2022年2022年挑战中考数学压轴试题因动点产生的相似三角形问题

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载§ 11因动点产生的相像三角形问题课前导学相像三角形的判定定理有3 个,其中判定定理1 和判定定理2 都有对应角相等的条件,因此探求两个三角形相像的动态问题,一般情形下第一查找一组对应角相等判定定理 2 为最常用的解题依据,一般分三步： 查找一组等角, 分两种情形列比例方程,解方程并检验假如已知 a d,探求 abc 与 def 相像,只要把夹 a 和 d 的两边表示出来,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载依据对应边成比例,分abdeacdf和 abdfacde两种情形列方程精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载应用判定定理1 解

2、题,先查找一组等角,再分两种情形争论另外两组对应角相等应用判定定理3 解题不多见,依据三边对应成比例列连比式解方程（组）仍有一种情形, 争论两个直角三角形相像,假如一组锐角相等,其中一个直角三角形的锐角三角比为确定的,那么就转化为争论另一个三角形为直角三角形的问题求线段的长,要用到两点间的距离公式,而这个公式简单记错懂得记忆比较好如图 1,假如已知a.b 两点的坐标,怎样求a.b 两点间的距离呢？我们以 ab 为斜边构造直角三角形,直角边与坐标轴平行,这样用勾股定理就可以求斜边 ab 的长了水平距离bc 的长就为 a.b 两点间的水平距离,等于a.b 两点的横坐标相减；竖直距离ac 就为 a.

3、 b 两点间的竖直距离,等于a.b 两点的纵坐标相减图 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 120xx年湖南省衡阳市中考第28 题二次函数 y ax2 bx c（ a 0）的图象与x 轴交于 a 3、 0.b1、 0 两点,与 y 轴交于点 c0、 3m（ m 0）,顶点为d（ 1）求该二次函数的解析式（系数用含m 的代数式表示） ；（ 2）如图 1,当 m 2 时,点 p 为第三象限内抛物线上的一个动点,设apc 的面积为 s,试求出s 与点 p 的横坐标 x 之间的函数关系式及s 的最大值；（ 3）如图 2,当 m 取何值时,以a.d .c 三点为顶点的三角形与obc 相像

4、？图 1图 2动感体验请打开几何画板文件名“14 衡阳 28”,拖动点p 运动,可以体验到,当点p 运动到 ac的中点的正下方时,apc 的面积最大拖动y 轴上表示实数m 的点运动,抛物线的外形 会转变,可以体验到,acd 和 adc 都可以成为直角思路点拨1用交点式求抛物线的解析式比较简便2连结 op, apc 可以割补为：aop 与 cop 的和,再减去aoc 3争论 acd 与 obc 相像,先确定acd 为直角三角形,再验证两个直角三角形为否相像4直角三角形acd 存在两种情形图文解析（ 1）由于抛物线与x 轴交于 a 3、 0. b1、 0 两点,设y ax 3x 1代入点 c0、

5、3m,得 3m 3a解得 a m所以该二次函数的解析式为y m x 3 x 1mx2 2mx 3m（ 2）如图 3,连结 op当 m 2 时, c0、 6, y 2x2 4x 6,那么 px、 2x2 4x 6精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由于 s aop 1 oa2yp 32 4x 6 3x2 6x9,2x2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载s cop1 oc2xp 3x, s aoc 9,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2所以 s s apc s aop s cop saoc 3x 9x3 x3 227 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下

6、载所以当 x243 时, s 取得最大值,最大值为27 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载24图 3图 4图 5（ 3）如图 4,过点 d 作 y 轴的垂线,垂足为e过点 a 作 x 轴的垂线交de 于 f 由 y mx 3x 1 mx 12 4m,得 d1、 4m在 rtobc 中, ob oc 1 3m假如 adc 与 obc 相像,那么 adc 为直角三角形, 而且两条直角边的比为13m精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如图 4,当 acd 90°时, oaoc所以33m 解得 m 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ecedm1精品学习资料

7、精选学习资料 - - - 欢迎下载此时 caoccded3, ocobcaoc3 所以cdob所以 cda obc 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如图 5,当 adc 90°时,fafdedec4m所以122解得 mm2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载此时 dafd222 ,而 oc3m32 因此 dca 与 obc 不相像精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载dcecmob2综上所述,当m 1 时, cda obc考点舒展第（ 2）题仍可以这样割补：如图 6,过点 p 作 x 轴的垂线与ac 交于点

8、 h由直线 ac： y 2x6,可得 h x、 2x6 又由于 px、 2x2 4x 6,所以 hp 2x2 6x由于 pah 与 pch 有公共底边hp ,高的和为a.c两点间的水平距离3,所以 s sapc saph s cph精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 2x2 6x46精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 220xx年湖南省益阳市中考第21 题如图 1,在直角梯形abcd 中, ab/cd , ad ab, b 60°, ab 10,bc 4,点 p沿线段 ab 从点 a 向点 b 运动,设ap x 2·1·c·n

9、·j ·y（ 1）求 ad 的长；（ 2）点 p 在运动过程中,为否存在以a.p.d 为顶点的三角形与以p.c.b 为顶点的三角形相像？如存在,求出 x 的值；如不存在,请说明理由；（ 3）设 adp 与 pcb 的外接圆的面积分别为s1.s2, 如 s s1 s2,求 s 的最小值 .动感体验图 1请打开几何画板文件名“14 益阳 21”,拖动点p 在 ab 上运动,可以体验到,圆心o的运动轨迹为线段bc 的垂直平分线上的一条线段观看s 随点 p 运动的图象,可以看到,s 有最小值,此时点p 看上去象为ab 的中点,其实离得很近而已思路点拨1第（ 2）题先确定pcb 为直

10、角三角形,再验证两个三角形为否相像2第（ 3）题懂得 pcb 的外接圆的圆心o 很关键,圆心o 在确定的bc 的垂直平分线上, 同时又在不确定的bp 的垂直平分线上而 bp 与 ap 为相关的,这样就可以以ap 为自变量,求s 的函数关系式图文解析（ 1）如图 2,作 ch ab 于 h,那么 ad ch 在 rtbch 中, b 60°, bc 4,所以 bh 2, ch 23 所以 ad 23 （ 2）由于 apd 为直角三角形,假如apd 与 pcb 相像,那么 pcb 肯定为直角三角形如图 3,当 cpb 90°时, ap 102 8精品学习资料精选学习资料 - -

11、 - 欢迎下载所以 apad8 43233,而 pcpb3 此时 apd 与 pcb 不相像精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载图 2图 3图 4如图 4,当 bcp 90°时, bp 2bc 8所以 ap 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以 apad23233所以 apd 60°此时 apd cbp精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载综上所述,当x2 时, apd cbp（ 3）如图 5,设 adp 的外接圆的圆心为g,那么点g 为斜边 dp 的中点设 pcb 的外接圆的圆心为o,那么点 o 在 bc 边的垂直平分线上,设这条直线与b

12、c交于点 e,与 ab 交于点 f设 ap 2m作 om bp 于 m ,那么 bm pm 5 m 在 rtbef 中, be 2, b60°,所以bf 4在 rtofm 中, fm bf bm 4 5m m 1, ofm 30°,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以 om 3 m31 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以 ob 2 bm 2om 2 5m21 m312 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在 rtadp 中, dp 2ad 2 ap2 124m2所以 gp2 3 m2 于为

13、 s s1 s2 gp2 ob2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3m25m21 m3127 m2332m85 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以当 m16113时, s 取得最小值,最小值为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载77图 5图 6考点舒展关于第（ 3）题,我们再争论个问题问题 1,为什么设ap 2m 呢？这为由于线段ab ap pm bm ap 2bm 10这样 bm 5 m,后续可以削减一些分数运算这不影响求s 的最小值问题 2,假如圆心o 在线段 ef 的延长线上, s 关于 m 的解析式为什

14、么？如图 6,圆心 o 在线段 ef 的延长线上时, 不同的为fm bm bf 5 m 4 1 m精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载此时 ob 2 bm 2om 2 5m21 13m2 这并不影响s 关于 m 的解析式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 320xx 年湖南省湘西市中考第26 题如图 1,已知直线y x 3 与 x 轴.y 轴分别交于a.b 两点,抛物线y x2 bx c经过 a.b 两点,点p 在线段 oa 上,从 点 o 动身,向点a 以每秒 1 个单位的速度匀速运动；同时,点q 在线段 ab 上,从点 a 动身,向点b 以每秒2 个单位的速度匀速运

15、动,连结 pq,设运动时间为t 秒（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）问：当t 为何值时,apq 为直角三角形；（ 3）过点 p 作 pe/ y 轴,交 ab 于点 e,过点 q 作qf /y 轴,交抛物线于点 f ,连结 ef ,当 ef /pq 时,求点 f 的坐标；（ 4）设抛物线顶点为m ,连结 bp.bm .mq ,问：为否存在t 的值,使以b.q.m 为顶点的三角形与以o.b.p 为顶点的三角形相像？如存在,恳求出 t 的值；如不存在,请说明理由图 1动感体验请打开几何画板文件名“15湘西 26”,拖动点 p 在 oa 上运动,可以体验到,apq 有两个时刻可以成为直角三角形,四边形

16、epqf 有一个时刻可以成为平行四边形,mbq 与bop 有一次机会相像思路点拨1在 apq 中, a 45°,夹 a 的两条边ap.aq 都可以用t 表示,分两种情形争论直角三角形apq 2先用含 t 的式子表示点p.q 的坐标,进而表示点e.f 的坐标,依据pe qf 列方程就好了3 mbq 与 bop 都为直角三角形,依据直角边对应成比例分两种情形争论图文解析（ 1）由 y x3,得 a3、 0 ,b0、 3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载将 a3、 0.b0、 3 分别代入 y x 2 bx c,得93bc0、b2、解得精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎

17、下载所以抛物线的解析式为y x2 2x 3c3.c3.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）在 apq 中, paq 45°, ap 3 t,aq2 t分两种情形争论直角三角形apq：当 pqa 90°时, ap2 aq解方程3 t 2t,得 t 1（如图 2）当 qpa 90°时, aq2 ap解方程2 t2 3 t,得 t 1.5（如图 3）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载图 2图 3（ 3）如图 4,由于 pe/qf ,当 ef /pq 时,四边形epqf 为平行四边形所以 ep fq所以 ye yp yf yq由于 xp t, xq 3 t,所以 ye 3 t,yq t, yf 3 t223 t 3 t2 4t 由于 ye yp yf yq,解方程3 t t2 4t t,得 t 1,或 t3（舍去）所以点f的坐标为 2、 3图 4图 5（ 4）由 y x2 2x3 x 12 4,得 m 1、 4 由a3、 0 .b0、 3,可知 a. b两点间的水平距离.竖直距离相等,ab32 由b0、 3 .m 1、 4 ,可知 b.m 两点间的水平距离.竖直距离相等,bm 2 所以 mbq bop90°因此 mbq 与 bop相像存在两种可能：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当