li84曲面及其方程

1、1会计学li84曲面及其方程曲面及其方程 在空间解析几何中, 任何曲面都可以看作点的几何轨迹.那么, 方程F(x, y, z)0就叫做曲面S的方程, 而曲面S就叫做方程F(x, y, z)0的图形. (1)曲面S上任一点的坐标都满足方程F(x, y, z)0; (2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x, y, z)0,曲面方程的定义 如果曲面S与三元方程 F(x, y, z)0有下述关系: 2202020Rzzyyxx 展开展开关于球面方程的说明关于球面方程的说明: :; 0222 DCzByAxzyx,反之反之? 0 222的图形的图形任给任给 DCzByAxzyx),4(41)2()

2、2()2(222222DCBACzByAx , 04 222 DCBA若若方方程程的的图图形形是是, 04 222 DCBA若若方方程程的的图图形形是是, 04 222 DCBA若若方方程程的的图图形形;球面球面;一个点一个点.不不存存在在定义定义2. 一条平面曲线二、旋转曲面二、旋转曲面 绕其平面上一条定直线定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面旋转曲面. 该定直线称为旋转旋转轴轴 .例如例如 :; 0),(22 zxyf 0, yxf轴轴绕绕x, 0),(22 zyxf轴轴绕绕y; 0) ,(22 yzxf 0, zyf轴轴绕绕z, 0),(22 zyxf轴轴绕绕y 0, zxf轴轴绕绕x

3、, 0),(22 zyxf轴轴绕绕z. 0) ,(22 zyxf旋转曲面的方程的一般结果：旋转曲面的方程的一般结果：.2)1(2轴旋转轴旋转绕绕面上的抛物线面上的抛物线zpzyyOz ,不变不变z22yxy pzyx222 旋转抛物面旋转抛物面例如例如解解.1)2(2222轴旋转轴旋转绕绕面上的椭圆面上的椭圆ybzayyOz ,不变不变y22zxz 122222 bzxay解解旋转椭球面旋转椭球面.1)3(2222轴旋转轴旋转绕绕面上的双曲线面上的双曲线zbzaxzOx ,不变不变z22yxx 122222 bzayx解解单叶旋转双曲面面单叶旋转双曲面面.1)4(2222轴旋转轴旋转绕绕面上的

4、双曲线面上的双曲线xbzaxzOx ,不变不变x22zyz 122222 bzyax解解双叶旋转双曲面面双叶旋转双曲面面. 所形成的曲面叫做柱面所形成的曲面叫做柱面移动的直线移动的直线定曲线定曲线沿沿平行于定直线并平行于定直线并LC, 叫做柱面的准线叫做柱面的准线定曲线定曲线C. 叫做柱面的母线叫做柱面的母线动直线动直线 LCL. 0),(, , yxFxOyCz其方程为其方程为条曲线条曲线面上的一面上的一是是准线准线轴轴的母线平行于的母线平行于设柱面设柱面. , ),( , )0 ,( , 0),( ),( 11上上在柱面在柱面即即的母线上的母线上在过在过是点是点于于上上在准线在准线则点则点

5、满足方程满足方程和纵坐标和纵坐标如果其横坐标如果其横坐标对空间中的点对空间中的点 MMzyxMCyxMyxFyxzyxM. 0),( , )0 ,( ),( ,1 yxFyxMCyxMxOyzyxM满足方程满足方程和纵坐标和纵坐标的横坐标的横坐标故点故点上上在准线在准线面上的垂足面上的垂足它在它在上的任一点上的任一点对柱面对柱面反之反之xyzOC),(zyxM)0 ,(1yxM. 0),( yxF的方程是的方程是柱面柱面. 0),(: , 0),( , yxFCxOyzyxFzyx面上的曲线面上的曲线其准线是其准线是轴的柱面轴的柱面行于行于角坐标系中表示母线平角坐标系中表示母线平在空间直在空间

6、直的方程的方程而缺而缺、只含只含一般地一般地. 0),( ,轴的柱面轴的柱面母线平行于母线平行于表示表示的方程的方程而缺而缺、只含只含类似地类似地yzxGyzx . 0),( 轴的柱面轴的柱面行于行于表示母线平表示母线平的方程的方程而缺而缺、只含只含xzyHxzy xyzOC),(zyxM)0 ,(1yxM12222 byax椭圆柱面椭圆柱面-2-1012-202-202-2-1012-202. 1 2222 byaxxoyz面上的椭圆面上的椭圆线为线为轴，准轴，准母线平行于母线平行于.2 2pzx 抛物柱面抛物柱面.2 , 2pzxxOzy 面上的抛物线面上的抛物线为为准线准线轴轴母线平行于

7、母线平行于-4-202402.557.51001234-4-2024. 0 yx平面平面. 0 , yxxOyz面上的直线面上的直线准线是准线是轴轴母线平行于母线平行于. 0 zx平面平面. 0 , zxxOzy面上的直线面上的直线准线是准线是轴轴母线平行于母线平行于xyzO0 yxxyzO0 zx四、二次曲面四、二次曲面三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法截痕法 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面二次曲面. FzxEyxDxyCzByAx2220JIzHyGx(二次项系

8、数不全为 0 )1 222222 czbyax截痕法截痕法用用z = h截曲面截曲面用用y = m截曲面截曲面用用x = n截曲面截曲面abcyx zo1. zyx1. 椭球面椭球面),(1222222为正数cbaczbyax(1)范围：czbyax,(2)与坐标面的交线：椭圆,012222zbyax,012222xczby 012222yczax1222222czbyax与)(11czzz的交线为椭圆：1zz (4) 当 ab 时为旋转椭球面;同样)(11byyy的截痕）（axxx11及也为椭圆.当abc 时为球面.(3) 截痕:1)()(212221222222zcyzcxcbcacba,

9、(为正数)z. , , 围成的长方体内围成的长方体内面面椭球面包含在由平椭球面包含在由平czbyax 用平行于坐标面的平面截椭球面用平行于坐标面的平面截椭球面, ,得到的截痕得到的截痕都是椭圆都是椭圆. ., , ,短半轴短半轴中半轴中半轴面的长半轴面的长半轴按其大小分别叫做椭球按其大小分别叫做椭球在椭球面方程中在椭球面方程中cbaozyxxzy0截痕法截痕法用用z = a截曲面截曲面用用y = b截曲面截曲面用用x = c截曲面截曲面(1). zqypx22222 2. 抛物面抛物面xzy0截痕法截痕法用用z = a截曲面截曲面用用y = b截曲面截曲面用用x = c截曲面截曲面(1). .

10、zqypx22222 2. 抛物面抛物面.,)0()1(截痕为原点截痕为原点去截去截面面用用 zxOy-505x-505y05101520z-505x,)0(去截去截用用 hhz-505x-505y05101520z-505x原点叫做椭圆抛物面的顶点原点叫做椭圆抛物面的顶点. . .,2222hzhbyax截痕为椭圆截痕为椭圆 . 0,)0()2(22yzaxyzOx截痕为抛物线截痕为抛物线去截去截面面用用-505x-505y05101520z-505x .),(,2222kybkzaxky截痕也为抛物线截痕也为抛物线去截去截用平面用平面-505x-505y05101520z-505x . 0

11、,)0()3(22xzbyxyOz截痕为抛物线截痕为抛物线去截去截面面用用-505x-505y05101520z-505x .),(,2222lxalzbylx截痕也为抛物线截痕也为抛物线去截去截用平面用平面-505x-505y05101520z-505x用用z = a截曲面截曲面用用y = 0截曲面截曲面用用x = b截曲面截曲面xzy0zqypx 2222截痕法截痕法 （马鞍面）（马鞍面）(2). 双曲抛物面双曲抛物面 截痕法截痕法.(2). 双曲抛物面双曲抛物面 （马鞍面）（马鞍面）xzy0用用z = a截曲面截曲面用用y = 0截曲面截曲面用用x = b截曲面截曲面zqypx 2222

12、截痕法截痕法.(2). 双曲抛物面双曲抛物面 （马鞍面）（马鞍面）xzy0用用z = a截曲面截曲面用用y = 0截曲面截曲面用用x = b截曲面截曲面zqypx 2222, )0( )1(去截去截用平面用平面 hhz. , 0 轴轴实轴平行于实轴平行于截痕是双曲线截痕是双曲线时时当当xh 平面上两条相交于平面上两条相交于截痕是截痕是时时当当 , 0 xOyh . , 0 轴轴实轴平行于实轴平行于截痕也是双曲线截痕也是双曲线时时当当yh ., 2222hzhbyax截痕为截痕为-4-2024x-4-2024y-4-2024z-4-2024x-4-2024x-4-2024y-4-2024z-4-

13、2024x-4-2024x-4-2024y-4-2024z-4-2024x).0(0 zbyax原点的直线原点的直线, )2(去截去截用平面用平面tx ., , 0 张口朝下张口朝下抛物线抛物线平面上顶点在原点的平面上顶点在原点的截痕是截痕是时时当当yOzt . , 0 增大而升高增大而升高线的顶点随线的顶点随且抛物且抛物物线物线截痕都是张口朝下的抛截痕都是张口朝下的抛时时当当kt ., 2222txzatby截痕为截痕为-4-2024x-4-2024y-4-2024z-4-2024x-4-2024x-4-2024y-4-2024z-4-2024x-4-2024x-4-2024y-4-2024

14、z-4-2024x, )3(去截去截用平面用平面ly .物线物线截痕都是张口朝上的抛截痕都是张口朝上的抛双曲抛物面又叫马鞍面双曲抛物面又叫马鞍面. . ., 2222lyblzax截痕为截痕为-4-2024x-4-2024y-4-2024z-4-2024x-4-2024x-4-2024y-4-2024z-4-2024x-4-2024x-4-2024y-4-2024z-4-2024xxyzo. 1 222222 czbyax3. 双曲面双曲面(1)单叶双曲面单叶双曲面 .,1 , )1(222222hzchbyaxhz椭圆椭圆截痕为截痕为去截去截用平面用平面. 1 , 0 2222 byaxxO

15、yh面上的椭圆面上的椭圆截痕为截痕为时时当当xyzo. 1 222222 czbyax. 1222222 czbyax .,1 , )( )2(222222kybkczaxbkky截痕为双曲线截痕为双曲线去截去截用平面用平面. 1 , 0 2222 czaxzOxk面上的双曲线面上的双曲线截痕为截痕为时时当当. , , 22轴轴于于虚轴平行虚轴平行轴轴双曲线的实轴平行于双曲线的实轴平行于时时当当zxbk . , , 22轴轴于于虚轴平行虚轴平行轴轴双曲线的实轴平行于双曲线的实轴平行于时时当当xzbk ., 0 , 0 , )0 , 0( byczaxbyczaxbby和和程为程为方方的直线的直

16、线一对相交于点一对相交于点截曲面的截痕为截曲面的截痕为平面平面 ., 0 , 0 , )0 , 0( byczaxbyczaxbby和和程为程为方方的直线的直线一对相交于点一对相交于点截曲面的截痕为截曲面的截痕为平面平面. , ) ( 0 ,)3(交的直线交的直线曲面所得截痕是两对相曲面所得截痕是两对相截截两平面两平面也是双曲线也是双曲线的平面截曲面所得截痕的平面截曲面所得截痕面面和平行于和平行于面面用平面用平面类似地类似地axyOzyOzx (2) 双叶双曲面双叶双曲面),(1222222为正数cbaczbyax上的截痕为平面1yy 双曲线上的截痕为平面1xx 上的截痕为平面)(11czzz

17、椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 双曲线zxyo222222czbyax单叶双曲面11双叶双曲面4. 椭圆锥面椭圆锥面),(22222为正数bazbyax上的截痕为在平面tz 椭圆在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线 .zxyo1)()(2222t byt axtz ,可以证明, 椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上.(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换得到 )xyz内容小结内容小结1. 空间曲面三元方程0),(zyxF 球面2202020)()()(Rzzyyxx 旋转曲面如, 曲线00),(xzyf绕 z 轴的旋转曲面:0),(22zyxf 柱面如,曲面0)

18、,(yxF表示母线平行 z 轴的柱面.又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .2. 二次曲面三元二次方程),(同号qp 椭球面1222222czbyax 抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面2222xyzpq 双曲面: 单叶双曲面2222byax22cz1双叶双曲面2222byax22cz1 椭圆锥面: 22222zbyax2222xyzpq了解了解( (画画) )曲面的形状的一种方法：曲面的形状的一种方法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，通用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，通过考察其交线（即过考察其交线（即截痕截痕）的形状来了解曲面的形状）的形状来了解曲面的形状几种特殊的二次方程

19、的曲面：几种特殊的二次方程的曲面：3、二次曲面总结、二次曲面总结截痕法。截痕法。1、方程、方程1222222 czbyax 曲面与坐标面的交线：曲面与坐标面的交线：,012222 yczax.012222 xczby,012222 zbyax椭圆曲面与平面曲面与平面 的交线的交线1zz 12122222122221)()(zzzccbyzccax椭球面椭球面2、方程、方程1222222 czbyax 曲面与坐标面的交线曲面与坐标面的交线：,yczax 012222.xczby 012222,012222 zbyax椭圆曲面与平面曲面与平面 的交线的交线1zz 12122222122221zz)

20、zc(cby)zc(cax单叶双曲面单叶双曲面双曲线3、方程、方程1222222 czbyax 曲面与坐标面的交线：曲面与坐标面的交线：,yczax 012222,zbyax 012222双曲线的交线的交线曲面与平面曲面与平面 11)a|x(|xx 椭圆双叶双曲面双叶双曲面 12212222212221)()(xxaxaczaxaby4、方程、方程qypxz2222 曲面与坐标面的交线曲面与坐标面的交线：,ypxz 022,xqyz 022抛物线的交线的交线曲面与平面曲面与平面 0 11)z(zz 椭圆抛物面抛物面 11212122zzqzypzx5、方程、方程qypxz2222 曲面与坐标面

21、的交线曲面与坐标面的交线：,ypxz 022,xqyz 022抛物线的的交交线线与与平平面面 1zz 双曲线双曲双曲抛物面（马鞍面）抛物面（马鞍面） 11212122zzqzypzx的交线的交线与与 1xx 122122xxqypxz*6、方程、方程0222222 czbyax（椭圆）（椭圆）锥面锥面*7、方程、方程12222 byax（椭圆）（椭圆）柱面柱面*8、方程、方程12222 byax（双曲）（双曲）柱面柱面*9、方程、方程pxy22 （抛物）（抛物）柱面柱面*10、方程、方程022 byax 一对（相交）一对（相交）平面平面*11、方程、方程022 ax 一对（平行）一对（平行）平

22、面平面二次曲面只有这十一种形状。二次曲面只有这十一种形状。:称称写出下列方程的图形名写出下列方程的图形名练习平面球面椭球面椭圆柱面圆柱面抛物柱面双曲柱面上半椭圆锥面圆锥面旋转单叶双曲面椭圆抛物面双曲抛物面12 . 1 yx1)1()1( . 2222 zyx13)1(2)1( . 3222 zyx12 . 422 xy122 . 522 xy032 . 62 xy132 . 822 xy2232 .10yxz 1322 .11222 zyxzyx 2232 .12222233 . 9zxy zyx 22 .13222332 . 7zxy 椭圆锥面; 0),(22 zxyf 0, yxf轴轴绕绕x, 0),(22 zyxf轴轴绕绕y; 0) ,(22 yzxf 0, zyf轴轴绕绕z, 0),(22 zyxf轴轴绕绕y 0, zxf轴轴绕绕x, 0),(22 zyxf轴轴绕绕z. 0) ,(22 zyxf旋转曲面的方程的一般结果：旋转曲面的方程的一般结果：. 所形成的曲面叫做柱面所形成的曲面叫做柱面移动的直线移动的直线定曲线定曲线沿沿平行于定直线并平行于定直线并LC, 叫做柱面的准