2015_2016学年高中数学第三章三角恒等变换本章小结新人教A版必修4+2015_2016学年高中数学第三章三角恒等变换章末过关检测卷新人教A版必修4

1、2015_2016学年高中数学第三章三角恒等变换本章小结新人教A版必修4【金版学案】2015-2016学年高中数学 第三章 三角恒等变换本章小结 新人教A版必修4 专题归纳对于三角函数求值主要有三种类型，即“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”三种形式的题目本质上都是“给值求值”，只不过往往求出的值是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围例题分析例1 已知，且cos，sin，求cos()分析：由已知条件要求cos()，应注意到角之间的关系，可应用两角差的余弦公式求得解析：由已知得，.又cos，sin.由得，又sinsinsin，sin，cos.由，得cos

2、coscos·cossin·sin××.点评：三角变换是解决已知三角函数值求三角函数值这类题型的关键所谓变换是指函数名称类型的变换及角的变换，两种变换相辅相成，互相利用例2已知0<<，0<<，且3sin sin(2)，4tan1tan2，求的值分析：本题主要考查三角函数式的恒等变形及已知三角函数值求角，因为2()，()，可先将条件式3sin sin(2)展开后求的正切值解析：3sin sin(2)，即3sinsin()，整理得2sin()cos 4cos()sin .即tan()2tan .又4tan1tan2，tan ，tan(

3、)2tan 2×1.又，.点评：对于给值求角的问题，角的范围分析很重要，是防止出现增解的重要手段跟踪训练1已知cossin ，则sin的值是(C)A B. C D.解析：cossin .cos sin ，sin，sin，sinsin.故选C.专题归纳三角函数式的化简是对给定的三角函数式通过适当的三角变换，使之变为较简单的形式化简三角函数式的常用方法有：直接应用公式；切割化弦；异角化同角；特殊值与特殊角的三角函数互化；通分、约分；配方去根号三角函数式的化简是三角变换中非常重要的一种题型，是高考命题的热点，它常与三角函数的图象和性质联系出题，题型灵活多变，因而三角函数的化简也是需要掌握的

4、基本知识和基本技能例题分析例3化简：.分析：本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系及角的变换，从角的特点及内在联系上探求.与互余，可先用诱导公式减少角的种类或与均化为的三角函数解析：方法一原式1.方法二原式1.点评：(1)切弦共存时，两种方法均采用了切化弦这种技巧(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2，以上三个公式熟练地交替使用，可使问题得以顺利解决(3)一公式结构的三角函数式化简一般需要分子、分母出现可约式，再进行约分例4化简(tan 10°)·.分析：本题中含有正切、正弦、余弦，一般先切化弦，还要注意到特殊值，联想到表示特殊角的三角函数解析：原

5、式·2.跟踪训练2.·(B)Atan Btan 2C1 D.解析：原式·tan 2.故选B.专题归纳三角函数等式的证明，包括无条件三角函数等式的证明和有条件三角函数等式的证明对于无条件三角函数等式的证明，要认真分析等式两边三角函数式的特点，找出差异，化异角为同角，化异次为同次，化异名为同名，寻找证明的突破口对于有条件三角函数等式的证明，要认真观察条件式与欲证式的区别与联系，灵活使用条件等式，通过代入法，消元法等方法进行证明例题分析例5求证：··tan.分析：本题主要考查二倍角公式及变形应用，因等式右端为tan，故可将在左边的角4x，2x，x化为

6、形式证明：左边··tan右边等式成立点评：要熟练掌握下列二倍角公式的变形sin ，cos ，1cos 22cos2，1cos 22sin2，cos2，sin2.例6已知tan()2tan ，求证：3sin sin(2)分析：观察条件与结论间的差异可知：(1)函数名称的差异是正弦与正切，可考虑切化弦法化异为同(2)角的差异是，；，2.通过观察可得已知角与未知角之间关系如下：()；()2，由此可化异为同证明：由已知tan()2tan 可得，sin()·cos 2cos()·sin .而sin(2)sin()sin()·cos cos()·

7、sin 2cos()·sin cos()·sin 3cos()·sin ，又sin sin()sin()·cos cos()·sin 2cos()·sin cos()·sin cos()·sin ，故sin(2)3sin .点评：三角式的证明要注意观察函数的特点，角的特点，结构特点跟踪训练3求证：.证明：证法一右边左边原命题成立证法二左边右边，原命题成立例题分析例7(1)证明两角和的余弦公式C：cos()cos cos sin sin ；由C()推导两角和的正弦公式S()：sin()sin cos cos sin

8、.(2)已知ABC的面积S，·3，且cos B，求cos C.解析：(1)如右图，在直角坐标系xOy内作单位圆O，并作出角、与，使角的始边为Ox，交O于点P1，终边交O于点P2；角的始边为OP2，终边交O于点P3；角的始边为OP1，终边交O于点P4.则P1(1，0)，P2(cos ，sin )，P3(cos()，sin()，P4(cos()，sin()，由P1P3P2P4及两点间的距离公式，得cos()12sin2()cos()cos 2sin()sin 2，展示并整理得：22cos()22(cos cos sin sin )，cos()cos cos sin sin .由易得cos

9、sin ，sincos ，sin()coscoscoscos()sinsin()sin cos cos sin .(2)由题意，设ABC的角B、C的对边分别为b、c，则Sbcsin A，·bccos A3>0，A，cos A3sin A.又sin2Acos2A1，sin A，cos A.由题意，cos B，得sin B.cos(AB)cos Acos Bsin Asin B.故cos Ccos(AB)cos(AB).例8已知a(sin x，1)，b(cos x，0)，其中>0，又函数f(x)b·(ab)k 是以为最小正周期的周期函数，当x时，函数f(x)的最小值

10、为2.(1)求f(x)的解析式；(2)写出函数f(x)的单调递增区间分析：本题主要考查平面向量的坐标运算、二倍角公式及三角函数的性质，先化简f(x)，然后求解解析：(1)ab(sin x，1)(cos x，0)(sin xcos x，1)，f(x)(cos x，0)·(sin xcos x，1)ksink.T，2.x，则4x，f(x)的最小值为f(0)kk12.k1，f(x)sin.(2)当4x(kZ)，即x(kZ)时，函数f(x)为增函数函数f(x)的单调递增区间是(kZ)点评：求函数yAsin(x)k(A>0，>0)的最值时，若xR，要考虑x所在的区间及单调性跟踪训练

11、4已知向量(cos ，sin )(，0)，向量m(2，1)，n(0，)，且m(n)(1)求向量；(2)若cos()，0<<，求cos(2)解析：(1)(cos ，sin )，n(cos ，sin )m(n)，m·(n)0，即2cos (sin )0.又sin2cos21，由联立方程解得，cos ，sin .(2)cos()，即cos ，0<<，sin ，<<.又sin 22sin cos 2××，cos 22cos212×1，cos(2)cos 2cos sin 2sin ××.5已知向量m(sin

12、 A，cos A)，n(1，2)，且m·n0.(1)求tan A的值；(2)求函数f(x)cos 2xtan Asin x(xR)的值域解析：(1)m·n0，sin A2cos A0，即sin A2cos Atan A2.(2)f(x)cos 2x2sin x12sin2x2sin x2，sin x1，1，当sin x时，取得最大值；当sin x1时，取得最小值3.f(x)的值域为.2015_2016学年高中数学第三章三角恒等变换章末过关检测卷新人教A版必修4章末过关检测卷(三)第三章三角恒等变换 (测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小

13、题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1sin 347°cos 32°sin 77°cos 58°的值为(C)A. B C. D解析：原式sin 13°cos 32°cos 13°sin 32°sin 45°.故选C.2计算12sin222.5°的结果等于(B)A. B. C. D.解析：原式cos 45°，故选B.3sincos的值是(B)A0 B C. D2解析：原式22sin2sin，故选B.4下列函数是偶函数，且在0，1上单调递增的是(D)Ays

14、in By12cos22xCyx2 Dy|sin(x)|5化简2得(D)A2sin 4 B2sin 44cos 4 C4cos 42sin 4 D2sin 4解析：原式222|cos 4|2(cos 4sin 4)2cos 42sin 4.故选D.6既是偶函数又在区间(0，)上单调递减的函数是(B)Aysin x Bycos x Cysin 2x Dycos 2x7设向量a(sin 15°，cos 15°)，b(cos 15°，sin 15°)，则a、b的夹角为(B)A90° B60° C45° D30°解析：|a

15、|b|1，且a·bsin 15°cos 15°cos 15°sin 15°sin 30°，a、b的夹角，cos ，又0，60°.故选B.8函数y在一个周期内的图象是(B)解析：y·cos x·2sin xcos xsin 2x，故选B.9函数f(x)Asin(x)(其中A>0，|<的图象如图所示，为了得到g(x)sin 3x的图象，只需将f(x)的图象(C)A向右平移个单位长度 B向左平移个单位长度C向右平移个单位长度 D向左平移个单位长度解析：由图象可知，A1，即T，3，f(x)sin(3x

16、)，又fsinsin1，2k，kZ，即2k，kZ，又|<，即f(x)sin.g(x)sin 3xsinsin，只需将f(x)的图象向右平移个单位长度，即可得到g(x)sin 3x的图象，故选C.10观察等式：sin230°cos260°sin 30°·cos 60°，sin220°cos250°sin 20°cos 50°和sin215°cos245°sin 15°cos 45°，由此得出以下推广命题不正确的是(A)Asin2cos2sin cos Bsin2

17、(30°)cos2sin(30°)cos Csin2(15°)cos2(15°)sin(15°)cos(15°)Dsin2cos2(30°)sin cos(30°)解析：由3个等式观察可知，其结构形式如A选项， 且30°.故选A.11下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是(D)Ayx1 Bytan x Cylog2x Dyx312已知函数f(x)(1cos 2x)·cos2x，xR，则f(x)是(C)A最小正周期为的奇函数 B最小正周期为的奇函数C最小正周期为的偶函数 D最小正周期为

18、的偶函数 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13函数y12cos2(2x)的最小正周期是_解析：由题意ycos 4x，T答案：14设f(x)2cos2xsin 2xa，当x时，f(x)有最大值4，则a_解析：f(x)2cos2xsin 2xacos 2xsin 2xa12sina1.由x，f(x)max3a4，a1.答案：115设为第二象限角，若tan()，则sin cos _解析：本题先求出tan ，然后运用同角三角函数关系式进行变形求解tan，解得tan .(sin cos )2.为第二象限角，tan ，2k<<2k，kZ.sin cos

19、.答案：16已知函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为_解析：由题意知A2，是f(x)周期的，故T2.，则f(x)2sin(x)，再将点代入知2sin2 得2k，kZ，又|<得，f(x)2sin.答案：f(x)2sin三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)已知函数f(x)Asin (x)的部分图象如图所示，其中点P是图象的一个最高点(1)求函数f(x)的解析式；(2)已知a且sin ，求f.解析：(1)由函数最大值为2，得A2.由图可得周期T4，由，得2.又·2k，kZ，及，得.f(x)

20、2sin(2x)(2)由，且sin ，得cos ，f2sin2，.18(本小题满分12分)已知sin()，sin()，且， ，求cos 2的值解析：由sin()及得：cos() ， 由sin()及得：cos() .cos 2cos()()cos()cos()sin()sin()××1. 19(本小题满分12分)已知函数f(x).(1)求f(x)的定义域；(2)求f(x)的值域；(3)设为锐角，且tan，求f()的值解析：(1)由sin x0得函数f(x)的定义域为x|xk，kZ(2)f(x)cos xsin xsin(xk，kZ)，又由于xk，kZ时，sin的值为±1.所以f(x)的值域为：，1)(1，(1，1)(3)令ttan，得tan ，由为锐角，得sin ，cos ，f()sin cos .20