明。在作图过程中，如果你选取了不满足作图要求的几何元素而执行命令时，计算机将前提说完了，接着当然是言归正传 了，菜单命令“作图”的下拉菜单如图 5-1-1,下面我们就逐个详细来说明。自由点约束点

5、三角形的特殊点特殊囝形埴充多边形(£)角的标示a)直线、射线、向星、线段和曲线截面克隆平s多边形到投影平e (£)多面体的展开图(£).棱柱棱链棱台正多面体旋转体拒绝你的请求并弹出对话框解释错误原因。譬如，在作两条已知直线的交点的过程中你 选择的是弄面的两条直线、作平面上的自由点的过程中你选择的是不共面的四个点等情 况。这时你应该检验几何元素选取中的错误以及考虑所进行某项橾作请求的合理性。关 于这一问题及相关处理，以下各个菜单命令中均不再提及。作警|课件eg)解题迄)运动测垦迦) 户自定义作erks增加用于消隐的平面多边形&). 自动搜索用于消隐的平面多边

6、形(£)增加棱柱、棱链或棱台对象a)图5-1-1 “作图”的下拉菜单5.1.1用户自定义作v 台录制新作囝®) fcsw).ii. i智停录制®)编辑用.户自定义的作囝(i).添加外部用户作囝文件(i).阁5-1-2川户自定义作阁预设的永远都只是有限的，而我们需要作的图又何止“千千万万”，因此总会感到 所提供的不能满足需要,如果可以把自己所作的阁当作菜单命令来使用将是件令人岛兴 的事，此命令恰恰为你提供了这样的服务。当然严格的说，该命令是提供录制自己定义 的作图功能，即能将自定义的图形保存为一个菜单命令，以后就可以直接执行此命令作 出该图形。虽然可以在该命令组（如

7、图5-1-2）中增加多个不同图形的菜单命令，但最 好不要超过15个，这样做是因为即不利菜单的管理，更不利于你快捷的使用，所以当 你不想再使用某些向定义的作阁菜单命令时，最好删除它，以免浪费，况且我们可以把 它保存在文件中，要用时再从文件中调出即可。开始录制新作图、停止录制、暂停录制这几个命令意义就非常明显了，只需要明白以下几点，：当你录制完想作的几何图 形，单击“作图|用户自定义作阁|停止录制”，将弹出一个保存对话框（当然是和文件 的保存对话框有差别的）对作好的儿何图形进行保存。哲停录制是指可以哲时停下来作别的和本图形无关的事，完成后再继续进行我们的 录制，当然这期间你所做的不会被录制下來。编

8、辑用户自定义作图、添加外部用户作图这两个命令是对已作好的图进行编辑。第一个是用来修改自定义的作图菜单命令名 字或删除添加在“作图i用户自定义作图”下的子菜单命令。执行该命令将弹出一个编辑 对话框（如图5-1-3,在有自定义的作图的前提下才能执行该命令），不过这里要注意只 要你修改了名称，无须保存，命令名称就会改变；单* “删除”则从本菜单中删除了该 自定义的作图命令了。而后一个命令可以将一后缀名为“sgd”的作图文件添加到“用户自定义作图对话框” 中作为自己的“用户自定义作图”下的作图菜单命令使用，同样也是在类似图5-1-3对话 框中完成的，当然现在所耑的只是单击“浏览”进行文件选择。图5-1

9、-3编辑自定义作图既然可以定义自己的图形，那么不妨就来个“先试为快”。我们就来做个正五棱锥 吧。（如果你觉得对于作阁并不够熟练的话，就学习完木章后再回过头来试试吧）第一步：首先记得单击“开始录制新作图”命令。笫二步.在作图窗口屮作一个正五边形，然后过它的屮心作垂直于它的一个自由点, 连接这个自由点和正五边形的各顶点，将此图形增加为一个棱锥对象，当然我们可以对 此梭锥图形作些修饰，这样我们就得到一个正五棱锥：如图5-1-4所示。第三步：既然我们己经作好了所要的正五棱锥，所以单击“停止录制”命令，弹出如 图5-1-5所示的对话框。图5-1-5自定义作图将其命名为“正五梭锥”（为在菜单里的s示命令名

10、），作图文件名保存为“正五棱锥（为保存在文件里的文件名，文件路径是被默认的），最后单击“保存”命令，就算完成 了我们的自定义作阁任务了。这时“作图i用户自定义作图”的子菜单命令形式已经变了，因为我们已经添加了一 个作图命令了（如图5-1-6，可以和图5-1-2比较一下）。ii*开始录制新作囝®）l停止录制迄）.r智停录制编辑用户自定义的作图®）. 添加外部用户作囝文件®）.正#链图5-1-6自定义作图这样以后要作正五棱锥就不必那么麻烦，只要直接单击“正五棱锥”命令。如果以后 想修改它的名字或撤消这一子菜单命令，使用“编辑用户a定义作图”命令进行你想要的 修改。5.

11、1.2自由点点是构成几何图形最基本的元素，而自由 点又是点的基本。所谓自巾点就是可以自巾移 动的点，不受其它的点约束。在空间中对于一 个点来说，如果是空间任意点，在某一平面或 者直线上的点，那么这一点就是自由点。也就 是说它在空间、某一平面上或者直线上可以自 由移动。这样以来，自由点就有三种：空间上 的自由点、某一平面上的自由点和某一直线上 的自由点。单击“作图|自由点”，我们可以看 看具体有哪些自由点（其实大部分只是半自由 的自由点，如图5-1-7）。由点a）平面上的点（q）css射）线（段）或向量上的点么） 多边形上的点cl）平行x轴的直线上的点q0 平行y轴的直线上的点（d 平行z轴的直

12、线上的点e）旋转体底面周界上的点（£） 球和球冠面上的点 球的纬线上的点（w）球的经线上的点®）图5-1-7 由点自由点作用是获得空间中的任意点。单击“作图i自由点i自由点”，然后在工作区窗口中 你希望的地方单击鼠标，然后松幵鼠标左键即可获得一个自由点。不过，如果只是这样的话，你所获的仅仅是xoy平面上的点，而你是要空间的，不仅仅是在哪个面上，其 实也简单，你可以单击对象选择工具，然后用鼠标选屮该点，在按下鼠标左键的同时拖 动鼠标即可实现点的移动，你可以在选中该点按下鼠标左键的同时按动“一”、“ t ”、 “”和“ | ”中的任一键实现点在z方向上的移动，在这里每按下一次“

13、 t ”和“ i ” 分别表示点的坐标在z方向向上移动和向下移动0.5个坐标单位，而每按下一次“一” 和“一”分别表示点的坐称在z方向向上移动和向下移动0.1个坐标单位。坐标点所谓坐标点，是指点在坐标系下的坐标需符合已知条件，当然由于已知条件的任意 性，我们得到的坐标点也就是自由（狭义）的。该命令或许有些复杂，我们对着来做， 那也就不难，所谓“学之，则难者亦易”。单击菜单命令屮的“作阁|自由点|坐标点”，弹出一对象（即点）属性对话框（如 图5-1-8），我们则可在其中设置坐标点的参数方程，那么此坐标点只能在由此参数方程 确定的空间曲线上运动了。图5-1-8坐标点在弹出的“对象属性”对话框巾有1

14、4个编辑栏：坐标、点、填充及画线，而后面三 项我们在第三章中讲过，这里就不再重复说明。在“坐标”栏“坐标u，y，z） ”项中依次填入点的参数方程，再相应单击“x坐标”、“y坐标”、“z坐标”；然后在“拖动参数”后的三个编辑栏中分别设置在x轴、y轴、z轴方向的拖动参数，单击“修改”确认。注意：如果你所输入点的坐标有变量（字母） 时，需要区分字母的大小写（同一字母的大小写被看成两个不同的变量）。此坐标点可结合菜单栏中的“运动”命令，设賈坐标点为“自动点“，然后作它的“轨迹点”，得到坐标点的轨迹。也许你还是不太明白，不妨來看个例子，那或汴会清楚些。在“坐标”栏中“坐标”填入“cos(z) ”，单击“

15、x坐标”(如图5-1-8)，这意味该点的“x轴”方向的坐标为cos(z)，然后同样填入“:v坐标”为sin(f)，填入“z坐标”为“拖动参数”第一个框中填入参数“r”，单击“修改”；最后单击“确定”按钮。那么得到以“”为参数的坐标点a ( cos(z),sin(r),z)o然后选取点a，单击“运动|自动点”，设置它为自动点，然后单击“运动i轨迹点”，最后单击“运动|开始运动生成 轨迹”，那么a点的轨迹如图5-1-9所示，你大概己经知道，点a的轨迹其实是一条圆 螺线。图5-1-9坐标点a的轨迹平面上的点在这里，平面是指满足某种关系的平面，共有四种：过三个点的平面、过点和己知 直线垂直的平面、过点

16、和己知平面平行的平面、线段的中垂囬。取各种平面上点的操作 步骤分别是：过三点所在平面上的点：先选取确定平面的三个点，然后单击“作图|自由点|平 面上的点”即可。这样的点是该平而上的任意点，可自由移动，你可以将它拖动到合适 的位置。以下的方法获得的自由点与此相同，可以在相应的儿何对象上自由移动。过点和已知直线垂直的平面上的点：按下ctrl键的同时，依次选取所求平面经过 的点、与平面垂直的直线，然后单击“作图|自由点|平面上的点”即可。过点和已知平面平行的平面上的点：按下ctrl键的同时，依次选取所求平面经过 的点、确定已知平面的三个点，然后单击“作图|自由点|平面上的点”即可。线段的中垂面上的点

17、：选取已知线段，然后单击“作图|自由点|平面上的点”即可。（直、射）线（段）或向量上的点同平面上的点一样，这里的点是满足某种要求的直线上的点，共有三种。其类型及 操作步骤如下：已知（直、射）线（段）或向量上的点：选取已知的（直、射）线（段）或向量， 然后单击“作图i自由点i （直、射）线（段）或向量上的点”。过点与已知直线平行的直线上的点：按下ctrl键的同时，依次选取平行直线所经 过的点、已知直线，然后单击“作图|自由点| （直、射）线（段）或向量上的点”。过点与已知平面垂直的直线上的点：按下ctrl键的同时，依次选取垂线所经过的 点，及确定已知平面的三个点，再单击“作图|自由点| （直、射

18、）线（段）或向量上 的点”。多边形上的点即在多边形的边上的自由点。按下ctrl键的同时，选取已知多边形（按下ctrl键 的同时，沿多边形的边，依次选取多边形的顶点），然后单击“作图|自由点|多边形上 的点”，即可完成。执行上述操作后获得的点初始位賈是在你所选的第一、第二个点所 在边的中点，你可以用鼠标拖动该点，使其在多边形的各边的任意位置。平行x轴的直线上的点即是过己知点平行于x轴的直线上的点。与上述“过点同己知直线平行的直线上 的点”意义类似，不过这里操作更加简便：选中已知点，然后单击“作图|自由点|平 行x轴的直线上的点”即可。关于y轴、z轴的类似点的意义和获取操作与此相似，我们就不再赘述

19、。旋转体底面周界上的点即是旋转体底而圆周上任意点。选取某一旋转体，单击菜单命令“作阁i旋转体底而 周界上的点”，则得到一个可以在圆锥底面周界上自由拖动的点。球和球冠面上的点即是己知球和球冠而上的任意点。首先选中一己知的球或球冠，单击菜单命令“作 阉i自巾点|球或球冠而上的点”，则得到球或球冠而上一任意点，当然我们也同时把 该点的经线和纬线作出以便更好地观察它。球的纬（经线上的点就是在球面上某个点所在的纬（经）线上所取的点。选取球面上的点，然后执行该 命令，可获得该点所在纬（经）线上的任意点了。5.1.3约束点这自然是相对我们刚刚说过的种种自由点而言。实际上它就是指那些满足某种要求 的点。与自由

20、点不同的是：这里的点一般的都只有一个，更不能“自己”动，即是被确 定的点。这组菜单命令包含了立体儿何中所有情况的约束点（如图5-1-10中的种种）， 各种类型的作用和操作步骤分别叙述如下：条直线的交点（l）线和平面的交点cp）y点在线上的垂足逆）点在平面上的垂足®）/线段的中点®）线段的比例点®）.点以直线为轴的折叠点（2）.点关于平面的对称点s）旋转体側fi展开图的特征点（£）圆周的等分点®）.球的南极点迫）球的北极点么）球的赤道上东西经线0°分界点球的赤道上东西经线180°分界点球面上纬线和经线的交点叹）图5-1-10约

21、束点直线和直线的交点虽然是直线和直线的交点，但这交点却也有三种：两条已知直线的交点；过点作已 知直线的平行线与另一已知直线的交点；过点作已知直线的平行线与过另一点作另一直 线的平行线的交点。作两条已知直线的交点：按下ctrl键的同时，依次选取两条已知直线，然后单击“作 图|约束点|直线和直线的交点”即可。不过，获得交点的前提是两直线有交点，否则计 算机会对你所选的异面直线或平行直线提出错误提示信息。过点作已知直线的平行线与另一已知直线的交点：按下ctrl键的同时，依次选取 与所作平行线相交的已知直线（记为ab）、所作平行线经过的点（记为p）、与所作平 行线平行的已知直线（记为mn），然后单击“

22、作图|约束点|直线和直线的交点”即可 获得交点（记为0）。在这里，op/mn，且a、b、o共线，ab与op交与点0（图5-1-11）。a./n/ o b/m/p图5-1-11直线与直线交点之一过点作已知直线的平行线与过另一点作另一已知直线的平行线的交点：例如我们这里有点a、b和线段cd、ef,要求作出两直线的交点，而这两直线即是过点a平行 于cd的直线和过点b平行于ef的直线，具体操作是：按下ctrl键的同时，依次选取 第一个点（点a）、第一条直线（cd）和第二个点（b）、第二条直线（ef）,单击“作 图|约束点|直线和直线的交点”，即可作出两条分别平行于两已知线段的直线（a0, b0）交点

23、0，其中 a0/cd, b0/ef （如图 5-1-12）。oo图5-1-12线与15线交点之二efca直线和平面的交点作已知直线和已知平面的交点。与上一命令类似这里直线和平面的交点有叫种：直 线和平面的交点、直线和过一点平行于己知平面的平面的交点、直线和过一点且垂直于 另一直线的平而的交点、及直线和线段屮垂而的交点。直线和平面的交点：这项是最简单的了，就是已知的直线和已知平面的交点，不 说自明。操作是：按下ctrl键的同时，依次选取已知直线（段）、确定已知平面的三个 点，然后单击“作图|约束点|直线和平面的交点”。当然同样要求已知直线和平面要存 在交点，否则会出现错误提示信息。直线与过一点平

24、行于已知平面的平面的交点：这就不象上个命令那么简单明了， 操作是：按下ctrl键的同时，依次选取一条直线（段）和4个点，然后单击“作图|约 束点|直线和平面的交点”，记住所得的点为选中直线（段）与平面（过4个点巾第一 个点且平行于由后3个点确定的平面）的交点。还是举例说明更界易明白，如图5-1-13 所示，按下ctrl键的同时，依次选取直线ef （或e、f点）、点d、a、b、c,然后执 行该命令，则得到直线ef与过d点平行于平面abc的平面的交点0。阁5-1-13直线与平面交点之一直线和过一点且垂直于另一直线的平面的交点：所得的点为选中第一条直线（段） 和过选中的点垂直另一直线（段）的平而的交

25、点，操作是：按下ctrl键的同时，依次 选取一条直线（段）、1个点及另一条直线（段），然后单击“作图|约束点|直线和平 面的交点”。如图5-1-14，按下ctrl键的同吋，依次选取直线ab、c点、直线de，然 后执行该命令，则得到直线ab与过c点平面（垂直于直线de）的交点0。图5-1-14直线与平而交点之直线和线段中垂面的交点：该命令应该是比较简单，所得的点为选中直线（段） 和另一线段屮垂而的交点。操作是：按下ctrl键的同时，依次选取一条直线（段）、及 另一条线段，然后单击“作图|约束点|直线和平面的交点”。点在线上的垂足过点作己知直线的乖线与该直线的交点。操作是：按下ctrl键的同时，依

26、次选取 已知点、已知直线，然后单击“作图|约束点|点在线上的垂足”。点在面上的垂足过点向已知平面所作垂线与该平面的交点。操作是：按下ctrl键的同时，依次选 取已知点、确定已知平面的三个点，然后单击“作图|约束点|点在面上的垂足”。线段的中点很显然是作己知线段的中点。操作是：选取已知线段（或是按下ctrl键的同时, 依次选取确定该线段的两个端点），然后单击“作图|约束点|线段的中点”即可。线段的比例点既然是比例，那自然就有个基准，这里的基准当然也是线段。已知一个点a及一 条线段bc,按下ctrl鍵的同时，依次选取点a和线段bc,然后单击“作图|约束点|线 段的比例点”，在弹出的对话框（如图5-

27、1-15）中输入数，那我们就写2,单击确定， 便得到点d，那么ad=2bc,且ad/bc，如图5-1-16。图5-1-15输入比例位图5-1-16线段的比例上面这种比例点是“过一点作平行于一线段的比例点”，我们还有另一种比例点的 作法，即“以一线段为标尺的线段的比例点”：己知一个点a、b及一条线段cd （当然 也可以用四个点來代替），按下ctrl键的同时，依次选取点a、b和线段cd，然后单 击“作图|约束点|线段的比例点”，同样我们在弹出的对话框（如图5-1-15）中输入数 2,单击确定，便得到点e，那么ae=2cd,且e在直线ab上，也就是在线段ab上 取一点e使得ae氏度为线段cd的2倍，

28、如图5-1-17,所以得到线段ae不再和cd 平行了，当然ab/cd要除外了。oocd图5-1-17线段的比例点点以直线为轴的折叠点点以己知直线力轴折叠某一角度的点。我们举例来说吧，首先完成以下操作：建立 新页，在作图窗口中作任意三个点（点a、点b和点c），将任意两个点连结成线段（在 这里作线段ab），然后按下ctrl键的同时，依次选取点c、线段ab，单击“作图|约 束点|点以直线为轴的折叠点”，在弹出的对话框输入45,选定“角度为度”的选择框（在前出现“v”，否则输入的数为弧度制），然后确定，则得到点d。我们对以上操作 以及点d的意义进行说明，我们先作出点c到线段ab的垂足e，再连结线段de

29、、ac、 bc、db 及 da,那么二面角 d-ab-c 就是zced,且zced =45 度，ce二de。其中 45正是我们在对话框输入的表达式，而且选定“角度力度”的选择框以示45为角度。 （如图 5-1-18）图5-1-18折叠点点关于平面的对称点意义很明显，其具体操作是：依次选定已知点、确定已知平面的三个点，然后单击 “作图|约束点|点关于平面对称的点”。旋转体侧面展开图的特征点在作图窗口中选中一个旋转体，单击菜单命令“作图|约束点|旋转体侧面展开图上 的特征点”，这样就得到了该旋转体的侧面展开图上的特征点。圆周的等分点按住ctrl键，在作图窗口中选取3个点（第1个点为圆的圆心，第2点

30、为圆周上 的点，第3个点是用来确定圆周所在的平而），然后单击菜单命令“作阁|约束点|圆周 的等分点”，在弹出的对话框中输入要等分点的个数n。按“确定”按钮，则在作图窗 门中得到以选取的第2点为入口点的圆周上的另外n-1个点，且这n个点把圆周n等 分，所以叫等分点。例如：先依次选取点a、b、c,然后执行上述操作，在弹fli窗口中输入4,则得 到另外3个等分点d、e、f，如阁5-1-19。图5-1-19阆周的等分点球的南（北极点、球的赤道上东西经0q（180°）分界点这四个菜单命令显然是特别为而球设置的。选取球（单击该球即可），然后执行相 应的菜单命令就得到相应的点了。球面上纬线和经线的

31、交点这当然也是对球來说的，在球面上选择两个点a、b （记得先a,后b;这两点可 以按“自巾点|球和球冠而上的点”作出来），然后执行该命令，得到一个点c。也许 你会说为什么不是两个点呢？如果你知道这个交点其实在第一点所在的纬线且在第二 点所在的经线上的，知道为什么是“球面上纬线和经线的交点”而非“球面上经线和纬 线的交点”，这就是差别！5.1.4三角形的特殊点在此是指三角形的重心、垂心和外心，它们是三角形中具有特殊意义和重要作用的 点，因此有必要给它们“一席之地”，以便能轻而易举作出它们。重心指三角形中三条中线的交点。具体操作是：按下ctrl键的同时，依次选取三角形 的三个顶点，然后单击“作图|

32、三角形的特殊点|重心”。垂心、外心分别是指三角形三条底边上高的交点、三角形三条底边中垂线的交点（即外接圆的 圆心）。具体操作同重心相似。5.1.5特殊图形即指我们平时认为较为“规则”的图形，当然在立体几何中所谓特殊的图形不止正 三角形、平行四边形等阁形，在图5-1-20屮的便是我们这里所指的“特殊”，基本上包 括常用的了。多边形咹）正多边形$）.等腰三角形么）等边三角形a）平行四边形比）正方形（s）克隆子几何体（£）多边形就是多边形，按下ctrl键的同时，依次选取n （n彡3）个点，然后单击“作图|特 殊图形|多边形”，所得的就是依次连接这n个点的多边形。不过这里选点的次序千万 别乱

33、，否则得到的就不知道是什么了；而且所选的点最好是在同一平面上，否则作出的 多边形也没什么大的意义了，当然如果你喜欢的话，也可以作出。正多边形已知两个顶点，那么一个正多边形就可以确定下来（当然它的空间位罝是任意的）, 因此作一个正多边形的操作为：选取两个点（或一条线段），然后单击“作图|特殊图 形|正多边形”，在弹出的对话框中输入正多边形的边数（如果输入的不是一个大于或 等于3的正整数，将得不到任何图形），单击确定，就得到一个以已知两点为其中两个 顶点的正多边形。这样你可以通过移动两l知顶点和该正多边形的屮心来掠制该多边 形，不过中心点只能是在已知两点连线的中垂面上拖动。等腰三角形作用是作出以己

34、知线段为底，顶点可自由拖动的等腰三角形。具体操作：选择已知 线段（或确定线段的两个端点），单击“作图|特殊图形|等腰三角形”，即可作出以已 知线段为底边的等腰三角形，你可以通过鼠标和键盘的方向键来改变顶点的空间位置和 腰的松度。等边三角形作用是作出以己知线段为边的等边三角形，同样顶点可自由拖动但等边三角形的性 质不会改变（别忘了现在是空间上的正三角形）。操作与等腰三角形类似。平行四边形作用是作出三个点所确定的平行四边形，既由平行四边形的三个顶点确定第四个顶 点然后作出平行四边形。操作为：按下ctrl键的同时，依次选取三个点，然后单击“作 图|特殊图形|平行四边形”。另外，由于基于三个已知点为顶

35、点的三角形有两个，所以 点个选取顺序不同作山的图形也不同，我们规定顺次选取的三个点分别标记为所作平行 叫边形的第一、第二和第三个顶点，则所作图形的另一顶点即为笫叫个顶点。正方形作出以已知线段为边（或两个已知点所确定的线段为边）的正方形。具体操作：选 中已知线段（或确定线段的两个点），单击“作图|特殊图形|正方形”即可。克隆子几何体在儿何体屮有时我们要考察其屮所包含的一个多边形或一个锥体等阁形的形状或 性质，本软件为此特提供了克隆子几何体的操作，即是将欲考察的几何图形克隆出来使其能更详细地被观察、研宂。以t我们举例來说明操作步骤：首先建立新窗口，单击“作 图i棱锥|四棱锥”就会在作图窗口作出个一

36、般四棱锥a-bcde,连结线段bd,然后按 下ctrl键的同时，依次选取点a、b、c、d，单击“作图|特殊图形|克隆子几何体”， 则会作出三棱锥a-bcd的克隆体a-bcd（如图5-1-21）。这时带星号的点叫做克隆 体的把手，通过移动它你可以改变克隆体的位置但它的形状不变。而当你移动a、b、 c和d其中任意一点时克隆体的都会有相同的形状改变。多边形、一个锥体可以克隆子几何体，当然其他的几何对象如一条线等等同样都可 以被克隆。5.1.6填充多边形该命令就是对多边形进行颜色的填充，按着ctrl键的同时，依次选取你想要的多 边形的各个顶点，然后单击“作图|填充多边形”，这样你的多边形就算填好了，当

37、然 如果你不喜欢系统给你的颜色的话，换换别的颜色也未尝不可。也许你会发现，自己填出来的多边形怎么看都不象是个多边形呀！是的，这完全可 能，因为这和你选点的顺序是有很大关系的，所以在选点的时候，考虑一下它是不是凸 多边形，否则你又得“干瞪眼”了。还有一点要注意，一般情况下计算机不会考虑你选 的点是不是在同一平面上，而如果不是同一平面的话，大概是没什么大的意义的，因此 得你自己看着办。5.1.7角的标示标示出几何图形中的角。操作是：按下ctrl键的同时，依次选取确定要标示的角 的三个点，然后单击“作图|角的标示”即可。在这里我们按下ctrl键的同时，依次选 取点a、b、c,执行命令后即会标示出za

38、bc;若为b、a、c,那么执行命令后会林 示出的角为zbac。5.1.8直线、射线、向量、线段和曲线点，我们说完了，接着自然是线了。线是儿何图形屮另一基本元素，通过各种线可 以体现几何对象间的各种关系。本部分就实现了各种线的操作。（如图5-1-22）浅段（s）b向星©直线射线（s）两条异面直线的公垂线（c）泰数曲线离散点曲线（s）文件数据曲线（£）.图5-1-22各式线线段、直线、射线、向量这些几何元素的意义甚是明显。而且线段和直线、向量、射线的作法及意义相近， 因此为了简单起见就把它们分组來说。两点间的线段（或过两点的直线）：按下ctrl键的同时，依次选取已知两点，然后

39、单击“作图|直线、射线、向量、线段和曲线|线段（直线）”，即可获得两点间的线段 （或通过两点的直线）。两点确定的向量（或射线）：按下ctrl键的同时，依次选取第一、第二个点，比如 点a、点b,然后单击“作图|直线、射线、向量、线段和曲线|向量（或射线）”，即 可获得第一个点到第二点之间的向量（或以第一个点为端点的射线），在这里就是叫量 ab （或射线ab）;如果你选的是b、a的话，那就是向董ba （或射线ba）。两条异面直线的公垂线其实公垂线就是伴随异面直线而来的，同一平面的两直线（平行直线）谈公垂线， 意义就不大了，因此当我们说公垂线时也就主要是对异面直线。当然其意义也很明s, 作法也同样明

40、了：按下ctrl键的同时，依次选取两条异面直线，然后单击菜单命令“作 图|直线、射线、向量、线段和曲线|两条异面直线的公垂线”即可。参数曲线本命令是通过设置所要作曲线的参数方程来作出其图形的，也就是曲线的参数方 程。单击菜单命令“作图|直线、射线、向量、线段和曲线|参数曲线”，弹出曲线对象 属性对话框，在这里我们输入所要的曲线的参数方程及怎样画曲线等。在对话框内输入曲线的参数方程，记得单击“确认输入”，如果你对其中参数的初 始值不满意，可单击“参数值”栏中的该参数，在下方的栏中修改它的值；“间断点的最 小値”表示当两点间的距离（以坐标为单位）超过该栏中的数值时，两点间就不在画线 了，所以要小心

41、；“曲线的点数”表示画出的图形中所含的点数；在“参数范围”栏内 修改参数范围。“画线”与“填充”两编辑栏就和前面讲过的对象属性中的的相同：最 后单击“确定”退出该对话框。如阁5-1-23,输入了 x、y、z的参数方程后，单击“确认输入”，然后我们修改一 下常参数a的值，在“参数值”找到a，单击选取，然后在下面的输入栏中写你给定的 值；接着可以修改参数s的取值范围，其它的选项我们就不去修改了，如果你愿意，当 然也是可以改的，最后单击“确定”，看看我们宂竟得到了什么样美丽的曲线。如图5-1-24。图5-1-23参数曲线方程输图5-1-24 “奇怪”的曲线不知道你是否认识该曲线，这样看起来很像平面曲

42、线，其实它是一条空间曲线。想图5-1-25离散点曲线象一下，不觉得它很像是一个球和一个和球的半径相同而且一直母线过球心的圆柱的交 线吗？其实这条曲线就是有名的维维安尼（viviani）曲线。离散点曲线该命令是通过描点把曲线大概的画出来，和上一命令有些相同。单击菜单命令“作 图i直线、射线、向量、线段和曲线|离散点曲线”，弹出如图5-1-25所示的对话框。双击坐标的空白行依次填入x坐标、y坐标、z坐标（不过记得必须填入2个以 上的点的坐标值）；“插入”命令是在选中的当前坐标行之前插入一个空白行；“删除” 命令当然就是删除选中的当前坐标行的值。“间断点的最小值”后妞编辑框的数值表示 当两点间的间隔

43、（以坐标为单位）超过此数值时，这两点间就不再画线。在“画点”命 令的前方框中打上勾，则在作阁窗口屮 旧j出所有在此对诏 框中的坐标点。在后 一编辑框中填入数 值设置画点的大小。单击“画线”，设賈 画线的有关属性。单 击“填充”，设置点 的填充属性，和前面 我们说过的相同。当 你觉得需要的点输 入完后，则可单击 “确定”按钮，在作 图窗u中得到图形。文件数据曲线此命令是将文本文档中的数裾传送给当前作图窗口，规则是每个数据以英文的逗号 隔开，每三个数据作为一个坐标点，如遇到不能识别的数字或分隔符逗号字符：英文 字符，当变量來处理，中文全当数字0。而且在文本文档中至少要有9个数据（三个坐 标点）才能

44、作山过由文档的数据确定的坐标点的近似曲线。单击菜单命令“作阁i直线、线段、射线、向m和曲线i文件数据曲线”，在弹出的 对话框中选择存有相应数据的文本文档，则文本文件屮的数据将被插入到坐标屮。例如 我们选择一个存有数据“0,0，1，1，2,2,0.1，0.02,4，中国，0,0丸0.8上，0.5,0.5,0”的文本文件， 确认选中的文件后弹出如图5-1-26的对话框，单击确认按钮，贝ij得到如图5-1-27的曲 线。当然需要修改画曲线的点和线属性或增加、删除画曲线点的个数的话，参见上个命 令“离散点的曲线”即可，因为它们本质上是相同的。5.1.9截面截囬是指平面截多面体或旋转体所成的面，一般是多

45、边形、圆或者椭圆等，而且有 很大的应川，但在作图过程中我们又往往耑要先求解平面与多面体各面的交线或旋转体 的相交曲线，是非常繁琐的过程，本智能软件为我们解决了这一难题，我们有更多的精 力去研究截而的儿何性质。平面和凸多面体的截面意义是很明显的，不过在你所作的图中必须含有凸多面体时才能使用该命令，按下 ctrl键的同时，依次选取确定平面的三个点，然后单击“作图|截面|平面和旋转体的 截面”，则弹出如图5-1-28的对话框，选择需要的几何体，单击“确定”则可得到截面 了。图5-1-28选择多面体如我们先作一个棱锥h-efg，然后再选取三个空间任意点a、b、c,单击“作阉| 截面|平面和凸多面体体的

46、截面”，单击图5-1-28屮的确定，则得到如图5-1-29的截面。阁5-1-29多面体的截面平面和旋转体的截面和上个命令差不多，不过操作上由于几何体的变化而有所不同；按下ctrl键的同 时，依次选取确定平面的三个点，及已知的旋转体，然后单击“作图|截面|平面和旋 转体的截面”，则得到我们所要的截面了。如图5-1-30,圆锥b-ac与平面def的截面 为图屮的阴影部分。图5-1-30旋转体的截而5.1.10克隆平面多边形到投影平面一个平面图形的某些性质在空间难以观察和研究，然而如果将此图形放到投影平面 之中去就会变得显而易见。为此，本智能软件实现了将空间的平面多边形克隆到投影平 面中显示的功能。

47、操作：按下ctrl键的同时，沿多边形的边，依次选取确定平面多边形的各点，然 后单击“作图|克隆平面多边形到投影平面”，即可出现平而多边形在投影平而的克隆 图形。其屮你拖动按顺序所选取的第一个点、第二个点可以分别平移多边形的位置、对 多边形进行旋转。同吋我们得注意点的选取顺序，因为计算机将按照你所选择的点的顺 序依次连接成线，最后再将第一个点和最后一个点之间连线。bcde-b1c1d1e1为一四棱台，我们按下ctrl键时，依次选取点b1、cl、d1和 e1,然后执行该命令，则得到xoy平而上的bi、cl、dl、e1四点（图屮红色的， 其中，移动xoy平面上的b1点时，这四点都随之移动；移动c1点

48、时，则cl、d1、 e1三点绕b1旋转；而移动d1或e1吋，整个图形将随之移动。你也不妨试试！如图 5小31。图5-1-31投影5.1.11多面体的展开图为了帮助解决一些类似最短环绕线等问题，本软件像实现旋转体的平面展开图一 样，亦实现了多面体的平面展开功能。要使用该命令，则所作的图形中必须至少含有一 个多而体。在这里我们首先单击“作图i棱锥i正四棱台”，作出一个多面体。然后实现多面体 展开的操作是：单击“作图|多面体的展开图”，自动弹山对话框要求你选择要展开的 多面体，我们单击“四棱台abcd-aib1c1d1”（使其被选中），然后按下“确定”即会 出现四梭台的平面展开图。其中拖动作图逻辑顺

49、序中的第一、第二个点（在这里是点a、 ab）可以分别实现展开阁的平移、旋转。也许你要说那旋转体的展开图呢？那我告诉你，选取某个旋转体，打开它的属性对话框，在第一栏“填充和展开图”栏，选择“画展开图”，“确定”退出后，该旋转体的 侧而展开阁就画好了。5.1.12棱柱b三棱柱迄）四棱柱a）正三棱柱a）正四棱柱正六棱柱4）平打六曲体ce） 直平行六面体g）长方体（£）图5-1-32各种棱柱棱柱是侧面为平行四边形的多面体，在以下的所作的 各种棱柱（如阁5-1-32,当然这里只有我们常见的，而我 们一般也只要这些，以下的棱锥、棱台基本上也是如此） 屮，都要保持这个性质及其本身的各种性质不变。所

50、以在 梭柱中有自由点半自由点和非自由点之分，可以任意拖动 自巾点和半自巾点的位置使梭柱的形状发生变化，但仍是 具有某些特征的棱柱，也就上说其儿何性质是不会改变 的；而如果选取的是非自由点，无论你怎么拖，图形保持 形状不变而且是不会动的。棱锥、棱台及各种旋转体中均 有类似的图形元素，以下有具体阐述。三（或四棱柱直接单击“作图i棱柱|三（或四）棱柱”，即可在作图窗口作出三棱柱abc-a1b1c1 （或四棱柱 abcd-a1b1c1d1 ）。这样的棱柱是任意的，其巾一底面上的三点a、b、c （在叫棱柱巾为叫点a、b、 c、d）是空间任意点，通过拖动它们之中任意一点可以改变底面的形状或移动位置； 而点

51、al、bi、c1 （四棱柱屮包括d1点）是另一底而上分别与a、b、c （四棱柱屮包 括d点）相对应的点，这时拖动a1可以改变棱柱的棱长和侧面角的大小，而bi、c1 （叫棱柱中包括d1点）是上述非自由点，移动它们中的点可以使得整个图形一起移动 而图形的形状则完全不改变。也就是说通过拖动前4个（四梭柱为前5个）点（自由点）可以來改变三（或四） 棱柱的位置和形状。正三（或四、六）棱柱直接单击“作图|棱柱|正三（或四、六）棱柱”，即可在工作窗口作出正三棱柱 abc-a1b1c1 （或正四棱柱 abcd-a1b1c1d1、正六棱柱 abcdef-a1b1c1d1e1f1 ）。我们还可以己知线段为底而正多

52、边形的一边作正棱柱，操作为：首先选取线段比如 ab,然后单击“作图|棱柱|正三（或四）棱柱”。所作棱柱的底面是由线段ab所确定的正三角形（或正四棱柱中的正方形、正六棱 柱中的正六边形），即点a、点b是自由点通过拖动可以改变底边的大小和底面位置； 点c （正六棱柱中为底而中心g点）是半自由点通过拖动只能使棱柱转动，点a1也是 半自由点只能在aa1所在直线上移动改变棱柱的棱长；正棱柱屮的苒他点是非自由点, 移动这些点可以使得整个图形一起移动，而图形的形状则完全未改变。（如阁5-1-33）平行六面体单击“作图i棱柱i平行六面体”即可。在这里仍将作岀的平行六面体记为 abcd-a1b1c1d1,其巾底

53、面巾的a、b、c三自由点确定了底面平行卩h边形；底面巾 的点a1亦为自由点，它和点a之间的线段确定了平行六面体的棱长，同样可以通过拖 动这些点来实现改变平行六而体在空间屮的位置和形状；其他均为非自由点。直平行六面体和平行六面体的差别就是一个“直”，表现在图形上就是母线与底面垂直。长方体单击“作图|棱柱|长方体”，即可作出任意长方体。在这里作出的长方体记为 abcd-a1b1c1d1,其屮在底边abcd屮a、b力自由点，c点为半自由点可在过点b 垂直与ab的直线上自由移动，底面中的a1为半自由点，可在过点a垂直与底面的直 线上a巾移动，可以通过拖动这些点来实现改变长方体在空间中的位置和形状；其他

54、点 均为非自由点。正方形也就是正六面体，所以我们把它放在“正多面体”中。5.1.13棱锥棱链卜.三棱雅(s)棱台正多面体旋转体&四棱碓d)正三棱链d) 正四棱链®)正六棱稚(l)梭锥(如图5-1-34 屮的种种棱锥)的作法 与棱柱基本相似，下面 我们也同样分类叙述：三（或四棱锥目的是在空间作任意的三（或四）棱锥。直接单击“作图i棱锥i三（或四）棱锥” 即可获得三（或四）棱锥，在这里我们记为a-bcd （或四棱锥a-bcde）。由于它的任 意性，图形屮的点皆可用鼠标和键盘自由拖动。正三（或四、六）棱锥同正棱柱的作法相类似：一是直接单击“作图|正三（或四、六）棱锥”即可作出 正三

55、（或四、六）锥，在这里我们记为d-abc （或正四棱锥e-abcd、正六棱锥 h-abcdef）。所作图形中，点a、b为自由点拖动他们可以改变正棱锥正多边形的边 的大小和位置；点c （或正六棱锥中底面的中心g点）为半自由点，通过拖动可以改 变图形在空间中的位置；正三棱锥的顶点d （或正四棱锥中的e点、正六棱锥中的h 点）也是半自由点，可以在顶点与棱锥的底而屮心所确定的直线上自由移动；正棱锥屮 的其他点为非自由点，移动这些点可以使得整个图形一起移动而图形的形状则完全未改 变。（如图5-1-35）另一种作法的是根据你所确定的一条线段为正梭锥的底面的边作正三（或四、六） 棱锥，此法和棱柱屮也是类似的

56、。操作为：选中已知线段（或确定线段的两个点），单 击“作图|正三（或四、六）棱锥”，即可作出正三（或四、六）棱锥。所作出的棱锥 中各点的自由性与上述作法对应相同。5.1.14棱台了解了棱锥的作法及各元素在图形中的存在性质后，有关棱台的叙述大都只是棱锥 的重复了。而且更让我们满意的是，本软件作棱台的同吋给岀了棱台所在棱锥的顶点, 这样就会给我们带来很大的方便。基于梭台和梭锥很大的相同性，在这里我们只以正四 棱台的作法为例进行叙述。正四棱台作法一：单击“作图|棱台|正四棱台”，即可作出正四棱台，在这里我们记为abcd-alblcldk你会发现图形中还有两个点，他们是棱台所在棱锥的顶点和正四棱 台下

57、底而的屮心，分别记为f和e。所作图形屮，点a、b为自由点，他们所在的线段 确定了棱台下底面的边的大小；点f为棱台所在棱锥的顶点，为半自由点，可以在与 下底面的屮心所确定的直线上自由移动改变棱锥的高；上底面上的点a1力半自由点， 可以在a和f所在线段上自由移动改变棱台的棱长；点c为半自由点，可以通过鼠标 拖动改变底面的空间位置；其他点则为非自由点，尤其注意这里棱台底面中心e也是 非自由点。（如阁5-1-36）阁5-1-36正四棱台另一种作法是：选中已知线段，然后单击“作图|棱台|正四棱台”，即可作出正叫棱 台，其中该线段确定了正叫棱台下底面的边长，所作出的棱台中各点的自由性与上述相 同。5.1.15正多面体所谓正多面体就是指那些每个面都是正多边形的多面体，当然每个正多边形的边数 自然是相同的。我们这里只列出一些常见而且常用的正多面体（如图5-1-37）,由于正 多而体具有良好而ii规则的儿何性质，