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文档简介

1、第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布2根根本本积积分分表表 kCkxkdx()1(是常数是常数); dxx )2(Cxxdx ln)3(阐明:阐明: , 0 x,ln Cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( Cxxdx,|ln Cxxdx);1(11 Cx内容回想:内容回想:3 dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx xdx2cos)8( xdx2sec;tanCx xdx2sin)9( xdx2csc;cotCx 4 xdxxtansec)10(;secCx x

2、dxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax xdxsinh)14(;coshCx xdxcosh)15(;sinhCx 5 第二节第二节 换元积分法换元积分法 一、第一类换元法 二、分部积分法 三、小结6问题问题 xdx2cos,2sinCx 处理方法处理方法利用复合函数,设置中间变量利用复合函数,设置中间变量.过程过程令令xt2 ,21dtdx xdx2cosdtt cos21Ct sin21.2sin21Cx 一、第一类换元法一、第一类换元法7在普通情况下:在普通情况下:设设),()(ufuF 那那么么.)()( CuFduuf假设假设

3、)(xu 可微可微dxxxfxdF)()()( CxFdxxxf)()()( )()(xuduuf 由此可得换元法定理由此可得换元法定理8设设)(uf具具有有原原函函数数, dxxxf)()( )()(xuduuf 第一类换元公式凑微分法第一类换元公式凑微分法阐明阐明运用此公式的关键在于将运用此公式的关键在于将 dxxg)(化为化为.)()( dxxxf察看重点不同,所得结论不同察看重点不同,所得结论不同.)(xu 可可导导,则有换元公式则有换元公式定理定理1 19例例1 1 求求.2sin xdx解一解一 xdx2sin )2(2sin21xxd;2cos21Cx 解二解二 xdx2sin

4、xdxxcossin2 )(sinsin2xxd ;sin2Cx 解三解三 xdx2sin xdxxcossin2 )(coscos2xxd .cos2Cx 10例例2 2 求求.231dxx 解解,)23(23121231 xxxdxx 231dxxx)23(23121 duu 121Cu ln21.)23ln(21Cx dxbaxf)( baxuduufa)(1普通地普通地11例例3 3 求求.)ln21(1dxxx 解解dxxx )ln21(1)(lnln211xdx )ln21(ln21121xdx xuln21 duu121Cu ln21.)ln21ln(21Cx 12例例4 4 求

5、求.)1(3dxxx 解解dxxx 3)1(dxxx 3)1(11)1()1(1)1(132xdxx 221)1(2111CxCx .)1(21112Cxx 13例例5 5 求求.122dxxa 解解dxxa 221dxaxa 222111 axdaxa2111.arctan1Caxa 14例例6 6 求求.25812dxxx 解解dxxx 25812dxx 9)4(12dxx 13413122 341341312xdx.34arctan31Cx 15例例7 7 求求.11dxex 解解dxex 11dxeeexxx 11dxeexx 11dxeedxxx 1)1(11xxededx .)1l

6、n(Cexx 16例例8 8 求求.)11(12dxexxx 解解,1112xxx dxexxx 12)11()1(1xxdexx .1Cexx 17例例9 9 求求.12321dxxx 原式原式 dxxxxxxx 123212321232dxxdxx 12413241)12(1281)32(3281 xdxxdx .121213212133Cxx 18例例10 10 求求解解.cos11 dxx dxxcos11 dxxxxcos1cos1cos1 dxxx2cos1cos1 dxxx2sincos1 )(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotCxx 19例例11 11 求求

7、解解.cossin52 xdxx xdxx52cossin )(sincossin42xxdx )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx 阐明阐明 当被积函数是三角函数相乘时,拆开奇当被积函数是三角函数相乘时,拆开奇次项去凑微分次项去凑微分.20例例12 12 求求解解.2cos3cos xdxx),cos()cos(21coscosBABABA ),5cos(cos212cos3cosxxxx dxxxxdxx)5cos(cos212cos3cos.5sin101sin21Cxx 21例例13

8、 13 求求解一解一 dxxsin1.csc xdx xdxcsc dxxx2cos2sin21 22cos2tan12xdxx 2tan2tan1xdxCx 2tanln.)cotln(cscCxx 运用了三角函数恒等变形运用了三角函数恒等变形22解二解二 dxxsin1 xdxcsc dxxx2sinsin )(coscos112xdxxucos duu211 duuu111121Cuu 11ln21.cos1cos1ln21Cxx 类似地可推出类似地可推出.)tanln(secsec Cxxxdx23 xdxcsc dxxxxsincossin22解法三解法三dxxxx)sincos(s

9、in2 dxxxxdx sincossin2xdxxxxsinsincoscos22 xdxxxcoscos1coscos22 dttt 221dtttdttt 2222111124例例14 14 求求解解.11dxex xet 1令令, 12 tex,122dtttdx dxex 11dtt 122dttt 1111Ctt 11ln .11ln2Cxex ,1ln2 tx25阐明阐明(3)(3) 当分母的阶较高时当分母的阶较高时, 可采用倒代换可采用倒代换.1tx 例例15 15 求求dxxx )2(17令令tx1 ,12dttdx dxxx )2(17dtttt 27121 dttt762

10、1Ct |21|ln1417.|ln21|2|ln1417Cxx 解解26例例16 16 求求解解.1124dxxx dxxx 1124令令tx1 ,12dttdx dxttt 22411111分母的阶较高分母的阶较高dttt 231222121dttt 2tu 27 duuu121 duuu11121 )1(11121uduu Cuu 11313.1131232Cxxxx 28阐明阐明当被积函数含有两种或两种以上的当被积函数含有两种或两种以上的根式根式 时,可采用令时,可采用令 其中其中 为各根指数的最小公倍数为各根指数的最小公倍数 lkxx,ntx n例例17 17 求求.)1(13dxx

11、x 解解令令6tx ,65dttdx dxxx )1(13 dtttt)1(6235 dttt221629 dttt221116 dtt21116Ctt arctan 6.arctan 666Cxx 30根根本本积积分分表表;coslntan)16( Cxxdx;sinlncot)17( Cxxdx;)tanln(secsec)18( Cxxxdx;)cotln(csccsc)19( Cxxxdx;arctan11)20(22Caxadxxa 31;ln211)22(22Cxaxaadxxa ;arcsin1)23(22Caxdxxa .)ln(1)24(2222Caxxdxax ;ln211

12、)21(22Caxaxadxax 32P98 4, 533一、一、 填空题:填空题:1 1、 若若CxFdxxf )()(而而)(xu 则则 duuf)(_;2 2、 求求 )0(22adxax时,可作变量代换时,可作变量代换_ _,然后再求积分;,然后再求积分;3 3、 求求 dxxx211时可先令时可先令 x_;4 4、 dxx_)1(2xd ;5 5、 dxex2_ _ _ _)1(2xed ;6 6、 xdx_ _ _ _ _)ln53(xd ;练练 习习 题题347 7、 291xdx = =_ _ _ _ _)3arctan(xd;8 8、 21xxdx_ _ _ _ _)1(2x

13、d ;9 9、 dtttsin_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _;1 10 0、 222xadxx_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .二二、 求求下下列列不不定定积积分分: (第第一一类类换换元元法法)1 1、 dxxaxa; 2 2、 )ln(lnlnxxxdx;353 3、 221.1tanxxdxx; 4 4、 xxeedx;5 5、 dxxx321; 6 6、 dxxxx4sin1cossin;7 7、 dxxxxx3cossincossin; 8 8、 dxxx2491;9 9、 dxxx239; 10 10、 )

14、4(6xxdx;1111、 dxxxx)1(arctan ; 12 12、 dxxexxx)1(1;1313、 dxxx2arccos2110; 14 14、 dxxxxsincostanln. .36练习题答案练习题答案一、一、1 1、CuF )(; ;; 2 2、taxsec 或或taxcsc ; 3 3、t1; 4 4、21; 5 5、-2-2; 6 6、51; 7 7、31; 8 8、 ; 9 9、Ct cos2; 10 10、Cxaaxaxa )(arcsin22222. .二二、1 1、Cxaaxa 22arcsin; 2 2、Cx lnlnln; 3 3、Cx )1ln(cos2; 4 4、Cex arcta

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