2022年2022年相交线与平行线最全知识点

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点一.本章共分4 大节共 14 个课时；（ 2.16 3.7 第 1.4 周）章节第五章相交线与平行线内容14课时5.1相交线35.2平行线及其判定35.3平行线的性质45.4平移2单元小结2二.本章有四个数学基本领实1. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；2. 过一点有且只有一条直线与这条直线垂直；3. 两条直线被第三条直线所截,假如同位角相等,那么两直线平行；4. 两直线平行,同位角相等.三.本章共有19 个概念1. 对顶角 2. 邻补角 3. 垂直 4. 垂线 5. 垂足 6. 垂线段 7. 点到直线的距离8. 同位角 9. 内

2、错角10. 同旁内角11. 平行 12. 数学基本领实13. 平行公理14. 命题 15. 真命题 16. 假命题17. 定理 18. 证明 19. 平移四.转化的数学思想遇到新问题时,经常把它转化为已知（或已解决）的问题.p14五.平移1. 找规律2. 转化求面积3. 作图（2021 年安徽中考）学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成如干个全等菱形图案,每增加一个菱形图案,纹饰长度就增加dcm,如下列图已知每个菱形图案的边长103 cm,其一个内角为 60°60°dl第 19 题图（ 1）如 d 26,就该纹饰要231 个菱形图案,求纹饰的长度l；【解】（ 2）当 d 20 时

3、,如保持（ 1）中纹饰长度不变,就需要多少个这样的菱形图案？【解】精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点相交线与平行线学问点5.1 相交线1.邻补角与对顶角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角,它们的概念及性质如下表：图形顶点边的关系大小关系精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载对顶角有公共顶点 1 的两边与22 的两边互为反1向延长线对顶角相等即 1= 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 1 与 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载邻补角43 3 与 4有公共顶点 3 与 4 有一条边公共,另一边互为反向延长线. 3+ 4=

4、180 °精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载留意点：对顶角为成对显现的,对顶角为具有特别位置关系的两个角；假如 与 为对顶角,那么肯定有 = ；反之假如 = ,那么 与不肯定为对顶角假如 与 互为邻补角,就肯定有 + =180 °；反之假如+ =180°,就 与 不肯定为邻补角.两直线相交形成的四个角中,每一个角的邻补角有两个,而对顶角只有一个.2.垂线定义,当两条直线相交所成的四个角中,有一个角为直角时,就说这两条直线相互垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.c符号语言记作：如下列图： ab cd ,垂足为oaobd垂线性质1

5、：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直与平行公理相比较记垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的全部线段中,垂线段最短 .简称：垂线段最短 .3.垂线的画法：过直线上一点画已知直线的垂线；过直线外一点画已知直线的垂线.留意：画一条线段或射线的垂线,就为画它们所在直线的垂线；过一点作线段的垂线,垂足可在线段上,也可以在线段的延长线上.画法：一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上,二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上,三画：沿着这条直角边画线,不要画成给人的印象为线段的线.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点4.点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度,

6、叫做点到直线的距离记得时候应当结合图形进行记忆.paob如图, po ab ,同 p 到直线 ab 的距离为po 的长 .po 为垂线段 .po 为点 p 到直线 ab 全部线段中最短的一条.现实生活中开沟引水,牵牛喝水都为“垂线段最短”性质的应用.5.如何懂得“垂线” .“垂线段”.“两点间距离” .“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念分析它们的联系与区分垂线与垂线段区分：垂线为一条直线,不行度量长度；垂线段为一条线段,可以度量长度 .联系：具有垂直于已知直线的共同特点.垂直的性质 两点间距离与点到直线的距离区分：两点间的距离为点与点之间,点到直线的距离为点与直线之间.联系：都为线段的长

7、度；点到直线的距离为特别的两点即已知点与垂足 间距离 .线段与距离距离为线段的长度,为一个量；线段为一种图形,它们之间不能等同.5.2 平行线1.平行线的概念：在同一平面内, 不相交的两条直线叫做平行线,直线 a 与直线 b 相互平行, 记作 a b .2.两条直线的位置关系在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种：相交；平行.因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时,就可以确定它们平行； 反过来也一样 （这里,我们把重合的两直线看成一条直线）判定同一平面内两直线的位置关系时,可以依据它们的公共点的个数来确定：有且只有一个公共点,两直线相交；无公共点,就两直线平行；两个或两个以上公共点,就两直

8、线重合（由于两点确定一条直线）3.平行公理平行线的存在性与惟一性经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行4.平行公理的推论：假如两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也相互平行a如左图所示,b a , c ab b c留意符号语言书写,前提条件为两直线都平行于第三条直线,才c会结论,这两条直线都平行.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点5.三线八角两条直线被第三条直线所截形成八个角,它们构成了同位角.内错角与同旁内角.l精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如图,直线a、b 被直线 l 所截2 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 1

9、与 5 在截线 l 的同侧,同在被截直线a、 b 的上方,叫做同位角（位置相同）3 4a6 5b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 5 与 3 在截线 l 的两旁（交叉） ,在被截直线78a、b 之间（内）,叫做内错角（位置在精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载内且交叉） 5 与 4 在截线 l 的同侧,在被截直线a 、 b 之间（内） ,叫做同旁内角.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载三线八角也可以成模型中看出.同位角为“ f”型；内错角为“z”型；同旁内角为“u” 型.6.如何判别三线八角判别同位角.内错角或同

10、旁内角的关键为找到构成这两个角的“三线”,有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看,有时又需要把图形补全.例如：ad342b 15 6 7fc89e如图,判定以下各对角的位置关系：1 与 2； 1 与 7； 1 与 bad ； 2与 6； 5 与 8.我们将各对角从图形中抽出来（或者说略去与有关角无关的线）,得到以下各图.如下列图,不难看出1 与 2 为同旁内角；1 与 7 为同位角；1 与 bad为同旁内角； 2 与 6 为内错角； 5 与 8 对顶角 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载aa2117bfbcadad 261cbfb精品学习资料精选学习资料 - - - 欢

11、迎下载af5 c 8eb精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点留意：图中 2 与 9,它们为同位角吗？不为,由于 2 与 9 的各边分别在四条不同直线上,不为两直线被第三条直线所截而成.7.两直线平行的判定方法方法一两条直线被第三条直线所截,假如同位角相等,那么这两条直线平行简称：同位角相等,两直线平行方法二两条直线被第三条直线所截,假如内错角相等,那么这两条直线平行简称：内错角相等,两直线平行方法三两条直线被第三条直线所截,假如同旁内角互补,那么这两条直线平行简称：同旁内角互补,两直线平行e精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a3b1 4c2d f几何符号

12、语言： 3 2ab cd （同位角相等,两直线平行） 1 2ab cd （内错角相等,两直线平行） 4 2 180°ab cd （同旁内角互补,两直线平行）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载请同学们留意书写的次序以及前因后果,平行线的判定为由角相等,然后得出平行.平行线的判定为写角相等,然后写平行.留意：几何中,图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着内在的联系,常由“位置关系”打算其“数量关系”,反之也可从“数量关系”去确定“位置关系”.上述平行线的判定方法就为依据同位角或内错角“相等”或同旁内角“互补”这种“数量关系”,判定两直线“平行”这种“位置关系”.依

13、据平行线的定义和平行公理的推论,平行线的判定方法仍有两种：假如两条直线没有交点（不相交）,那么两直线平行.假如两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线平行.典型例题：判定以下说法为否正确,假如不正确,请赐予改正：不相交的两条直线必定平行线.在同一平面内不相重合的两条直线,假如它们不平行,那么这两条直线肯定相交.过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行解答：错误,平行线为“在同一平面内不相交的两条直线”.“在同一平面内”为一项重要条件,不能遗漏.正确不正确,正确的说法为“过直线外一点”而不为“过一点”.由于假如这一点不在已知直线上,为作不出这条直线的平行线的.典型例题：如图,依据以下条件,可

14、以判定哪两条直线平行,并a说明判定的依据为什么？d解答：由 2 b 可判定 ab de ,依据为同位角相等,两直线平行；1由 1 d 可判定 ac df ,依据为内错角相等,两直线平行；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由 acf f 180°可判定ac df,依据同旁内角互补,两直线平行 .2 3becf精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点5.3 平行线的性质1.平行线的性质：性质 1：两直线平行,同位角相等； 性质 2：两直线平行,内错角相等； 性质 3：两直线平行,同旁内角互补.e精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a3b1 4

15、c2d f几何符号语言：ab cd 1 2（两直线平行,内错角相等）ab cd 3 2（两直线平行,同位角相等）ab cd 4 2 180°（两直线平行,同旁内角互补）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.两条平行线的距离如图,直线ab cd , ef ab 于 e, ef cd 于 f,就称线段ef 的长度为两平行线ab与 cd 间的距离 .agebchdf留意：直线ab cd ,在直线ab 上任取一点g,过点 g 作 cd 的垂线段gh ,就垂线段 gh 的长度也就为直线ab 与 cd 间的距离 .3.命题：命题的概念：判定一件事情的语句,叫做命题.命题的组成每个命题

16、都为题设.结论两部分组成.题设为已知事项；结论为由已知事项推出的事项.命题常写成“假如,那么”的形式.具有这种形式的命题中,用“假如”开头的部分为题设,用“那么”开头的部分为结论.有些命题,没有写成“假如,那么”的形式,题设和结论不明显.对于这样的命题,要经过分析才能找出题设和结论,也可以将它们改写成“假如, 那么” 的形式 .留意：命题的题设（条件）部分,有时也可用“已知”或者“如”等形式表述；命题的结论部分,有时也可用“求证”或“就”等形式表述.4.平行线的性质与判定平行线的性质与判定为互逆的关系两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补.其中,由角的相等或互补（数

17、量关系）的条件,得到两条直线平行（位置关系）这为平行线精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点的判定； 由平行线 （位置关系） 得到有关角相等或互补（数量关系） 的结论为平行线的性质.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载典型例题：已知1 b,求证： 2 c证明： 1 b （已知） de bc（同位角相等,两直线平行） 2 c（两直线平行同位角相等）ad12 ebc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载留意,在了de bc ,不需要再写一次了,得到了de bc,这可以把它当作条件来用了.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载典型例题：如图,ab

18、df , de bc, 1 65°求 2. 3 的度数解答： de bc（已知） 2 165°（两直线平行,内错角相等） ab df（已知） ab df（已知） 3 2180°（两直线平行,同旁内角互补） 3 180° 2180° 65° 115°5.4 平移ade32f1c b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1.平移变换把一个图形整体沿某一方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的外形和大小完全相同 .新图形的每一点,都为由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点为对应点连接各组对应点的线段平行且相等2.平

19、移的特点：经过平移之后的图形与原先的图形的对应线段平行（或在同始终线上）且相等, 对应角相等,图形的外形与大小都没有发生变化.经过平移后,对应点所连的线段平行（或在同始终线上）且相等.典型例题：如图,abc 经过平移之后成为def ,那么：点 a 的对应点为点；点b 的对应点为点.点的对应点为点f；线段 ab 的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载对应线段为线段；线段 bc 的对应线段为线段； a 的对应角为.的对应角为f.解答： d； e；c； de ； ef； d； acb.adbecf精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载思维方式： 利用平移特点： 平移前后对应线段相等

20、,对应点的连线段平行或在同始终线上解答.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点考点一：对相关概念的懂得对顶角的性质, 垂直的定义,垂线的性质,点到直线的距离,垂线性质与平行公理的区分等例 1：判定以下说法的正误；（1） 对顶角相等；（2） 相等的角为对顶角；（3） 邻补角互补；（4） 互补的角为邻补角；（5） 同位角相等；（6） 内错角相等；（7） 同旁内角互补；（8） 直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离；（9） 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（10） 过一点有且只有一条直线与已知直线平行；（11） 两直线不相交就平行；（12） 互为邻补角的两个

21、角的平分线相互垂直；练习：以下说法正确选项（）a .相等的角为对顶角b .直线外一点到直线的垂线段叫点到直线的距离 c.两条直线相交,有一对对顶角互补,就两条直线相互垂直；d .过一点有且只有一条直线与已知直线平行考点二：相关推理（识记）（1） ac, b c（已知） （）（2） 1= 2, 2= 3（已知） = （）（3） 1+ 2=180°,2=30°（已）知） 1= （4） 1+ 2=90°, 2=22°（已知） 1= （）（5）如图（1）,aoc=55° （已知 ）bod= （）（6）如图（1）, aoc=55° （已 知）b

22、oc= （）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（7）如图（ 1）, aoc=1 aod , aoc+ aod=180 °（已知）2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 boc= （）b（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）aa11b.ac.b.432精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点（8）如图（ 2）, a b（已知） 1= （）（9）如图（ 2）, 1= （已知） a b（）（10）如图（ 3）,点 c 为线段 ab的中点ac= （_）11如图（ 3）,ac=bc点 c 为线段 ab的中点（）（12）如图（ 4）, a b（已知） 1=

23、 2（）（13）如图（ 4）, a b（已知） 1= 3（）（14）如图（ 4）, a b（已知） 1+ 4=（）（15）如图（ 4）, 1= 2（已知） a b（）（16）如图（ 4）, 1= 3（已知） a b（）（17）如图（ 4）, 1+ 4=（已知） a b（）考点三：对顶角.邻补角的判定.相关运算例题 1：如图 5 1,直线 ab .cd 相交于点 o,对顶角有 对,它们分别为 ,aod 的邻补角为 ；例题 2：如 图 5 2,直线 l 1,l2 和 l3 相交构成8 个角, 已知 1= 5,那么, 5 为 的对顶角,与5 相等的角有 1. ,与 5 互补的角有 ；例题 3：如图

24、5 3,直线 ab .cd 相交于点 o,射线 oe 为 bod 的平分线, boe=3°0 ,就 aoe 为 ；图 5 1图 5 2图 5 3考点四：同位角.内错角.同旁内角的识别例题 1：如图 2-44 , 1 和 4 为 ab. 被所截得的角, 3 和 5 为 .被所截得的角, 2 和 5 为 . 被所截得的角, ac.bc被 ab所截得的同旁内角为 .例题 2：如图 2-45 , ab.dc被 bd所截得的内错角为, ab. cd被 ac所截为的内错角为, ad.bc被 bd所截得的内错角为, ad.bc被 ac所截得的内错角为；例题 3：如图 1 26 所示 aebd, 1=3 2, 2=25°,求 c精品学习资料精选学习资